Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

Chuyên ngành :

Đại số và lí thuyết số

Mã số

9460104

:

Phản biện thứ nhất :

GS.TSKH. Phùng Hồ Hải

Phản biện thứ hai

:

PGS.TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện thứ ba

:

PGS.TS. Mai Hồng Biên

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGƠ LÂM XN CHÂU
TS. LÊ THANH HIẾU

Bình Định - 2021


i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại số
của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôi
thực hiện dưới sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châu
và TS. Lê Thanh Hiếu.

Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chú
thích nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng. Nếu có điều gì gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước
pháp luật.
Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021
Người thực hiện

Hà Trọng Thi


ii

Lời cảm ơn
Luận án được hồn thành trong q trình học tập và nghiên cứu tại
Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn
của TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảo
tận tình và hướng dẫn tơi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầy
hướng dẫn nghiêm túc và ln tạo một tình cảm thân thiện trong suốt
thời gian học tập. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS.
Ngơ Lâm Xn Châu và TS. Lê Thanh Hiếu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy
Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học
tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thống
kê cùng các thầy cô giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong
suốt thời gian tham gia học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồng
nghiệp và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi
tham gia học tập.
Trân trọng.

iii

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

1.2

1.3

Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Trường vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Nghiệm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . 17

Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân
đại số cấp một

25

2.1

Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Phộp bin i Măobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một

38

3.1

Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2

Một số tính chất bảo toàn của nghiệm . . . . . . . . . . . . 42


iv

3.3

Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . 45

4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp
một tham số hữu tỷ được
4.1

50

Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . 51

4.1.2

Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . 57

4.1.3

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . 58

4.2

Phương trình vi phân Riccati

4.3

Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4

Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được . 72

4.5

Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ
được thuộc lớp autonom

Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . 64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
87

Danh mục các cơng trình của tác giả liên quan đến Luận án 90
Tài liệu tham khảo

91


v

BẢNG CÁC KÝ HIỆU
C

trường số phức

i

số phức đơn vị ảo

C(x)

trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x

K

bao đóng đại số của trường K

K[x]

vành đa thức n biến x = (x1 , . . . , xn ) với hệ số trong K

deg(f )

bậc của đa thức f

K{y}

vành các đa thức vi phân theo biến y trên trường K

prem(P, F ) phần dư của phép chia đa thức vi phân P
cho đa thức vi phân F

res(f, g, x)

kết thức của f và g theo biến x

disc(f )

biệt thức của đa thức một biến f

δF

bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân F
(1)

AODE K
M
ΦM

tập các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K
au + b

phép bin i Măobius trờn K ; M (u) =
cu + d
ánh xạ hữu tỷ tương ứng với phép biến đổi Măobius M ;

M (u, v) = M (u), Mx(u) +

M (u)
∂u v


vi
(1)

GK

nhóm các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM

•

tác động của nhóm GK lên AODE K

Tc

ánh xạ tịnh tiến theo hằng c

(1)

(1)

1

MỞ ĐẦU

Một phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F (y, y ) = 0, trong
đó F ∈ C(x)[y, y ] và F có chứa biến đạo hàm y . Nếu F ∈ C[y, y ] thì ta
nói phương trình F (y, y ) = 0 là autonom (tức là mọi hệ số của F đều là
hằng số).
Việc nghiên cứu các phương trình vi phân đại số cấp một bắt đầu từ cuối
thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 với các cơng trình tiêu biểu của L. Fuchs [14],
H. Poincaré [27] và J. Malmquist [19]. Một nghiệm chung của F (y, y ) = 0
∂
và
F (y, y ) = 0 được gọi là một nghiệm kỳ dị. Các nghiệm kỳ dị của
∂y
phương trình F (y, y ) = 0 ln là nghiệm đại số và có hữu hạn nghiệm
kỳ dị như vậy, đồng thời việc tìm các nghiệm kỳ dị này là đơn giản. Tuy
nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = 0 có nghiệm tổng qt
đại số hay khơng và đưa ra một thuật tốn tính tốn tường minh một
nghiệm tổng quát đại số như vậy là một vấn đề khó.
Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng quát đại số của một phương
trình vi phân cấp một mới chỉ giải quyết một cách có hệ thống cho trường
hợp phương trình vi phân autonom. Trong trường hợp này sự tồn tại một
nghiệm đại số không tầm thường quyết định sự tồn tại nghiệm tổng quát
đại số. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có cịn những lớp phương trình nào


2

khác rộng hơn và cũng có tính chất như vậy hay khơng?

