Bài 3 dấu của NHỊ THỨC bậc NHẤT nhóm ĐHSPHN image marked

BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm nhị thức bậc nhất, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất.
+ Nắm được các bất phương trình dạng tích, thương của các nhị thức bậc nhất.
+ Nắm được các bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất.
 Kĩ năng
+

Biết cách lập bảng xét dấu, thành thạo các bước xét dấu nhị thức bậc nhất.

+

Biết cách giải bất phương trình dạng tích, thương hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối của các nhị
thức bậc nhất.

+

Thành thạo việc biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình dạng tích, thương hoặc chứa dấu
giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất một ẩn trên trục số.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

Chứng minh.

- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng Ta có f ( x)  ax  b  a  x  b  .
a


f ( x)  ax  b trong đó a, b là hai số đã cho a  0 ,
b
b
- Nhị thức f ( x)  ax  b có giá trị cùng dấu với hệ số a • Với x    x   0 nên f(x) cùng dấu
a
a
 b

khi x lấy các giá trị trong khoảng   ;   , trái dấu với hệ số a.
 a

b
b
• Với x    x   0 nên f(x) trái dấu với
b
a
a

với hệ số a khi x lấy các giá trị khoảng  ;  
a

hệ số a.
- Minh họa bằng đồ thị

Biểu diễn trên trục số:

Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất
- Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất.
Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét

dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả
các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra dấu của
f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng xét tương tự
(chú ý điều kiện mẫu số khác 0).
Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở
mẫu thức
- Để giải bất phương trình tích, bất phương trình
chứa ẩn ở mẫu thức, ta lập bảng xét dấu xem biểu thức
f(x) nhận giá trị dương, giá trị âm khi nào.
Từ đó, rút ra nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
- Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối trong
các bài đã học, ta dễ dàng giải các bất phương trình

f ( x)  g ( x) và f ( x)  g ( x) như sau:

 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
.
 g ( x)  f ( x)  g ( x)

Trang 2


 g ( x)  0

 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)   
.
   f ( x)   g ( x)


   f ( x)  g ( x)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương của các nhị thức bậc nhất
Phương pháp giải
Xét dấu nhị thức bậc nhất f ( x)  ax  b

Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức f ( x)  3 x  1.

- Tìm nghiệm của phương trình ax  b  0.

Hướng dẫn giải

- Xác định dấu của hệ số a, sau đó sử dụng định lí

1
Ta có 3 x  1  0  x  .
3

về dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu.

Hệ số a  3  0.
Bảng xét dấu

1

Vậy f ( x)  0 khi x   ;   ;
3

1


f ( x)  0 khi x   ;  .
3


Xét dấu một tích, thương các nhị thức bậc nhất.
- Ta lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức
bậc nhất trong tích (thương) đó, từ đó suy ra dấu
của tích (thương).

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức f ( x)  (2 x  1)(2  x).
Hướng dẫn giải
1
2x 1  0  x   .
2
2 x  0  x  2.

Bảng xét dấu:

 1 
Vậy f ( x)  0 khi x    ; 2  ;
 2 
1

f ( x)  0 khi x   ;   hoặc x   2;   .
2


Ví dụ mẫu
Trang 3

Ví dụ 1. Xét dấu các nhị thức sau
a)

f ( x)  3  4 x.

b) f ( x)  (m 2  1) x  3m.

Hướng dẫn giải
a) Ta có 3  4 x  0  x 

3
.
4

Bảng xét dấu:

3
3


Vậy f ( x)  0 khi x   ;   ; f ( x)  0 khi x   ;  .
4
4



b) Ta có (m 2  1) x  3m  0  x  

3m
(vì m 2  1  0 với m   ).
m2  1

Bảng xét dấu:

3m 
 3m


Vậy f ( x)  0 khi x    2 ;   ; f ( x)  0 khi x   ;  2  .
m 1 
 m 1



Ví dụ 2. Cho biểu thức f ( x)  2 x  6 . Tất cả các giá tị của x để f ( x)  0 là
A. x  3;   .

B. x   3;   .

C. x   ;3 .

D. x   ;3 .

Hướng dẫn giải
Ta có 2 x  6  0  x  3 . Ta có:

Vậy f ( x)  0 khi x   ;3 .
Chọn D.

