3 PHƯƠNG TRÌNH – hệ PHƯƠNG TRÌNH ngọc huyền LB image marked

Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

Chủ đề 3

PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề cần nắm:
1. Khái niệm phương
trình
2. Phương trình bậc
nhất và quy về bậc nhất
3. Phương trình bậc
nhất và quy về bậc hai
4. Hệ phương trình

Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách
chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách
giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình
và hệ phương trình bậc hai.
Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hồn chỉnh những kiến thức ở THCS,
do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm:
1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có
tham số.
2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại
1, loại 2 và hệ đẳng cấp.


§1. Khái niệm phương trình
A. Lý thuyết
I. Phương trình một ẩn

1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu
thức trong phương trình đều có nghĩa.
2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai
phương trình vơ nghiệm là tương đương.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình f  x   g  x  đều là nghiệm của phương
trình f1  x   g1  x  thì phương trình f1  x   g1  x  được gọi là phương trình hệ
quả của phương trình f  x   g  x  . Ta viết: f  x   g  x   f1  x   g1  x  .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của phương
trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

LOVEBOOK.VN | 1


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

II. Các phép biến đổi phương trình
1. Nếu hàm h  x  xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f  x  và g  x  đều có
nghĩa thì: f  x   g  x   f  x   h  x   g  x   h  x  .
2. Nếu hàm h  x  xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f  x  và g  x  đều có
nghĩa và h  x   0, x thì: f  x   g  x   f  x  .h  x   g  x  .h  x  .
3. Đối với bất kỳ các hàm f  x  và g  x  và n là số tự nhiên ta có:

f  x   g  x    f  x     g  x   .
n

n

Đặc biệt:

+ Nếu n là số tự nhiên lẻ thì: f  x   g  x    f  x     g  x  
n

+ f  x   0; g  x   0 thì: f  x   g  x    f  x     g  x  
2

n

2

 f  x  g  x
+ f  x  g  x  
 f  x    g  x 

B. Các dạng tốn điển hình
Dạng 1

Tìm điều kiện của phương trình
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau:

x  0
A. 
x  2

B. x  2

x2  1
 3x .
x2

C. x  0

D. x  2

Lời giải

x  2
Để phương trình có nghĩa ta phải có: 
.
x  0
Đáp án A.

STUDY TIP
+ Điều kiện để

A

có nghĩa là A  0
+ Điều kiện để

f  x
g  x

LOVEBOOK.VN | 2


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  7

B. 2  x  7

The Best or Nothing

x2  1
x2 
là:
7x

C. 2  x  7

D. x  2

Lời giải

x  2  0
x  2
Phương trình xác định khi: 
.

7  x  0
x  7
Đáp án C.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình:

A. x  0

x  0
B. 

x  4

x 1
 0.
x 4

x  0
C. 
 x  4

D. x  0

Lời giải

x  0
x  0
 x  0
 x  0
Điều kiện: 



.
 x  4
x  4
 x  4  0
 x  4
Đáp án B.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình

m  1
A. 
m  3

x2 1
 0 xác định trên  1;1 .
xm2

m  1
B. 
m  3

m  1
C. 
m  3

D. 1  m  3

Lời giải
Phương trình xác định khi: x  m  2 .
Khi đó để phương trình xác định trên  1;1 thì:

 m  2  1  m  1
m  2   1;1  

m  2  1
m  3

LOVEBOOK.VN | 3

Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Đáp án C.
Ví dụ 5: Cho phương trình:

 x  2m  1 

1
 0 . Tìm m để phương
xm2

trình xác định trên  0;1 .
A. 1  m  2

B. 1  m  2

C. 1  m  2

D. 1  m  2

Lời giải
STUDY TIP

Điều kiện xác định của phương trình là:

Điều kiện ở biểu thức
thứ

2
chỉ
là:
x  m  2  0 vì căn

  x  2m  1  0
 x  2m  1

 m  2  x  2m  1

x  m  2  0
x  m  2

thức nằm ở mẫu.