Vấn đề tương tự cho các phương trình vi phân cấp một không autonom
(non-autonomous) mới chỉ giải quyết cho một số trường hợp đặc biệt;
các lớp nghiệm hình thức của phương trình F (y, y ) = 0 được quan tâm
nghiên cứu là nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, ... Hiện nay
các thuật toán hữu hiệu để tìm kiếm các dạng nghiệm nói trên chỉ giới hạn
đối với các phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp như phương
trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati,
phương trình Abel).
Việc sử dụng các phép bin i Măobius trỡnh by trong cỏc bi bỏo
[22, 23] có thể chỉ ra một lớp các phương trình vi phân đại số cấp một
khơng autonom nhưng có thể biến đổi một cách tương đương về phương
trình autonom và có nghiệm tổng quát đại số. Như vậy chúng ta cần những
nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề này.
Bên cạnh đó, dựa vào một chặn bậc cho các nghiệm đại số khơng tầm
thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể
suy ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề này được mở
rộng như thế nào cho các phương trình vi phân cấp một không autonom
cũng là một câu hỏi mở cần được nghiên cứu.
Một nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y ) = 0
trong một trường mở rộng vi phân K của C(x) là một phần tử η ∈ K sao
cho F (η, η ) = 0, trong đó “ ” là phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo
hàm thông thường trên C(x). Nếu F là đa thức bậc một theo y thì phương
trình vi phân tương ứng được viết dưới dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y),


3

trong đó P và Q là các đa thức 2 biến khơng có nhân tử chung. Bài tốn
tìm một chặn bậc cho các nghiệm đại số của phương trình vi phân dạng này
được biết đến với tên gọi bài toán Poincaré. Trong một bài báo năm 1994,

M. M. Carnicer [4] đã giải bài toán Poincaré trong trường hợp tổng quát,
tức là kỳ dị của phương trình là nondicritical. Năm 1998, A. Eremenko
[12] đã đưa ra một chặn bậc cho các nghiệm hữu tỷ của phương trình vi
phân F (y, y ) = 0. Liệu kết quả này có thể mở rộng được cho các nghiệm
đại số hay không vẫn là một câu hỏi mở.
Gần đây, R. Feng và các cộng sự [13, 2] đã đưa ra một chặn bậc cho
các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình vi phân đại số cấp một
autonom. Hơn nữa, việc tính một nghiệm tổng quát đại số của các phương
trình như vậy được quy về việc tính một nghiệm đại số khơng tầm thường.
Vấn đề tính tốn tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số của các
phương trình vi phân đại số cấp một không autonom vẫn tiếp tục thu hút
nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học trong và ngồi nước
trong những năm gần đây. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ trong bài báo
của R. Feng [13], áp dụng cho các phương trình autonom, được mở rộng
cho lớp các phương trình khơng autonom tham số hóa được trong các bài
báo của L. X. C. Ngo và F. Winkler [25, 26, 22]. Các vấn đề này được
nghiên cứu đầy đủ hơn trong luận án tiến sĩ của N. T. Vo [34] với các
thuật tốn mới để tìm nghiệm hữu tỷ của các phương trình như vậy.
Bên cạnh vấn đề giải từng phương trình vi phân đại số cấp một, vấn đề
xác định sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cũng được
đặt ra. Trong các bài báo [23, 24, 21], các tác giả đã đưa ra các quan hệ


4

tương đương khác nhau trên các phương trình vi phân đại số cấp một. Từ
đó vấn đề giải một phương trình vi phân đại số có thể đưa về việc giải
một phương trình trong lớp tương đương và sự phân loại các phương trình
theo quan hệ tương đương đó.
Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân

đại số cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng
quát đại số và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật tốn tính
tường minh một nghiệm tổng qt đại số như vậy. Cụ thể, luận án tập
trung nghiên cứu vấn đề về sự tồn tại và tính tốn nghiệm tổng quát đại số
của các phương trình vi phân đại số cấp một tương đương với phương trình
autonom và phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Từ
đó đưa ra các thuật tốn hữu hiệu để tìm nghiệm tổng quát đại số của các
phương trình đó.
Luận án, ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Bảng các ký hiệu, Danh mục
các cơng trình khoa học của tác giả, Tài liệu tham khảo, được bố cục trong
4 chương:
Chương 1 trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng
trong luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường
cong đại số hữu tỷ.
Chương 2 trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên
các phương trình vi phân đại số cấp một và nghiên cứu phép biến đổi
tương đương tương ứng với một phép biến đổi Măobius. Chỳng tụi a ra
mt tớnh cht bt bin v bậc tổng thể vi phân của các phương trình vi
phân đại số cấp một.


5

Chương 3 đưa ra một số tính chất bảo tồn nghiệm của các phương
trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp tương đương dưới tác động
của các phép bin i Măobius. c bit, cỏc nghim tng quỏt i số được
bảo tồn. Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng
tôi đưa ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình
vi phân đại số cấp một thuộc một lớp autonom. Từ đó chúng tơi đề xuất
một thuật tốn tìm nghiệm tổng quát đại số của các phương trình thuộc

lớp tương đương autonom.
Chương 4 đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các
phương trình vi phân đa thức dạng y = P (x, y). Từ đó chúng tơi đưa ra
một thuật toán kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân
đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Cuối cùng chúng tôi đề xuất một
thuật tốn khác để tính nghiệm tổng qt đại số của các phương trình vi
phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được và thuộc một lớp tương đương
autonom.


6

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chúng tơi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng
trong luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường
cong đại số hữu tỷ.

1.1
1.1.1

Kiến thức cơ sở về đại số
Mở rộng trường

Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài
liệu [18].
Định nghĩa 1.1. Cho K là một trường. Nếu K là trường con của một
trường L thì ta nói L là một mở rộng trường của K .
Ta có thể xem L như là một khơng gian véctơ trên trường K . Ta nói L
là một mở rộng hữu hạn của K nếu chiều của L trên K là hữu hạn. Ký

hiệu [L : K] là chiều của không gian véctơ L trên K và gọi [L : K] là bậc
của mở rộng L trên K .


7

Định nghĩa 1.2. Cho L là một mở rộng của trường K . Phần tử α ∈ L
được gọi là một phần tử đại số trên K nếu có một đa thức một biến khác
không trong K[x] nhận α làm nghiệm; ngược lại, α được gọi là phần tử
siêu việt trên K .

√
Ví dụ 1.3. Phần tử 2 ∈ R là đại số trên Q vì đa thức x2 − 2 ∈ Q[x]
√
nhận 2 là một nghiệm.
Mệnh đề 1.4. Cho α ∈ L là một phần tử đại số trên K . Khi đó có duy
nhất một đa thức một biến bất khả quy trên K có bậc bé nhất và có hệ số
cao nhất bằng 1 nhận α làm nghiệm.
Đa thức trong mệnh đề trên được gọi là đa thức tối tiểu của phần tử α
trên trường K .
Định nghĩa 1.5. Một mở rộng L của K được gọi là đại số nếu mọi phần
tử của L là đại số trên K .
Mệnh đề 1.6. Nếu L là một mở rộng hữu hạn của K thì L là một mở
rộng đại số trên K .
Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và α ∈ L. Ta ký hiệu

K(α) là trường con bé nhất của L chứa K và α. Ta có
K(α) =

f (α)

| f, g ∈ K[x], g(α) = 0 .
g(α)

Mệnh đề 1.7. Cho α là một phần tử đại số trên K . Khi đó K(α) = K[α]
và [K(α) : K] bằng bậc của đa thức tối tiểu của α trên K .
Cho K là một trường con của L và α1 , . . . , αn ∈ L. Ký hiệu K(α1 , . . . , αn )
là trường con bé nhất của L chứa K và các phần tử α1 , . . . , αn . Khi đó