Ví dụ 3. Cho biểu thức f ( x)  ( x  2)(5  x) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
A. x   ; 2    5;   .

B. x   5;   .

C. x   2;5  .

D. x   ; 2  5;   .

Hướng dẫn giải

Trang 4


 x  2
Ta có f ( x)  0  ( x  2)(5  x)  0  
.
x  5
Bảng xét dấu:

Vậy f ( x)  0 khi x   ; 2  5;  
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho biểu thức f ( x)  x( x  3)(4  x) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
A. x   ;0    3; 4  .

B. x   0; 4  .

C. x   0;3   4;   .

D. x   3; 4  .

Hướng dẫn giải

x  0
Ta có f ( x)  0  x( x  3)(4  x)  0   x  3 .
 x  4
Bảng xét dấu f ( x) :

Vậy f ( x)  0  x   0;3   4;   .
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho biểu thức f ( x)  ( x  1)( x3  8) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
A. x   ; 1   2;   .

B. x  1; 2 .

C. x   ;1   2;   .

D. x   ;1   2;   .

Hướng dẫn giải
Ta có f ( x)   x  1 x  2   x 2  2 x  4  .
Vì x 2  2 x  4   x  1  3  0, x   nên f ( x)  0  x  1 hoặc x  2
2

Bảng xét dấu
Trang 5


Vậy f ( x)  0 khi x   ;1   2;   .
Chọn A.

Ví dụ 6. Cho biểu thức f ( x) 

 x  1 3  x 
x2

. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là

A. x   1; 2  .

B. x   3;   .

C. x   ; 1   2;3 .

D. x   ; 2    3;   .

Hướng dẫn giải

 x  1
Điều kiện: x  2 . Ta có f ( x)  0   x  1 3  x   0  
.
x  3
Bảng xét dấu:

Vậy f ( x)  0 khi x   ; 1   2;3 .
Chọn C.
Ví dụ 7. Cho biểu thức f ( x) 

3x  6
. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
x2  x

A. x   0;1   2;   .

B. x   0;1   2;   .

C. x   ;0  1; 2 .

D. x   ;0   1; 2 .

Hướng dẫn giải

x  0
Điều kiện: 
.
x  1
Ta có f ( x)  0  3 x  6  0  x  2 .
Bảng xét dấu:

Trang 6


Vậy f ( x)  0 khi x   ;0   1; 2
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho biểu thức f ( x)  

1
2

. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
x 1 2  x

A. x   ; 1   0; 2  .

B. x   1;0    2;   .

C. x   ; 2  .

D. x   1;   .

Hướng dẫn giải

 x  1
Điều kiện 
.
x  2
Ta có f ( x) 

2  x  2 x  2
3x
 f ( x) 
( x  1)(2  x)
( x  1)(2  x)

Do đó f ( x)  0  x  0 .
Bảng xét dấu của f ( x)

Vậy f ( x)  0 khi x   ; 1   0; 2  .
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản

Câu 1. Cho biểu thức f ( x)  x  5 . Tập hợp tất cả các giá trị của x để f ( x)  0 là
A. 5;   .

1

B.  ;   .
5


C.  ;5 .

D.  5;   .

Câu 2. Cho biểu thức f ( x)  ( x  1)(3  x) . Các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
A. x   ; 1   3;   .

B. x  (3; ) .
Trang 7


D. x   ; 1  3;   .

C. x   1;3 .
Câu 3. Cho biểu thức f ( x) 
A. x   ; 4 .

1
. Các giá trị của x để f ( x)  0 là
2x  8

B. x   ; 4  .

Câu 4. Cho biểu thức f ( x) 

C. x   4;   .

x( x  3)
. Các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
( x  9)(1  x)

A. x   ;0   3;   .

B. x   ;0  1;9  .

C. x   0;1  3;9  .

D. x   ;0   1;9  .

Câu 5. Cho biểu thức f ( x) 