Hay phương trình xác định trên  m  2; 2m  1 do đó điều kiện để phương trình
xác định trên  0;1 là:  0;1   m  2; 2m  1

m  2
hay 1  m  2 .
 m  2  0  1  2m  1  
m  1
Đáp án B.
Dạng 2

Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x 2  4  0 ?
A.  2  x    x 2  2 x  1  0
C.

x2  3  1

B.  x  2   x 2  3 x  2   0
D. x 2  4 x  4  0
Lời giải

Ta có phương trình: x 2  4  0  x  2 do đó tập nghiệm của phương trình đã
STUDY TIP
Hai phương trình
được gọi là tương
đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm.

cho là: S0  2; 2 . Xét các đáp án:
- Đáp án A: Giải phương trình:  2  x    x 2  2 x  1  0

LOVEBOOK.VN | 4


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

 x  2
x  2  0
 2

 x  2 x  1  0
x  1 2





Do đó tập nghiệm của phương trình là: S1  2;1  2;1  2  S0
STUDY TIP
f  x  g  x
2
 f  x   g  x 

 g  x   0

x  2
- Đáp án B: Giải phương trình:  x  2   x 2  3 x  2   0   x  1
 x  2
Do đó tập nghiệm của phương trình là: S 2  2; 1; 2  S0 .
- Đáp án C: Giải phương trình:

x 2  3  1  x 2  3  1  x  2

Do đó tập nghiệm S3  S0 nên chọn đáp án C.
- Đáp án D: Có S 4  2  S0 .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x 2  3 x  0 ?
1
1
 3x 
x 3
x 3

A. x 2  x  2  3 x  x  2

B. x 2 

C. x 2 x  3  3 x x  3

D. x 2  x 2  1  3 x  x 2  1
Lời giải

x  0
Giải phương trình đã cho: x 2  3 x  0  
 Tập nghiệm là S0  0;3 .
x  3
Xét các đáp án:
- Đáp án A:

 x  0
2

x

3
x

x 2  x  2  3x  x  2  
   x  3  x  3  S1  3  S0
x  2
x  2

- Đáp án B:

LOVEBOOK.VN | 5


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

 x  0
2

x

3
x
1
1

x2 
 3x 

   x  3  x  0  S 2  0  S0
x 3
x 3
x  3
x  3


- Đáp án C:

x2

  x 2  3x
 x  0


x  3  3 x x  3    x  3  0    x  3  x  3  S3  3  S0 .

x  3

x  3

- Đáp án D:

x  0
x 2  x 2  1  3x  x 2  1  
 S 4  0;3  S0 .
x  3
Đáp án D.
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x  x  2  x 2  3 x  x 2  x  2
B. 3 x  x  2  x 2  x  2  3 x  x 2
C.
D.

x  2  3x  x  2  9 x 2
2x  3
2
 x  1  2 x  3   x  1
x 1

Đáp án A.
Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B. x 2  1  0 

x 1  2 x 1  x 1  0

C. x  2  x  1   x  2    x  1
2

2

x 1
0
x 1

D. x 2  1  x  1

Lời giải
Chọn đáp án D vì x 2  1  x  1
LOVEBOOK.VN | 6


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

Cịn các khẳng định khác đều đúng.

Đáp án D.
Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. 2 x  x  3  1  x  3 và 2 x  1
B.
C.

x x 1
 0 và x  0
x 1

x  1  2  x và x  1   2  x 

2

D. x  x  2  1  x  2 và x  1
Lời giải
Xét các đáp án:

x  3
- Đáp án A: + Phương trình 2 x  x  3  1  x  3  
 x 
2 x  1
+ Phương trình 2 x  1  x 

1
2

Do đó cặp phương trình ở đáp án A khơng tương đương vì khơng cùng tập
nghiệm.
- Đáp án B: + Phương trình

x 1  0
x x 1
0
 x0
x 1
x  0

+ Phương trình x  0
STUDY TIP

 A  B2
AB
B  0

Vậy chọn đáp án B.
- Đáp án C: + Phương trình

 x  1   2  x 2
x 1  2  x  
2  x  0

x  2
 x2  5x  3  0
5  13



5  13  x 
2

x  2
x 

2

LOVEBOOK.VN | 7


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

+ Phương trình x  1   2  x   x 2  5 x  3  0  x 
2

5  13
2

Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.

x  2  0
- Đáp án D: x  x  2  1  x  2  
 Tập nghiệm rỗng.
x  1
Do đó phương trình x  x  2  1  x  2 và x  1 không phải là hai phương
trình tương đương.
Đáp án B.
Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương:

x 2  x  2  0 (1) và x 2  2  m  1 x  m 2  m  2  0 (2)

A. m  3

B. m  3

C. m  6

D. m  6

Lời giải
Dễ thấy phương trình (1) vơ nghiệm.
STUDY TIP
Hai phương trình vơ
nghiệm thì tương
đương với nhau.

Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vơ nghiệm, tức
là:  '   m  1   m 2  m  2   0  m  3  0  m  3 .
2

Đáp án A.
Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây khơng tương đương với nhau:
A.

x  1  x và  2 x  1 x  1  x  2 x  1

B.

 x  1 2  x   0

C.

D.

2x

 x  1

2



và 1  x . 2  x  0

2x
x2
 x2
và
x 1
x 1

x 2  x  2   0 và x . x  2  0
Lời giải

Ta xét các đáp án:
LOVEBOOK.VN | 8


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x  1
Khi đó 2 x  1  0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 x  1 nên
hai phương trình tương đương.
- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là 1; 2 nên tương đương.
STUDY TIP
Điều
kiện
phương

của
trình

f 2  x  .g  x   0 là:
 f  x  0

 g  x   0

- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x  1 nên ta có thể nhận phương
trình thứ nhất với x  1  0 ta được phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương.
- Đáp án D: Phương trình

x 2  x  2   0 có 2 nghiệm x  2 và x  0 thỏa mãn

x  0
điều kiện 
.
x  2
Cịn phương trình x . x  2  0 chỉ có nghiệm x  2 vì x  0 không thỏa mãn

điều kiện x  2 .
Vậy hai phương trình khơng cùng tập nghiệm nên khơng tương đương.
Đáp án D.
Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:

2 x 2  mx  2  0 và 2 x3   m  4  x 2  2  m  1 x  4  0 (2)
A. m  2

B. m  3

C. m  2

D. m  3

Lời giải

 x  2
Ta có: Phương trình (2)   x  2   2 x 2  mx  2   0   2
 2 x  mx  2  0
Do hai phương trình tương đương nên x  2 cũng là nghiệm của phương trình
(1), thay vào ta có m  3 . Khi m  3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm
nên tương đương.
Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 9


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:

mx 2  2  m  1 x  m  2  0 (1) và  m  2  x 2  3 x  m 2  15  0 (2)
A. m  5

B. m  5; m  4

C. m  4

D. m  5

Lời giải

x  1
Phương trình (1)   x  1 mx  m  2   0  
 mx  m  2  0
Do 2 phương trình tương đương nên x  1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay
x  1 vào phương trình (2) ta có:

m  4
m  2  3  m 2  15  0  m 2  m  20  0  
 m  5
+ Với m  4 :
x  1
 1
Phương trình (1) trở thành: 4 x  6 x  2  0  
 S1  1; 
1
x 

 2

2
2

x  1
 1
Phương trình (2) trở thành 2 x  3 x  1  0  
 S 2  1;   S1
1
x 
 2

2
2

STUDY TIP
Với câu hỏi trắc
nghiệm ta có thể thử
từng đáp án.