K(α1 , . . . , αn ) =

f (α1 , . . . , αn )
| f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ], g(α1 , . . . , αn ) = 0 .
g(α1 , . . . , αn )


8

Định nghĩa 1.8. Mở rộng L của K được gọi là hữu hạn sinh trên K nếu
tồn tại các phần tử α1 , . . . , αn ∈ L sao cho L = K(α1 , . . . , αn ).
Mệnh đề 1.9. Cho L là một mở rộng hữu hạn của K . Khi đó L là hữu
hạn sinh trên K .
Mệnh đề 1.10. Cho L = K(α1 , . . . , αn ) là một mở rộng hữu hạn sinh
trên K . Nếu α1 , . . . , αn là đại số trên K thì L = K(α1 , . . . , αn ) là mở
rộng hữu hạn trên K .
Định nghĩa 1.11. Một trường L được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức
trong L[x] với bậc dương có nghiệm trong L.
Mọi trường K đều có một mở rộng đại số và đóng đại số. Một mở rộng
như thế được gọi là bao đóng đại số của K và ký hiệu là K.

√

Ví dụ 1.12. a) Ta có dãy mở rộng trường Q ⊂ Q( p) ⊂ R ⊂ C, trong
đó p là một số nguyên tố.
√
√
b) Ta có dimQ Q( p) = 2 với một cơ sở là {1, p}; dimR C = 2 với
một cơ sở là {1, i}, i2 = −1; R là một không gian véctơ vô hạn chiều trên
Q.
c) Tập Q tất cả các số phức đại số trên Q lập thành một trường và là
bao đóng đại số của Q. Mở rộng Q không là một mở rộng hữu hạn của Q.

1.1.2

Kết thức

Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài
liệu [8].


9

Định nghĩa 1.13. Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương

f =am xm + · · · + a0 ,
g =bn xn + · · · + b0 ,

am = 0
bn = 0.

Kết thức (resultant) của f và g đối với x, ký hiệu res(f, g, x), là định thức
của ma trận Sylvester cấp


am am−1

0
am


..
 ...
.



0
0
Syl(f, g, x) = 

 bn bn−1


0
bn

 .
..
 ..
.


0

0

(m + n) xác định như sau


am−2 · · ·

a1

a0

0

0

···

am−1 · · ·
... ...

a2
..
.

a1
..
.

a0
..

.

0
...

···
...

···

···

am

bn−2 · · ·
...
b

···

···

b0

0

···

···
...

···
...

b1
...

b0
...

···
...

···

···

···

···

n−1

...

...

0

bn bn−1

am−1 am−2 am−3 · · ·

0

0


.. 
.


a0 
,

0


0

.. 
.


b0

trong đó số dịng các hệ số của f là n và số dòng các hệ số của g là m.
Mệnh đề 1.14. Hai đa thức f, g ∈ K[x] có nhân tử chung trong K[x] khi
và chỉ khi res(f, g, x) = 0.
Mệnh đề 1.15. Cho các đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương. Khi đó tồn

tại các đa thức A, B ∈ K[x] sao cho

res(f, g, x) = Af + Bg.
Hơn nữa, các hệ số của A, B là các đa thức nguyên theo các hệ số của f
và g .


10

Kết thức có thể định nghĩa cho các đa thức nhiều biến bằng cách xem
các đa thức nhiều biến như là các đa thức một biến với hệ số thuộc vành
các đa thức theo các biến còn lại.
Mệnh đề 1.16. Cho f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] là các đa thức có bậc dương theo

x1 . Khi đó
1. res(f, g, x1 ) ∈ f, g ∩ K[x2 , . . . , xn ].
2. res(f, g, x1 ) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử chung trong

