TÍCH vô HƯỚNG hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b và AB = c . Ta có :

a 2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A

b2 = c 2 + a 2 - 2ca.cos B

A

c 2 = a 2 + b2 - 2 ab.cos C
b
c
Hệ quả:
b2 + c 2 - a2
cos A =
C
2bc
B
a
2
2
2
c + a -b
Hình 2.6
cos B =
2ca
a2 + b2 - c 2
cos C =
2 ab

2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b , AB = c và R là bán kính

đường trịn ngoại tiếp. Ta có :
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ
từ A, B, C. Ta có :
2(b2 + c 2 ) - a 2
ma2 =
4
2
2( a + c 2 ) - b2
mb2 =
4
2
2(
a
+
b2 ) - c 2
mc2 =
4
4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các
cạnh BC, CA, AB; R, r
lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p =

tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
abc
=
4R

a+b+c
là nửa chu vi
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
= pr
=

p( p - a)( p - b)( p - c ) (cơng thức Hê–rơng)

B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
1. Phương pháp.
 Sử dụng định lí cơsin và định lí sin
 Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu
tố trong các cơng thức tính diện tích trong tam giác.
2. Các ví dụ.
3
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A = .
5

Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
A. BC = 2 , ha =

29
29

B. BC = 29 , ha =

6 29
29

16 29
29

D. BC = 29 , ha =

3 29
29

C. BC = 29 , ha =
Lời giải

3
Áp dụng định lí cơsin ta có BC 2 = AB2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos A = 4 2 + 52 - 2.4.5. = 29
5

Suy ra BC = 29
Vì sin 2 A + cos 2 A = 1 nên sin A = 1 - cos 2 A = 1 Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC =
Mặt khác SABC =

1
1
a.ha = . 29.ha (2)
2
2

9
4
=
25 5

1
1
4
AB. AC.sin A = .4.5. = 8 (1)
2
2
5

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Từ (1) và (2) suy ra

1
16 29
. 29.ha = 8 Þ ha =
2
29

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha =

16 29
29

 = 300 , B
 = 450 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính bằng 3, biết A

Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A
A. ma = 22, 547

B. ma = 27, 54

C. ma = 19, 57

Lời giải
 = 1800 - A
- B

 = 1800 - 300 - 450 = 1050
Ta có C

Theo định lí sin ta có a = 2 R sin A = 2.3.sin 300 = 3 ,
b = 2 R sin B = 2.3.sin 450 = 6.

2
=3 2
2

c = 2 R sin C = 2.3.sin 1050 » 5,796
Theo cơng thức đường trung tuyến ta có

m =
2
a

2 (b 2 + c 2 ) - a 2
4

»

2 (18 + 5,796 2 ) - 9
4

= 23, 547

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có
1
bc sin A 3 2.5,796 sin 300

SABC = pr = bc sin A Þ r =
»
» 0,943
2
2p
3 + 3 2 + 5,796

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết
 = 5 13 .
AB = 3, BC = 8, cos AMB
26

Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC .
Lời giải
hình 2.7)

D. ma = 23, 547


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
BC = 8 Þ BM = 4 . Đặt AM = x

A

Theo định lí cơsin ta có
=
cos AMB

Suy ra

AM 2 + BM 2 - AB2
2 AM. AB

B

5 13 x 2 + 16 - 9
=
26
2.4.x

M
Hình 2.7

é x = 13
ê
Û 13 x 2 - 20 13 x + 91 = 0 Û êê
7 13
êx =
êë
13

Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có

AM =
2

2 ( AB2 + AC 2 ) - BC 2
2 AB. AC

TH1: Nếu x = 13 Þ 13 =

2 (32 + AC 2 ) - 8 2
4

Þ AC = 7 .

Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
cos A =

AB2 + AC 2 - BC 2 9 + 49 - 64
1
=
=2 AB. AC
2.3.7
7

Suy ra A » 98012'
2
2
2
7 13
49 2 (3 + AC ) - 8
397
Þ
=
Þ AC =
TH2: Nếu x =
13
13
4

13

Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
397
- 64
AB + AC - BC
53
13
cos A =
=
=2 AB. AC
397
5161
2.3.
13
2

2

Suy ra A » 137 0 32'

2

9+

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn

=
sin BDE

1
.
3

Tính độ dài cạnh AB .
A.

