PHƯƠNG TRÌNH một số ví dụ về hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI HAI ẩn (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

§5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

 DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.
Sử dụng phương pháp thế
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ìï y + x 2 = 4 x
a) ïí
ïï2 x + y - 5 = 0
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ìï3 x - 4 y + 1 = 0
b) ï

í
ïïỵxy = 3( x + y ) - 9
A.1 nghiệm

Lời giải:

ìï5 - 2 x + x 2 = 4 x
a) Hệ phương trình tương đương ïí
ïï y = 5 - 2 x
ỵ
ì
ï éx = 1
ìx 2 - 6 x + 5 = 0 ï
ìx = 1
ï
ï
ïì x = 5
ï êê
ï
Ûí
Ûï
hoặc ïí
í ëx = 5 Û ï
í
ï
ï
ï
ïïỵ y = -5
ï
ï

ï
ỵy = 3
ỵy = 5 - 2x
ï
y
=
5
2
x
ï
ỵ

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; 3) và (5; -5) .
ì
4y -1
ï
ï
x=
ï
ï
3
b) Hệ phương trình tương đương ï
í
ï
4y -1
4y -1
ï
y = 3(
+ y) - 9
ï

ï
3
ï
ỵ 3

116 – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ì
4y -1
ï
ï
x=
ï
ì
ì
ìï x = 3
ï
ï
11
ï
3
ï
ïx = 4 y - 1
ï
ï
x=
ï
ï
ï

hoặc ï
Ûí
Û íé y = 3
Ûí
3
í
3
ê
ïï y = 5
ï
ï
ï
2
ï
ï
ï
ê
ïỵ
ï
ï
2
ỵ y=3
ï
ỵ4 y - 22 y + 30 = 0 ï
ï
êy = 5
ï
ï
2
ï

ỵêë

ỉ 11 ư
ỉ 5ư
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) l ỗỗ ; 3ữữữ v ỗỗ3; ữữữ .
ỗố 2 ứ
ốỗ 3 ứ
Nhn xột: T cỏch gii ca h phng trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một
phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ìïx 3 = xy + 2
a) ïí
ïï 2 x - y = 3
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ïìïx( x + y + 1) - 3 = 0
b) ï
í
ïï( x + y )2 - 5 + 1 = 0
ïỵ
x2
A.1 nghiệm

Lời giải:

ìïx 3 = x (2 x - 3) + 2
a) Hệ phương trình tương đương với ïí
ïï
y = 2x - 3
ỵ
ì
ï( x - 1)( x 2 - x + 2) = 0 ï
ì x=1
Ûï
Ûï
í
í
ï
ï
y = 2x - 3
ï
ï y = -1
ỵ
ï
ỵ

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; -1) .
b) ĐKXĐ: x ¹ 0

ìï
ïïx + y = 3 - 1
ï
x
Hệ phương trình tương đương với ï
í
2
ïïỉ 3 ửữ
5
ùùỗỗỗ - 1ữữ - 2 + 1 = 0
ùợố x ø x

117 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ì
3
ï
ì
3
ï
ï
ì
y
=
- x -1

ï
3
ï
ï
x
+
y
=
1
ï
ï
ï
y
=
x
1
x
ï
ï
x
ï
Ûï
Ûí
Ûí
x
í
éx = 1
ï
ï
ï

9
6
5
2
ï
ï
ïê
+
1
+
1
=
0
x
3
x
+
2
=
0
ï
ï
ï
ï
2
ỵ
ê
ï
ï
x

x2
ï
ỵx
ïë x = 2
ỵ

ìï x = 2
ï
ïìï x = 1
và ï
(thỏa mãn)
Ûí
í
ïï y = - 3
ïïỵ y = 1
ïỵ
2
ỉ
3ư
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) l (1;1) v ỗỗ2; - ữữ .
ỗố
2 ữứ
3. Bi tập luyện tập.
Bài 3.54: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ïì2 x + y = 5
a) ïí 2
ïï4 x + y 2 = 17
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ìïx 3 y = 16
b) ïí
ïï3 x + y = 8
ỵ
A.1 nghiệm

ì
ï
x3 - 8x = y 3 + 2 y
ï
c) í 2

2
ï
ï
ỵx - 3 = 3( y + 1)
A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.54: a) Ta có y = 5 - 2 x thế vào phương trình hai ta được:

éx = 2 Þ y = 1
ê
4 x + (5 - 2 x) = 17 Û 2 x - 5 x + 2 = 0 Û ê
.
êx = 1 Þ y = 4
êë
2
2

2

2

1
Vậy nghiệm của hệ là: ( x; y ) = (2;1),( ; 4) .
2

b) Ta có y = 8 - 3x thay vào phương trình đầu ta được:

x 3 (8 - 3 x) = 16 Û 3 x 4 - 8 x 3 + 16 = 0 Û ( x - 2)2 (3 x 2 + 4 x + 4) = 0

118 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Û x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là x = y = 2 .

c) Từ phương trình 2 Þ x 2 = 3( y 2 + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được :
éx = 0
ê
x2
2
2
x - 8 x = y( y + 2) = y Û x(3x - xy - 24) = 0 Û ê
ê y = 3x - 24
3
êë
x
3

2

* Với x = 0 thay vào (3) ta có: y 2 + 2 = 0 vơ nghiệm.
ỉ 3x 2 - 24 ư÷
3x 2 - 24
÷÷ + 6
* Với y =
thay vào (3) ta được: x 2 = 3 ỗỗỗ
ữứ
ỗố
x
x

2

ộ x = 3 ị y = ±1
é x2 = 9
ê
ê
Û 13 x - 213 x + 864 = 0 Û ê 2 96 Û ê
.
ê x = ± 96 Þ y =  78
êx =
ê
êë
13
13
13
ë
4

2

Vậy hệ có bốn nghiệm: ( x; y ) = (±3; ±1), (±

96
78
;
).
14
13

ì

ïx + y = m
Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: ï
có nghiệm.
í 2
2
ï
ï
ỵ2 x - 3 y = 1
A. m £

1
6

B. m ³

1

C. m <

6

1
6

D. m >

1
6

Lời giải:

Bài 3.55: Ta có x = m - y thay vào phương trình hai ta được: 2( m - y )2 - 3 y 2 = 1

Û y 2 + 4 my + 1 - 2 m2 = 0 (*) . Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm
Û D ' = 4 m2 - (1 - 2 m2 ) ³ 0 Û m ³

Vậy m ³

1
6

1
6

.

là những giái trị cần tìm.

 DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG .
1. Phương pháp giải.
a) Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

119 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ïì f ( x , y ) = 0
(I) ïí
với f ( x; y) = f ( y ; x) và g ( x; y) = g ( y ; x) .
ïïỵ g( x , y ) = 0
(Có nghĩa là khi ta hốn vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải
 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (I') ta tìm được S và P.
 Tìm nghiệm ( x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0 .
b) Hệ đối xứng loại 2

ìï f ( x , y ) = 0
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (II) ï
í
ïïỵ f ( y , x) = 0
(Có nghĩa là khi hốn vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
ïì f ( x , y ) - f ( y , x) = 0 (3)
 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II)  ïí
ïïỵ f ( x , y ) = 0

(1)
(2)

éx = y
 Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  ( x - y ).g( x , y ) = 0  ê
.
ê g( x , y ) = 0
ë
éïì f ( x , y ) = 0
êïí
êïx = y
ï
 Như vậy (II)  êỵ
.

êì
êïï f ( x , y ) = 0
êí
êëïïỵ g( x , y ) = 0
 Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II).
c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm
của nó.
2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ìïx + xy + y = 2 + 3 2
a) ïí 2
ïïx + y 2 = 6
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ì

ï
x 2 y + xy 2 = 30
ï
b) í 3
.
3
ï
ï
ỵx + y = 35
A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ:

120 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ìS2 + 2S = 10 + 6 2 ï
ì(S + 1)2 = (3 + 2)2
ì
ï
ïS + P = 2 + 3 2 Û ï
ï
ï
Û
í 2
í
í
ïS - 2 P = 6
ï

ï
ï
ï
ï
ỵ
ïS + P = 2 + 3 2
ï
ỵ
ỵP = 2 + 3 2 - S

ìé S = 2 + 2
ï
ï
ê
ìS = 2 + 2
ì
ï
ï
ï
ïê
ïS = -4 - 2
ï
Û íêS = -4 - 2
Ûï
hoặc í
í
ë
ï
ï
ï

ï
ï
ï
ï
ï
ỵP = 6 + 4 2
ỵP = 2 2
ï
P
=
2
+
3
2
S
ï
ï
ỵ

 Với S = 2 + 2 ; P = 2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
éX = 2
X 2 - (2 + 2)X + 2 2 = 0 Û êê
êë X = 2
 Với S = -4 - 2 ; P = 6 + 4 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X 2 + (4 + 2)X + 6 + 4 2 = 0 ( vơ nghiệm).

Vậy hệ có nghiệm ( x; y) là (2; 2) và ( 2; 2) .
b) Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S 2 ³ 4P . Hệ phương trình trở thành:
ìï

ïïP = 30
ìïSP = 30
ìïS = 5
ìïx + y = 5 ìïx = 2 ìïx = 3
ïï
S
ïí
ï
ïí
Û
.
Û
Û
Û ïí
Ú ïí
í
í
ïïS(S2 - 3 P) = 35 ùù ổỗ 2 90 ửữ
ùùợP = 6 ïïỵxy = 6
ïïỵ y = 3 ïïỵ y = 2
ỵ
ïïS ỗỗS - ữữ = 35
Sứ
ùợ ố

Vớ d 2: Tỡm s nghiệm của các hệ phương trình sau

ìïx 3 + 2 x = y
a) ïí 3
ïï y + 2 y = x

ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ì
ïy 2 = x3 - 3x2 + 2 x
b) ï
í 2
3
2
ï
ï
ỵx = y - 3 y + 2 y
A.1 nghiệm

2
ìï
ïï3 x = x + 2
ï

y2
c) ïí
ïï
y2 + 2
ïï3 y =
ïỵ
x2

121 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
a) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

x 3 - y 3 + 3 x - 3 y = 0 Û ( x - y )( x 2 + y 2 + xy + 3) = 0 x = y
2
ộổ
ự
y ửữ
3y2
ờ
ỗ

+ 3ỳỳ > 0 )
(Vỡ x + y + xy + 3 = ờỗ x + ữữ +
ỗ
2 ứữ
4
ờởố
ỳỷ
2

2

Thay x = y vo phng trỡnh u ta được: x 3 + x = 0 Û x = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = (0; 0) .
b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:
y 2 - x 2 = x 3 - y 3 - 3( x 2 - y 2 ) + 2( x - y )

Û ( x - y )( x 2 + xy + y 2 - 2 x - 2 y + 2) = 0

1
Û ( x - y ) éê x 2 + y 2 + ( x + y - 2)2 ùú = 0 Û x = y
ë
û
2

(vì x 2 + y 2 + ( x + y - 2)2 > 0)
Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x 3 - 4 x 2 + 2 x = 0 Û x( x 2 - 4 x + 2) = 0
éx = 0
éx = 0

Û êê 2
Û êê
ëê x - 4 x + 2 = 0 êë x = 2 ± 2
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0);(2 + 2; 2 + 2) và (2 - 2; 2 - 2) .
c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và y ¹ 0

ìïx > 0
Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x; y) thì ïí
.
ïïỵ y > 0
2
ìï
ïï3 x = x + 2
ïï
ïìï3 xy 2 = x 2 + 2 (1)
y2
Ta có í
Ûí
2
2
ïï
y 2 + 2 ïïỵ3 yx = y + 2 (2)
ïï3 y =
ïỵ
x2

Trừ (1) và (2) ta được: ( x - y )(3 xy + x + y ) = 0 Û x = y (vì 3 xy + x + y > 0 )

122 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

Với x = y : (1) Û 3 x 3 - x 2 - 2 = 0 Û ( x - 1)(3 x 2 + 2 x + 2) = 0 Û x = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (1;1) .

ì
ïx 2 + xy + y 2 = m + 6
Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất.
í
ï
2
x
+
xy
+
2
y
=
m
ï
ỵ
A. m = 12

B. m = 21

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:

Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) thế thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm

ìï3 x 2 = m + 6
Þ 3 x02 = x02 + 4 x0 + 6
suy nhất thì x0 = y0 suy ra ïí 2 0
ïïx + 4 x = m
0
ỵ 0
é x = -1 Þ m = -3
Û 2 x02 - 4 x0 - 6 = 0 Û ê 0
ê x = 3 Þ m = 21
ë 0
ì
ïx 2 + xy + y 2 = 3
+ Với m = -3 hệ trở thành ï
í
ï
ï
ỵ2( x + y ) + xy = -3

ìï S2 - P = 3
ïìS = x + y 2
ïí
Đặt ï
hệ
phương
trình
trở
thành
,

S
³
4
P
í
ïï2S + P = -3
ïïỵ P = xy
ỵ
ì é S=0
ï
2
ï
ì
ì
ìïS = -2
ï
ï S=0
ï êê
S
+
2S
=
0
ï
Ûí
Ûï
hoặc ïí
í ëS = -2 Û ï
í
ï

ï
ïïỵ P = 1
ïP = -2S - 3 ï
ï
ï
ỵ P = -3
ỵ
ï
P
=
2S
3
ï
ỵ

ìï S = 0
Khi ïí
ta có
ïïỵP = -3

é X= 3
ìïx + y = -2
2
ïí
suy ra x , y là nghiệm của phương trình X - 3 = 0 Û êê
ïïỵxy = 1
êë X = - 3

Do đó hệ có nghiệm là

(

3; - 3

)

(

và - 3; 3

)

Suy ra m = -3 thì hệ phương trình khơng có nghiệm duy nhất..

ì
ì
ïx 2 + xy + y 2 = 27
ï( x + y )2 - xy = 27
+ Với m = 21 hệ trở thành ï
Ûï
í
í
ï
ï
2
x
+
xy
+
2

y
=
21
ï
ï
ỵ
ỵ2( x + y ) + xy = 21

123 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ìïS = x + y 2
ïìïS2 - P = 27
ï
Đặt í
, S ³ 4 P hệ phương trình trở thành í
ïï2S + P = 21
ïïỵ P = xy
ỵ
ì é S=6
ï
2
ï
ì
ì
ìïS = -8
ï
ïS = 6
ï êê
S

+
2
S
48
=
0
Ûï
Ûï
hoặc ïí
(loại)
í
í ëS = -8 Û ï
í
ï
ï
ï
ï
P
=
9
P
=
37
P
=
2
S
+
21
ï

ï
ï
ï
ỵ
ỵ
ỵ
ï
ï
ỵP = -2S + 21

ïìS = 6
Khi ï
ta có
í
ïïỵP = 9

ïìïx + y = 6
suy ra x , y là nghiệm của phương trình X 2 - 6 X + 9 = 0 Û X = 3
í
ïïỵxy = 9

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) = (3; 3)
Vậy với m = 21 thì hệ có nghiệm duy nhất..

ìïx + y = 2 m - 1
Ví dụ 4: Cho ( x; y) là nghiệm của hệ phương trình ïí 2
. Tìm m để xy nhỏ nhất.
ïïx + y 2 = 2 m2 + 2 m - 3
ỵ
B. m =

A. m = -1

3
2

C. m = -

3
2

D. m = 1

Lời giải:
Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S2 ³ 4 P.

ì
ïS = 2 m - 1
Hệ phương trình trở thành ï
í 2
2
ï
ï
ỵS - 2 P = 2 m + 2 m - 3
ìS = 2 m - 1
ì
S = 2m - 1
ï
ï
ï

Ûï
Û
í
í
2
2
2
ï
ï(2 m - 1) - 2 P = 2 m + 2 m - 3 ï
ï P = m - 3m + 2
ỵ
ỵ
Điều kiện S2 ³ 4 P suy ra (2 m - 1)2 ³ 4 (m2 - 3m + 2) Û 8 m ³ 7 Û m ³

7
(*)
8

ỉ
3ư 1
1
Ta có P = xy = m - 3m + 2 = ỗỗm - ữữữ - 2ứ 4
4
ốỗ
2

2

Du bng xy ra m =
Vậy m =

3
(thỏa mãn (*))
2

3
thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
2

3. Bài tập luyện tập.

124 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ìïx + y + 2 xy = 2
a) ïí 3
ïïx + y 3 = 8
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ì
ï
x 3 + y 3 = 19
ï
b) í
ï
x + y)(8 + xy) = 2
ï
ỵ(
A.1 nghiệm

ì
ïx + y + 3 xy = 5
c) ï

í 2
2
ï
ï
ỵ2 x + 2 y - 3 xy = 1
A.1 nghiệm

ïìx + y + xy = -2
d) ï
í
ïïỵ x 2 + y 2 = 4
A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.56: a) Đặt S = x + y , P = xy . Khi đó hệ trở thành:
ì
2 -S
ï
ï
ïP =
ìS + 2 P = 2
ï
2
ï
Ûï
í 2
í
ï
ï 2 6 - 3S
ï

ỵS(S - 3 P) = 8 ù
S(S )=8
ù
ù
2
ù
ợ

ị 2S3 + 3S2 - 6S - 16 = 0 Û (S - 2)(2S2 + 7S + 8) = 0
Û S = 2 Þ P = 0 Þ x , y là nghiệm PT: X 2 - 2 X = 0 Û X = 0, X = 2 .

ïìx = 0
ïìx = 2
Vậy nghiệm của hệ là: ïí
.
È ïí
ïỵï y = 2
ïïỵ y = 0

125 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ïìïS(S2 - 3 P) = 19 ïìïSP = -8S
ïìSP = 2 - 8S
b) Đặt S = x + y ; P = xy . Khi đó hệ trở thành: í
Ûí 3
Û ïí 3
ïïS(8 + P) = 2
ïïS - 3(2 - 8S) = 19 ïïS + 24S - 25 = 0
ỵ

ỵ
ỵ

ïìS = 1
Þ x , y là nghiệm của phương trình :
Û ïí
ïïỵP = -6
X 2 - X - 6 = 0 Û X1 = 3; X2 = -2 .
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: ( x; y ) = (-2; 3), (3; -2).
c) ( x; y ) = (1;1)

(

)(

d) (-2; 0) , (0; -2) , - 2; 2 ,

2; - 2

)

Bài 3.57: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ì
ïx 2 = 3 x + 2 y
a) ï
í 2
ï
ï
ỵy = 3y + 2x