K[x1 , . . . , xn ] có bậc dương theo x1 .
Hệ quả 1.17. Cho f, g ∈ C[x]. Khi đó res(f, g, x) = 0 khi và chỉ khi f, g
có một nghiệm chung trong C.
Mệnh đề 1.18. Cho f, g ∈ C[x1 , . . . , xn ] là các đa thức có bậc dương theo

x1 với các hệ số đầu theo x1 lần lượt là ak , bl . Nếu res(f, g, x1 ) triệt tiêu
tại (c2 , . . . , cn ) ∈ Cn−1 thì hoặc
1. ak hoặc bl triệt tiêu tại (c2 , . . . , cn ), hoặc
2. tồn tại c1 ∈ C sao cho f và g triệt tiêu tại (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ Cn .
Định nghĩa 1.19. Biệt thức (discriminant) của đa thức 1 biến f ∈ K[x]
bậc m, ký hiệu disc(f ), được xác định bởi
m(m−1)

2

(−1)
disc(f ) =
am

res(f, f , x).

Ví dụ 1.20. a) Cho f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Khi đó f (x) = a1 + 2a2 x và

a2
disc(f ) = −

a1 a0

1
2
2a2 a1 0 = a1 − 4a0 a2 .
a2
0 2a2 a1


11

b) Cho f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . Khi đó f (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2
và ta có

disc(f ) = −

a3

a2

a1

a0

0

a3

a2

a1 a0

1
3a3 2a2 a1 0
a3
0 3a3 2a2 a1
0

0

0

0
0

3a3 2a2 a1

= − 27a20 a23 − 4a0 a32 − 4a31 a3 + a21 a22 + 18a0 a1 a2 a3 .
Đặc biệt, đối với đa thức bậc ba dạng khuyết f (x) = x3 + px + q , biệt
thức của đa thức này là disc(f ) = −4p3 − 27q 2 .
Mệnh đề 1.21. Đa thức f ∈ K[x] có nhân tử bội (tức là f chia hết cho

h2 với h ∈ K[x] có bậc dương) khi và chỉ khi disc(f ) = 0. Trên trường số
phức, một đa thức có nghiệm bội khi và chỉ khi biệt thức của nó bằng 0.

1.2

Đại số vi phân

Trong phần này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở về vành vi
phân, trường vi phân và iđêan vi phân. Những khái niệm này được sử dụng
làm ngôn ngữ đại số để xây dựng khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ
dị của các phương trình vi phân. Nội dung của phần này được tham khảo
từ các tài liệu [30, 16, 3]. Xuyên suốt luận án, các vành đều là vành giao
hốn, có đơn vị và các trường đều có đặc số khơng.


12

1.2.1

Trường vi phân

Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa vào tài
liệu [3].
Định nghĩa 1.22. Cho R là một vành. Một phép đạo hàm trên R là một
ánh xạ D : R → R sao cho với mọi x, y ∈ R thỏa mãn các điều kiện

D(x + y) = Dx + Dy,

(1.1)

D(xy) = yDx + xDy.

(1.2)

Nói cách khác, D là một ánh xạ cộng tính và thỏa mãn quy tắc Leibniz.
Phép đạo hàm D có thể áp dụng nhiều lần trên một phần tử. Với mỗi
số tự nhiên n, với mỗi a ∈ R, đạo hàm cấp n của a, ký hiệu a(n) , được xác
định một cách quy nạp như sau: a(0) = a và a(n) = D(a(n−1) ) với n ≥ 1.
Định nghĩa 1.23. Cặp (R, D) được gọi là một vành vi phân. Nếu R là
một trường thì ta nói (R, D) là một trường vi phân.
Nếu khơng có sự nhầm lẫn thì ta thường nói R là một vành (trường)
vi phân thay cho cặp (R, D).
Ví dụ 1.24. Một vành bất kỳ là một vành vi phân với phép đạo hàm
không, tức là đạo hàm của mọi phần tử đều bằng 0.
Ví dụ 1.25. Vành các đa thức một biến C[x] là một vành vi phân với
d
xác định như sau:
phép đạo hàm thông thường
dx

d
dx

n

n
i

ai x
i=0

iai xi−1 .

=
i=0


13

Ví dụ 1.26. Cho (R, D) là một vành vi phân. Vành các đa thức một biến

R[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm κD xác định như sau:
n

n
i

κD

ai x
i=0

D(ai )xi ,

=

i=0

tức là phép đạo hàm được thực hiện bằng cách áp dụng phép đạo hàm D
lên tất cả các hệ số của đa thức của R[x]. Chẳng hạn, xét R = C[y] với
d
. Khi đó phép đạo hàm κ d trên C[y][x]
phép đạo hàm thơng thường
dy
dy
∂
cũng chính là phép đạo hàm riêng
. Tương tự, trên vành đa thức C[x][y]
∂y
∂
ta có κ d =
.
dx
∂x
Từ định nghĩa ta suy ra những tính chất đơn giản sau của phép đạo
hàm.
Mệnh đề 1.27. Cho (R, ) là một vành vi phân. Khi đó
1. 1 = 0, 0 = 0.
2. (an ) = nan−1 a với mọi số nguyên n ≥ 1 và với mọi a ∈ R.

a
với mọi a ∈ R khả nghịch. Từ đó suy ra
a2
(an ) = nan−1 (a) với mọi số nguyên n.

3. (a−1 ) = −

4.

a
b

=

Chứng minh.

ab−ba
, với mọi a, b ∈ R và b khả nghịch.
b2
1. Ta có 1 = (1 · 1) = 1 1 + 11 = 1 + 1 . Suy ra 1 = 0.

Tương tự, 0 = (0 + 0) = 0 + 0 . Suy ra 0 = 0.
2. Ta chứng minh quy nạp theo n nguyên dương. Đẳng thức luôn đúng
với n = 1. Giả sử đẳng thức đúng với n = k − 1, tức là

(ak−1 ) = (k − 1)ak−2 a .


14

Khi đó ta có

(ak ) = a ak−1 + (ak−1 ) a = a ak−1 + a(k − 1)ak−2 a = kak−1 a .
3. Ta có 0 = 1 = (a · a−1 ) = a (a−1 ) + (a−1 ) a. Từ đó suy ra

(a−1 ) = −a a−2 .

Giả sử n là một số nguyên âm, ta có

(an ) = (a−1 )−n = −n(a−1 ) (a−1 )−n−1 .
Suy ra

(an ) = −n(−a a−2 )an+1 = na an−1 .
4. Ta có a =

a
·b
b

=

a
b

a
·b+b · .
b

a
b

a
·b=a −b · .
b

Suy ra

Do đó

a
b

=

ab−ba
.
b2

Định nghĩa 1.28. Cho (K, D) là một trường vi phân. Tập hợp

C = {c ∈ K | Dc = 0}
là một trường con của trường K và được gọi là trường các hằng của K .
Định nghĩa 1.29. Cho (R, D) và (S, ∆) là các vành vi phân. Ta nói

(S, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D) nếu R là một vành con của S
và ∆a = Da với mọi a ∈ R.


15

Mệnh đề 1.30. Cho (R, D) là một miền nguyên vi phân và F là trường
các thương của R. Khi đó tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên F
sao cho (F, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D). Cụ thể, nếu x ∈ F và
a
x = với a, b ∈ R, b = 0 thì
b

∆x =

bDa − aDb
.
b2

Ví dụ 1.31. Trường C(x) các phân thức theo biến x là trường các thương
d
của miền nguyên C[x]. Do đó phép đạo hàm thơng thường
của các đa
dx
thức được mở rộng một cách duy nhất thành phép đạo hàm của các phân
thức

d P (x)
dx Q(x)

Q(x)
=

d
d
P (x) − P (x) Q(x)
dx
dx
.
2
Q (x)

Mệnh đề 1.32. Giả sử L là một mở rộng đại số của một trường vi phân

(K, D). Khi đó tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên L mở rộng
phép đạo hàm trên K . Cụ thể, với mỗi α ∈ L, giả sử P (x) ∈ K[x] là đa
thức tối tiểu của α trên K . Khi đó

∆α = −

κD (P )(α)
,
d
P (α)
dx

d
và κD là các phép đạo hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.25
dx
và Ví dụ 1.26.
trong đó

Ví dụ 1.33. Giả sử α là một nghiệm của đa thức Y 2 − x ∈ C(x)[Y ], tức
√
d
là α biểu diễn hàm ± x. Khi đó có duy nhất một phép đạo hàm
mở
dx
d
rộng phép đạo hàm
trên C(x) để C(x)(α) là một mở rộng vi phân của
dx
dα

1
C(x) và
=
.
dx
2α


16

Mệnh đề 1.34. Giả sử (K, D) là một trường vi phân và t là siêu việt trên

K . Khi đó với mỗi w ∈ K(t) tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên
K(t) sao cho ∆t = w và (K(t), ∆) là một mở rộng vi phân của (K, D).
d
Áp dụng mệnh đề trên cho C(x), ta suy ra rằng
là phép đạo hàm
dx
dc
dx
duy nhất trên C(x) sao cho
= 0 với mọi c ∈ C và
= 1.
dx
dx
Mệnh đề 1.35. Giả sử (L, ∆) là một mở rộng vi phân của một trường vi
phân (K, D). Khi đó
1. Nếu c ∈ L là đại số trên trường hằng C của K thì c là hằng.
2. Nếu c ∈ L là hằng và c đại số trên K thì c đại số trên trường hằng

C của K .
Chứng minh. 1. Giả sử P (X) là đa thức đơn cực tiểu của c trên C . Đạo
hàm đẳng thức P (c) = 0 ta suy ra

0 = ∆(P (c)) = (κD P )(c) +

dP
(c)∆c.
dx

dP
(c) = 0 nên ∆c = 0. Do đó c là một hằng.
dx
2. Giả sử P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 là đa thức đơn cực

Vì (κD P ) = 0 và

tiểu của c trên K . Đạo hàm hai vế đẳng thức P (c) = 0 và sử dụng giả
thiết ∆c = 0 ta suy ra

(Dan−1 )cn−1 + · · · + (Da1 )c + Da0 = 0.
Do tính cực tiểu của P (X) nên điều này xảy ra khi mọi hệ số Dan−1 , . . . ,

Da1 , Da0 đều bằng 0. Vì vậy an−1 , . . . , a1 , a0 là các hằng của K .


17

1.2.2

Nghiệm của đa thức vi phân

Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài
liệu [30]. Cho K là một trường vi phân và y là một biến vi phân (differential
indeterminate) trên K . Xét dãy các ký hiệu y = y0 , y1 , y2 , . . . và dãy lồng
nhau của các vành đa thức

K[y] = K[y0 ] ⊂ K[y0 , y1 ] ⊂ K[y0 , y1 , y2 ] ⊂ . . .
∞

K[y0 , y1 , y2 , ..., yn ] là một vành đối với các phép toán

Mệnh đề 1.36.
n=0

∞

K[y0 , y1 , y2 , ..., yn ] là một vành vi

cộng và nhân các đa thức. Hơn nữa,
n=0

phân đối với phép đạo hàm “ ” xác định bởi yi = yi+1 với mọi i ∈ N.
Chú ý rằng, với mỗi p ∈ N ta có
(p)

yp = yp−1 = (yp−2 ) = · · · = y0 ,
(p)

ở đây y0 là đạo hàm cấp p của y0 = y . Như vậy ký hiệu yp chính là đạo

hàm cấp p của y .
∞

Định nghĩa 1.37. Vành vi phân (

K[y0 , y1 , y2 , ..., yn ],

) được gọi là

n=0

vành các đa thức vi phân, ký hiệu là K{y}.
Mỗi phần tử của K{y} được gọi là một đa thức vi phân. Ta định nghĩa
cấp của một đa thức vi phân là cấp của đạo hàm cao nhất xuất hiện trong
đa thức vi phân đó. Một đa thức vi phân F ∈ K{y} cấp p có dạng

F = am ypm + am−1 ypm−1 + · · · + a1 yp + a0 ,

(1.3)

trong đó a0 , a1 , . . . , am ∈ K{y} là các đa thức vi phân có cấp khơng vượt
q p − 1 và yp là đạo hàm cấp p của y .