HSG toan 6 Viet yen 2015 2016

+PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

NĂM HỌC: 2015-2016
MƠN THI: Toán 6
NGÀY THI: 28/ 3/ 2016
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (4 điểm) Tính:
a) A 1  2  3  4  5  6  7  8  9  ...  2013  2014  2015  2016
b)

B

2.4.10  4.6.8  14.16.20
3.6.15  6.9.12  21.24.30

Câu 2: (6 điểm)
102014  2016
102015  2016
A  2015
B  2016
10  2016 và
10  2016
a) So sánh
1

1
1
1
119
(


 ... 
).x 
7.8.9.10
720
b) Tìm x biết: 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6

c) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
2n  1
a) Tìm số tự nhiên n để phân số n  2 là phân số rút gọn được.

b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp
2
1
6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng 5 số học sinh giỏi của lớp 6A bằng 3 số học sinh giỏi của
1
lớp 6B và bằng 2 số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp.

Câu 4: (4 điểm)

0
·
Cho tam giác ABC có ACB 60 , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B)

sao cho AD=2cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD.
0
·
·
b) Tính số đo của DCB biết ACD 20 .
0
·
·
c) Dựng tia Cx sao cho DCx 90 . Tính ACx .

d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt
nhau.
1 1 1 4
  
Câu 5: (2 điểm) Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho: a b c 5

------ HẾT -----Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm


Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh:...........................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)...........................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và
ký)...........................................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MƠN THI: TỐN 6

Có 4 trang

Câu
1.1
(2.0 điểm)

Đáp án

Điểm

Tính
A 1  2  3  4  5  6  7  8  9  ...  2013  2014  2015  2016
A 1  2  3  4  5  6  7  8  9  ...  2013  2014  2015  2016
Tính được số các số hạng
của A là (2016 - 1) : 1 + 1
= 2016 số hạng

Nhóm 4 số hạng liên
tiếp vào một nhóm:

0,75

0.75

A (1  2  3  4)  (5  6  7  8)  ...  (2013  2014  2015  2016)

A 14444
4  (444
 4)4244444
 ...  (44
4)
43 4.504  2016

0.5

có 504 sơ'

Vậy A=-2016
1.2
(2.0 điểm)

B

2.4.10  4.6.8  14.16.20
3.6.15  6.9.12  21.24.30

2.4.10  4.6.8  14.16.20
8.(1.2.5
 2.3.4  7.8.10)
8
1.75


3.6.15  6.9.12  21.24.30 27.(1.2.5  2.3.4  7.8.10) 27
8
0.25

Vậy B= 27

B

So sánh
2.1
(2.0 điểm)

102014  2016
A  2015
10  2016 và
102015  2016
B  2016
10  2016

Ta

có
2014

10  2016 (10 2014  2016)(10 2016  2016)
A  2015

10  2016 (102015 0.75
2016)(102016  2016)
104030  2016.(102014  102016 )  20162

(102015  2016)(102016  2016)
104030  2016.102014.101  20162


(102015  2016)(102016  2016)

Ta

(1)

có

10 2015  2016 (102015  2016)(102015  2016)
B  2016

10  2016 (10 2016  2016)(10 2015  2016)

0.75


104030  2.2016.102015  20162
 2016
(10  2016)(102015  2016)
104030  20.2016.102014  20162

(102016  2016)(102015  2016)

Từ (1) và (2) suy ra
A>B
Vậy A>B
Tìm x biết:
2.2
(2.0 điểm)

(2)

0.25
0.25

1
1
1
1
119
(


 ... 
).x 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
7.8.9.10
720

(1)
Ta có:
1
1
1
1


 ... 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
7.8.9.10

1,25
1 1
1
1
1
1
1
 (



 ... 

)
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4
7.8.9 8.9.10
1 1
1
1 119
 ( 
) .
3 6 720 3 720
Nên từ (1) suy ra:

0.5

1 119
119
.

.x 
3 720
720 =>x=3

Vậy x=3

2.3
(2.0 điểm)

0.25

Chứng minh rằng: nếu
p và p2+2 là các số
nguyên tố thì p3+2
cũng là số nguyên tố.
Ta nhận xét rằng
mọi số nguyên tố lớn
hơn 3 thì chia cho 3
đều có dạng
p=3k+1
hoặc
*
p=3k+2 ( k  N )
Với p=3k+1 thì
2
p +2=9k2+6k+3 chia
hết cho 3.
Với p=3k+2 thì
2
p +2=9k2-6k+6 chia hết

cho 3
Vì p là nguyên tố

0.5

0.5

0.75


nên p 2 khi đó trong
cả 2 trường hợp trên thì
p2+2 đều lớn hơn 3 và
chia hết cho 3. Tức là
p2+2 là hợp số
=> p2+2 chỉ là
nguyên tố khi p=3 (khi
đó p2+2=11 là số
nguyên tố)
=>
3
p +2=27+2=29 là số
nguyên tố
Vậy nếu p và p2+2 là
các số nguyên tố thì
p3+2 cũng là số nguyên
tố.
Tìm số tự nhiên n để
3.1
(2.0 điểm)