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.5 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

ì
3
ï
ï

= 2x + y
ï
ï
x2
ï
b) í
3
ï
ï
= 2y + x
ï
2
ï
y
ï
ỵ

A.1 nghiệm

ìïx 3 = 2 x - y
c) ïí 3
ïï y = 2 y - x
ỵ
A.1 nghiệm

ì
3
ï
ï
= x2 + 2 y 2

ï
ï
x
d) ï
í
3
ï
ï
= 2x2 + y 2
ï
ï
ï
ỵy

A.1 nghiệm

126 – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Lời giải:
Bài 3.57: a) Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:

éx = y
.
x 2 - y 2 = x - y Û ( x - y )( x + y - 1) = 0 Û ê
ê x = 1- y
ë
* Với x = y Þ x 2 = 3 x Û x = 0, x = 3

é y = -1 Þ x = 2

* Với x = 1 - y Þ y 2 = 3 y + 2(1 - y ) Û y 2 - y - 2 = 0 Û ê
.
ê y = 2 Þ x = -1
ë
Vậy nghiệm của hệ: ( x; y ) = (0; 0), (3; 3), (-1; 2), (2; -1) .
b) Điều kiện : x , y ¹ 0

ìï2 x 3 + x 2 y = 3
Hệ Û ïí 3
Þ 2( x 2 - y 3 ) + xy( x - y ) = 0
ïï2 y + y 2 x = 3
ỵ
Û ( x - y )(2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 ) = 0 Û x = y
3
7
(Do 2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 = 2( x + y )2 + y 2 > 0 )
4
8

Thay vào hệ ta được:

3x3 = 3 Û x = 1 = y .

Vậy hệ có nghiệm: x = y = 1 .

(

) (

c) (-1; -1) , (0; 0) , (1;1) , - 3; 3 ,

3; - 3

)

d) (1;1)

ìïx = y 2 - y + m
Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình ïí
có nghiệm duy nhất.
ïï y = x 2 - x + m
ỵ
A. m = -1

B. m = -2

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:
Bài 3.58: · Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy
nhất thì trước hết x0 = y0 .
Thay vào hệ ta được: x02 - 2 x0 + m = 0 phương trình này có nghiệm duy nhất Û D ' = 1 - m = 0 Û m = 1 .

127 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ìïx = y 2 - y + 1
· Với m = 1 hệ trở thành: ïí

Þ x2 + y 2 - 2x - 2 y + 2 = 0
2
ïï y = x - x + 1
ỵ
Û ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 0 Û x = y = 1 .Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

 DẠNG TỐN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.

ìïa x 2 + b xy + c y 2 = d
1
1
1
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I) ïí 1 2
.
ïïa x + b xy + c y 2 = d
2
2
2
ỵ 2
 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y = tx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x . Khử x ta tìm được phương trình bậc
hai theo k . Giải phương trình này ta tìm được k , từ đó tìm được ( x; y) .

2. Các ví dụ minh họa.

ì
ï
x 2 + 6 y 2 - 5 xy = 0 (1)

ï
Ví dụ 1:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: í 2
ï
ï
ỵ4 x + 2 xy + 6 x = 27 (2)
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Nếu x = 0 thay vào (1) Þ y = 0 , thay vào (2) thấy ( x; y) = (0; 0) là nghiệm của phương trình (2) nên
khơng phải là nghiệm của hệ phương trình.

ì
ïx 2 + 6t 2 y 2 - 5tx 2 = 0
Nếu x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được ï
í 2
2
ï
ï
ỵ4 x + 2tx + 6 x = 27
ìï x 2 (1 + 6t 2 - 5t ) = 0
ì
ï
6t 2 - 5t + 1 = 0 (*)
ï

ï
Ûí 2
Ûí 2
2
ïï4 x + 2tx 2 + 6 x = 27
ï
ï
ỵ
ỵ4 x + 2tx + 6 x = 27 (**)

128 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


(*) Û t =

Với t =

1
1
hoặc t =
2
3

1
thay vào (**) ta được 4 x 2 + x 2 + 6 x = 27 Û 5 x 2 + 6 x - 27 = 0
2

é
3
ê x = -3 Þ y = ê

2
Ûê
9
9
ê
ê x= Þy=
êë
5
10

Với t =

1
2
thay vào (**) ta được 4 x 2 + x 2 + 6 x = 27 Û 14 x 2 + 18 x - 81 = 0
3
3

(

)

(

)

(

é
9 1 + 15

3 1 + 15
ê
êx = Þ y =ê
14
14
Ûê
ê
9 15 - 1
3 15 - 1
ê
x
=
Þ
y
=
ê
êë
14
14

(

)

)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là

(

)

(

)

ỉ
3 1 + 15 ÷÷ư ổỗỗ 9
ổ
ửữ ổ 9 9 ửữ ỗỗ 9 1 + 15
3
ữữ , ỗ
ỗỗ-3; - ữ , ỗỗ ; ữ , ç;ç
÷÷ çç
2 ÷ø èç 5 10 ÷ø çç
14
14
èç
÷ø çè
è

(

) (

15 - 1 3
;
14

)

15 - 1 ư÷÷
÷÷ .
÷÷
14
÷ø

ìïx 2 - xy + y 2 = 1
Ví dụ 2:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau ïí 2
ïï2 x - 3 xy + 4 y 2 = 3
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Dễ thấy x = 0 khơng thoả hệ

ìïx 2 (t 2 - t + 1) = 1 (*)
Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được ïí 2 2
ïïx (2t - 3t + 4) = 3
ỵ
Suy ra 3(t 2 - t + 1) = 2t 2 - 3t + 4 Þ t = ±1
Thay vào (*) thì

é x =1Þ y =1

Với t = 1 , ta có x 2 = 1 Û ê
ê x = -1 Þ y = -1
ë

129 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


é
êx = 3 Þ y = ê
1
3
Với t = -1 ta có x 2 = Û ê
ê
3
êx = - 3 Þ y =
êë
3

3
3
3
3

ỉ 1 -1 ư÷ ỉ -1 1 ÷ư
÷ , ỗỗ
ữ , (-1; -1) v (1;1)
Vy h phng trỡnh cú nghim ( x; y) l ỗỗ
;
;
ỗố 3 3 ữữứ çè 3 3 ÷÷ø

ì
ï
x 2 + 2 xy + y 2 = 11
ï
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ: í 2
có nghiệm
2
ï
x
+
2
xy
+
3
y
=
17
+
m
ï
ỵ
A. m ³ -6

B. m £ -6

C. m < -6

D. m ³ 6

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 khơng thoả hệ
Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được

ìïx 2 (3 + 2 k + k 2 ) = 11 (* )
ïï
í 2
ïïx (1 + 2 k + 3 k 2 ) = 17 + m
ïỵ

(17 + m)(1 + 2 k + k 2 ) = 11(1 + 2 k + 3k 2 ) .