3x  9
. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x)  0 là
x2  8x

A. x   0;3   8;   .

B. x   ;0  3;8  .

C. x   ;0   3;8  .

D. x   ;0    3;8  .

Câu 6. Tìm x để

D. x   4;   .

3 x
 0.
2x  3

 3 
A. x    ;3  .
 2 

Câu 7. Cho f  x  

 3 
B. x    ;3 .
 2 

 3 
C. x    ;3 .
 2 

 3 
D. x    ;3  .
 2 

3
 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f  x   0 là:

2 x

A. S   1; 2  .

B. S   1; 2  .

C. S   ; 1   2;   .

D. S   ; 1   2;   .

Câu 8. Cho biểu thức f  x  

2
1

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f  x   0 là
3x  1 2  x

1

A. x   5;     2;   .
3


1

B. x   5;     2;   .
3


 1 
C. x   ; 5    ; 2  .
 3 

 1 
D. x   ; 5     ; 2  .
 3 

Câu 9. Cho f  x  

4
2

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f  x   0 là
x 1 x 1

A. S   ; 3  1;   .

B. S   ; 3   1;1 .

C. S   3; 1  1;   .

D. S   3;1   1;   .

Câu 10. Cho f  x  

3
5

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f  x   0 là

1 x 2x 1

1  2 

A. S   ;     ;1 .
2  11 


 1 2
B. S    ;   1;   .
 2 11 

1  2 

C. S   ;     ;1 .
2  11 


1  2 

D. S   ;     ;1 .
2   11 


Trang 8


Bài tập nâng cao
Câu 11. Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn

2x
1

 2.
x 1 x 1

 1
A. S   1;   1;   .
3


B. S   ; 1  1;   .

 1
C. S   1;   1;   .
3


1 
D. S   ; 1   ;1 .
3 

1
2
3

Câu 12. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn 
là
x x4 x3

A. S   ; 12   4;3   0;   .

B. S   12; 4    3;0  .

C. S   ; 12    4;3   0;   .

D. S   12; 4    3;0  .

Câu 13. Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn

1
1

.
x  1  x  12

A. S   ; 1   0;1  1;3 .

B. S   1;0    3;   .

C. S   ; 1   0;1  1;3 .

D. S   1;0  3;   .

Câu 14. Cho f  x  

x2  x  3
 1 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn f  x   0
x2  4

A. S   ; 2    1; 2  .

B. S   2;1   2;   .

C. S   2;1   2    .

D. S   2;1   2;   .

Dạng 2. Bất phương trình tích
Phương pháp giải
Bất phương trình có dạng P  x  .Q  x   0 , trong Ví dụ. Giải bất phương trình  x  1 2  x   0.
đó P  x  , Q  x  là những nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Ta lập bảng xét dấu của P  x  , Q  x 
từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải
Đặt f  x    x  1 2  x  .

 x  1
Ta có f  x   0  
 x  2.
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có f  x   0 khi x   1; 2  .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1; 2  .

Trang 9


Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình  3 x  6  2  x   0 có dạng  a; b  . Khi đó b  a bằng
A. – 4.

B. 4.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

 x  2
Đặt f  x    3 x  6  2  x  . Ta có f  x   0  
.
x  2
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có f  x   0 khi x   2; 2  . Khi đó b  2; a  2 và b  a  4.
Chọn B.
Ví dụ 2. Tập nghiệm S   4;5  là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.  x  4  x  5   0.

B.  x  4  5 x  25   0.

C.  x  4  5 x  25   0.

D.  x  4  x  5   0.

Hướng dẫn giải
Ta có

x  4  0  x  4; x  5  0  x  5; x  4  0  x  4;5 x  25  0  x  5.
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S   4;5  là tập nghiệm của bất phương trình  x  4  5 x  25   0.
Chọn B.
Trang 10


Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình  x  3 x  1  0 bằng
A. 1.

B. – 4.

C. – 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải

 x  3
Đặt f  x    x  3 x  1 . Ta có f  x   0  
.
x  1
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có  x  3 x  1  0  x   3;1 .
Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là 3; 2; 1;0;1.
Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng – 5.
Chọn C.

Ví dụ 4. Nghiệm ngun nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x  x  2  x  1  0 là
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn giải

x  0
Đặt f  x   x  x  2  x  1 . Ta có f  x   0   x  2 .
 x  1
Bảng xét dấu.

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f  x   0  x   1;0    2;   .
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3.
Chọn B.
Ví dụ 5. Tập nghiệm S   ;3   5;7  là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Trang 11


A.  x  3 x  5 14  2 x   0.

B.  x  3 x  5 14  2 x   0.

C.  x  3 x  5 14  2 x   0.

D.  x  3 x  5 14  2 x   0.

Hướng dẫn giải
Ta có x  3  0  x  3; x  3  0  x  3; x  5  0  x  5; 14  2 x  0  x  7.
Bảng xét dấu.

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S   ;3   5;7  là tập nghiệm của bất phương trình

 x  3 x  514  2 x   0.
Chọn B.
Ví dụ 6. Bất phương trình  2  x  x  1 3  x   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Đặt f  x    2  x  x  1 3  x  .

 x  1
Ta có f  x   0   x  2 .
 x  3
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f  x   0  x   ; 1   2;3 .
Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm ngun dương là 2 và 3.
Trang 12

Chọn D.
Ví dụ 7. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

 3x  6  x  2  x  2  x  1  0 là
A. – 9.

B. – 6.

C. – 4.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Ta có  3 x  6  x  2  x  2  x  1  0  3  x  2   x  2  x  1  0. 1
2

 x  2
2
Vì  x  2   0, x  2 nên 1  
.
 x  2  x  1  0

 x  2
Đặt f  x    x  2  x  1 . Ta có f  x   0  
.
x  1
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f  x   0  x   ; 2   1;   .

Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được x   ; 2   1; 2    2;   .
Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là – 3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất
phương trình là 3. Vậy tích cần tính là – 9.
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình  x  8 1  x   0 có dạng  a; b  . Khi đó b  a bằng
A. 3.

B. 5.

C. 9.

D. 7.

Câu 2. Tập hợp S   4;8  là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.  x  4  x  8   0.

B.  x  4  4 x  32   0.

C.  x  4  4 x  32   0.

D.  x  4  x  8   0.

Câu 3. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình  x  3 x  10   0 là
A. 13.

B. – 4.

C. – 5.

D. 14.

Câu 4. Tập hợp S   0;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x  x  5   0.

B. x  x  5   0.

C. x  x  5   0.

D. x  x  5   0.
Trang 13


Câu 5. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x  x  5  x  1  0 là
A. 2.

B. 6.

C. 4.

D. 5.

Câu 6. Tập hợp S  3;5   7;   là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.  x  3 x  5 14  2 x   0.

B.  x  3 x  5 14  2 x   0.

C.  x  3 x  5 14  2 x   0.

D.  x  3 x  5 14  2 x   0.

Bài tập nâng cao
Câu 7. Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x  x  3 x  2   0 là
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 8. Tập hợp S   ;1   3; 4  là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.  x  1 x  3 4  x   0.

B.  x  1 x  3 4  x   0.

C.  x  1 x  3 4  x   0.

D.  x  1 x  3 4  x   0.

Câu 9. Hỏi bất phương trình  3  x  x  1 8  x   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 1 nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 4 nghiệm.

D. 6 nghiệm.

Câu 10. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

 3x  6  x  2  x  4  x  5  0 là
A. – 30.

B. – 20.

C. 20.

D. 30.

Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp giải
Bất phương trình bậc nhất ẩn ở mẫu có dạng

P  x
P  x
P  x
P  x
 0 (hoặc
 0,
 0,
 0 ),
Q  x
Q  x
Q  x
Q  x
trong đó P  x  , Q  x  là những nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu, rồi suy ra tập
nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ. Giải bất phương trình

2019  x
 0.
11x  2020

Hướng dẫn giải
Điều kiện x  
Đặt f  x  

2020
.
11

2019  x
.
11x  2020

Lưu ý: Khi quy đồng, chúng ta không nên khử Ta có f  x   0  x  2019.
mẫu, khi chưa biết mẫu thức là âm hay dương.
Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Trang 14


 2020


S  
; 2019  .
 11


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Bất phương trình

2 x
 0 có tập nghiệm là
2x 1

 1 
A. S    ; 2  .
 2 

 1 
B. S    ; 2  .
 2 

 1 
C. S    ; 2  .
 2 

1 
D. S   ; 2  .
2 

Hướng dẫn giải
1

Điều kiện x   .
2

Đặt f  x  

2 x
. Ta có f  x   0  x  2.
2x 1

Bảng xét dấu

 1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ; 2  .
 2 

Chọn C.
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình

 3  x  x  2   0 là
x 1

A. S   1; 2  3;   .

B. S   ;1   2;3 .

C. S   1; 2  3;   .

D. S   1; 2    3;   .

Hướng dẫn giải

Điều kiện x  1.
Đặt f  x  

 3  x  x  2  . Ta có f
x 1

x  2
.
x  3

 x  0  

Bảng xét dấu

Trang 15


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1; 2  3;   .
Chọn A.
Ví dụ 3. Bất phương trình

3
 1 có tập nghiệm là
2 x

A. S   1; 2  .

B. S   1; 2  .

C. S   ; 1   2;   .

D. S   ; 1   2;   .

Hướng dẫn giải
Điều kiện x  2.
Bất phương trình
Đặt f  x  

3
3
x 1
1
1  0 
 0.
2 x
2 x
2 x

x 1
. Ta có f  x   0  x  1.
2 x

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 1   2;   .
Chọn C.
Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình

x2  x  3
 1 là

x2  4

A. S   ; 2    1; 2  .

B. S   2; 1   2;   .

C. S   2;1   2;   .

D. S   2;1   2;   .

Hướng dẫn giải

 x  2
Điều kiện 
.
x  2

Trang 16


Ta có

x2  x  3
x2  x  3
x 1

1

1  0 
 0.

2
2
x 4
x 4
 x  2  x  2 

Đặt f  x  

x 1
. Ta có f  x   0  x  1.
 x  2  x  2 

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2; 1   2;   .
Chọn B.
Ví dụ 5. Bất phương trình

4
2

 0 có tập nghiệm là
x 1 x 1

A. S   ;3  1;   .

B. S   ; 3   1;1 .

C. S   3; 1  1;   .

D. S   3;1   1;   .

Hướng dẫn giải

 x  1
Điều kiện 
.
x  1
Ta có

4
2
2x  6

0
 0.
x 1 x 1
 x  1 x  1

Đặt f  x  

2x  6
. Ta có f  x   0  x  3.
 x  1 x  1

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 3   1;1 .
Chọn B.
Trang 17

Ví dụ 6. Bất phương trình

3
5

có tập nghiệm là
1 x 2x 1

1  2 

A. S   ;     ;1 .
2  11 


 1 2
B. S    ;   1;   .
 2 11 

1  2 

C. S   ;     ;1 .
2  11 


1  2 

D. S   ;     ;1 .
2   11 



Hướng dẫn giải
1

x  
Điều kiện 
2
 x  1.

Ta có

3
5
11x  2


 0.
1 x 2x 1
1  x  2 x  1

Đặt f  x  

11x  2
2
. Ta có f  x   0  x  .
11
1  x  2 x  1

Bảng xét dấu

1  2 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;     ;1 .
2  11 


Chọn A.
Ví dụ 7. Bất phương trình

1
2
3


có tập nghiệm là
x x4 x3

A. S   ; 12    4;3   0;   .

B. S   12; 4    3;0  .

C. S   ; 12    4;3   0;   .

D. S   12; 4    3;0  .

Hướng dẫn giải

x  0


Điều kiện  x  4.
 x  3

1
2
3
x  12


 0.
Ta có 
x x4 x3
x  x  3 x  4 

Trang 18


Đặt f  x  

x  12
. Ta có f  x   0  x  12.
x  x  3 x  4 

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   12; 4    3;0  .
Chọn D.
Ví dụ 8. Bất phương trình

1

1
có tập nghiệm S là

x  1  x  12

A. S   ; 1   0;1  1;3 .

B. S   1;0    3;   .

C. S   ; 1   0;1  1;3 .

D. S   1;0   3;   .

Hướng dẫn giải

 x  1
Điều kiện 
.
x  1
x  1
2
x  1   x  1
x  x  3

1
1



0

 0   x  x  3
Ta có
2
2
2
x  1  x  1
0
 x  1 x  1
 x  1 x  1

 x 1

(vì  x  1  0, x  1 ).
2

Đặt f  x  

x  x  3
x  0
. Ta có f  x   0  
.
x 1
x  3

Bảng xét dấu

Kết hợp với điều kiện x  1 , ta được tập nghiệm S   ; 1   0;1  1;3 .
Trang 19

Chọn C.
Ví dụ 9. Bất phương trình

x4
2
4x


có nghiệm ngun lớn nhất là
2
x  9 x  3 3x  x 2

A. x  2.

B. x  1.

C. x  2.

D. x  1.

Hướng dẫn giải

x  0

Điều kiện  x  3.
x  3

Bất phương trình tương đương với

x  x  4

2 x  x  3
4 x  x  3
3 x  22



 0.
x  x  3 x  3 x  x  3 x  3
x  x  3 x  3
 x  3 x  3
Đặt f  x  

3 x  22
22
. Ta có f  x   0  x   .
3
 x  3 x  3

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện, ta thấy rằng
22 

f  x   0  x   ;     3;0    0;3 .
3 


Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x  2.
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1. Bất phương trình

4
2

 0 có tập nghiệm là
x 1 x 1

A. S   ; 3  1;   .

B. S   ; 3   1;1 .

C. S   3; 1  1;   .

D. S   3;1   1;   .

1  2 

Câu 2. Tập nghiệm S   ;     ;1 là tập nghiệm của bất phương trình
2  11 


A.

3
5

.
1 x 2x 1

B.

3
5

.
1 x 2x 1

Trang 20


C.

3
5

.
1 x 2x 1

D.

3
5

.
1 x 2x 1

 1
Câu 3. Tập nghiệm S   1;   1;   là tập nghiệm của bất phương trình
3



A.

2x
1

 2.
x 1 x 1

B.

2x
1

 2.
x 1 x 1

C.

2x
1

 2.
x 1 x 1

D.

2x
1


 2.
x 1 x 1

Câu 4. Bất phương trình

1
1

có tập nghiệm S là
x  2 x 3

A. S   3; 2  .

B. S   3;   .

C. S   ; 2    3;   .

D. S   2;   .

Bài tập nâng cao
Câu 5. Bất phương trình

x4
2
4x


có nghiệm ngun âm lớn nhất là
2

x  9 x  3 3x  x 2

A. x  2.

B. x  1.

C. x  2.

D. x  1.

Dạng 4: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải

 g  x   0
Dạng 1: f  x   g  x   
.
 g  x   f  x   g  x 

Ví dụ 1: Giải bất phương tình 3 x  2  3.

g  x  0

 g  x   0
Dạng 2: f  x   g  x    
.
f
x


g

x







 f  x   g  x 
  

Ta có

Hướng dẫn giải

3 x  2  3  3  3 x  2  3
5
1
 5  3 x  1    x  .
3
3

5
1
Lưu ý: Nếu bất phương trình có chứa nhiều dấu giá Vậy nghiệm của bất phương trình là   x  .
3
3
trị tuyệt đối thì ta chia các khoảng để khử dấu giá
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 6  4 x  2.
trị tuyệt đối.

Hướng dẫn giải

Ta có

6  4 x  2
 4 x  4
x  1
6  4x  2  


6  4 x  2
 4 x  8
 x  2.
Vậy nghiệm của bất phương trình là

x   ;1   2;   .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Bất phương trình 1  3 x  2 có tập nghiệm là

Trang 21


1

A.  ;    1;   .
3


B. 1;   .

1

C.  ;   .
3


1

D.  ;  .
3


Hướng dẫn giải

1

x
1  3 x  2
 1  3 x



Ta có 1  3 x  2  
3.

1  3 x  2
3 x  3
x  1
1


Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   ;    1;   .
3


Chọn A.
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 5 x  4  6 có dạng S   ;a   b;   . Giá trị của tổng
P  5a  b là

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải

x  2
5 x  4  6
5 x  10


.
Cách 1. 5 x  4  6  
x   2
5
x

4



6
5
x


2


5

4

5 x  4 khi x  5
.
Cách 2. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có 5 x  4  
4  5 x khi x  4

5

Do đó
+) Với x 

4
, ta có 5 x  4  6  5 x  4  6  x  2 (thỏa mãn).
5

+) Với x 

4
2
, ta có 5 x  4  6  5 x  4  6  5 x  2  x   (thỏa mãn).
5
5

2

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là S   ;     2;   .
5


2

a  
Suy ra 
5
b  2.
Vậy 5a  b  0.
Chọn C.
Ví dụ 3. Bất phương trình x  3  2 x  4 có tập nghiệm là

Trang 22


1

A.  7;  .
3


1

B.  7;   .
3


1

C.  7;   .
3


 1

D.  ; 7     ;   .
 3


Hướng dẫn giải
Ta có x  3  2 x  4   x  3   2 x  4   0
2

2

  x  3  2 x  4  x  3  2 x  4   0
1
   x  7  3 x  1  0  7  x   .
3
1


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   7;   .
3


Chọn C.
Ví dụ 4. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x  12  2 x  4 là
A. 5.

B. 19.

C. 11.

D. 16.

Hướng dẫn giải
+) Với 2 x  4  0  x  2 , ta có x  12  2 x  4  x  12  2 x  4  x  16.
Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được tập nghiệm S1   2;16 .
8
+) Với 2 x  4  0  x  2 , ta có x  12  2 x  4  3 x  8  x   .
3
 8 
Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được tập nghiệm S 2    ; 2  .
 3 
 8 
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S  S1  S 2    ;16  .
 3 

Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19.
Chọn B.

Ví dụ 5. Bất phương trình 3 x  4  x  3 có tập nghiệm là
4

A.  ;  .
3


1 4
B.  ;  .
2 3

1

C.  ;   .
2


D. .

Hướng dẫn giải
+) Với x 

4
1
. Bất phương trình trở thành 3 x  4  x  3  2 x  1  x  .
3
2

Trang 23

4

Do đó bất phương trình có nghiệm x   ;   .
3


+) Với x 

4
7
. Bất phương trình trở thành 4  3 x  x  3  4 x  7  x  .
3
4

4

Dó đó, bất phương trình có nghiệm là x   ;  .
3


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  .
Chọn D.
Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình

x 1
 1 là
x2

 1


A. S    ;   .
 2


 1

B. S   ; 2     ;   .
 2


1

C. S   ;     2;   .
2


1

D. S   2;   .
2


Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  2.
+) Với x  1  0  x  1 , ta có

x 1
x 1
3

1
1
 0  x  2.
x2
x2
x2

Kết hợp với điều kiện x  1 , ta được tập nghiệm S1  1;   .
1

x 1
x
2x 1

+) Với x  1  0  x  1 , ta có
1
0
2

x2
x2
 x  2.

 1 
Kết hợp với điều kiện x  1 , ta được tập nghiệm là S 2   ; 2     ;1 .
 2 
 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 2     ;   .
 2



Chọn B.
Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình

x2 x
 2 là
x

A.  0;1 .

B.  ; 2   1;   .

C.  ;0   1;   .

D.  0;1 .

Hướng dẫn giải
Điều kiện x  0.
+) Với x  2  0  x  2 , ta có

x2 x
x  1
x2 x
2(1  x)
2
2
0
.
x

x
x
x  0
Trang 24


Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được tập nghiệm S1   2;0   1;   .
+) Với x  2  0  x  2 , ta có
x2 x
x  2  x
2x  2
2
2
2
x
x
x
x  0
x 1
x 1
2x 1

 1  1
0
0
x   1 .
x
x
x


2

Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được tập nghiệm là S 2   ; 2  .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  S1  S 2   ;0   1;   .
Chọn C.
Ví dụ 8. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x  2  2 x  1  x  1 là
A. 3.

B. 5.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Xét bất phương trình x  2  2 x  1  x  1.

 *

Bảng xét dấu

1
+) Với x  2 , khi đó *    x  2    2 x  1  x  1  2  4 x  x   .
2

Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được tập nghiệm S1  .
+) Với 2  x 

1
, khi đó *  x  2  2 x  1  x  1  2 x  2  x  1.

2

Kết hợp với điều kiện 2  x 
+) Với x 

1
, ta được tập nghiệm S 2  .
2

1
, khi đó *  x  2   2 x  1  x  1  2 x  0.
2

Kết hợp với điều kiện x 

1
, ta được tập nghiệm S3  .
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  S1  S 2  S3  .
Chọn D.
Ví dụ 9. Bất phương trình x  2  x  1  x 

3
có tập nghiệm là
2

Trang 25