03 phương trình bậc hai đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

03. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ví dụ 1 [ĐVH]. Giải các phương trình:
a)  3 x  5    x  3  0
2

2

b)  5  3 x   9 x 2  25   0
c)  2 x  3 4 x  1  9  4 x 2
Lời giải:
a) Phương trình tương đương:

4 x  8  0
x  2

.
 3 x  5    x  3  .  3 x  5    x  3   0   4 x  8  2 x  2   0  
2 x  2  0
x  1
Vậy tập hợp nghiệm S  1; 2 .
5

x
3 x  5

5

3

x

0

 5 5
3
  2 25  
. Vậy S   ;  .
b)  5  3 x   9 x 2  25   0   2
x 
 3 3
x   5
9 x  25  0
9

3


c)  2 x  3 4 x  1  9  4 x 2   2 x  3 4 x  1   2  3 x  3  2 x    2 x  3 4 x  1  3  2 x   0
3

x

2 x  3  0
 3 2
2
  2 x  3 6 x  4   0  

. Vậy S   ;  .
 2 3

6 x  4  0
x  2

3

Ví dụ 2 [ĐVH]. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình (chính xác đến hàng phần trăm)
a) x 2  5, 60 x  6, 41  0
b)

2 x 2  4 3x  2 2  0

Lời giải:
Sử dụng máy tính, ta tính được 2 nghiệm gần đúng
a) x  4, 00; x  1, 60
b) x  0,38; x  5, 28
Ví dụ 3 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) x 2  4 x  m  3  0
b)  m  1 x 2  3 x  1  0
Lời giải:
a) x  4 x  m  3  0 có Δ  4   m  3  7  m. Biện luận:
2

Nếu Δ'  0  m  7 thì phương trình vơ nghiệm
Nếu Δ'  0  m  7 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2  2
Nếu Δ'  0  m  7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x  2  7  m
1
b) – Khi m  1 phương trình: 3 x  1  0  x 
3
– Khi m  1 phương trình bậc 2 có Δ  9  4  m  1  4m  5
Nếu m  

5
thì Δ  0 : phương trình vơ nghiệm.
4


Nếu m  

3
2
5

thì Δ  0 : phương trình có nghiệm kép: x1  x2 
2  m  1 3
4

Nếu m  

5
3  4m  5
thì Δ  0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 
.
4
2  m  1

Ví dụ 4 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a)  k  1 x  1  x  1  0
b)  mx  2  2mx  x  1  0
Lời giải:
a) Xét x  1 thì phương trình nghiệm đúng.

Xét x  1 thì phương trình tương dương  k  1 x  1 .
Nếu k  1 thì phương trình 0 x  1 vơ nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm phương trình
x 1.
1
1
. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  1; x 
.
Nếu k  1 thì phương trình x 
k 1
k 1
b) Phương trình: m  2m  1 x 2   3m  2  x  2  0
- Với m  0 phương trình có một nghiệm x  1
1
- Với m  , phương trình có một nghiệm x  4
2
1
- Với m  0 và m  phương trình bậc hai có:
2
Δ   3m  2   8m  2m  1  25m 2  20m  4   5m  2   0
2

2

2
5
thì phương trình có nghiệm duy nhất x  .
5
2
2
2

1
Xét m  thì phương trình cóhai nghiệm phân biệt x  và x 
.
5
3
2m  1

Xét m 

Ví dụ 5 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) mx 2  2  m  3 x  m  1  0
b)  a  b  x 2   a 2  b 2  4ab  x  2ab  a  b   0
a) mx  2  m  3 x  m  1  0

Lời giải:

2

- Xét m  0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất: 6 x  1  0  x 
- Xét m  0 ta có Δ'   m  3  m  m  1  5m  9
2

m  3  5m  9
9
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 
m
5
9
m3
2


Nếu m   thì phương trình có nghiệm kép x1  x2 
5
m
3
9
Nếu m   thì phương trình vơ nghiệm.
5

Nếu m  

b)  a  b  x 2   a 2  b 2  4ab  x  2ab  a  b   0

- Xét a  b thì phương trình 2abx  0
Nếu a  b  0 thì nghiệm là mọi x
Nếu a  b  0 thì phương trình có nghiệm x  0
- Xét a  0 thì phương trình bậc 2 có biệt thức

1
6


2
2
2
Δ   a 2  b 2  4ab   8ab  a  b    a  b   2ab   8ab  a  b 


2

2

2

4
2
2
  a  b   4ab  a  b   4a 2b 2   a  b   2ab   0



nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1  a  b; x2  

2ab
a b

Ví dụ 6 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx 2   3m  4  x  8m  34  0
b) x 2  x  m  0
Lời giải:
17
a) Xét m  0 . Phương trình 4 x  34  0  x  
2
Xét m  0 : Δ   3m  4   4m  8m  34   9m 2  24m  16  32m 2  136m  23m 2  112m  16
2

- Nếu Δ  0  23m 2  112m  16  0  m 

56  3504
3m  4

phương trình có nghiệm kép x  
.
23
2m
2

112m 16
56  3504
56
3504

- Nếu Δ  0  23m  112m  16  0  m 

 m  
 m

23
23
23 
529
23
23

2

2

56  3504
56  3504
hoặc m 

. Phương trình vơ nghiệm.
23
23
m  0

2
- Nếu Δ  0  23m  112m  16  0   56  3504
56  3504 .

m


23
23

m

  3m  4   23m 2  112m  16
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,2 
.
2m
b) x 2  x  m  0
(1)
Đặt t  x , t  0 thì (1): t 2  t  m  0

(2)

Δ  1  4m

1

thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.
4
1
1
1
1
Nếu Δ  0  m  thì (2) có nghiệm kép t   0 nên (1) có nghiệm x   x   .
4
2
2
2

Nếu Δ  0  1  4m  0  m 

1  1  4m
1  1  4m
1
, t2 
0
thì (2) có nghiệm t1 
2
2
4
Với m  0 thì t1  0, t2  1 nên (1) có nghiệm x  0, x  1 .

Nếu Δ  0  1  4m  0  m 

 1  1  4m 
Với m  0 thì t1  0 nên (1) có 2 nghiệm x   
 .

2


 1  1  4m 
 1  1  4m 
Với 0  m  1 thì t1  0 nên (1) có 4 nghiệm : x   
 ; x   
 .
2
2




Ví dụ 7 [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai parabol: y   x 2  2 x  3 và y  x 2  m theo m.
Lời giải:
Số giao điểm của hai parabol đúng bằng số nghiệm của hai phương trình hồnh độ giao điểm
 x2  2x  3  x2  m  2x2  2x  m  3  0


Δ  2m  7 . Do đó:
Nếu m  3,5 thì phương trình vơ nghiệm, suy ra hai parabol khơng có điểm chung.
Nếu m  3,5 thì phương trình có một nghiệm (kép), suy ra hai parabol có một điểm chung.
Nếu m  3,5 phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra hai parabol có hai điểm chung.

Ví dụ 8 [ĐVH]. Chứng minh phương trình
a)  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   0 ln có nghiệm với mọi a, b, c.
b) a 2 x 2   a 2  b 2  c 2  x  b 2  0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải:
a)  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   0  3 x 2  2  a  b  c  x   ab  bc  ca   0

Δ'   a  b  c   3  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 
2

1
 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2ca 
2

1
2
2
2
 a  b    b  c    c  a    0,  a, b c . Vậy phương trình ln có nghiệm.

2
b) Ta có:


Δ   a 2  b 2  c 2   4a 2b 2   a 2  b 2  c 2    2ab    a 2  2ab  b 2  c 2  a 2  2ab  b 2  c 2 
2

2

2

2
2
  a  b   c 2   a  b   c 2    a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c 




Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên:
a  b  c  0, b  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  0 . Do đó Δ  0 . Vậy phương trình vơ nghiệm.

Ví dụ 9 [ĐVH]. Tìm m để phương trình
a)  m  2  x 2  2  3m  2  x  m  2  0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) x 2  2  m  3 x  m  1  0 có một nghiệm bằng 2 và tìm nghiệm kia.
Lời giải:
a) Điều kiện m  2  0  m  2
Phương trình  m  2  x 2  2  3m  2  x  m  2  0 có nghiệm kép khi Δ'  0

m  0
2
  3m  2    m  2  m  2   0  8m 2  16m  0  
m  2
  3m  2 
Ta có x1  x2 
. Khi m  0 thì x1  x2  1; khi m  2 thì x1  x2  1 .
m2
b) Thế x  2 vào phương trình :
4  4  m  3  m  1  0  3m  9  m  3
Với m  3 thì phương trình x 2  4  0  x  2 . Vậy nghiệm kia là x  2 .
Ví dụ 10 [ĐVH]. Cho hai phương trình bậc hai:
x 2  p1 x  q1  0; x 2  p2 x  q2  0 có các hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2  2  q1  q2 
Chứng minh rằng trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Ta dùng phương pháp phản chứng.
Δ1  p12  4q1  0
Giả sử hai phương trình đều vơ nghiệm. Suy ra : 
 p12  p22  4  q1  q2 
2

Δ 2  p2  4q2  0
 4  q1  q2   p12  p22  2 p1 p2  2.2  q1  q2   4  q1  q2   4  q1  q2   4  q1  q2  : Điều này là vơ
lí.
Vậy ít nhất một trong hai phương trình phải có nghiệm.


Ví dụ 11 [ĐVH]. Cho hai phương trình x 2  x  m  1  0 và x 2   m  1 x  1  0. Tìm m để hai
phương trình :
a) có một nghiệm chung
b) tương đương
Lời giải:
2
 x0  x0  m  1  0
a) Giả sử 2 phương trình có một nghiệm chung x0 thì ta có hệ PT :  2
 x0   m  1 x0  1  0

(1)
(2)

m  0
Trừ phương trình (2) với (1) vế với vế ta có: mx0  m  0  m  x0  1  0  
 x0  1
Khi m  0 thì hai phương trình vơ nghiệm (loại).
Khi x0  1 thì m  3 . Lúc đó phương trình (1) trở thành x 2  x  2  0 có 2 nghiệm : x1  1; x2  2
và phương trình (2) trở thành x 2  2 x  1  0 có nghiệm kép x1  x2  1 .
Vậy m  3 thì hai phương trình có nghiệm chung.
b) Theo kết quả trên hai phương trình chỉ tương đương khi chúng vô nghiệm :
1  4m  4  0
4m  3
Δ1  0

4m  3




2
2
m  1  2 hay m  1  2
Δ 2  0
 m  1  4  0
 m  1  4
3

3
m  

   m 1
4
4
m  3 hay m  1

Ví dụ 12 [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm cịn lại?
a) (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0; x  2.
b) x 2  2(m  1) x  m 2  3m  0; x  0.
Lời giải:
a) Ta có (m  1) x  2(m  1) x  m  2  0 (1)
Vì x  2 là nghiệm của phương trình (1) nên 4(m  1)  4(m  1)  m  2  0  m  6  0  m  6
2

x  2

Thay m  6 vào (1) ta có: 5 x  14 x  8  0  ( x  2)(5 x  4)  0  
x  4
5

4
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x 
5
2
2
b) x  2(m  1) x  m  3m  0 (2)
2

Vì x  0 là nghiệm của phương trình (2) nên m 2  3m  0   m  0
 m  3
TH1: Nếu m  0 , thay vào (2) ta có: x 2  2 x  0   x  0
 x  2
TH2: Nếu m  3 , thay vào (2) ta có: x 2  2 x  0   x  0
 x  2
Vậy nghiệm cịn lại của phương trình là x  2 hoặc x  2 .
Ví dụ 13 [ĐVH]. Cho phương trình (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0, *
Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.


