07 cac PT quy ve bac hai p1 baigiang đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

07. CÁC DẠNG PT QUY VỀ BẬC HAI (P1 – Bài giảng)

DẠNG 1. PT CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ẨN Ở MẪU SỐ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình:
a) 3 x  1  2 x  5

b) 2 x  1  4 x  7

c) 4 x  1  4 x  1

d) 5 x  2  3 x  4  4 x  5

Lời giải:
1
a) Với x  , phương trình: 3 x  1  2 x  5  x  4 (loại)
3
1
6
Với x  , phương trình: 3 x  1  2 x  5  5 x  6  x  (loại). Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
3
5
2 x  1  4 x  7
x  4
b) Ta bình phương 2 vế, hoặc 2 x  1  4 x  7  
. Vậy tập nghiệm S  1; 4 .

 2 x  1  4 x  7
x  1
1

1

c) 4 x  1  4 x  1  4 x  1  1  4 x  4 x  1  0  x  . Vậy tập nghiệm S  ;  .
4
4

d) Chia trục số thành ba khoảng:
2
1
Với x   , phương trình 5 x  2  3 x  4  4 x  5  12 x  3  x   (loại).
5
4
2
4
1
Với   x  , phương trình 5 x  2  3 x  4  4 x  5  2 x  1  x  (chọn).
5
3
2
4
7
Với x  , phương trình 5 x  2  3 x  4  4 x  5  4 x  7  x 
(chọn).
3
4
1 7 
Vậy tập nghiệm S   ;  .
2 4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình:
a) x 2  x  12  3 x  12

b) x 2  2 x  2  4 x  5  0

c) x  1  2  4

d) x  2  x  2
Lời giải:
 x  4

2
 2
2
2
  3 x  12 
 x  x  12    3 x  12   0

3 x  12  0
a) x 2  x  12  3 x  12   2
2
 x  x  12 
 x  4
x  4

 x  4.
 2
 2
2
2
 x  2 x  24  0 hay x  4 x  0
 x  2 x  24  x  4 x   0

b) Vì x 2  2 x  2   x  1  1  0, x nên:
2

 x  1
.
x2  2x  2  4x  5  0  x2  2x  2  4x  5  0  x2  2x  3  0  
x  3
 x 1  2  4
 x 1  6
 x 1  6
x  7
c) x  1  2  4  



 x  1  6
 x  5
 x  1  2  4
 x  1  2 (VN)

 x  2  x  2
 x2  x2
d) x  2  x  2  
. Ta có x  2  x  2  x  2  0  x  2

 x  2  x  2
 x  2  x  2

 x  2,  2  2
Và x  2  x  2  
 x  0 . Vậy nghiệm x  0 hoặc x  2 .
 x  0,  2 x  0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 2 x  1  x  3.

b) 4 x  7  2 x  5.

c) x 2  3 x  2  0.

d)

x2  6x  9  2x 1 .

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x 2  4 x  5  4 x  17.

b) 4 x  17  x 2  4 x  5.

c) 4 x  7  4 x  7.

d) 2 x  3  3  2 x.

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x  1  2 x  1  3 x .

b) x 2  2 x  3  x 2  2 x  3 .

c) 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0.

d) x  3  7  x  10.

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x 2  2 x  x  1  1  0.

b) x 2  2 x  5 x  1  7  0.

c) x 2  2 x  5 x  1  5  0.

d) x 2  4 x  3 x  2  0.

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2  4 x  2 x  1  1  0.

2  x 2  1

b) x 2  6 x  x  3  10  0.

x2
2x 1
2x 1
Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
c)

 2

d)

2 x  5 5x  3

x  1 3x  5

2x  5
x
1
1
1

1


b)
2x
x5
x  2 x  10 x  1
2
x 1
x
19 x
24
15
 2

 2
2
c)
d) 2

x
x  1 12
x  2x  8 x  2x  3
Bài 7: [ĐVH]. Tìm giá trị của tham số a để phương trình

a)

x 1
x

vơ nghiệm.
x  a 1 x  a  2
x2  x  2
 ax  a  1  0 có nghiệm.
b)
x 1
Bài 8: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình x 2  2mx  1  m  x 2  mx  1  2m

a)

Bài 9: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình mx  1  x 2  x  1
Bài 10: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình x 2  2mx  1  x  1

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 2 x  1  x  3.
c) x  3 x  2  0.
2

b) 4 x  7  2 x  5.

d) x 2  6 x  9  2 x  1 .
Lời giải:



1
 x  2
 2 x  1  0


x  4
 x  4
2
x

1

x

3


a) 2 x  1  x  3 
 

 2 x  1  0
 x  2
 x1



3

2

 2 x  1  x  3  
2
 x 
3
 
 4 x  7  0

 x  1
4 x  7  2 x  5
b) 4 x  7  2 x  5  

 4 x  7  0
 x  2

 4 x  7  2 x  5

 x  0
x  1
 2
x  2
  x  3x  2  0
c) x 2  3 x  2  0.  

 x  1
x0
 


  x 2  3 x  2  0
 x  2
d)

x  4
 x  3  2x 1
x  6x  9  2x 1  x  3  2x 1  

x   2
x

3


2
x

1

3

2

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x 2  4 x  5  4 x  17.
c) 4 x  7  4 x  7.

b) 4 x  17  x 2  4 x  5.
d) 2 x  3  3  2 x.

Lời giải:

  x 2  4 x  5  0
 2
x  6
  x  4 x  5  4 x  17

a) x 2  4 x  5  4 x  17  
2
 x  22
  x  4 x  5  0

2
  x  4 x  5  4 x  17


x  6
b) Đáp số: 
 x   22

 a  0

a  a
c) Và d) sử dụng tính chất a  a  
a0
 a  0

 a  a
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x  1  2 x  1  3 x .

c) 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0.
a) Ta có

b) x 2  2 x  3  x 2  2 x  3 .
d) x  3  7  x  10.
Lời giải:



1
 x   2

 1  x   2 x  1  3 x

  1  x  0
x  1
 2
x  1  2 x  1  3 x   1  x  2 x  1  3 x  
x   1


2
 0  x  1

1  x  2 x  1  3 x

  x  1
  x  1  2 x  1  3 x

3 3

b) Gợi ý: Phá giá trị tuyệt đối trong các miền: x   ;   x  1; 1  x  3; x  3
2 2
x

0

Kết quả: 
x   3

2
5
c) Đáp số : x 
2
  x  3

  x  3  7  x  10
 3  x  7
 3  x  7
d) x  3  7  x  10   
  x  3  7  x  10

 x  7
  x  3  x  7  10

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) x 2  2 x  x  1  1  0.
c) x 2  2 x  5 x  1  5  0.

b) x 2  2 x  5 x  1  7  0.
d) x 2  4 x  3 x  2  0.

Lời giải:

 x  1
 2
x  0
 x  2 x  x  1  1  0
a) x 2  2 x  x  1  1  0  

x 1
x  2
 
  x 2  2 x  1  x  1  0
b) x  2; 1;3; 4
c) x  5;7
d) x  3; 1
Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2  4 x  2 x  1  1  0.
2  x 2  1
x2
c)
 2
2x 1
2x 1

 1 3
a) x   ; 
 2 2

b) x 2  6 x  x  3  10  0.
2 x  5 5x  3


x  1 3x  5
Lời giải:
d)


b) x 2  6 x  x  3  10   x  3  x  3  1  0  VN
2

c)

d)

2  x 2  1
2x 1

 2

2 x  1  0
x2

x2
2
2x 1
2  x  1  2  2 x  1   x  2 

 x  1 3 x  5   0
x  4
2 x  5 5x  3




x  1 3x  5
 x  7
 2 x  5  3 x  5    5 x  3 x  1

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
2x  5
x

1
a)
2x
x5
x2  1
x
19 x
 2

c)
x
x  1 12

1
1
1


x  2 x  10 x  1
24

15
 2
2
d) 2
x  2x  8 x  2x  3
Lời giải:

b)

 x  5;0
 x  5;0
2x  5
x

 5 

1 


x

a)
 ;5 .
5
x
2
2x
x5
1




1
 2 
5
x

25

2
x



 2x x  5
b) Phương trình tương đương
1
 2 x  12
 x 2  12 x  20  2 x 2  14 x  12

1
1
1
 2


  x  12 x  20 x  1  
x  2 x  10 x  1
 x  1; 2;10
 x  1; 2;10



 x  12  9
 x 2  2 x  8  0


 x  2; 4
x

1;
2;10
 x  1; 2;10

 
c) Điều kiện mẫu thức khác 0. Phương trình tương đương
x2  1
x
19 x
x2  1
1
19
1
1
7
 2

 2  2
  2 2
  24 x 2  12  7 x 4  7 x 2
x

x  1 12
x
x  1 12
x
x  1 12
3 3 

 3
 7 x 4  31x 2  12  0  x 2  4;   x  2; 2;  ;

7 7 
 7

Kết luận phương trình có bốn nghiệm kể trên.
d) Điều kiện mẫu thức xác định.
24
15
 2
2
2
x  2x  8 x  2x  3
24 15
x2  2x  8  t 

 2  24t  120  15t  2t 2  10t
t t 5
15

 2t 2  t  120  0  t   ; 8
2



2  34 2  34 
  2 x 2  4 x  15  x 2  2 x   0  x  2;0;
;

2
2


Đối chiếu điều kiện ta thu được hai nghiệm kể trên.
Bài 7: [ĐVH]. Tìm giá trị của tham số a để phương trình
x 1
x

a)
vơ nghiệm.
x  a 1 x  a  2
x2  x  2
 ax  a  1  0 có nghiệm.
b)
x 1
Lời giải:
1
a) Nếu x  a  1  x  a  2  2a  1  a    x  .
2
Xét x  a  1; x  a  2 , biến đổi


x  a 1 x  a  2

a
a2

 1
 1
 xa   x  1 a  2   0
x 1
x
x 1
x
 xa  xa  2 x  a  2  0  x  2a  2   a  2  0
Xét x  1  x ; x  1  x  

a2
.
2a  2

 a2
  2a  2  a  1
 a  2a  1  0
  a  2  2a 2  2
 1 


 a   ;0  .
Xét 
 2 
  a  2  a  2
 2a  2  1
 2a  1

 2a  2
 1

Vậy a   ;0; 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
 2

2
x x2
 ax  a  1  0  x 2  x  2   x  1 xa  a  1 ; x  1
b) Ta có
x 1
2
 x  x  2  x 2 a  xa  x  xa  a  1   a  1 x 2   2  a  x  a  3  0  f  x   0

Do đó a  1  x  2 .
Nếu f 1  a  1  2  a  a  3  a  2; f 1  0  a  2  x 2  1  0  x  1;1 .
Nếu a  1  Δ  a 2  4a  4  4  a 2  4a  3  3a 2  12a  8  0, a   .
Dẫn đến phương trình vơ nghiệm khi a  1; a  2 .
Bài 8: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình x 2  2mx  1  m  x 2  mx  1  2m
Lời giải:
Phương trình tương đương x  2mx  1  m  x  mx  1  2m
2

2

 x 2  2mx  1  m  x 2  mx  1  2m
3mx  1  2m
 2
 2
2

 2 x  mx  2m  2  0
 x  2mx  1   x  mx  1  2m
Phương trình bậc hai có Δ  m 2  8  2m  2    m  4   32 .
2

0 x  1
Nếu m  0   2
 x  .
2
x

2

0


1  2m m 
Nếu m  4 2  4  m  4 2  4; m  0  x  
;
3
m

Nếu 4 2  4  m  4 2  4  x  .

 m  4
4

2

 32 m 

;

 m  4
4

2

 32 
.


Bài 9: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình mx  1  x 2  x  1
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
x  0
 x 2   m  1 x  0
 mx  1  x 2  x  1

mx  1  x  x  1  



x  m 1
2
2

mx

1


x

x

1
x

m

1
x

2

0




 x 2   m  1 x  2  0

2
2
Xét m  1  x  0; x  2 x  2  0  x  0 . Phương trình bậc hai có Δ  m  2m  7 .
2









Nếu m  1  2 2;1  2 2  x  0; 2  2 2; 2  2 2;  2; 2 .


m  1  2 2
1  m  m 2  2m  7 1  m  m 2  2m  7 
Nếu 
 x  0; m  1;
;
.
2
2
 m  1  2 2


Nếu 1  2 2  m  1  2 2; m  1  x  0; m  1


Bài 10: [ĐVH]. Giải và biện luận phương trình x 2  2mx  1  x  1
Lời giải:
 x 2   2m  1 x  2  0
2
 x  2mx  1   x  1 
Ta có x 2  2mx  1  x  1   2
 x  0
 x  2mx  1  x  1
 x  1  2m


Phương trình bậc hai có Δ   2m  1  8 .
2

Do đó m 

1
 x  0.
2

 2m  1   2m  12  8 2m  1   2m  12  8

2 2 1
2 2  1


Nếu m 
m
 x
;
;0;1  2m  .
2
2
2
2


2 2  1
2 2 1
1

m
; m   x  0; x  1  2m .
Nếu
2
2
2
2 2 1
2 2  1
2m  1
m
x
Nếu m 
.
2
2
2