Vậy hai phương trình tương đương.
+ Với m  5 :

7

x
7 

Phương trình (1) trở thành: 5 x  12 x  7  0 

5  T1   ;1

5 
x  1
2

10

x
 10 

;1
Phương trình (2) trở thành: 7 x  3 x  10  0 
7  T2  

7 

x  1
2

Vậy T1  T2  Hai phương trình khơng tương đương.
Vậy m  4 thỏa mãn đề bài.

LOVEBOOK.VN | 10


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

Đáp án C.
Ví dụ 10: Cho phương trình 2 x 2  x  0 . Trong các phương trình sau đây
phương trình nào khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
A. 2 x 

x
0
1 x

B. 4 x3  x  0

C.  2 x 2  x    x  5   0
2

2

D. 2 x3  x 2  x  0

Lời giải

STUDY TIP
Phương trình (2) là
phương trình hệ quả
của phương trình (1)
nếu tập nghiệm của
phương trình (2)
chứa tập nghiệm của
phương trình (1).

x  0

 1
Giải phương trình 2 x  x  0  
 Tập nghiệm S0  0; 
1
x 
 2

2
2

Ta xét các đáp án:
x  1
x  0

1  x  0
x
 x  0
0
 

- Đáp án A: 2 x 
x  1
1 x
1
2 x 1  x   x  0
 x 

2
 
2

 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S1  0;   S0
 2

STUDY TIP
Phương

f

2

trình

 x  g  x  0
2

 f  x   0

 g  x   0

Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
x  0

 1 1 
- Đáp án B: 4 x  x  0  
1  S 2  0; ;   S 2  S0
 2 2
 x   2
3

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án C:  2 x  x    x  5 
2

2

2

2 x 2  x  0
2 x 2  x  0
vô nghiệm
0

x  5  0
x  5

 S3    S 2  S 0
Vậy phương trình ở đáp án C khơng là phương trình hệ quả của phương trình đã
cho.
LOVEBOOK.VN | 11


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

1

- Đáp án D: Giải phương trình ta có: S 4  1;0;   S0
2



Đáp án C.
Dạng 3

Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số
- Kiến thức cần nhớ
+ f  x   0  Đồ thị của hàm số y  f  x  nằm phía trên trục hồnh.
+ f  x   0  Đồ thị của hàm số y  f  x  nằm phía dưới trục hồnh.
+ f  x   g  x   Đồ thị hàm số y  f  x  nằm trên đồ thị hàm số: y  g  x  .

Ví dụ 1: Cho parabol y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

f  x  3

có điều kiện xác định là:

x  1
A. 
x  4

x  1
B. 
x  4

C. 1  x  4

D. x  

Lời giải

STUDY TIP
Đồ thị y  f  x  mà

f  x   0 là những giá

Điều kiện: f  x   0 nhìn đồ thị ta thấy: 1  x  4 thì đồ thị nằm phía trên trục
hồnh hay hàm cho f  x   0 .
Đáp án C.

trị x làm cho đồ thị nằm
phía trên trục hồnh.

LOVEBOOK.VN | 12


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. Phương trình

f  x   0 xác định trên khoảng  1; 4  .

B. Phương trình

f  x   0 xác định trên đoạn  2; 4 .

C. Phương trình

D. Phương trình

1
f  x
1
f  x

 0 xác định trên khoảng  1; 2  .
xác định trên khoảng  0; 4  .

Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy f  x   0  x   1; 2 
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình
f  x    x  1  0 xác định trên tập nào sau đây?

A. 1;3

B.  2;1

C.  2;3

D.  0;  

Lời giải
Ta thấy đường thẳng: y  x  1 đi qua các điểm  2; 1 ; 1; 2  và  3; 4  .
Từ điều kiện của phương trình là: f  x   x  1 ta thấy trên đoạn 1;3 .
Đồ thị y  f  x  nằm phía trên đường thẳng y  x  1 nên với x  1;3 thì

f  x   x  1.
Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 13


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Ví dụ 4: Cho parabol y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định
của phương trình
A. x   0; 4 \ 2

2  f  x   0 là:
B. x   0; 4

C. x   2; 2

D. x   0; 2

Lời giải
Đồ thị y  f  x  như hình bên.
Khi đó điều kiện: 2  f  x   0  f  x   2  x   0; 4 .
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hàm y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ
nhất của m để phương trình
A. 5

m  f  x   0 xác định trên  1;1 .