b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Lời giải:
a) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì Δ '  0
Ta có Δ '  (m  1) 2  (m  1)(m  2)  m 2  2m  1  m 2  m  2  3  m
Δ'  0  3 m  0  3  m

Vậy với m  3 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
b) Vì (*) có 1 nghiệm bằng 2 nên 4(m  1)  4(m  1)  m  2  0  m  6  0  m  6

x  2
Thay m  6 vào (*) ta có: 5 x  14 x  8  0  ( x  2)(5 x  4)  0  
x  4
5

4
Vậy nghiệm cịn lại của phương trình là x 
5
c) Giả sử phương trình (*) có 2 nghiệm là x1 ; x2  x12  x2 2  2 (theo giả thiết)
2

(1)

2(m  1)

 x1  x2  m  1
Theo định lý Vi-et ta có: 
 x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1.x2
m2
 x1.x2 
m 1


4(m  1) 2
m  2 4m 2  8m  4  2.(m 2  m  2) 2m 2  6m  8

2.



(m  1) 2
m 1
(m  1) 2
(m  1) 2
3
 2(m 2  2m  1)  2m 2  6m  8  10m  6  0  m 
5
3
Vậy với m  thì tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2.
5
 2  x12  x22 

Ví dụ 14 [ĐVH]. Tìm m để phương trình x 2  x  m  0 (*) có hai nghiệm phân biệt?
Lời giải:
+) Nếu phương trình có 1 nghiệm x  0 khi đó  m  0

x  0
Thay m  0 vào phương trình (*) ta có, x  | x | 0 | x | (| x | 1)  0   x  1
 x  1
Do đó, với m  0 thì (*) có 3 nghiệm phân biệt
+) Phương trình có nghiệm khác 0. Khi đó, ta có thể viết (*)  t 2  t  m  0 (1) với t  0
(*) có 2 nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm kép.
Xét phương trình (1), ta có Δ  1  4m
1
(1) có nghiệm kép  Δ  0  1  4m  0  m 
4
1
1

1
1
Khi m  thì phương trình (1) trở thành t 2  t   0  (t  ) 2  0  t 
4
4
2
2
1
1
 (*) có 2 nghiệm phân biệt là x  ; x  
2
2
1
Vậy với m  thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
4
2

Ví dụ 15 [ĐVH]. Cho phương trình mx 2  2(m 2  4m) x  m 2 (m  4)  0
Xác định m để:


a) Phương trình có nghiệm kép. Tính giá trị nghiệm kép đó.
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau.
Lời giải:
2
2
2
Ta có mx  2(m  4m) x  m (m  4)  0
Xét Δ '  (m 2  4m) 2  m 2 (m  4).m  m 4  8m3  16m 2  m 4  4m3  4m3  16m 2  4m 2 (m  4)
Để phương trình có nghiệm thì Δ '  0  m  4

a) Để phương trình có nghiệm kép thì Δ '  0  4m 2 (m  4)  0  m  4
Với m  4 thay vào phương trình đã cho, ta có 4 x 2  0  x  0
b) Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 ( x1  x2 )  m  4

2(m 2  4m)
x

x

 1 2
m
Theo định lý Viet, ta có : 
2
m
(
m

4)
 x1.x2 
 m(m  4)
m


Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau nên 

xx .x x 0 0
1
1

 x2  0  x1

  2(m 2  4m)
 m  4 ( loại )
0

m
Vậy khơng có giá trị của m thỏa mãn điều kiện của bài toán.

2

2


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Đặt   b 2  4ac. Khẳng định nào
sau đây là đúng.
2
2


b 
 
b 
 
A. a  x    2   0.
B. a  x    2   0.
2a  4a 
2a  4a 


2

2


b 
 
b 
 
C. a  x    2   0.
D. a  x    2   0.
2a  4a 
2a  4a 


Câu 2 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

B. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

C. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

D. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

Câu 3 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Hệ thức nào sau đây cho biết phương
trình có nghiệm kép.
A. a  ax  b   0.

B. a  ax  b   0.

2

2

2

2

b 

C. a  ax    0.
2a 


b 

D. a  x    0.
2a 


Câu 4 [ĐVH]: Cho hàm số f ( x) 
đúng.




A. f ( x)  ( x  1) 

C. f ( x)  ( x  1) 






2  1 x2  2








2  1 x  2  3  0. Khẳng định nào sau đây là




2  1 x  2  3 .

2  1 x  2  3 .


B. f ( x)  ( x  1) 

D. f ( x)  ( x  1) 





2  1 x  2  3 .

2  1 x  2  3 .


Câu 5 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2 x  8  0. Khi đó tổng các bình phương hai nghiệm của
phương tình bằng.
A. 17.
B. 20.
C. 12.
D. 24.
Câu 6 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  3 x  5  0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương
trình bằng.
A. 40.
B. 40.
C. 72.
D. 56.
Câu 7 [ĐVH]: Cho phương trình x 4 
bằng.
A. 1.





2  3 x 2  0. Khi đó số các nghiệm của phương trình

B. 2.

C. 3.





Câu 8 [ĐVH]: Cho phương trình 1  2 x 4 
phương trình bằng.
A. 1.

B. 2.



D. 4.



2  3 x 2  3  0. Khi đó số các nghiệm của
C. 3.

D. 4.

Câu 9 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có hai nghiệm khi.


A. m  2.

B. m  2.

C. m  1.

m  2
D. 
.
m  3

Câu 10 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có ba nghiệm khi:
A. m  2.

B. m  1.

C. m  2.

D. m  2.

Câu 11 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có bốn nghiệm
khi:
A. m  1.

B. m  2.

C. m  2 và m  3.

D. m  2.

3
2
5



. Khi đó tập nghiệm của phương trình.
x  2 x 1 x 1
 1 
 1 
1

B. S   ;6  .
C. S   ;3 .
D. S   ; 6  .
 2 
 4 
2


Câu 12 [ĐVH]: Cho phương trình
1 
A. S   ;3 .
4 

Câu 13 [ĐVH]: Nghiệm phương trình  m  3 x 2  3  m  1 x  2m  6  0. Với m  3 tập nghiệm
của phương trình.
 2m  6 
A. S  1;
.
 m3 

 2m  6 
B. S  1;
.

m3 


C. S  1; 2 .

D. S  1; 2 .

Câu 14 [ĐVH]: Cho phương trình x 2   m  2  x  m  1  0. Với giá trị nào của m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
1

m
1

A. m  1.
B. m   .
C.
2.

2
m  0

m  0
D. 
.
m   1

2

Câu 15 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2  m  1 x  2m  1  0. Với giá trị của m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt và tổng của hai nghiệm bằng tổng các bình phương của hai nghiệm.
1

m  0
m


1
A. m   .
B. m  0.
C. 
D. 
.
2.

m  1
2
m  0

2
Câu 16 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ
khi:
  0
A. 
.
P  0

  0
B. 
.

P  0

  0
C. 
.
S  0

  0
D. 
.
S  0

Câu 17 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

  0
A. 
.
P  0

  0

B.  P  0.
S  0


  0

C.  P  0.
S  0


  0
D. 
.
S  0

Câu 18 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

  0
A. 
.
P  0

  0

B.  P  0.
S  0


  0

C.  P  0.
S  0


  0
D. 
.
S  0

Câu 19 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

  0
A. 
.
S  0

  0
B. 
.
S  0

C. P  0.

Câu 20 [ĐVH]: Phương trình x 2  mx  1  0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m  2.
B. m  2.
C. m  2.

D. P  0.

D. m  0.

Câu 21 [ĐVH]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  5;5 để phương trình

x 2  4mx  m 2  0 coa hai nghiệm âm phân biệt ?
A. 5.
B. 6.

C. 10.

D. 11.

Câu 22 [ĐVH]: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2  x  m  0 có hai
nghiệm âm phân biệt là :
 1 
 1 1
 1
A. m    ;0  .
B. m    ;  .
C. m   0; 2  .
D. m   0;  .
 2 
 2 2
 2
Câu 23 [ĐVH]: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2;6 để phương
trình x 2  4mx  m 2  0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng :
A. -3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
Câu 24 [ĐVH]: Giá trị của tham số m để phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  1  0 có hai nghiệm
dương phân biệt là :
A. m   1;1 .

B. m  1;   .

 1


C. m    ;   .
 2


D. m   ; 1 .

Câu 25 [ĐVH]: Phương trình  m  1 x 2  3 x  1  0 có hai nghiệm trái dấu khi :
A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.

D. m  1.

Câu 26 [ĐVH]: Giả sử phương trình x 2   2m  1 x  m 2  2  0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức P  3 x1 x2  5  x1  x2  theo m.
A. P  3m 2  10m  6.
C. P  3m 2  10m  1.

B. P  3m 2  10m  5.
D. P  3m 2  10m  1.

Câu 27 [ĐVH]: Giả sử phương trình x 2  3 x  m  0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính giá
trị biểu thức P  x12 1  x2   x22 1  x1  theo m.
A. P  m  9.

B. P  5m  9.

C. P  m  9.

D. P  5m  9.


Câu 28 [ĐVH]: Giả sử phương trình 2 x 2  4ax  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức

T  x1  x2 .
A. T 

4a 2  2
.
3

B. T  4a 2  2.

C. T 

a2  8
.
2

D. T 

a2  8
.
4

Câu 29 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  px  q  0 trong đó p  0, q  0. Nếu hiệu các nghiệm của
phương trình bằng 1. Khi đó p bằng :

A.

4q  1.

B.

4q  1.

C.  4q  1.

D. q  1.

Câu 30 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 ( m là tham số).
Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P 
A. m  2.

B. m  1.

x1 x2
có giá trị nguyên.
x1  x2

C. m  1.

D. m  2.

Câu 31 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  2  0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức P  x1 x2  2  x1  x2   6 đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. m  .

2

B. m  1.

C. m  2.

D. m  12.

Câu 32 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2  2mx  m 2  2  0 ( m là tham số).
Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  2 x1 x2  x1  x2  4 .
1
A. Pmax  .
2

C. Pmax 

B. Pmax  2.

25
.
4

9
D. Pmax  .
4

Câu 33 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2  m  1 x  2m 2  3m  1  0 ( m là
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  x1  x2  x1 x2 .
1
A. Pmax  .

4

9
C. Pmax  .
8

B. Pmax  1.

D. Pmax 

9
.
16

Câu 34 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 ( m là tham số). Tìm
m để biểu thức P 

1
A. m  .
2

2 x1 x2  3
đạt giá trị lớn nhất.
x  x22  2  x1 x2  1
2
1

B. m  1.

C. m  2.

5
D. m  .
2

Câu 35 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 ( m là tham số). Tìm
giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P 
A. Pmin  2.

2 x1 x2  3
x  x22  2  x1 x2  1
2
1

1
B. Pmin   .
2

C. Pmin  0.

D. Pmin  1.

Câu 36 [ĐVH]: Nếu m  0 và n  0 là các nghiệm của phương trình x 2  mx  n  0 thì tổng m  n
bằng :
1
1
A.  .
B. 1.
C. .
D. 1.

2
2


Câu 37 [ĐVH]: Giả sử các nghiệm của phương trình x 2  px  q  0 là lập phương các nghiệm của
phương trình x 2  mx  n  0. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3

A. p  q  m .
3

B. p  m  3mn.
3

C. p  m  3mn.
3

p
m
D.    .
q
n

Câu 38 [ĐVH]: Cho hai phương trình x 2  2mx  1  0 và x 2  2 x  m  0. Có hai giá trị của m để
phương trình nỳ có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của
hai giá trị m đó.
5
1
1
A. S   .