B.

2

C. 2 2

5

D.

3

Lời giải:
(hình 2.8)
Đặt AB = 2 x ( x > 0) Þ AE = EB = x .

A

E

B

 nhọn nên cos BDE
 > 0 suy ra
Vì góc BDE
 = 1 - sin 2 BDE
=2 2
cos BDE
3

D

C
Hình 2.8

Theo định lí Pitago ta có:

DE2 = AD 2 + AE2 = 1 + x 2 Þ DE = 1 + x 2
BD 2 = DC 2 + BC 2 = 4 x 2 + 1 Þ BD = 4 x 2 + 1
Áp dụng định lí cơsin trong tam giác BDE ta có
=
cos BDE

DE2 + DB2 - EB2
2 2
4x2 + 2
Û
=
2 DE.DB
3

2 (1 + x 2 )(4 x 2 + 1)

Û 4x4 - 4x2 + 1 = 0 Û 2x2 = 1 Û x =

Vậy độ dài cạnh AB là

2
(Do x > 0 )
2

2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh
 = 600 . Tính cạnh BC.
AB = 9 và ACB


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

(

A. BC = 1 + 6

(

)

C. BC = 3 2 + 6

(

)

(

)

B. BC = 2 1 + 6

)

D. BC = 3 1 + 6
Lời giải:

Bài 2.56: Đặt BC = x ( x > 0) . MN = 3 Þ AC = 6 .
Theo định lí cơsin ta có AB2 = CA 2 + CB2 - 2.CA.CB.cos C

(

1
Hay 81 = 36 + x 2 - 2.6.x. Û x = 3 1 + 6
2

)

Bài 2.57: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 1 . Trên tia đối của AC lấy điểm D sao
 = 300 . Tính AC.
cho CD = AB . Giả sử CBD
A. AC = 3 2

B. AC = 3 - 3 2

C. AC = 1 + 3 2

D. AC = 2 + 3 2

Lời giải:
Bài 2.57: Đặt AC = x ( x > 0)
Áp dụng định lí cơsin trong tam giác ABD ta có BD 2 = 1 + (1 + x) - 2 (1 + x) .
2

Áp dụng định lí sin trong tam giác BCD ta có BD =

1
x

1
=2
sin BCD
0
x
sin 30

Suy ra ta được phương trình

x 4 + 2 x 3 - 2 x - 4 = 0 Û ( x + 2)( x 3 - 2) = 0 Û x = 3 2
Vậy AC = 3 2
Bài 2.58. Cho a = x 2 + x + 1; b = 2 x + 1; c = x 2 - 1 . Giả sử a , b , c là ba cạnh của một tam
giác. Chứng minh rằng tam giác đó có một góc bằng 1200

Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.58: cos A =

b2 + c 2 - a2
1- x2
1
=
= - Þ A = 1200
2
2bc
2
2 ( x - 1)

Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8 .
a) Tính diện tích tam giác ABC
A. S = 5 3

B. S = 6 3

C. S = 4 3

D. S = 3 3

b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
A. R =

3

3
, r=
3
4

B. R =

7 3
4 3
, r=
3
3

C. R =

8 3
2 3
, r=
3
3

D. R =

7 3
2 3
, r=
3
3

C. ha =

5 6
2

c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. ha =

6
2

B. ha = -

3 6
2

D. ha =

3 6
2

Lời giải:
Bài 2.59: a) Áp dụng công thức Hê - rông ta có S = p( p - a)( p - b)( p - c ) = 6 3
b) Áp dụng công thức tính diện tích S =
c) ha =

7 3
2 3
abc
, r=
và S = pr suy ra R =

3
3
4R

2S 12 6 3 6
=
=
a
8
2

Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn

a
3

=

b
2

=

2c
6- 2

.

a) Tính các góc của tam giác.
A. B = 1200 , A = 450 , C = 150

B. C = 1200 , B = 450 , A = 150

C. A = 1200 , C = 450 , B = 150

D. A = 1200 , B = 450 , C = 150


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b) Cho a = 2 3 . Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
A.2

B.3

C.4

D.5

Lời giải:
Bài 2.60: HD: a) Đặt

a
3

6- 2
t
2

= t > 0 Þ a = 3t , b = 2t , c =

Áp dụng định lí cơsin ta có

(
(

)
)

(

)

2
2
2
b 2 + c 2 - a 2 2t + 2 - 3 t - 3t
1
cos A=
=
= - Þ A = 1200
2bc
2
2 3 -1 t2

2
2
2
a 2 + c 2 - b2 3t + 2 - 3 t - 2t
2
cos B=

=
=
Þ B = 450 , C = 150
2
2 ac
2
2 3- 3 t

(

b) Áp dụng định lí sin, ta có: R =

)

a
2 3
=
=2.
2 sin A 2 sin 1200

 = 600 , a = 10, r = 5 3 .
Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A
3

a) Tính R
A. R =

3
3

B. R =

4 3
3

C. R =

8 3
3

D. R =

10 3
3

b) Tính b, c
A. b = c = 10

B. b = c = 7

C. b = c = 9

D. b = c = 8

Lời giải:
Bài 2.61: (hình 2.22)

A
N

P
r
B

10

I
M

Hình 2.22

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

a) 2 R =

a
20 3
10 3
=
ÞR=
sin A
3
3

b) Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA và AB với đường tròn nội tiếp tam
giác ABC . Ta có AP = AN - r.cot 300 = 5, BP + NC = BM + MC = a = 10
Þ (b - AN ) + (c - AP) = 10 Þ b + c = 20 (1).

(b + c )

2

Theo định lí cơsin ta có a = b + c - 2bc cos 60 Þ bc =
2

2

2

0

- a2

3

= 100 (2)

Từ (1) và (2) suy ra b, c là nghiệm của phương trình x 2 - 20 x + 100 = 0 Û x = 10
Vậy b = c = 10 Þ DABC đều.

 = 600 .
Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và A
a) Tính chu vi của tam giác
A. P = 22,72

B. P = 20,72

C. P = 22

D. P = 21,72

B. tan C = -5

C. tan C = 5 3

D. tan C = -5 3

b) Tính tan C
A. tan C = - 3

c) Lấy điểm D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên tia AC sao cho
AE = x . Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE

A. x = 5 + 85

B. x = -5 + 85

C. x = 3 + 85

Lời giải:
Bài 2.62: a) Theo định lí cơsin ta có

BC 2 = 10 2 + 4 2 - 2.10.4 cos 600 = 76
Þ BC » 8,72

D. x = 5 + 5

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Suy ra chu vi tam giác là 2 p » 10 + 4 + 8,72 = 22,72
b) (Hình 51a.)
A

Kẻ đường cao BH ta có
10

AH = AB cos 60 = 5 Þ HC = 5 - 4 = 1 .
0

BH = AB.sin 600 = 5 3

4 C
H

B

Hình 2.23a

 = - HB = -5 3
Vậy tan C = - tan BCH
HC

c) (Hình 51b.)
D

Để BE là tiếp tuyến đường trịn (C) ta phải có
BE2 = BA.BD = 10 (10 + 6) = 160.

Áp dụng định lí cơsin trong tam giác ABE ta có

BE2 = x 2 + 100 - 10 x Þ x 2 - 10 x - 60 = 0 Þ x = 5 + 85 .

A

B

C
E
Hình 2.23b.

Bài 2.63. Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường trịn (O;R).
a) Tính cơsin của các góc tam giác.
A. cos A =

b2 - R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2 R2
R2

B. cos A =

b2 - 2 R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
2
R2
4 R2

C. cos A =

b2 - R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
R2
4 R2

D. cos A =

b2 - 2 R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2 R2
4 R2

b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

A. r =

B. r =

C. r =

(

b2 R2 - b2

2 R 2 R + R2 - b2
b2 R2 - b2

(

2 R R + R2 - b2

(

)

)

b2 4 R2 - b2

R 2 R + 4 R2 - b2

)

S
b2 4 R2 - b2
D. r = =
p 2 R 2 R + 4 R2 - b2

(

)

c) Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?
A. b = 4 R 3

B. b = R 3

C. b = 3 R 3

D. b = 2 R 3

Lời giải:
Bài 2.63: (hình 2.24)

 =C
 = a Þ a < 900
a) Giả sử tam giác cân tại đỉnh A. Đặt B
Ta có sin a =
cos A =

b) S =

b
b2
Þ cos B = cos C = cos a = 1 - 2
2R
4R

A

AB2 + AC 2 - BC 2 b2 - 2 R2
=
2 AB. AC
2 R2

1
1
b
BC. AH = .2b cos a.b sin a =
2
2

Chu vi tam giác là 2 p = 2b + 2b

b

3

4R - b
4 R2
2

α

B

2

H
Hình 2.24

4 R2 - b2
2R

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r =

S
b2 4 R2 - b2
=
p 2 R 2 R + 4 R2 - b2

(

)

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
c) Ta phải tìm b để y = b3 4 R2 - b2 đạt GTLN
Áp dụng BĐT Cauchy cho bn s ta cú

ổ b2 b2 b2
ử
ỗỗ + + + (4 R2 - b2 )ữữ
2
2
2
ữữ
ỗ
b b b
3
3
ữữ = 3 3 R4 Dấu bằng xảy

y=3 3
. . .(4 R2 - b2 ) Ê 3 3 ỗỗ 3
ỗ
ữữ
3 3 3
4
ỗỗ
ữữ
ỗố
ứ
4

ra khi và chỉ khi

b2
= 4 R2 - b2 Û b = R 3 .
3

 DẠNG 2: Giải tam giác.
1. Phương pháp.
 Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho
trước.
 Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau :
biết một cạnh và hai
góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.
Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc
trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có
cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
2. Các ví dụ.

 = 87 0 .
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A
 » 360 , B
 = 57 0
A. a » 53,8 , C

 » 400 , C
 = 530
B. a » 53,8 , B

 » 360 , C
 = 57 0
C. a » 52,8 , B

 » 360 , C
 = 57 0
D. a » 53,8 , B
Lời giải:

Theo định lí cơsin ta có
a 2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A = 32 2 + 4 2 - 2.32.4.sin 87 0

Suy ra a » 53,8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Theo định lí sin ta có
sin B =

b sin A 32 sin 87 0

 » 360
=
ÞB
a
53,8

 = 1800 - A
 -B
 » 1800 - 87 0 - 360 = 57 0
Suy ra C
 = 600 , B
 = 400 và c = 14 .
Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A

 = 800 , a » 12, 5 , b » 9,1
A. C

 = 800 , a » 12, 3 , b » 9,8
B. C

 = 800 , a » 11, 3 , b » 9,1
C. C

 = 800 , a » 12, 3 , b » 9,1
D. C
Lời giải:

 = 1800 - A
 -B
 = 1800 - 600 - 400 = 800

Ta có C
Theo định lí sin ta có
a=

c sin A 14.sin 600
=
Þ a » 12, 3
sin C
sin 800

b=

c sin B 14.sin 400
=
Þ b » 9,1
sin C
sin 800

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a = 2 3 , b = 2 2 , c = 6 - 2 . Tính góc lớn nhất của
tam giác.

 = 1200
A. B

 = 1100
B. A

 = 1000
C. A

 = 1200
D. A

Lời giải:

  do đó góc A là lớn nhất.
Theo giải thiết ta có c < b < a suy ra C
Theo định lí cơsin ta có
cos A =

b +c -a
=
2bc
2

2

 = 1200
Suy ra A

2

8+

(

)

2

6 - 2 - 12 2

2.2 2.

(

6- 2

)

=

4-4 3

8 3 -8

=-

1
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 1200 .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.64: Giải tam giác ABC biết
a) a = 2, b = 3, c = 4 .

 » 280 57 ' , C
 » 460 34' , A
 » 1040 29'
A. A
 » 280 , B
 » 460 , C
 » 1060
C. A

 » 280 57 ' , B
 » 460 34' , A
 » 1040 29'
B. C
 » 280 57 ' , B
 » 460 34' , C
 » 1040 29'
D. A

 = 1100 .
b) a = 12; c = 8, 2 và A
 » 390 57 ' , B
 » 330 3' , b » 6,6
A. C
 » 390 57 ' , B
 » 330 3' , b » 6,9
C. C

 » 390 57 ' , B
 » 330 3' , b » 6,96
B. C

 » 390 57 ' , B
 » 330 3' , b » 6,6
D. C
Lời giải:

Bài 2.64: HD: a) Theo định lí cơsin ta có
32 + 4 2 - 2 2 7
 » 280 57 '
cos A =
= ÞA
2.3.4
8
cos B =

2 2 + 4 2 - 32 11
 » 460 34'
=
ÞB
2.2.4
16

 = 1800 - A
 -B
 » 1040 29'
C
b) Theo định lí sin ta có
sin C =

c sin A 8, 2.sin 1100
 » 390 57 ' hoặc C

 » 1800 - 390 57 ' = 1400 3'
=
ÞC
a
12

 » 390 57 '
Vì góc A tù nên góc C nhọn do đó C
 = 1800 - A
 -C
 » 1800 - 1100 - 390 57 ' = 330 3'
Suy ra B
a sin B 12.sin 330 3'
=
» 6,96
Mặt khác b =
sin A
sin 1100


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
Bài 2.65: Giải tam giác ABC , biết:
a) a = 109;

 = 330 24';
B

 = 660 59'
C

0

 = 790 37 ' b = a.sin 33 24' » 60;
A. A
sin 790 37 '
0

 = 790 37 ' b = a.sin 33 24' » 61;
B. A
sin 790 37 '
0

 = 790 37 ' b = a.sin 33 24' » 63;
C. A
sin 790 37 '
0

 = 790 37 ' b = a.sin 33 24' » 61;
D. A
sin 790 37 '
b) a = 20;

b = 13;

a.sin 660 59'
c=
» 101
sin 790 37 '
c=

a.sin 660 59'
» 101, 5
sin 790 37 '

c=

a.sin 660 59'
» 102
sin 790 37 '

c=

a.sin 660 59'
» 102
sin 790 37 '

 = 67 0 23'
A
0

 » 360 52'; C
 » 750 45'; c = 20.sin 75 45' » 22
A. B
sin 67 0 23'
0

 » 360 52'; C
 » 750 45'; c = 20.sin 75 45' » 21
B. B
sin 67 0 23'

0

 » 360 52'; C
 » 750 45'; c = 20.sin 75 45' » 23
C. B
sin 67 0 23'
0

 » 360 52'; C
 » 750 45'; c = 20.sin 75 45' » 24
D. B
sin 67 0 23'

Lời giải:
 = 1800 - 330 24'+ 660 59' = 790 37 '
Bài 2.65: HD: a) A
(
)

a.sin 330 24'
b=
» 61;
sin 790 37 '

b) sin B =

a.sin 660 59'
c=
» 102
sin 790 37 '

13.sin 67 0 23'
» 0,6
20


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
0

ÞB
 » 360 52'; C
 » 750 45'; c = 20.sin 75 45' » 21
Vì b < a Þ B
sin 67 0 23'

Bài 2.66: Giải tam giác ABC , biết:
a) b = 4, 5;

 = 300 ;
A

 = 750
C

 = 750 , a » 2, 32 , c » 4,1
A. B

 = 750 , a » 2, 33 , c » 4, 5
B. B

 = 750 , a » 3, 33 , c » 4, 4
C. B

 = 750 , a » 2, 37 , c » 5, 5
D. B

b) b = 14;

c = 10;

 = 1450
A

 » 200 29' , C
 = 140 31'
A. a » 22, 3 , B
 » 200 29' , C
 = 140 31'
C. a » 22, 2 , B
c) a = 14;

b = 18;

 » 200 29' , C
 = 140 31'
B. a » 22, 4 , B
 » 200 29' , C
 = 140 31'
D. a » 22,92 , B

c = 20

A. A » 310 5'; B » 450 49' , C » 500 47 '

B. A » 300 5'; B » 460 49' , C » 500 47 '

C. A » 320 5'; B » 440 49' , C » 500 47 '

D. A » 330 5'; B » 420 49' , C » 500 47 '

Lời giải:

 = 1800 - A
 -C
 = 1800 - 300 - 750 = 750
Bài 2.66: a) Ta có B
Theo định lí sin ta có
a=

b sin A 4, 5.sin 300
=
Þ a » 2, 33
sin B
sin 750

c=

b sin C 4, 5.sin 750
=

Þ c » 4, 5
sin B
sin 750

b) Theo định lí cơsin ta có
a 2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A = 14 2 + 10 2 - 2.14.10.cos1450

Suy ra a » 22,92


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Theo định lí sin ta có
sin B =

b sin A 14 sin 1450
 » 200 29'
=
» 0, 35 Þ B
a
22,92

 = 1800 - A
 -B
 » 1800 - 1450 - 200 29' = 140 31'
Suy ra C
c) Áp dụng định lí cơsin ta có:

cos A =

11

17
Þ A » 310 5'; cos B =
Þ B » 450 49'
15
35

cos C =

5
Þ C » 500 47 '
21

Bài 2.67: Cho DABC ta có a = 13, b = 4 và cos C = -

5
. Tính bán kính đường trịn
13

ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
A. R =

15
3
, r=
8
4

C. R = 2 , r =

3

2

B. R =

65
, r =1
8

D. R =

65
3
, r=
8
2

Lời giải:

æ 5ö
Bài 2.67: c 2 = a 2 + b2 - 2 ab cos C = 132 + 4 2 - 2.13.4.ỗỗ- ữữữ = 225 ị c = 15
ỗố 13 ứ

sin C =

12
c
15
65
ÞR=
=

=
12
13
2 sin C
8
2.
13

S=

1
1
12
a + b + c 13 + 4 + 15
ab sin C = .13.4. = 24 ; p =
=
= 16
2
2
13
2
2

r=

S 24 3
=
=
p 16 2

 DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố của
tam giác, tứ giác.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
1. Phương pháp giải.
 Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành
vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức
đúng.
 Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh
trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin 2 A = sin B.sin C . Chứng minh rằng
a) a 2 = bc
b) cos A ³

1
2

Lời giải:
a) Áp dụng định lí sin ta có sin A =

a
b
c
, sin B =
,sin C =
2R
2R
2R

ỉ a ư
b c
.
Û a 2 = bc đpcm
Suy ra sin A = sin B.sin C Û çç ÷÷÷ =
çè 2 R ø
2R 2R
2

2

b) Áp dụng định lí cơsin và câu a) ta có
b2 + c 2 - a 2 b2 + c 2 - bc 2bc - bc 1
cos A =
=
³
= đpcm
2bc
2bc
2bc
2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) cos

p( p - a)
A
=
2

bc

b) sin A + sin B + sin C = 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

Lời giải:
(hình 2.9)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD = AB = c suy ra tam giác BDA cân tại A và
=1A
.
BDA
2

Áp dụng định lý hàm số Cơsin cho DABD , ta có:

BD 2 = AB2 + AD 2 - 2 AB. AD.cos BAD
= 2c 2 - 2c 2 .cos(1800 - A)

B

b2 + c 2 - a 2 Suy ra
)
2bc
c
4c
= ( a + b + c )(b + c - a) = p( p - a)
b
b

I

= 2c 2 (1 + cos A) = 2c 2 (1 +

D

A
Hình 2.9

cp( p - a)
BD = 2
b
Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI ^ BD .
Trong tam giác ADI vng tại I, ta có

cos

A
 = DI = BD = p( p - a) .
= cos ADI
2

AD
2c
bc

Vậy cos

p( p - a)
A
.
=
2
bc

b) Từ định lý hàm số sin, ta có: sin A + sin B + sin C =
Theo câu a) ta có cos

cos

p
a
b
c
+
+
= (1)
2R 2R 2R R

p( p - a)
p( p - b)
A

B
, tương tự thì cos =
và
=
2
bc
2
ca

p( p - c )
C
,
=
2
ab

kết hợp với công thức S = p ( p - a)( p - b)( p - c) =
Suy ra 4 cos

abc
4R

p( p - a) p( p - b) p( p - c )
A
B
C
cos cos = 4
2
2
2

bc
ca
ab

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
=

4p
4 pS p
p( p - a)( p - b)( p - c ) =
= (2)
abc
abc
R

Từ (1) và (2) suy ra sin A + sin B + sin C = 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các công thức
sin

( p - b)( p - c )
( p - b)( p - c )
p( p - a)
A
A
A
=
; tan =
; cot =
2
bc
2
p( p - a)
2
( p - b)( p - c )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) cot A =

b2 + c 2 - a2
4S

b) cot A + cot B + cot C ³ 3
Lời giải:
1
a) Áp dụng định lí cơsin và cơng thức S = bc sin A ta có:
2

cos A b2 + c 2 - a 2 b2 + c 2 - a 2

cot A =
=
=
đpcm
sin A
2bc sin A
4S

b) Theo câu a) tương tự ta có cot B =

Suy ra cot A + cot B + cot C =

=

c 2 + a2 - b2
a2 + b2 - c 2
, cot C =
4S
4S

b2 + c 2 - a2 c 2 + a2 - b2 a2 + b2 - c 2
+
+
4S
4S
4S

a2 + b2 + c 2
4S

æ 3 p - a - b - c ửữ ổ p ửữ
ữữ = ỗỗ ữữ
Theo bt ng thc Cauchy ta có ( p - a)( p - b)( p - c) Ê ỗỗ
ữứ ỗố 3 ứữ
ỗố
3
3

3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Mặt khác S = p ( p - a)( p - b)( p - c) Þ S £ p

(a + b + c)

2

Ta có p =
2

4

£

3 (a2 + b2 + c 2 )

Do đó cot A + cot B + cot C ³

4

p3
p2
=
27 3 3

suy ra S £

a2 + b2 + c 2
4 3

a2 + b2 + c 2
= 3 đpcm.
a2 + b2 + c 2
4.
4 3

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến
kẻ từ B và C vng góc với nhau là b2 + c 2 = 5a 2 .
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC
vng tại G
ỉ2 ư ỉ2 ư
Û GB2 + GC 2 = BC 2 ỗỗ mb ữữ + ỗỗ mc ữữ = a 2 (*)
ỗố 3 ữứ ỗố 3 ữứ
2

2

Mt khỏc theo cụng thc ng trung tuyến ta có
2( a 2 + c 2 ) - b2
2( a 2 + b2 ) - c 2
2
m =
, mc =
4
4
2
b

Suy ra (*) Û

4 2
mb + mc2 ) = a 2
(
9

2
2
2
é
2 (a 2 + b2 ) - c 2 ùú
4 ê 2 (a + c ) - b
2
2
2
2
2
2

2
2
Û ê
+
ú = a Û 4 a + b + c = 9 a Û b + c = 5a
9ê
4
4
ú
ë
û
(đpcm)

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng minh :
AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4 EF 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
(hình 2.10)
Áp dụng cơng thức đường trung tuyến với tam giác ABC và ADC ta có:
AB2 + BC 2 = 2 BE2 +

AC 2
(1)
2

A

AC 2

CD + DA = 2 DE +
(2)
2
2

2

B
E

2

F

D

Từ (1) và (2) suy ra

C
Hình 2.10

AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2 ( BE2 + DE2 ) + AC 2
Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE2 + DE2 = 2 EF 2 +
Suy ra AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4 EF 2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.68: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a = b.cos C + c.cos B
b) sin A = sin B cos C + sin C cos B
c) ha = 2 R sin B sin C
3

d) ma2 + mb2 + mc2 = ( a 2 + b2 + c 2 )
4

e) SDABC =

  2
1
AB2 . AC 2 - ( AB. AC )
2

Lời giải:
Bài 2.68: a) Áp dụng định lí cơsin ta có:
VP = b.

a2 + b2 - c 2
c 2 + a2 - b2 a2 + b2 - c 2 + c 2 + a2 - b2
+ c.
=
= a = VT b)
2 ab
2ca
2a

BD 2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
sin A = sin B cos C + sin C cos B Û

a
b
c
=
.cos C +
.cos B
2R 2R
2R

Û a = b.cos C + c.cos B (câu a)

c) ha = 2 R sin B sin C Û

2S
b
1
= 2R
sin C Û S = ab sin C (đúng)
a
2R
2

d) Áp dụng công thức đường trung tuyến.
e)

  2
AB2 . AC 2 - ( AB. AC ) = AB. AC 1 - cos 2 A = AB. AC.sin A

Từ đó suy ra đpcm.

Bài 2.69: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) b + c = 2 a Û

2
1
1
= +
ha hb hc

b) Góc A vng Û mb2 + mc2 = 5ma2
Lời giải:
Bài 2.69: a) b + c = 2 a Û
b) mb2 + mc2 = 5ma2 Û

2S 2S
2S
1
1
2
+
= 2. Û + =
hb
hc
ha
hb hc ha

2( a 2 + c 2 ) - b2 2( a 2 + b2 ) - c 2
2(b2 + c 2 ) - a 2
+
= 5.

4
4
4

Û b2 + c 2 = a 2 Û Góc A vng

Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a 4 = b4 + c 4 . Chứng minh rằng
a) Tam giác ABC nhọn
b) 2 sin 2 A = tan B tan C
Lời giải:
Bài 2.70: a) Dễ thấy a > b , a > c Þ góc A là lớn nhất


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Và a 4 = b4 + c 4 < a 2 .b2 + a 2 .c 2 Þ a 2 < b2 + c 2
Mặt khác theo định lí cơsin ta có cos A =

b2 + c 2 - a2
 < 900 . Vậy
Þ cos A > 0 do đó A
2bc

tam giác ABC nhọn.
b) 2 sin 2 A = tan B tan C Û 2 sin 2 A.cos B.cos C = sin B sin C

ỉ a ư÷ a 2 + c 2 - b2 a 2 + b2 - c 2
b c
2 ỗỗ ữữ .
.
=

.
ỗố 2 R ø
2 ac
2 ab
2R 2R
2

Û a4 = b4 + c 4

Bài 2.71: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu cot A =
b2 =

1
(cot B + cot C ) thì
2

1 2
a + c2 ) .
(
2

Lời giải:
b2 + c 2 - a2
Bài 2.71: Áp dụng cot A =
4S

Bài 2.72: Gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a) S = 2 R2 sin A sin B sin C .
b) S = Rr(sin A + sin B + sin C ) .
Lời giải:

Bài 2.72: a) Ta có S =
b) S = pr =

abc 2 R sin A.2 R sin B.2 R sin C
=
= 2 R2 sin A sin B sin C
4R
4R

a+b+c
2 R sin A + 2 R sin B + 2 R sin C
.r =
r
2
2

Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. Chứng
minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S =

1
AC.BD.sin a .
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
Bài 2.73: Gọi I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó
S = SABI + SBCI + SCDI + SDAI

1

 + 1 BI .CI .sin BIC
 + 1 CI .DI .sin CID
 + 1 DI . AI .sin DIA
 Ta có các góc
AI .BI .sin AIB
2
2
2
2
 , BIC
 , CID
 và DIA
 đôi một bù nhau suy ra
AIB

=

 = sin BIC
 = sin CID
 = sin DIA
 = sin a
sin AIB

Do đó S =

1
1
1
BI . AC.sin a + ID. AC.sin a = AC.BD.sin a
2

2
2

 = 1200 , AD là đường phân giác trong (D thuộc BC).
Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC
Chứng minh rằng

1
1
1
=
+
AD AB AC

Lời giải:
Bài 2.74: Với AB = AC ta có đpcm
Với AB ¹ AC . Ta có:

BD AB
=
DC AC

BD 2 = AB2 + AD 2 - 2 AB. AD.cos 60 o = AB2 + AD 2 - AB. AD
CD 2 = AC 2 + AD 2 - 2 AC. AD.cos 60 o = AC 2 + AD 2 - AC. AD

AB2
BD 2
AB2 + AD 2 - AB. AD
Þ
=

=
AC 2 DC 2 AC 2 + AD 2 - AC. AD
Û AB2 ( AC 2 + AD 2 - AC. AD) = AC 2 ( AB2 + AD 2 - AB. AD)
Û ( AB2 - AC 2 ) AD 2 = AB. AC. AD( AB - AC )
é AB = AC
ê
1
1
1
Ûê
Û
=
+
ê AD = AB. AC
AD AB AC
êë
AB + AC
Bài 2.75: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: