DE THI HSG TOAN 8

Bài 1 (5,0 điểm)
a) Cho a, b là các số nguyên sao cho a3 + b3 = 20162017. Chứng minh: a + b 3
b) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:
2a + b 2b + c 2c + d 2d + a
+

+
6
a b b +c c d d +a
.

Chứng minh A = abcd là số chính phương.
n3  2n
4
2
c) Chứng minh với mọi số nguyên n thì phân số: n  3n  1 là phân số tối giản.

Bài 2 (4,0 điểm)
2
a) Giải phương trình: 2 x(8 x  1) (4 x  1) 9
x
2
b) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2 1  y .

Bài 3 (4,0 điểm)
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.
Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: z 60; x  y  z 100 .
Tìm giá trị lớn nhất của A  xyz .
Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt
0


nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 90

(I và M không trùng các đỉnh của hình vng).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM.


Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và BKM BCO .

1
1
1


2
2
AM
AN 2 .
c) Chứng minh CD
Bài 5 (1,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình trịn có bán kính bằng 1 để
phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết khơng được cắt tấm bìa.