B. S  1.
C. S   .
D. S  .
4
4
4
Câu 39 [ĐVH]: Cho hai phương trình x 2  mx  2  0 và x 2  2 x  m  0. Có bao nhiêu giá trị của m
để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 40 [ĐVH]: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Biết c và d là hai nghiệm của phương trình
x 2  ax  b  0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  cx  d  0. Tính giá trị của biểu thức
S  a  b  c  d.
1  5
.
A. S  2.
B. S  0.
C. S 
D. S  2.
2

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

03. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 1 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Đặt   b 2  4ac. Khẳng định nào
sau đây là đúng.
2

2


b 
 
b 
 
A. a  x    2   0.
B. a  x    2   0.
2a  4a 
2a  4a 


2
2


b 
 
b 
 
C. a  x    2   0.
D. a  x    2   0.
2a  4a 
2a  4a 


b
c
b

b2
b2 c
2
2
2
HD: Phương trình ax  bx  c  0  x  x   0  x  2.x.  2  2  .
a
a
2a 4a
4a a
2
2
2
2
2

b 
b
c b  4ac

b 

b 
 


x   2  


x




0

a
x




  2   0.
2
2
2
2a 
4a a
4a
4a
2a  4a
2a  4a 



Chọn C.
Câu 2 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.
B. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.
C. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

D. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   0.

HD: Vì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0  Q  x  x1  x  x2   0 .
Khi đó ax 2  bx  c  Q  x  x1  x  x2   ax 2  bx  c  Q.x 2   x1  x2  x  x1 x2  Q  a . Chọn B.


Câu 3 [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0. Hệ thức nào sau đây cho biết phương
trình có nghiệm kép.
2
2
A. a  ax  b   0.
B. a  ax  b   0.
2

2

b 

C. a  ax    0.
2a 


b 

D. a  x    0.
2a 


2


b 
 
HD: Ta có ax  bx  c  0  a  x    2   0 mà phương trình có nghiệm kép nên   0 .
2a  4a 

2

2

b 

Do đó ax  bx  c  0  a  x    0 . Chọn D.
2a 

2

Câu 4 [ĐVH]: Cho hàm số f ( x) 
đúng.








2  1 x2  2





2  1 x  2  3  0. Khẳng định nào sau đây là

B. f ( x)  ( x  1)  2  1 x  2  3 .



D. f ( x)  ( x  1)  2  1 x  2  3 .



HD: Ta thấy  2  1  2  2  1  2  3  0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x  1 .
Khi đó  2  1 x  2  2  1 x  2  3  0   x  1  2  1 x  2  3  0 . Chọn A.


A. f ( x)  ( x  1) 

C. f ( x)  ( x  1) 


2  1 x  2  3 .

2  1 x  2  3 .


2

Câu 5 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2 x  8  0. Khi đó tổng các bình phương hai nghiệm của

phương tình bằng.
A. 17.
B. 20.
C. 12.
D. 24.
x


2

2
HD: Phương trình x 2  2 x  8  0   x  2  x  4   0  
  x 2   2   42  20 . Chọn B.
x  4
Câu 6 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  3 x  5  0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương
trình bằng.
A. 40.
B. 40.
C. 72.
D. 56.
2
2
HD: Phương trình x  3 x  5  0   , có    3  4.  5   29  0    có hai nghiệm phân biệt

x1 , x2
x  x  3
2
Theo hệ thức Viet, ta có  1 2
 x13  x23   x1  x2   x1  x2   3 x1 x2   3. 32  3.  5    72 .



 x1 x2  5
Chọn C.
Câu 7 [ĐVH]: Cho phương trình x 4 
bằng.
A. 1.
HD: x 4 

B. 2.





2  3 x2  0  x2







2  3 x 2  0. Khi đó số các nghiệm của phương trình

C. 3.
D. 4.
x  0
x  0
. Chọn B.
x2  2  3  0   2


 x   3  2
x  3  2







Câu 8 [ĐVH]: Cho phương trình 1  2 x 4 





2  3 x 2  3  0. Khi đó số các nghiệm của

phương trình bằng.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
HD: Đặt t  x 2 , phương trình đã cho trở thành 1  2 t 2 



 

D. 4.
2  3 t  3  0   .




Có   



2 3



2





 4 3 1  2  0    có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 .








t1  t2   2  3 1  2

 t1 , t2 trái dấu nhau nên   có duy nhất một

Theo hệ thức Viet, ta có 
t1t2   3 1  2

nghiệm dương. Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Chọn B.



Câu 9 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có hai nghiệm khi.
A. m  2.

B. m  2.

C. m  1.

HD: Phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0  x 4  x 2  2  mx 2  m  0

m  2
D. 
.
m  3

 x2  1
.
  x  1 x  2   m  x  1   x  1 x  m  2   0   2
 x  m  2  
Yêu cầu bài toán trở thành   có nghiệm duy nhất bằng 1 hoặc vô nghiệm.
2

2

2

2

2

 x2  m  2  1
m  3
Khi và chỉ khi  2

. Chọn D.
m

2
x

m

2

0


Câu 10 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có ba nghiệm khi:
A. m  2.
B. m  1.
C. m  2.
4
2
4

2
HD: Phương trình x   m  1 x  m  2  0  x  x  2  mx 2  m  0

D. m  2.

 x2  1
.
  x  1 x  2   m  x  1   x  1 x  m  2   0   2
 x  m  2  
Yêu cầu bài toán trở thành   có nghiệm duy nhất khác 1  m  2  0  m  2 . Chọn A.
2

2

2

2

2

Câu 11 [ĐVH]: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Khi đó phương trình có bốn nghiệm
khi:
A. m  1.
B. m  2.
C. m  2 và m  3.
D. m  2.
2
4
2
2

HD: Đặt t  x  0 , khi đó phương trình x   m  1 x  m  2  0  t   m  1 t  m  2  0 .

 x2  1
t  1
.
 t  t  2  mt  m  0   t  1 t  2   m  t  1  
 2
t  m  2
 x  m  2  
2

m  2  1
m  2
Phương trình đã cho có bốn nghiệm khi   có hai nghiệm khác 1  
. Chọn C.

m  2  0
m  3
3
2
5


. Khi đó tập nghiệm của phương trình.
x  2 x 1 x 1
1 
 1 
 1 
1


A. S   ;3 .
B. S   ;6  .
C. S   ;3 .
D. S   ; 6  .
4 
 2 
 4 
2

3  x  1  2  x  2 
x  2
3
2
5
5
HD: Điều kiện: 
. Phương trình
.




x  2 x 1 x 1
x 1
 x  1 x  2 
 x  1

Câu 12 [ĐVH]: Cho phương trình



x7
5

  x  7  x  1  5  x  1 x  2   5  x 2  x  2   x 2  6 x  7 .
 x  1 x  2  x  1

x  3
 1 
 4 x  11x  3  0   4 x  1 x  3  0  
 S   ;3 . Chọn C.
1
x  
 4 

4
2


Câu 13 [ĐVH]: Nghiệm phương trình  m  3 x 2  3  m  1 x  2m  6  0. Với m  3 tập nghiệm
của phương trình.
 2m  6 
A. S  1;
.
 m3 

 2m  6 
B. S  1;
C. S  1; 2 .
D. S  1; 2 .

.
m3 

c 2m  6
HD: Ta dễ thấy a  b  c  0  x  1; x  
là nghiệm của phương trình. Chọn A.
a m3


Câu 14 [ĐVH]: Cho phương trình x 2   m  2  x  m  1  0. Với giá trị nào của m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
1

m
1
A. m  1.
B. m   .
C. 
2.

2
m  0

m  0
D. 
.
m   1

2
2

2
2
HD: Xét phương trình x   m  2  x  m  1  0  x  mx  2 x  m  1  0  x  2 x  1  m  x  1 .

x  1
2
.
  x  1  m  x  1   x  1 x  m  1  0   1
x

m

1
 2
1  m  1
 x1  x2
m  0


Yêu cầu bài toán trở thành   2 x1  x2    2  m  1  
1 . Chọn D.

m



 x  2 x
 1  2  m  1

2

2
 1

Câu 15 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2  m  1 x  2m  1  0. Với giá trị của m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt và tổng của hai nghiệm bằng tổng các bình phương của hai nghiệm.
1

m  0
m
1

A. m   .
B. m  0.
C.
D. 
.
2.

m  1
2
m  0

2
2
2
HD: Xét phương trình x  2  m  1 x  2m  1  0  x  2mx  2 x  2m  1  0 .

x  1
2
.

  x  1  2m  x  1   x  1 x  2m  1  0   1
 x2  2m  1
1  2m  1
 x1  x2
1
Yêu cầu bài toán trở thành 
. Chọn A.


2  m 
2
2
2
2
 x1  x2  x1  x2
1  2m  1  1   2m  1
Câu 16 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ
khi:
  0
A. 
.
P  0

  0
B. 
C.
.
P  0
HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0.
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .

  0
.

S  0

  0
D. 
.
S  0

Do x1 và x2 cùng dấu nên x1 x2  0 hay P  0 . Chọn A.
Câu 17 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

  0
A. 
.
P  0

  0

B.  P  0.
S  0


  0

C.  P  0.
S  0


  0
D. 
.
S  0

HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 .
Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2

x  x  0
S  0
Do x1 và x2 là hai nghiệm âm nên  1 2
hay 
. Chọn C.
P  0
 x1 x2  0
Câu 18 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

  0
A. 
.
P  0

  0

B.  P  0.
S  0


  0


C.  P  0.
S  0


  0
D. 
.
S  0


HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0.
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2

x  x  0
S  0
Do x1 và x2 là hai nghiệm dương nên  1 2
hay 
. Chọn B.
P  0
 x1 x2  0
Câu 19 [ĐVH]: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

  0
  0
A. 
B. 
C. P  0.
.
.

S  0
S  0
HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2

D. P  0.

Do x1 và x2 là hai nghiệm trái dấu nên x1 x2  0 hay P  0 .
c
 0  ac  0    b 2  4ac  0 .
a
Do đó, phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P  0 . Chọn C.

Mặt khác, P  0 

Câu 20 [ĐVH]: Phương trình x 2  mx  1  0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m  2.
B. m  2.
C. m  2.
D. m  0.
2
m  4  0
  0


 m   2. Chọn A.
HD: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi  S  0  m  0
P  0
1  0



Câu 21 [ĐVH]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  5;5 để phương trình

x 2  4mx  m 2  0 có hai nghiệm âm phân biệt ?
A. 5.
B. 6.

C. 10.
D. 11.
2
3m  0
   0
m  0


HD: Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi  S  0   4m  0  
m0
m  0
P  0
m 2  0



m  
Do 

 m  1; 2;3; 4;5 
 Có 5 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
m    5;5
Câu 22 [ĐVH]: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2  x  m  0 có hai

nghiệm âm phân biệt là :
 1 
 1 1
 1
A. m    ;0  .
B. m    ;  .
C. m   0; 2  .
D. m   0;  .
 2 
 2 2
 2
m  0
a  0

2
  0
1  4m  0
1

 1
 0  m  . Chọn D.
HD: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 
2
S  0
  0
m
 P  0

1  0
Câu 23 [ĐVH]: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2;6 để phương

trình x 2  4mx  m 2  0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng :
A. -3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
2
3m  0
   0


HD: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi  S  0   4m  0
P  0
m 2  0




m  0
m    2;6

 m  0 
 S   2; 1 . Do đó, tổng các phần tử trong S bằng  3. Chọn A.
m
m  0
Câu 24 [ĐVH]: Giá trị của tham số m để phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  1  0 có hai nghiệm
dương phân biệt là :
A. m   1;1 .

 1


C. m    ;   .
 2


B. m  1;   .

D. m   ; 1 .

   2m  2  0
m  1

HD: PT có hai nghiệm dương phân biệt   S  2  m  1  0  m  1  m  1. Chọn B.


2
m  1
P  m 1  0
  m  1

Câu 25 [ĐVH]: Phương trình  m  1 x 2  3 x  1  0 có hai nghiệm trái dấu khi :
A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.

D. m  1.

m  1  0
a  0


  1
 m  1 . Chọn A.
HD: Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi 
P  0
 m  1  0
Câu 26 [ĐVH]: Giả sử phương trình x 2   2m  1 x  m 2  2  0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức P  3 x1 x2  5  x1  x2  theo m.
A. P  3m 2  10m  6.
C. P  3m 2  10m  1.

B. P  3m 2  10m  5.
D. P  3m 2  10m  1.

 x1 x2  m 2  2
HD: Theo định lý Viet, ta có 
.
 x1  x2  2m  1

Thay vào P, ta được P  3  m 2  2   5  2m  1  3m 2  10m  1. Chọn C.
Câu 27 [ĐVH]: Giả sử phương trình x 2  3 x  m  0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính giá
trị biểu thức P  x12 1  x2   x22 1  x1  theo m.

A. P  m  9.
B. P  5m  9.
C. P  m  9.
2
2
2

2
2
HD: Ta có P  x1 1  x2   x2 1  x1   x1  x1 .x2  x2  x22 .x1

D. P  5m  9.

 x12  x22  x1.x2 ( x1  x2 )   x1  x2   2 x1.x2  x1.x2  x1  x2  .
2

x  x  3
Theo định lý Viet, ta có  1 2
.
 x1.x2  m
Thay vào P, ta được P  32  2   m     m  .3  5m  9. Chọn B.
Câu 28 [ĐVH]: Giả sử phương trình 2 x 2  4ax  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức

T  x1  x2 .
a2  8
4a 2  2
.
.
B. T  4a 2  2.
C. T 
2
3
HD: Vì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2  4ax  1  0.

A. T 

D. T 

1
 4a 
Theo định lý Viet, ta có x1  x2       2a và x1 x2   .
2
 2 

(1).

Ta có T  x1  x2  T 2   x1  x2    x1  x2   4 x1 x2 .

(2).

2

2

a2  8
.
4


2
 1
Từ (1) và (2) suy ra T 2   2a   4.     4a 2  2  T  4a 2  2  0. Chọn B.
 2

Câu 29 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  px  q  0 trong đó p  0, q  0. Nếu hiệu các nghiệm của
phương trình bằng 1. Khi đó p bằng :
A.

4q  1.

B.

4q  1.

C.  4q  1.

D. q  1.

HD: Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x 2  px  q  0.

x  x   p  0
Theo định lý Viet, ta có  1 2
(vì p, q  0 ).
 x1 x2  q  0

(1)

Từ giả thiết, ta có x1  x2  1   x1  x2   1   x1  x2   4 x1 x2  1.
2

2

(2 )

Từ (1), (2) suy ra p 2  4q  1  p 2  4q  1  p  4q  1  0. Chọn A.
Câu 30 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 ( m là tham số).
Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P 

A. m  2.

B. m  1.

HD: Ta có    2m  1  4  m  1  4m  3 .
2

x1 x2
có giá trị nguyên.
x1  x2
C. m  1.

D. m  2.

2

3
Để phương trình có hai nghiệm    0  m  .
4
 x1  x2  2m  1
Theo định lý Viet, ta có 
.
2
x
x

m

1
 1 2

Khi đó P 

x1 x2
m 2  1 2m  1
5
5



 4 P  2m  1 
.
x1  x2 2m  1
4
4  2m  1
2m  1

3
5
nên 2m  1  . Để P   thì ta phải có  2m  1 là ước của 5
4
2
Suy ra 2m  1  5  m  2 . Chọn D.

Do m 

Câu 31 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  2  0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức P  x1 x2  2  x1  x2   6 đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. m  .

2

B. m  1.

C. m  2.

D. m  12.

HD: Ta có    m  1   m 2  2   2m  1 .
2

1
Để phương trình có hai nghiệm    0  m  .
2
 x1  x2  2m  2
Theo định lý Viet, ta có 
.
2
 x1.x2  m  2

  .

Khi đó P = x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) - 6 = m 2 + 2 - 2 (2m + 2) - 6 = (m - 2)2 -12 ³ -12.
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m  2. Chọn C.
Câu 32 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2  2mx  m 2  2  0 ( m là tham số).
Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  2 x1 x2  x1  x2  4 .
1
A. Pmax  .
2

B. Pmax  2.

C. Pmax 

25
.
4

9
D. Pmax  .
4


HD: Ta có   m 2  2  m 2  2    m 2  4 .
Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi   4  m 2  0   2  m  2.

  .

 x1  x2   m

Theo định lý Viet, ta có 
m2  2 .
x
x

 1 2

2
Khi đó A  2 x1 x2  x1  x2  4  m 2  m  6   m  2  m  3    m  2  m  3
2

1  25 25

(do  2  m  2 ).
 m  m  6  m   

2
4
4

1
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m  . Chọn C.
2
2

Câu 33 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2  m  1 x  2m 2  3m  1  0 ( m là
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  x1  x2  x1 x2 .
1
A. Pmax  .
4

9
C. Pmax  .
8

B. Pmax  1.

D. Pmax 

HD: Ta có    m  1   2m 2  3m  1   m 2  m  m 1  m  .

9
.
16

2

Để phương trình có hai nghiệm    0  0  m  1.

 x1  x2  2  m  1
Theo định lý Viet, ta có 
.
2
 x1.x2  2m  3m  1
2

m 1
1
9

Khi đó P  x1  x2  x1.x2  2  m  1  2m  3m  1  2 m    2  m    .
2 2
4  16

2

2

2

2

1
1 3
1
9
1
9


Vì 0  m  1 
   m   
  m    
  m     0.
4
4 4
4  16
4  16


2
2
2
9 
1
9
1  9
1 9



Do đó P  2  m   
 2   m      2 m    .


4  16
4  8
4 8


 16 
1
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m  . Chọn C.
4
Câu 34 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 ( m là tham số). Tìm
2 x1 x2  3
m để biểu thức P  2
đạt giá trị lớn nhất.
x1  x22  2  x1 x2  1
1
A. m  .
B. m  1.
C. m  2.
2
2
HD: Ta có   m 2  4  m  1   m  2   0 , với mọi m .

Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
x  x  m
Theo định lý Viet, ta có  1 2
.

 x1 x2  m  1
Suy ra x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  m 2  2  m  1  m 2  2m  2 .
2

Khi đó P 

2 x1 x2  3
2m  1
 2
.
2
x  x2  2( x1 x2  1) m  2
2
1

 m  1  0, m  .
2m  1
2m  1  m 2  2
Suy ra P  1  2
1 
 2
2
m 2
m 2
m 2
Do đó P  1, m  . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m  1. Chọn B.
2

5
D. m  .

2


Câu 35 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 ( m là tham số).
2 x1 x2  3
Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  2
x1  x22  2  x1 x2  1
1
B. Pmin   .
C. Pmin  0.
2
2
HD: Ta có   m 2  4  m  1   m  2   0 , với mọi m .

A. Pmin  2.

D. Pmin  1.

Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
x  x  m
Theo định lý Viet, ta có  1 2
.
 x1 x2  m  1
Suy ra x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  m 2  2  m  1  m 2  2m  2 .
2

Khi đó P 

2 x1 x2  3
2m  1

 2
.
2
x  x2  2  x1 x2  1 m  2
2
1

2
1 2m  1 1 2  2m  1  m  2  m  2 
Suy ra P   2
 

 0, m  .
2 m 2 2
2  m2  2 
2  m2  2 
2

1
Do đó P   , m  . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m   2. Chọn B.
2

Câu 36 [ĐVH]: Nếu m  0 và n  0 là các nghiệm của phương trình x 2  mx  n  0 thì tổng m  n
bằng :
1
1
A.  .
B. 1.
C. .
D. 1.

2
2
m  n   m
 n   2m
m  1
HD: Theo định lý Viet, ta có 

. Chọn B.
 n  0  
m.n  n
m  1
n   2
Câu 37 [ĐVH]: Giả sử các nghiệm của phương trình x 2  px  q  0 là lập phương các nghiệm của
phương trình x 2  mx  n  0. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3

A. p  q  m .
3

B. p  m  3mn.
3

C. p  m  3mn.
3

p
m
D.    .
q
n

HD: Giả sử phương trình x 2  px  q  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Và phương trình x 2  mx  n  0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 .

 x1  x33
2
Theo bài ra, ta có 
 x1  x2  x33  x43   x3  x4   x3  x4   3 x3 x4  .
3


 x2  x4

  .

 x1  x2   p

Theo định lý Viet, ta có  x3  x4   m , thay vào   , ta được  p   m  m 2  3n  .
x x  n
 3 4
2
Vậy p  m  m  3n   m3  3mn. Chọn C.
Câu 38 [ĐVH]: Cho hai phương trình x 2  2mx  1  0 và x 2  2 x  m  0. Có hai giá trị của m để
phương trình nỳ có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của
hai giá trị m đó.
5
1
1
A. S   .
B. S  1.

C. S   .
D. S  .
4
4
4
2
HD: Gọi x0 là nghiệm của phương trình x  2mx  1  0. Điều kiện: x0  0.


Suy ra

1
là nghiệm của phương trình x 2  2 x  m  0.
x0

 x02  2mx0  1  0
 x02  2mx0  1  0.

2
 2
Khi đó, ta có hệ  1 
2
    m  0
mx0  2 x0  1  0.
x
x
0
0





1
 2

m  1
Lấy 1   2  , ta được x02 1  m   2 x0  m  1  0   m  1  x02  2 x0   0  
.
 x0   2
5
2
Với x0   2 thay vào 1 , ta được   2   2m.   2   1  0  m   .
4
5
1
Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m1  m2  1    . Chọn C.
4
4
Câu 39 [ĐVH]: Cho hai phương trình x 2  mx  2  0 và x 2  2 x  m  0. Có bao nhiêu giá trị của m
để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
HD: Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x  mx  2  0.
Suy ra 3  x0 là một nghiệm của phương trình x 2  2 x  m  0.
 x02  mx0  2  0
 x02  mx0  2  0.


Khi đó, ta có hệ 
2
2
m  x0  8 x0  15.
 3  x0   2  3  x0   m  0

1
 2

 x0  2
. Chọn D.
Thay  2  vào 1 , ta được x   x  8 x0  15  x0  2  0  
x  7  3 5
 0
2
2
0

2
0

Câu 40 [ĐVH]: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Biết c và d là hai nghiệm của phương trình
x 2  ax  b  0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  cx  d  0. Tính giá trị của biểu thức
S  a  b  c  d.
1  5
.
A. S  2.
B. S  0.
C. S 
D. S  2.

2
HD: Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x 2  ax  b  0 suy ra c  d   a.
Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  cx  d  0 suy ra a  b   c.

c  d   a
a  c   d
Khi đó, ta có hệ 

 b  d.
a  b   c
a  c   b
2
a  c
c  ac  b  0
Lại có  2

 c2  a2  b  d  0  a2  c2  
.
a  ca  d  0
a   c

 Với a   c thì từ c  d   a 
 d  0 : mâu thuẫn giả thiết.
 Với a  c thì từ c  d   a 
 d   2c và từ a  b   c 
 b   2c.

c  0
ac
Ta có c 2  ac  b  0 

2c 2  2c  0  
b   2c
c  1
Khi đó S  a  b  c  d  c  2c  c  2c   2c   2.1   2. Chọn A.