B. 1

C. 3

D. 4

Lời giải
Đồ thị y  f  x  như hình vẽ:

 m  f  x  x   1;1  m  3  m  3 .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 14


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 82
Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình:
2x
3
 1 2
là:
2
x 1
x 1

A. D   \ 1

B. D   \ 1

C. D   \ 1

D. D  

The Best or Nothing

1

C.  ;  
2


Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình:

x  2  6  2 x  0 là:
A.  2;  

B.  ; 2

C.  \ 2; 2

D. 2  x  3

Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình:

Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình:

1
3
4

 2
là:
x2 x2 x 4

A.  2;  

B.  \ 2; 2

C.  ; 2 

D.  2; 2 

Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình:

x2
7 x2

 5 x là:
x2  4x  3
7  2x
 7
A.  2;  \ 3
 2

7


B.  \ 1;3; 
2


 7
C.  2; 
 2

 7
D.  2;  \ 3
 2

Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình

x
3
4


là
x 1 x 1 x  2

A.  \ 1;1; 2

B.  \ 1;1; 2

C.  1;  

D.  2;  

Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình:
1
 x 2  1  0 là:
x

A. x  0

B. x  0 và x 2  1  0

C. x  0

D. x  0 và x 2  1  0

D.  1;  

x2 

x2  5
 0 là:
7x

A.  2;  

B.  7;  

C.  2;7 

D.  2;7 

Câu 9: Cho đường thẳng y  f  x  có đồ thị

như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của
phương trình g  x  

1
là:
f  x

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình

2 x  1  4 x  4 thuộc tập nào sau đây?
1

A.  ; 
2


1

B.  ;  
2


LOVEBOOK.VN | 15


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

A. x  1

B. x  0

C. x  0

D. x  1

More than a book

Câu 10: Cho parabol y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ:

Phương trình

1

Khi đó phương trình

f  x   x2  1

 2 xác

định trên tập nào sau đây?
A.  ; 2 

B.  2;0 

C.  0; 2 

D.  1; 2

f  x   0 có điều kiện là:

x  1
A. 
x  3

B. 1  x  3

C. x  0

D. x  2

Câu 11: Cho parabol y  f  x  như hình vẽ
câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương
trình:
f  x   2  0 là:

x  1
x  0
A. 
B. 
x  3
x  4

C. x  2

D. x  2

Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ:

LOVEBOOK.VN | 16


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

§2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất
A. Lý thuyết
Giải biện luận phương trình ax  b  0 :
+ Nếu a  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 

b
.
a

+ Nếu a  0 và b  0 thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu a  0 và b  0 thì phương trình có nghiệm x   .

B. Các dạng tốn điển hình
Dạng 1

Giải biện luận phương trình
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

m 2  x  1  2  mx  2  có nghiệm dyu nhất là nghiệm ngun?
STUDY TIP
Phương
trình
ax  b  0 có nghiệm

duy nhất khi a  0

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải
Phương trình   m 2  2m  x  m 2  4  m  m  2  x   m  2  m  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m  0 và m  2
Khi đó nghiệm duy nhất là: x 

 m  1
m2
2
 1  là nghiệm nguyên  
m
m
 m  2

 Có 4 giá trị của m.
Đáp án D.
STUDY TIP
Phương
ax  b  0

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vơ nghiệm.

4 p

trình
hay

phương trình ax  b

a  0
vơ nghiệm  
b  0

A. p  2

B. p 

1
2

2

 2 x  1  2 p  x .

C. p  1

D. p 

1
2

LOVEBOOK.VN | 17


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với  4 p 2  1 x  1  2 p

  2 p  1 2 p  1 x  2 p  1

1
 p  2

 2 p  1 2 p  1  0
1

1
Phương trình vơ nghiệm  
  p    p 
2
2
2 p  1  0
 

1
p  

2

Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho phương trình m 2 x  6  4 x  3m . Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình đã cho có nghiệm.
A. m  2

B. m  2

C. m  2

D. m  2

Lời giải
Viết lại phương trình:  m 2  4  x  3m  6
Phương

trình

đã

cho

vơ

nghiệm

khi

và

chỉ

khi:

m  2
m 2  4  0

   m  2  m  2

3m  6  0
m  2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m  2 .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hai hàm số: y   m  1 x  2 và y   3m  7  x  m . Tìm tất cả các
2

giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
A. m  2

B. m  2 và m  3

C. m  3

D. m  2 và m  3
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 18


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình:

 m  1

2

x  2   3m  7  x  m có nghiệm duy nhất

m  3
  m 2  m  6  x  m  2 có nghiệm duy nhất  m 2  m  6  0  
m  2
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hai hàm số y   m  1 x  1 và y   3m 2  1 x  m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau.
A. m  1, m 

2
3

C. m  1
STUDY TIP
Phương
trình
ax  b  0 có vơ số

a  0
nghiệm 
b  0

B. m  1 và m 
D. m 

2
3

2
3

Lời giải
Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình:

 m  1 x  1   3m2  1 x  m

có vơ số nghiệm

3m 2  m  2  0
  3m 2  m  2  x  1  m vô số nghiệm  
 m  1.
1  m  0
Đáp án C.

Dạng 2

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:

LOVEBOOK.VN | 19

Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Dùng tính chất:

 B  0

A  B
+ A B
 B  0

  A   B

A  B
+ A  B 
 A  B

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình 2 x  m  2  x . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. m  4 phương trình đã cho có nghiệm.
m  4 phương trình đã cho vơ nghiệm.

B. Phương trình đã cho ln có nghiệm m .
C. Phương trình đã cho vơ nghiệm m .
D. m  4 phương trình đã cho vơ nghiệm.
Lời giải
STUDY TIP

A  B
A  B 
 A  B

 x  2
 2  x  0


 x  m  2
2 x  m  2  x

Phương trình đã cho 
  
3
 2  x  0


  x  2
 2 x  m  x  2
  x  m  2

+)

m2
2m4
3

+) m  2  2  m  4

m2


x

Vậy m  4 phương trình có 2 nghiệm
3 .

x  m  2
LOVEBOOK.VN | 20


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

m  4 phương trình vơ nghiệm.

Đáp án A.
Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: mx  2  2 x  m . Khi đó kết luận nào sau
đây là đúng?
A. m  3 phương trình có 2 nghiệm x1 

m2
2m
; x2 
.
m3
3 m

m  3 phương trình đều có nghiệm x  0 .

B. m  2 phương trình có 2 nghiệm x1 

m2
2m
; x2 
.
m2
2m

m  2 phương trình vơ nghiệm.

C. m  2 phương trình có nghiệm duy nhất x 

m2
.
m2

m  2 phương trình vơ nghiệm.

m  2
m2
2m
; x2 
D. 
phương trình có 2 nghiệm x1 
.
m2
2m
m  2
m  2 phương trình có nghiệm x  0 .

m  2 phương trình có nghiệm x  0 .

