Bai tap on thi HSG cap truong

BÀI TẬP ÔN THI HSG CẤP TRƯỜNG
Bài 1: Chứng minh rầng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
yz xz xy
1 1 1
 2 2
  0( x, y , z 0)
2
x
y
z
x
y
z
Bài 2: Cho
. Tính

Bài 3
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia
BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ
đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở
K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4: Giải phương trình
x· 1 x  10 x  19


3
a) 2006 1997 1988

x  2 x  4 x  6 x 8




96
94
92
b) 98

Bài 5:
P

2 x 2  3x  3
2x  1
có giá trị ngun

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
Bài 6 : Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
4 x 3  3 x 2  2 x  83
x 3
A=

Bài 7: Cho hình vng ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vng góc với nhau
lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh  AQR và  APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm  SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 8: Giải phương trình :

x 2

x 3

2x  8

a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b)
+
+
=9
Bài 9: a) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24
b) Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình:
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.
Bài 10: Cho biểu thức :

x2
y2
x2 y2
P


 x  y   1  y   x  y   1  x   x 1  1  y 


1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y)  Z sao cho giá trị của P = 3.
Bài 11. Giải phương trình:
1
1

1
1
1
 2
 2
 2

x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11 x  30 8
2

Bài 12:. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
Bài 13: Chứng minh rằng trong một tam giác, trọng tâm G, trực tâm H, tâm
đường trịn ngoại tiếp tam giác là O thì H, G, O thẳng hàng.

3 x 3  14 x 2  3 x  36
3
2
Bài 14:Cho biểu thức: A= 3 x  19 x  33 x  9
a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định.
b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0.
c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 15: Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho PAC = PBC. Từ P dựng PM
vng góc với BC. PK vng góc với CA. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng
minh : DK=DM.
Bài 16: a) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
2
4
3
b) A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa thức B( x)  x  3x  4

Bài 17: Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1
Bài 18: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD
và DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vng?
c) Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ABCD và
MNPQ.
Bài 19: Giải phương trình:
1.

x 2  3x  2  x  1 0
2

2

2

1
1 
1 
1
2



8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4 
x 
x 
x



2.  x 

Bài 20: Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB
lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh  EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm
EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.


Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di
chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
3
6x
x 2  3x
1
3
2
3
2
2
Bài 22: Cho biểu thức. P = ( x  3x  9 x  27 + x  9 ): ( x  3 - x  3x  9 x  27 )

a) Rút gọn P.
b) Với x > 0 thì P khơng nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị ngun của x để P có giá trị nguyên.
Bài 23 : Tìm giá trị nhỏ nhất:

A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.

Bài 24: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12
b. n ( n+3 )
c. 13n + 3
d. n2 + n + 1589
Bài 25: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a.
a2 + a + 43
b.
a2 + 81
c.
a2 + 31a + 1984
Bài 26: Tìm n  N để các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2004
b. (23 – n)(n – 3)
c. n2 + 4n + 97
d. 2n + 15
Bài 27: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Bài 28: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó
bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.