Suy ra

Û (m - 16) k 2 + 2 (m + 6) k + m + 6 = 0 (* * )

Ta có: 3 + 2 k + k 2 = ( k + 1) + 2 > 0, "k Þ (* ) ln có nghiệm x với mọi k do đó hệ ban đầu có nghiệm
2

khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm ẩn k .
Với m = 16 : Phương trình (**) trở thành 44 k + 88 = 0 Û k = -2 . Vậy m = 16 thỏa mãn.
Với m ¹ 16 :

Phương trình (**) có nghiệm Û D 'k ³ 0

Û (m + 6) - (m - 16)(m + 6) ³ 0 Û 22 (m + 6) ³ 0 Û m ³ -6
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ³ -6 .
3. Bài tập luyện tập.

ìï3 x 2 + 5 xy - 4 y 2 = 38
Bài 3.59: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: ïí 2
ïï 5 x - 9 xy - 3 y 2 = 15
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

130 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Lời giải:
Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình

ì
ï3 x 2 + 5tx 2 - 4t 2 x 2 = 38
Xét x ¹ 0 . Đặt x = ky và thay vào hệ ta được: ï
í 2
2
2 2
ï
ï
ỵ 5 x - 9tx - 3t x = 15 (*)
ìïx 2 (3 + 5t - 4t 2 ) = 38
Û ïí 2
Þ 15 (3 + 5t - 4t 2 ) = 38 (5 - 9t - 3t 2 )

ïï x (5 - 9t - 3t 2 ) = 15
ỵ
é
1
ê t=
ê
3
Û 54t 2 + 417 t - 145 = 0 Û ê
145
ê
êt = êë
18

Với t =

é x=3Þ y=1
1
thì (*) Û x 2 = 9 Û ê
ê x = -3 Þ y = -1
3
ë

Với t = -

145
15.108
thì (*) Û x 2 = : Phương trình vơ nghiệm
18
12655

ïìx = 3
ïìx = -3
Vậy ïí
.
hay ïí
ïỵï y = 1
ïïỵ y = -1

ìï 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11
Bài 3.60: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau : ïí 2
ïïx + 2 xy + 3 y 2 = 17
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.60: Dễ thấy x = 0 khơng thoả hệ

ìïx 2 (3 + 2 k + k 2 ) = 11(*)
Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được ïí 2
ïï x (1 + 2 k + 3 k 2 ) = 17
ỵ
Suy ra 17 (3 + 2 k + k 2 ) = 11(1 + 2 k + 3 k 2 )

é

5
êk = Û 16 k - 12 k - 40 = 0 Û ê
4
ê
êë k = 2
2

Thay vào (*) ta được:
131 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất






é
4
5 4
5
ê x=
Þ y =- .
=ê
4 3
5
33
16
3
3
k = - Þ x 2 = 11 Û x 2 =
Ûê

ê
4
5
4
5
4
16
3
êx = Þ y = - .(- ) =
ê
4
3
3
3
ë
é x =1Þ y = 2
k = 2 Þ 11x 2 = 11 Û x 2 = 1 Û ê
ê x = -1 Þ y = -2
ở

ổ 4 5 ửữ ổ 4
5 ử
ữữ ; ỗỗ
Vy h phng trỡnh cú nghim ( x; y) l ỗỗ;
; - ữữữ ; (1; 2) ; (-1; -2)
ỗố
3 3 ữứ çè 3
3 ÷ø

ì

ï
x 2 - 4 xy + y 2 = m
ï
Bài 3.61: Cho hệ phương trình : í 2
ï
ï
ỵ y - 3 xy = 4
a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m = 1
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. "m

D. m = Ỉ

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
A. m = 2

B. m = (0; 7 )

Lời giải:
Bài 3.61: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty , ta có :
ìï t 2 - 4t + 1 m
2 2

2
2
2 2
ì
ì
ïï
ï
ï
t
y
4
ty
+
y
=
m
y
(
t
4
t
+
1)
=
m
=
ï
Hệ  ï



í 1 - 3t
í 2
í
4 (I)
2
2
ïï 2
ï
ï
y
3
ty
=
4
y
(1
3
t
)
=
4
ï
ï
ỵ
ỵ
ïïỵ y (1 - 3t ) = 4

Do y ¹ 0 nên từ y 2 (1 - 3t ) = 4 Þ 1 - 3t > 0 Û t <

1

3

ì
ï
t 2 - 4t + 1 1
ï
=
ï
a) Với m = 1 ta có hệ phương trình í 1 - 3t
4
ï
2
ï
ï
ï
ỵ y (1 - 3t ) = 4

Ta có nghiệm là (1 ; 4) , (-1 ; -4) .

