10 bài tập PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT NHIỀU ẩn file word có lời giải chi tiết image marked

 BÀI 03
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I – ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là
ax + by = c

(1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0 x + 0 y = c . Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vơ
nghiệm, cịn nếu c = 0 thì mọi cặp số ( x 0 ; y0 ) đều là nghiệm.
b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành

a
c
y =- x +
(2 )
b
b
Cặp số ( x 0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc
đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn ln ln có vơ số
nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường
thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng qt là

ì
a1 x + b1 y = c1
ï
ï
í
ï
ï
ỵa2 x + b2 y = c 2

(3)

Trong đó x , y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số ( x 0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì ( x 0 ; y0 ) được gọi
là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng qt là
ax + by + cz = d ,
trong đó x , y, z là ba ẩn; a, b, c , d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng qt là
ì
a1 x + b1 y + c1 z = d1
ï
ï
ï
ï
(4 )

ía2 x + b2 y + c 2 z = d 2
ï
ï
ï
ï
ỵa3 x + b3 y + c 3 z = d 3
Trong đó x , y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số ( x 0 ; y0 ; z 0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm
của hệ phương trình (4 ).

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïìï x + y + z = 11
ï
Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình ïí2 x - y + z = 5
là:
ïï
ïïỵ3 x + 2 y + z = 24
A. ( x ; y; z ) = (5; 3;3).

C. ( x ; y; z ) = (2; 4;5).

B. ( x ; y; z ) = (4; 5;2).
D. ( x ; y; z ) = (3; 5;3).

ì

x +2y =1
ï
ï
ï
Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình ï
í y + 2 z = 2 là:
ï
ï
ï
ï
ỵz + 2 x = 3
ïìï x = 0
ïìï x = 1
ïìï x = 1
ïï
ïï
ï
A. í y = 1 .
B. í y = 1.
C. ïí y = 1.
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 1
ïïỵ z = 0
ïïỵ z = 1

ïìï x = 1
ï
D. ïí y = 0.

ïï
ïïỵ z = 1
Câu 3. Bộ ( x ; y; z ) = (2; -1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
ïìï x + 3 y - 2 z = -3
ï
A. ï
í2 x - y + z = 6 .
ïï
ïïỵ5 x - 2 y - 3 z = 9

ïìï3 x - y - z = 1
ïìï x + y + z = -2
ïï
ï
C. í x + y + z = 2 . D. ïí2 x - y + z = 6 .
ïï
ïï
ïïỵ x - y - z = 0
ïïỵ10 x - 4 y - z = 2

ïìï2 x - y - z = 1
ï
B. ï
í2 x + 6 y - 4 z = -6.
ïï
ïïỵ x + 2 y = 5

Câu 4. Bộ ( x ; y; z ) = (1; 0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

ì2 x + 3 y + 6 z -10 = 0

ï
ï
ï
A. ï
.
í x + y + z = -5
ï
ï
ï
ï
ỵ y + 4 z = -17
ïìï2 x - y - z = 1
ï
C. ïí x + y + z = 2 .
ïï
ïïỵ x + y - z = -2

ïìï x + 7 y - z = -2
ï
B. ïí-5 x + y + z = 1.
ïï
ïïỵ x - y + 2 z = 0

ïìï x + 2 y + z = -2
ï
D. ïí x - y + z = 4 .
ïï
ïïỵ x - 4 y - z = 5
ìï3 x + y - 3 z = 1
ïï

Câu 5. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình í x - y + 2 z = 2 . Tính giá trị của biểu
ïï
ïïỵ x + 2 y + 2 z = 3
thức P = x 02 + y02 + z 02 .
A. P = 1.
B. P = 2.

C. P = 3.
D. P = 14.
ìï x + y + z = 11
ïï
Câu 6. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình ïí2 x - y + z = 5 . Tính giá trị của biểu
ïï
ïïỵ3 x + 2 y + z = 24
thức P = x 0 y0 z 0 .
A. P = -40.

D. P = -1200.
ïìï2 x + 3 y + 4 = 0
ï
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ï
có duy nhất
í3 x + y -1 = 0
ïï
ïïỵ2mx + 5 y - m = 0
một nghiệm.
10
A. m = .
3

B. P = 40.

C. P = 1200.

B. m = 10.

C. m = -10.

D. m = -

10
.
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïìïmx + y = 1
ï
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ïímy + z = 1 vơ nghiệm.
ïï
ïïỵ x + mz = 1

A. m = -1.
B. m = 0.
C. m = 1.
D. m = 1.
Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một cơng trình xây đập thủy điện. Đồn xe có
57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5
tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe

3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?
A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn.
B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn.
C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn.
D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn.
Câu 10. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây.
Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2
cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng
được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.
D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
ìï x + y + z = 11
ïï
Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình ïí2 x - y + z = 5
là:
ïï
ïïỵ3 x + 2 y + z = 24
A. ( x ; y; z ) = (5; 3;3).