Lời giải

 mx  2  2 x  m 1
Phương trình đã cho tương đương với 
 mx  2  2 x  m  2 
- Giải (1): 1   m  2  x  m  2
+ Với m  2 phương trình có nghiệm duy nhất x 

m2
.
m2

+ Với m  2 ta có phương trình 0 x  4 , phương trình vơ nghiệm.
- Giải (2):  2    m  2  x  2  m

LOVEBOOK.VN | 21


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

+ Với m  2 phương trình có nghiệm duy nhất x 

2m
.
m2

+ Với m  2 phương trình 0 x  4 , phương trình vơ nghiệm.
Kết luận:

m  2
m2
2m
, x2 
+ 
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 
.
m2
2m
m  2
+ m  2 phương trình (1) vơ nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm x  0 .
+ m  2 phương trình (2) vơ nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm x  0 .
Đáp án D.
Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x  1  x  m
(1).
A. m  1

B. m  1

C. m  

D. không tồn tại m
Lời giải

Cách 1:
Ta thấy nếu x0 là nghiệm thì 1  x0 cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để
phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x0  1  x0  x0 

Thay x0 

1
2

1
vào phương trình (1) ta được m  1 .
2

- Với m  1 phương trình (1) trở thành: x  1  x  1
Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm x  0, x  1, x 

1
.
2

Vậy khơng tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
Ta vẽ đồ thị y  x  1  x ta có bảng xét dấu:
LOVEBOOK.VN | 22


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

x



The Best or Nothing

0

x

x

1 x

1 x

1 x

y

1  2x

1

0



1

x

x

x 1

0

2x 1

2 x  1 khi x  1

Vậy y  1 khi 0  x  1
1  2 x khi x  0

Ta có đồ thị như hình bên ta thấy m thì đường thẳng y  m khơng thể cắt đồ
thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) khơng có nghiệm duy nhất.
Đáp án D.
Dạng 3

Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ: Tìm m để phương trình:
A. m  1
C. m 

3
2

mx  m  3
 1 (1) có nghiệm.
x 1
3
2

B. m  1 và m 

D. m  1 hoặc m 

3
2

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình: x  1 .
Khi đó phương trình (1)  mx  m  3  x  1   m  1 x  m  4 (2)
- Với m  1 phương trình (2) có nghiệm duy nhất x1 

m4
nó là nghiệm của
m 1

(1).
Khi

m4
3
 1  m  4  m  1  2m  3  m 
m 1
2

- Với m  1 phương trình (2) vơ nghiệm  (1) vơ nghiệm.
LOVEBOOK.VN | 23


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

m  1

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi 
3
m  2

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 24


Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình

The Best or Nothing

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Câu 6: Cho phương trình

Xem đáp án chi tiết tại trang 129

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để
phương trình:  m 2  4  x  3m  6 vô nghiệm.
A. m  1

B. m  2

C. m  2

D. m  2

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình: mx  m  0 vô nghiệm.
A. m 

B. m  0

C. m   

D. m  

Câu 3: Tìm m để phương trình:

m

2

 5m  6  x  m 2  2m vô nghiệm.

A. m  1

B. m  2

C. m  3

D. m  6

Câu 4: Tìm a để phương trình:
x 1

x 3

a
có nghiệm.
x 3

A. a  2

B. a  2

C. a  

D. a  1

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương
trình

 m  1 x  m  2  m
x3

có nghiệm.

x  m  x 1 .

A. m  1 phương trình có nghiệm x   .
m  1 phương trình có 1 nghiệm x 

m 1
.
2

B. m  1 phương trình đã cho có tập nghiệm

.
m  1 phương trình đã cho có nghiệm duy

nhất.
C. m  1 vơ nghiệm.
m  1 phương trình có nghiệm x   .

D. m  1 phương trình vơ nghiệm.
m  1 phương trình có nghiệm duy nhất

x

m 1
.
2

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình:
A. m  1

1
1
x  1  x  x  m có nghiệm.
2

2

B. m  1

C. m  1 D. m  1

Câu 8: Biểu diễn hình học tập nghiệm của
phương trình x  y  1 là:
A. Hình vng cạnh bằng

2

B. Đường trịn tâm O bán kính bằng 1
C. Hai đường thẳng y   x  1

A. m  1

B. m  1

5
C. m 
2

5
D. m 
2

D. Hình vng cạnh bằng 1

LOVEBOOK.VN | 25