0.25

2n  1
phân số n  2 là phân

số rút gọn được.
Gọi
d
ƯCLN(2n+1,n+2)

là
(d

 N* )

Ta có 2n+1 Md, n+2 Md

0.75

=> [(2n+4)-(2n+1)]Md
=> 3 Md
*

Vì d  N nên d  {1;3}
2n  1
Để phân số n  2 rút

0.75

gọn được thì d=3
*
=> n+2=3k ( k  N )
*

=> n=3k-2 ( k  N )
*

Vậy với n=3k-2 ( k  N )
2n  1
thì phân số n  2 là
phân số rút gọn được.

3.2
(2.0 điểm)

Trong đợt tổng kết
năm học tại một trường
THCS, tổng số học
sinh giỏi của ba lớp
6A, 6B, 6C là 90 em.
2
Biết rằng 5 số học

sinh giỏi của lớp 6A

0.5


1

bằng 3 số học sinh giỏi
1
của lớp 6B và bằng 2

số học sinh giỏi của
lớp 6C. Tính số học
sinh giỏi mỗi lớp.
Số học sinh giỏi của
lớp 6B bằng

2 1 6
: 
5 3 5 ( số học

0.5đ

sinh giỏi lớp 6A)
Số học sinh giỏi lớp
6C bằng

0.5đ

2 1 4
: 
5 2 5 ( số học

0.5đ

sinh giỏi lớp 6A)
Số học sinh giỏi của 0.5đ

cả 3 lớp bằng

6 4
1   3
5 5
( số
học sinh giỏi lớp
6A)
Vậy số học sinh
giỏi lớp 6A là 90: 3
= 30 học sinh, của
lớp 6B là 36 học
sinh và của lớp 6C
là 24 học sinh

Cho tam giác ABC có
·ACB 600
, AB=6cm.

4
(4.0 điểm)

Trên cạnh AB lấy điểm
D sao cho AD=2cm.
a) Tính độ dài đoạn
thẳng BD.
b) Tính số đo của góc
·

0

DCB biết ACD 20 .
c) Dựng tia Cx sao cho
·
DCx
900 . Tính ·ACx .

d) Trên cạnh AC lấy
điểm E. Chứng minh
hai đoạn thẳng CD và
BE cắt nhau.


E
E

Trường hợp 1
Trường hợp 2
a) D nằm giữa A và B
=>
AD+BD=AB=>BD=62=4cm
KL...
b) Tia CD nằm giữa
hai tia CA và tia CB

0.75
0.25

·
·

·
=> ACD  DCB  ACB

0.75

=> DCB =400
KL...
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai tia
0.5
CD và Cx nằm về một
phía so với đường
thẳng CB
0.5
Tính được góc ACx =

0.25

·

·

900- ACD = 700
K.L...
- Trường hợp 2: Hai tia
CD và Cx nằm về hai
phía so với đường
thẳng CB
Tính được góc ACx =

·

900 + ACD = 1100
K.L ...
- Xét đường thẳng
CD.
Do CD cắt AB nên
đường thẳng CD chia
mặt phẳng làm 2 nửa: 1
nửa MP có bờ CD chứa
điểm B và nửa MP bờ
CD chứa điểm A => tia
CA thuộc nửa MP chứa
điểm A.
E thuộc đoạn AC => E
thuộc nửa MP bờ CD
chứa điểm A
=> E và B ở 2 nửa MP
bờ CD
=> đường thẳng CD cắt
đoạn EB
- Xét đường thẳng BE.
Lập luận tương tự: ta
có đường thẳng EB cắt
đoạn CD.
Vậy 2 đoạn thẳng EB
và CD cắt nhau.

0.5

0.5

Tìm bộ ba số nguyên
5
(1.0 điểm)

dương a, b, c sao cho:
1 1 1 4
  
a b c 5

Khơng làm mất tính
tổng qt, ta giả sử: a 
b c khi đó ta có:
3 4
15
 , a
a 5
4

0.5

Nếu a=1 thì khơng thể
được, do đó a= 2 hoặc
a=3
1 1 3
 
Nếu a=2 thì b c 10
2 3

20
 , b
3
Suy ra b 10

Suy ra b=4 hoặc b= 5
3 1
hoặc b=6 vì 10 < 3

Suy ra các số a, b, c
thỏa
mãn
là

0.5


(a=2,b=4,c=20)
(a=2,b=5,c=10)

và

1 1 7
 
Nếu a=3 thì b c 15
2 7
30
 , b
7
từ đó b 15

0.5

suy ra b=3 hoặc b=4.
Khơng có trường hợp
nào thỏa mãn
K.L có 12 bộ số thỏa
mãn là các hốn vị của
hai bộ ba số (2,4,20) và
(2,5,10)
Điểm tồn bài

0.5
20 điểm