C. ( x ; y; z ) = (2; 4;5).

B. ( x ; y; z ) = (4; 5;2).
D. ( x ; y; z ) = (3; 5;3).

Lời giải. Từ phương trình x + y + z = 11 suy ra z = 11 - x - y. Thay vào hai phương trình
ìï2 x - y + 11 - x - y = 5
cịn lại ta được hệ phương trình, ta được ïí

ïïỵ3 x + 2 y + 11 - x - y = 24
ïì x - 2 y = -6 ïìï x = 4
Û ïí
Ûí
. Từ đó ta được z = 11 - 4 - 5 = 2.
ïỵï2 x + y = 13
ïỵï y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (4;5;2) . Chọn B.

Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y; z ) = (4;5;2) là nghiệm của hệ phương trình.

ì
x +2y =1
ï
ï
ï
ï
Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình í y + 2 z = 2 là:
ï
ï
ï
ï
ỵz + 2 x = 3
ïìï x = 0
ïìï x = 1
ïìï x = 1
ïï
ïï
ï
A. í y = 1 .

B. í y = 1.
C. ïí y = 1.
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 1
ïïỵ z = 0
ïïỵ z = 1

ïìï x = 1
ï
D. ïí y = 0.
ïï
ïïỵ z = 1
Lời giải. Từ phương trình z + 2 x = 3 suy ra z = 3 - 2 x . Thay vào hai phương trình cịn lại ta
ìï x + 2 y = 1
ìï x = 1
ïì x + 2 y = 1
Û ïí
Û ïí
.
được hệ phương trình, ta được ïí
ïï y + 2 (3 - 2 x ) = 2 ïỵï-4 x + y = -4 ïỵï y = 0
ỵ
Từ đó ta được z = 3 - 2.1 = 1.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (1;0;1) . Chọn D.

Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y; z ) = (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình.
Câu 3. Bộ ( x ; y; z ) = (2; -1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

ïìï x + 3 y - 2 z = -3
ï
A. ï
í2 x - y + z = 6 .
ïï
ïïỵ5 x - 2 y - 3 z = 9

ïìï2 x - y - z = 1
ï
B. ï
í2 x + 6 y - 4 z = -6.
ïï
ïïỵ x + 2 y = 5

ïìï3 x - y - z = 1
ïìï x + y + z = -2
ïï
ï
C. í x + y + z = 2 . D. ïí2 x - y + z = 6 .
ïï
ïï
ïïỵ x - y - z = 0
ïïỵ10 x - 4 y - z = 2
Lời giải. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y; z ) = (2; -1;1) là nghiệm của hệ phương trình
ïìï x + 3 y - 2 z = -3
ïï

í2 x - y + z = 6 . Chọn A.
ïï
ïïỵ5 x - 2 y - 3 z = 9

Câu 4. Bộ ( x ; y; z ) = (1; 0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

ì2 x + 3 y + 6 z -10 = 0
ï
ï
ï
A. ï
.
í x + y + z = -5
ï
ï
ï
y
+
4
z
=
17
ï
ỵ

ïìï x + 7 y - z = -2
ï
B. ïí-5 x + y + z = 1.
ïï
ïïỵ x - y + 2 z = 0

ìï2 x - y - z = 1
ìï x + 2 y + z = -2
ïï
ïï
ï
C. í x + y + z = 2 .
D. ïí x - y + z = 4 .
ïï
ïï
ïïïỵ x + y - z = -2
ïỵ x - 4 y - z = 5
Lời giải. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y; z ) = (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình
ìï2 x - y - z = 1
ïï
ïí x + y + z = 2 . Chọn C.
ïï
ïïỵ x + y - z = -2

ïìï3 x + y - 3 z = 1
ï
Câu 5. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình í x - y + 2 z = 2 . Tính giá trị của biểu
ïï
ïïỵ x + 2 y + 2 z = 3
thức P = x 02 + y02 + z 02 .
A. P = 1.
B. P = 2.
ì
ï
3

x
+
y
3z = 1
(1)
ï
ï
ï
Lời giải. Ta có í x - y + 2 z = 2
(2 ) .
ï
ï
ï
ï
ỵ-x + 2 y + 2 z = 3 (3)

C. P = 3.

D. P = 14.

Phương trình (2) Û x = y - 2z + 2 . Thay vào (1) , ta được

3 ( y - 2 z + 2 ) + y - 3 z = 1 Û 4 y - 9 z = -5 . ( * )