ì
ï4(t 2 - 4t + 1) = m(1 - 3t )
b) Ta có : (I)  ï
í 2
ï
ï
ỵ y (1 - 3t ) = 4

132 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï4t 2 - (16 - 3m)t + 4 - m = 0 (*)
 ïí 2
ïï y (1 - 3t ) = 4
ỵ
Đặt f (t ) = 4t 2 - (16 - 3m) t + 4 - m thì
Hệ có nghiệm (*) cú nghim tho món t <

ổ
1ử
t ẻ ỗỗ-Ơ; ữữ ct trc honh "m
ỗố
3 ữứ

1
th hm số f (t ) = 4t 2 - (16 - 3m) t + 4 - m với
3

 DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN .
1. Phương pháp giải.
 Đưa về phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình trong hệ
hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương trình tích.
 Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến đổi đại
số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ì
ï4 x 2 + 1 = y 2 - 4 x
a) ï

í 2
2
ï
ï
ỵ x + xy + y = 1
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ì
ï 2 xy + 3 x + 4 y = -6
b) ï
í 2
2

ï
ï
ỵx + 4 y + 4 x + 12 y = 3
A.1 nghiệm

ìï
ïïx + 5 xy = 2 ( y + 1)
x2 + y 2
c) ïí
ïï
2
ïï ( x - 1) = y (3 - 5 y)
ỵ

A.1 nghiệm

133 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Lời giải:

ì
ï ( x + 2)(2 y + 3) = 0
a) Hệ phương trình tương đương với ï
í 2
2
ï
ï
ỵx + 4 y + 4 x + 12 y = 3
ì

ì
x+2 = 0
2y + 3 = 0
ï
ï
(1) hoặc ï
(2)
Ûï
í 2
í 2
2
2
ï
ï
x
+
4
y
+
4
x
+
12
y
=
3
x
+
4
y

+
4
x
+
12
y
=
3
ï
ï
ỵ
ỵ
ìï
ìï
x = -2
x = -2
ïí
Ta có (1) Û ïí 2
(Vơ nghiệm)
Û
2
2
ïỵïx - y + 2 x - 4 y = 5 ïỵï y + 4 y + 5 = 0
ì
ì
5
1
ï
ï
ì

ì
ï
ï
3
3
ï
ï
x =x=
ï
ï
ï
ï
y =y =ï
2 hoặc ï
2
Ûï
Ûí
(2) Û ïíï
í
í
2
2
ï
ï
ï
3
3
2
2
2

ï
ï
ï
y =ïx - y + 2 x - 4 y = 5 ï
ï4 x + 8 x - 5 = 0 ï
ïy = ï
ỵ
ỵ
ï
2
2
ï
ï
ỵ
ỵ

ỉ 5 3ử
ổ 1 3ử
Vy h phng trỡnh cú nghim l ỗỗ- ; - ữữữ v ỗỗ ; - ữữữ .
ỗố 2 2 ứ
ốỗ 2 2 ứ
2
ỡ
2
ỡ y = (2 x + 1)
ï
ï
ï (2 x + 1) = y
Ûï
b) Hệ phương trình tương đương với í

í 2
2
2
2
ï
ï
x
+
xy
+
y
=
1
ï
ï
ỵx + xy + y = 1
ï
ỵ

ì
y = 2x + 1
ï
ì
ï y = 2x + 1
ï
Û
Xét hệ ïí 2
í
2
2

2
ï
ï
ïx + xy + y = 1 ï
ïx + x (2 x + 1) + (2 x + 1) = 1
ỵ
ỵ
é ì
x=0
ï
ê ï
í
ì
ê
y = 2x + 1
ï
ï
ïy = 1
ê ï
ỵ
ï
ì
ê
ï
ï y = 2x + 1
é x=0
ï
Ûï
Ûï
Û êì

í 2
í ê
ïx = - 5
êï
ï
ï
ê
7
x
+
5
x
=
0
ï
ï
ỵ
7
êï
êx = - 5
ï
í
ï
ê
ê
ï
7
ỵ ë
ïy = - 3
êï

êï
7
ï
ỵ
ëï

ì
y = -2 x - 1
ï
ì
y = -2 x - 1
ï
ï
ï
Û
Xét hệ í 2
í
2
2
2
ï
x
x
2
x
+
1
+
2
x

+
1
=1
(
)
(
)
ïx + xy + y = 1 ï
ï
ỵ
ï
ỵ

éïì x = 0
ïìï y = -2 x - 1 êêïí
ïï y = -1
ìï y = -2 x - 1 ï
Û ïí 2
Û ïí é x = 0 Û êỵ
êì
ïïỵ3 x + 3 x = 0 ïï ê
êïïx = -1
ê
ïïỵ ë x = -1
êí
êëïïỵ y = 1

134 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ỉ 5 3ư
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) l (0;1) , ỗỗ- ; - ữữữ , (0; -1) v (-1;1) .
ỗố 7 7 ứ
c) KX: x ạ 0 và y ¹ 0
Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với

x+

5 xy
5 xy
= 2 ( y + 1) Û x - 2 y + 2
-2 = 0
2
x +y
x + y2
2

Û x - 2y +

( x - 2 y)( y - 2 x)
5 xy - 2 x 2 - 2 y 2
=
0
Û
x
2
y
+
=0
x2 + y 2

x2 + y 2

é
x = 2y
Û ( x - 2 y )( x 2 + y 2 - 2 x + y ) = 0 Û ê 2
2
ê x + y - 2x + y = 0
ë
Suy ra hệ phương trình tương đương với
x = 2y
ïìï
(3) hoặc
í
ïï( x - 1)2 = y (3 - 5 y)
ïỵ

ìïx 2 + y 2 - 2 x + y = 0
ïï
(4)
í
ïï ( x - 1)2 = y (3 - 5 y)
ïỵ

ì
x = 2y
ï
ì
ï
x = 2y
ï

ì
x
=
2
y
ï
ï
ï
ï
Ûí 2
Ûí
Ta có (3) Û í
2
7 ± 13
ï
ï
9y - 7 y + 1 = 0 ï
2
y
1
=
y
3
5
y
y=
(
)
(
)

ï
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
ï
18
ï
ỵ

ìï
ìï
ïï x = 7 + 13
ïï x = 7 - 13
ïï
ï
9
9
Ûí
hoặc ïí
(thõa mãn)
ïï
ï
7 + 13
7
13
ïï
ïï y =
ïï y = 18

18
ỵï
ỵ
ì
ï
x 2 - 2 x = -y 2 - y
2
2
2
2
ì
ì
ï
ï
ï
x
2
x
=
y
y
x
2
x
=
y
y
Ûï
(4) Û ïíï1 - y 2 - y = y 3 - 5 y Û ïíï 2
í

1
ï
4
y
4
y
+
1
=
0
(
)
y=
ï
ï
ï
ỵ
ỵ
ï
2
ï
ỵ
ì
ì
ì
3
1
3
ï
ï

ï
2
ï
ï
x=
ïx - 2 x + = 0 ï
ïx =
ï
4
2 hoặc ï
2 (thỏa mãn)
Ûï
Ûï
í
í
í
ï
ï
ï
1
1
1
ï
ï
ï
y=
y=
y=
ï
ï

ï
ï
ï
ï
2
2
2
ï
ï
ï
ỵ
ỵ
ỵ

ỉ 7 + 13 7 + 13 ư÷ ỉ 7 - 13 7 - 13 ữử ổ 1 1 ử
ổ
ử
ữữ , ỗỗ
ữữ , ỗỗ ; ữữ v ỗỗ 3 ; 1 ữữ
Vy h phng trỡnh cú nghim ( x; y) l ỗỗỗ
;
;
ỗố 2 2 ứữ
ỗố 9
18 ữữứ ỗỗố 9
18 ữữứ ỗố 2 2 ø÷
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

135 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ì
ï
x 2 + 3 = xy
ï
a) í 2
2
ï
ï
ỵ y + 5 x = 4 xy + 3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ì
ï
x 3 + 2 y 3 + 2 y 2 = 2 xy ( x + 1)
ï
ï
b) í
ï
3 xy = 2 ( x 2 - y)
ù
ù
ợ

A.1 nghim

ỡ
ổ
ù
1 ửữ
ùỗ
ữữ y = 2
2
ùỗ
ù
ữứ
ỗỗố
2
x
+
y
ù

c) ù
ớ
ùổ
ử
ù
ỗỗ2 + 1 ữữ x = 2
ù
ù
ỗỗ
2 x + y ữứữ
ù
ù
ợố

A.1 nghim

Li gii:
ỡ
ù
xy - x 2 = 3
ï
a) Hệ phương trình tương đương với í 2
ï
y + 5 x 2 = 4 xy + ( xy - x 2 )
ï
ï
ỵ

ìï
ïìï

xy - x 2 = 3
xy - x 2 = 3
ï
Ûí 2
Ûí
ïï6 x - 5 xy + y 2 = 0 ïï(2 x - y)(3 x - y) = 0
ỵ
ỵ
ìïxy - x 2 = 3
ìïxy - x 2 = 3
ï
Ûí
(1) hoặc ïí
(2)
ïï 2 x - y = 0
ïï 3 x - y = 0
ỵ
ỵ
ì
ìï
ì x2 = 3 ì
ï
ï
ï
ïx = ± 3 Û ï x = 3 hoặc ï x = - 3
Û
Giải hệ (1): (1) Û ï
í
í
í

í
ï
ï
ïï y = -2 3
y
=
2
3
ïy = 2x ï
ï y = 2x
ï
ỵ
ỵ
ï
ïỵ
ỵ

ìï
ìï
ïï x = 6
ïï x = - 6
ìï
6
ìï2 x = 3 ïïx = ±
ï
2 hoặc ïï
2
Ûí
Û ïí
Giải hệ (2): (2) Û ïí

í
2
ïï y = 3 x
ïï
ïï
ï
3 6
3 6
ïï
ỵ
ïïỵ y = 3 x
ïï y =
y =ï
ïỵ
ïỵ
2
2
2

136 – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Vậy hệ phương trình có nghiệm là

(

ỉ 6 3 6 ửữ
ổ
ử
ữữ v ỗỗ- 6 ; - 3 6 ữữữ .

3; 2 3 , - 3; -2 3 , ỗỗỗ
;
ỗỗ 2
ỗố 2
2 ÷÷ø
2 ÷÷ø
è

)(

)

ìïx 3 - 2 y 3 - 2 x 2 y + 2 y ( y - x) = 0
b) Hệ phương trình tương đương với ïí
ïï
2 y = 2 x 2 - 3 xy
ỵ
ì
ìx 3 - 3 x 2 y + 3 xy 2 - 2 y 3 = 0
ïx 3 - 2 y 3 - 2 x 2 y + (2 x 2 - 3 xy) ( y - x) = 0 ï
ï
Ûï
Û
í
í
2
ï
ï
2 y = 2 x 2 - 3 xy
2

y
=
2
x
3
xy
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
ì
ï
ì x - 2y = 0
x - 2 y)( x 2 - xy + y 2 ) = 0 ï
(
ï
Ûí
Ûï
(3) hoặc
í
2
ï
ï
2 y = 2 x 2 - 3 xy
2
y
=
2
x

3
xy
ï
ï
ỵ
ï
ỵ

ì
ï
x 2 - xy + y 2 = 0
ï
(4)
í
2
ï
ï
ỵ 2 y = 2 x - 3 xy

ì
x = 2y
ï
ï
ì
ì x = 2y
x
=
2
y
ï

ï
ï
ï
ï
ï
Ûí 2
Û í éy = 0
Giải hệ (3): (3) Û í
2
2
ê
ï
ï
ï
2
y
=
8
y
6
y
2
y
2
y
=
0
ï
ï
ï

ỵ
ỵ
ê
ï
ï
ỵ ëy =1

ïì x = 0
ïìx = 2
hoc ùớ
ùớ
ùùợ y = 0
ùùợ y = 1
ổ
y ửữ
3y2
ỗ
0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 và x = y = 0
Giải hệ (4): Ta có x - xy + y = ỗ x - ữữ +
ỗố
2 ữứ
4
2

2

2

tha món phng trỡnh thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là x = y = 0 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (0; 0) và (2;1) .

ìï x ³ 0
c) ĐKXĐ: ïí
và 2 x + y ạ 0
ùùợ y 0
D thy x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vơ nghiệm. Xét xy ¹ 0 ta có

ìï
1
ïï1 =
ïï 2 (2 x + y)
Hệ phương trình tương đương với ïí
ïï
1
=
ïï 1 +
2 (2 x + y)
ïïỵ
Cộng vế với vế ta được 2 =

1
y

+

1
x

1
y

(*)

1
x

(5), trừ vế với vế ta được -

1
1
1
(6)
=
2x + y
y
x

ổ 1
ữữỗỗ 1
2
1 ửổ
1 ửữữ
ỗỗ
=ỗ
+
Nhõn hai v ca phng trỡnh (5) v (6) ta c ữữỗ
ữữ
2x + y ỗỗố y
ữỗỗ y
x øè

x ø÷

137 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Û-

2
1 1
= - Û -2 xy = ( x - y)(2 x + y)
2x + y y x

é y = -x
Û 2 x 2 + xy - y 2 = 0 Û ( x + y)(2 x - y) = 0 Û ê
ê y = 2x
ë
Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có y = 2 x thỏa mãn, thay vào (*) ta được
é
ê x = 2 +2
ê
1
1
4
1- =
Û 8 x - 4 2. x - 1 = 0 Û ê
ê
8x
2x
ê x = 2 - 2 (VN )
êë

4
Û x=

3+2 2
3+2 2
Þy=
(thỏa mãn)
8
4

ỉ 3 + 2 2 3 + 2 2 ư÷
÷÷ .
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = ỗỗỗ
;
ỗố
8
4 ữữứ
Nhn xột: õy l loi h phng trình có thể biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp(cùng bậc) từ đó dễ
dàng phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ìïx 2 - 2 y 2 + xy + 3 x + 2 = 0
a) ïí
ïï
x2 + y 2 = x + y
ỵ
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ìï x 2 + y 2 + xy = 3
b) ïí 2
ïïx + 2 xy + 9 = 7 x + 5 y
ỵ
A.1 nghiệm

Lời giải:

ïì( x - y + 1)( x + 2 y + 2) = 0
a) Hệ phương trình tương đương với ï
í
ïïỵ
x2 + y 2 = x + y
ìé x- y +1= 0
ï
ï
ì
ï x- y +1= 0
ï êê
Ûï

(1) hoặc
í ëx + 2y + 2 = 0 Û ï
í 2
ï
ï
x + y2 = x + y
ï
ï
ỵ
2
2
ï
ï
ỵx + y = x + y

ìï x + 2 y + 2 = 0
ïí
(2)
ïïỵx 2 + y 2 = x + y

138 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ì
y = x +1
ï
ìy = x + 1 ï
ìx = 0
ï
ï

Ûï
Ûï
Giải hệ (1): (1) Û í 2
í 2
í
2
ï
ï
ïx + ( x + 1) = x + x + 1 ï
ï 2x = 0
ïy = 1
ỵ
ỵ
ï
ỵ
x = -2 y - 2
ïìï
ïìï x = -2 y - 2
Û
Giải hệ (2): (2) Û í
(vô nghiệm)
í
2
ïï(-2 y - 2) + y 2 = -2 y - 2 + y ïïỵ5 y 2 + 9 y + 6 = 0
ïỵ

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (0;1)
b) Cộng hai phương trình của hệ ta có
2 x 2 + y 2 + 3 xy - 7 x - 5 y + 6 = 0 Û ( y + 2 x - 3)( y + x - 2) = 0

é y + 2x - 3 = 0 ì
ïy = 3 - 2x
Ûê
Ûï
í
ê y + x-2 = 0
ï
ï
ë
ỵ y = 2-x
ìïx 2 + xy + y 2 = 3
Suy ra hệ phương trình tương đương với ïí
(3) hoặc
ïï y = 3 - 2 x
ỵ

ìïx 2 + xy + y 2 = 3
ïí
(4)
ïï
y
=
2
x
ỵ

2
ìï 2
2
ïx + x (3 - 2 x) + (3 - 2 x) = 3 ìïï3 x - 9 x + 6 = 0

Ûí
Giải hệ (3): (3) Û í
ïï
ïï y = 3 - 2 x
y
=
3
2
x
ỵ
ïỵ

ì
éx = 1
ï
ï
ê
ìx = 1
ï
ïì x = 2
ï
Ûï
hoặc ïí
í êë x = 2 Û ï
í
ï
ï
ïïỵ y = -1
ï
ï

ỵy = 1
ï
y
=
3
2x
ï
ỵ
2
ì
2
ï
ìx = 1
ïx 2 - 2 x + 1 = 0 ï
ï x + x ( 2 - x) + ( 2 - x) = 3 ì
Ûï
Giải hệ (4): (4) Û í
Û ïí
í
ï
ï
ïïỵ y = 1
y = 2-x
ï
ï
ỵ y = 2-x
ï
ỵ

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1;1) và (2; -1)

Nhận xét:
+ Để phân tích phương trình một phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem một ẩn, ẩn cịn lại là
tham số từ đó dựa vào ứng dụng của định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét)
+ Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình khơng thể phân tích được thành
tích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực a sao cho x 2 + 2 xy - 7 x - 5 y + 9 + a ( x 2 + xy + y 2 ) = 3a

139 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Û (1 + a) x 2 + (2 y + a y - 7 ) x + a y 2 - 5 y + 9 - 3a = 0 có thể phân tích thành nhân tử. Điều này có được khi

Dx = (2 y + a y - 7 ) - 4 (1 + a)(a y 2 - 5 y + 9 - 3a) = (4 - 3a 2 ) y 2 + (6a - 8) y + 12a 2 - 24a + 13 là số chính
2

phương hay D ' y = (3a - 4) - (4 - 3a 2 )(12a 2 - 24a + 13) = 36a 4 - 72a 3 + 72a - 36 = 0
2

Û a = 1 hoặc a = -1 . Từ đó ta có lời giải như trên(ngồi ra ta cũng có thể trừ vế với vế).

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
ìï 1
y 2 x
ïï
+ =
+2
ï
a) í x x
y
ïï
ïïỵ2 y 2 - 2 y + 1 = 3 xy

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ìï
ïï2 + 6 y + x - 2 y = x
y
b) ïí
ïï
2
ïïỵ x (1 - 8 y) = x + 2 y
A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x > 0, y ¹ 0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

1
x

+

y 2 x
=
+ 2 Û y x + y 2 = 2 x x + 2 xy Û y 2 + y( x - 2 x) - 2 x x = 0
x
y

Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có

D x = ( x - 2 x)2 + 8 x x = x + 4 x x + 4 x 2 = ( x + 2 x)2 > 0 .
Do đó, phương trình này có hai nghiệm là
y=

(2 x - x ) - ( x + 2 x)
(2 x - x ) + ( x + 2 x)
= - x và y =
= 2x
2
2

ìï y = - x
Suy ra hệ phương trình tương đương với ï
(3) hoặc
í 2
ïï2 y - 2 y + 1 = 3 xy
ỵ

ì

y = 2x
ï
ï
(4)
í 2
ï
2
y
2
y
+
1
=
3
xy
ï
ỵ

140 – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất