DE KIEM TRA HSG TOAN 7

PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH
TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Mơn: Tốn
Năm học 2017-2018
Thời gian:150 phút(khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,0 điểm).
1 5
1 5
27   13 
4 8
4 8

a. Tính hợp lý các biểu thức sau:
b. Tìm x biết:

1

21

3 2 :|2 x −1| = 22

Bài 2 (1,0 điểm).
Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30
Bài 3 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA
lấy D , sao cho KD = KA.
a) Chứng minh: CD // AB.
b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .

Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c) Chứng minh: Δ HMN cân.
Bài 4: (4,5 điểm).
a) Chứng minh rằng số có dạng abcabc ln chia hết cho 11.
b) Chứng minh rằng :
n2
n 2
n
n
Với mọi số nguyên dương n thì : 3  2  3  2 chia ht cho 10
c) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tÝch cđa chóng gÊp 5 lÇn tỉng cđa chóng
1
2
Bài 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x+ 2 − x − 3

| |

Họ và tên thí sinh: ………………………. ........... Số báo danh................................................. .

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH

HƯỚNG DẪN CHẤM


TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA

Bài
Bài 1
(1,0đ)

ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2017 -2018
Mơn:Tốn
Lớp: 7

Nội dung

Điểm
1,0đ

1 5
1 5 5
1
1
5 35
a ) 27   13   (27  13 ) 14. 
4 8
4 8 8
4
4
8 4
1
b. Nếu x> 2 . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
7
: (2x – 1) =
2
7

21
22
21

<=> 2x – 1 = 2 : 22

7 22 11

= 2 . 21 = 3 <=>x =

1
Nếu x< 2 . Ta có:
7
: (1 - 2x) =
2

21
<=>x =
22

8
: (-2) =
3

7
4
Vậy x = 3 hoặc x = − 3

Bài2
(1,0đ )

x y
x

y
 

3 2
21 14 (1)
Ta có
x z
x
z
5x 7z   

7 5
21 15 (2)
x
y
z

 
21 14 15
Từ (1) và (2)
3x 7y 5z 3x  7y  5z 30 3

  
 
63 98 75 63  98  75 40 4
x 3
63

  x
21 4

4
z 3
45
y 3
21
  z
  y
4
14 4
2 ; 15 4
63
21
45
x  , y  ,z 
4
2
4 .
Vậy

14
:2=
3

7
3

1

> 2

0,5đ

4 1
− <
3 2

0,5đ

2x 3y 

0.5đ

0.5đ


Bài 3

D

B

(2,5đ)

K
0.25đ

N

M
A

H

C

a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
BK = CK (gt)
^ A=C ^
BK
KD

(đối đỉnh)

AK = DK (gt)
 ABK = DCK (c-g-c)

0,5đ

^ B=90  A C
^ D= A C
^ B+ B C
^ D=90
 D C^ K=D B^ K ; mà A B^ C + A C
0

0

^ D=900=B ^
 AC

A C  AB // CD (AB  AC và CD  AC).

0,25đ

b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)
AH = CH (gt)
 ABH = CDH (c-g-c)

0,5đ

c. Chứng minh: Δ HMN cân.
Xét 2 tam giác vng: ABC và CDA có:
^ D=900=B ^
AB = CD; A C
A C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)

0,5đ

^ B=C ^
 AC
AD
^ A=N H
^ C (vì ABH = CDH)
mà: AH = CH (gt) và M H

 AMH = CNH (g-c-g)
 MH = NH. Vậy HMN cân tại H
Bài 4

(4,5đ)

0,5đ

a) Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
= 11.91( a.102 + b.10 + c) ⋮ 11
Vậy abcabc

⋮

11

n2
n 2
n
n
n2
n
n 2
n
b. 3  2  3  2 = 3  3  2  2

0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

n

2

n

2

= 3 (3  1)  2 (2  1)
n
n
n
n 1
= 3 10  2 5 3 10  2 10
= 10( 3n -2n-1)
n 2
n 2
n
n
Vậy 3  2  3  2  10 với mọi n là số nguyờn dng.

0,5
0,5

c. Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta cã:
a.b.c = 5(a+b+c) => abc  5
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng
Giả sử:
a  5, v× a  P => a = 5

Khi ®ã: 5bc = 5(5+b+c)
<=> 5+b+c = bc <=> bc-b-c +1 = 6
<=> b(c-1) – (c-1) = 6
(c-1)(b-1) = 6
Do vËy:
b-1 = 1
=> b = 2
Vµ c-1 = 6
vµ
c=7
b-1 = 2
=> b = 3
(loại vì c = 4 P)
và
c-1 = 3
và
c=4
Vai trò a, b, c, bình đẳng
Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7)

0,25

0,25

0,25

0,25
Bi 5

Vi

x

(1)

7
6

(1)

Vi

2x

1
6

2
3

thỡ

x<

2
3

2
2
2

x − ≥0 ⇒ x − =x −
3
3
3

thì

| |

thay vào B, ta tính được B =

¿
2
2
0 ⇒ x − =− x +
3
3
2
¿x −
3
¿

thay vào B, ta tính được B =

| |

0,25đ

0.25đ
0,5đ

2
4
Vì x< 3 nên 2 x < 3

1 4 1 7
Suy ra 2 x − 6 < 3 − 6 = 6
7

7

Vậy B < 6
7

Từ (1) và (2) suy ra B  6 . Do đó: max B = 6

2
khi x ≥ 3

--------------------------------- HẾT -----------------------------------

(2)