Phương trình (3) Û x = 2 y + 2 z - 3 . Thay vào (1) , ta được

3 (2 y + 2 z - 3) + y - 3 z = 1 Û 7 y + 3 z = 10 . (* *)

ìï4 y - 9 z = -5 ìïï y = 1
Ûí

Từ (*) và (* *) , ta có ïí
. Suy ra x = 1 .
ïỵï7 y + 3 z = 10
ïỵï z = 1
® P = 12 + 12 + 12 = 3. Chọn C.
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (1;1;1) ¾¾

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïìï x + y + z = 11
ï
Câu 6. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình ïí2 x - y + z = 5 . Tính giá trị của biểu
ïï
ïïỵ3 x + 2 y + z = 24
thức P = x 0 y0 z 0 .
A. P = -40.
B. P = 40.
C. P = 1200.
D. P = -1200.
ì
ï
x
+
y
+
z
=
11
1

(
)
ï
ï
Lời giải. Ta có ï
(2 ) .
í2 x - y + z = 5
ï
ï
ï
ï
ỵ3 x + 2 y + z = 24 (3)
Phương trình (3) Û z = 24 - 3 x - 2 y . Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình

ì
ï x + y + 24 - 3 x - 2 y = 11 ì
ï-2 x - y = -13 ì
ïx = 4
ï
Ûï
Ûï
. Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2 .
í
í
í
ï
ï2 x - y + 24 - 3 x - 2 y = 5 ï
ï-x - 3 y = -19 ù
ùy = 5
ợ

ợ
ợ

đ P = 4.5.2 = 40. Chọn B.
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (4;5;2) ¾¾

ìï2 x + 3 y + 4 = 0
ïï
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ï
có duy nhất
í3 x + y -1 = 0
ïï
ïïỵ2mx + 5 y - m = 0
một nghiệm.
10
10
A. m = .
B. m = 10.
C. m = -10.
D. m = - .
3
3
ì
ì
2
x
+
3
y
+

4
=
0
x
=
1
ï
ï
Ûï
.
Lời giải. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra ïí
í
ï
ï
3
x
+
y
1
=
0
ï
ï y = -2
ỵ
ỵ

ïìï2 x + 3 y + 4 = 0
ï
Hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất khi (1; -2) là nghiệm của phương

í3 x + y -1 = 0
ïï
ïïỵ2mx + 5 y - m = 0
trình 2mx + 5 y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.(-2) - m = 0 Û m = 10. Chọn B.

ïìïmx + y = 1
ï
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ïímy + z = 1 vơ nghiệm.
ïï
ïïỵ x + mz = 1

A. m = -1.
B. m = 0.
C. m = 1.
D. m = 1.
Lời giải. Từ hệ phương trình đã cho suy ra z = 1 - my. Thay vào hai phương trình cịn lại, ta
ìïmx + y = 1
ìïmx + y = 1
Û ïí
được ïí
ïï x + m (1 - my ) = 1 ïïỵ x - m 2 y = 1 - m
ỵ
ì y = 1 - mx
ì y = 1 - mx
ï
ï
Ûï
Ûï
.
í

í
2
ï
ï 1 + m3 ) x = m2 - m + 1
ï x - m (1 - mx ) = 1 - m ï
ỵ
ỵ(
ì1 + m 3 = 0
ìm = -1
ï
ï
Ûï
Û m = -1 .
Hệ phương trình đã cho vơ nghiệm khi ïí 2
í 2
ï
ïm - m + 1 ạ 0 ù
ùm - m + 1 ạ 0
ợ
ợ
Chn A.
Cách 2. Thử trực tiếp
ïìï-x + y = 1
ï
Thay m = -1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình ïí- y + z = 1 .
ïï
ïïỵ x - z = 1
Sử dụng MTCT ta thấy hệ vô nghiệm.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một cơng trình xây đập thủy điện. Đồn xe có
57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5
tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe
3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?
A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn.
B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn.
C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn.
D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn.
Lời giải. Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7,5 tấn.
Điều kiện: x , y, z nguyên dương.

ïìï x + y + z = 57
ï
Theo giả thiết của bài tốn ta có ï
í3 x + 5 y + 7,5 z = 290.
ïï
ïïỵ22,5 z = 6 x + 15 y

Giải hệ ta được x = 20, y = 19, z = 18. Chọn B.
Câu 10. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây.
Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2
cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng
được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.
D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.
Lời giải. Gọi số học sinh của lớp 10 A, 10 B, 10C lần lượt là x , y, z .

Điều kiện: x , y, z nguyên dương.

ïìï x + y + z = 128
ï
Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình ïí3 x + 2 y + 6 z = 476.
ïï
ïïỵ4 x + 5 y = 375
Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. Chọn A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất