Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

TĨM TẮT
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

Chuyên ngành :

Đại số và lí thuyết số

Mã số

9460104

:

Phản biện thứ nhất :

GS.TSKH. Phùng Hồ Hải

Phản biện thứ hai

:

PGS.TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện thứ ba

:

PGS.TS. Mai Hồng Biên

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGƠ LÂM XN CHÂU
TS. LÊ THANH HIẾU

Bình Định - 2021


i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại số của
một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôi thực hiện dưới
sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh

Hiếu.
Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chú thích
nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng. Nếu
có điều gì gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021
Người thực hiện

Hà Trọng Thi


ii

Lời cảm ơn
Luận án được hồn thành trong q trình học tập và nghiên cứu tại Khoa
Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô
Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảo tận tình và hướng
dẫn tơi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầy hướng dẫn nghiêm túc và
ln tạo một tình cảm thân thiện trong suốt thời gian học tập. Trước tiên, tôi
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngơ Lâm Xn Châu và TS. Lê Thanh
Hiếu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn,
Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập. Đặc biệt,
tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thống kê cùng các thầy cô
giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong suốt thời gian tham gia
học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồng nghiệp
và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi tham gia học
tập.
Trân trọng.

iii

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại
số cấp một

5

2.1

Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Phộp bin i Măobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một

8

3.1

Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2

Một số tính chất bảo tồn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . . . . 10

4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một
tham số hữu tỷ được
4.1

11

Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . . . . 11

4.1.2

Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . . . . 12

4.1.3

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . . . . 12

4.2

Phương trình vi phân Riccati

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3

Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


iv

4.4

Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được . . . . 15

4.5

Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ được
thuộc lớp autonom

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Kết luận

19

Danh mục các cơng trình của tác giả liên quan đến Luận án

20

Tài liệu tham khảo

21


1

MỞ ĐẦU
Một phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F (y, y ) = 0, trong đó

F ∈ C(x)[y, y ] và F có chứa biến đạo hàm y . Nếu F ∈ C[y, y ] thì ta nói
phương trình F (y, y ) = 0 là autonom (tức là mọi hệ số của F đều là hằng số).
Việc nghiên cứu các phương trình vi phân đại số cấp một bắt đầu từ cuối thế
kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 với các cơng trình tiêu biểu của L. Fuchs [14], H. Poincaré
∂
[27] và J. Malmquist [19]. Một nghiệm chung của F (y, y ) = 0 và
F (y, y ) = 0
∂y
được gọi là một nghiệm kỳ dị. Các nghiệm kỳ dị của phương trình F (y, y ) = 0
luôn là nghiệm đại số và có hữu hạn nghiệm kỳ dị như vậy, đồng thời việc tìm
các nghiệm kỳ dị này là đơn giản. Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình

F (y, y ) = 0 có nghiệm tổng qt đại số hay khơng và đưa ra một thuật tốn
tính tốn tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy là một vấn khú.
Vic s dng cỏc phộp bin i Măobius trỡnh bày trong các bài báo [22, 23]
có thể chỉ ra một lớp các phương trình vi phân đại số cấp một khơng autonom
nhưng có thể biến đổi một cách tương đương về phương trình autonom và có
nghiệm tổng qt đại số. Như vậy chúng ta cần những nghiên cứu lý thuyết cho
vấn đề này.
Bên cạnh đó, dựa vào một chặn bậc cho các nghiệm đại số không tầm thường
của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể suy ra một

chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề này được mở rộng như thế nào
cho các phương trình vi phân cấp một khơng autonom cũng là một câu hỏi mở
cần được nghiên cứu.
Một nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y ) = 0 trong một
trường mở rộng vi phân K của C(x) là một phần tử η ∈ K sao cho F (η, η ) = 0,


2

trong đó “

” là phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo hàm thông thường

trên C(x). Nếu F là đa thức bậc một theo y thì phương trình vi phân tương
ứng được viết dưới dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), trong đó P và Q là các
đa thức 2 biến khơng có nhân tử chung. Bài tốn tìm một chặn bậc cho các
nghiệm đại số của phương trình vi phân dạng này được biết đến với tên gọi
bài toán Poincaré. Trong một bài báo năm 1994, M. M. Carnicer [4] đã giải
bài toán Poincaré trong trường hợp tổng quát, tức là kỳ dị của phương trình
là nondicritical. Năm 1998, A. Eremenko [12] đã đưa ra một chặn bậc cho các
nghiệm hữu tỷ của phương trình vi phân F (y, y ) = 0. Liệu kết quả này có thể
mở rộng được cho các nghiệm đại số hay không vẫn là một câu hỏi mở.
Gần đây, R. Feng và các cộng sự [13, 2] đã đưa ra một chặn bậc cho các
nghiệm đại số tổng quát của các phương trình vi phân đại số cấp một autonom.
Hơn nữa, việc tính một nghiệm tổng quát đại số của các phương trình như vậy
được quy về việc tính một nghiệm đại số khơng tầm thường.
Vấn đề tính tốn tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số của các phương
trình vi phân đại số cấp một không autonom vẫn tiếp tục thu hút nhiều sự quan
tâm nghiên cứu của các nhà tốn học trong và ngồi nước trong những năm gần
đây. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ trong bài báo của R. Feng [13], áp dụng

cho các phương trình autonom, được mở rộng cho lớp các phương trình khơng
autonom tham số hóa được trong các bài báo của L. X. C. Ngo và F. Winkler
[25, 26, 22]. Các vấn đề này được nghiên cứu đầy đủ hơn trong luận án tiến sĩ
của N. T. Vo [34] với các thuật toán mới để tìm nghiệm hữu tỷ của các phương
trình như vậy.
Bên cạnh vấn đề giải từng phương trình vi phân đại số cấp một, vấn đề xác
định sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cũng được đặt ra.
Trong các bài báo [23, 24, 21], các tác giả đã đưa ra các quan hệ tương đương
khác nhau trên các phương trình vi phân đại số cấp một. Từ đó vấn đề giải một
phương trình vi phân đại số có thể đưa về việc giải một phương trình trong lớp
tương đương và sự phân loại các phương trình theo quan hệ tương đương đó.
Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân đại số


3

cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng quát đại số
và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật tốn tính tường minh một
nghiệm tổng quát đại số như vậy. Cụ thể, luận án tập trung nghiên cứu vấn đề
về sự tồn tại và tính tốn nghiệm tổng qt đại số của các phương trình vi phân
đại số cấp một tương đương với phương trình autonom và phương trình vi phân
đại số cấp một tham số hữu tỷ được.
Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Bảng các ký hiệu, Danh mục các cơng
trình khoa học của tác giả, Tài liệu tham khảo, được bố cục trong 4 chương:
Chương 1 trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong
luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường cong đại số
hữu tỷ.
Chương 2 trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên các
phương trình vi phân đại số cấp một và nghiên cứu phép biến đổi tng ng
tng ng vi mt phộp bin i Măobius. Chỳng tơi đưa ra một tính chất bất

biến về bậc tổng thể vi phân của các phương trình vi phân đại số cấp một.
Chương 3 đưa ra một số tính chất bảo tồn nghiệm của các phương trình vi
phân đại số cấp một thuộc một lớp tương đương dưới tác động ca cỏc phộp
bin i Măobius. c bit, cỏc nghim tng qt đại số được bảo tồn. Kết hợp
với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc
cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một
lớp autonom. Từ đó chúng tơi đề xuất một thuật tốn tìm nghiệm tổng qt
đại số của các phương trình thuộc lớp tương đương autonom.
Chương 4 đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương
trình vi phân đa thức dạng y = P (x, y). Từ đó chúng tơi đưa ra một thuật tốn
kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số
hữu tỷ được. Cuối cùng chúng tôi đề xuất một thuật tốn khác để tính nghiệm
tổng qt đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ
được và thuộc một lớp tương đương autonom.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Kiến thức cơ sở về đại số

Nội dung phần này được trình bày dựa theo tài liệu [18]; [8].

1.2

Đại số vi phân

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về vành vi phân,
trường vi phân và iđêan vi phân. Những khái niệm này được sử dụng làm ngôn
ngữ đại số để xây dựng khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị của các
phương trình vi phân. Nội dung của phần này được tham khảo từ các tài liệu
[30, 16, 3].

1.3

Đường cong đại số hữu tỷ

Trong phần này, chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả
quan trọng về lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ được dùng trong Chương 4.
Nội dung chính của phần này được tham khảo từ tài liệu [32].


5

Chương 2
Phép biến đổi tương đương trên các
phương trình vi phân đại số cấp một
Một số kết quả của chương này được tác giả đăng trong bài báo [6].

2.1

Phép biến đổi tương đương

F. Schwarz đã trình bày các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất biến
tuyệt đối, dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31] cho các phương trình vi phân
với cấp tùy ý, chúng tơi trình bày lại các vấn đề đó cho các phương trình vi phân
đại số cấp một.

Mệnh đề 2.1. Tập các phương trình Riccati

y = a2 (x)y 2 + a1 (x)y + a0 (x),
với ai ∈ C(x) với mọi i = 0, 1, 2, là ổn định qua các phép biến đổi

x = t,

y=

a(t)u + b(t)
, a, b, c, d ∈ C(t), ad − bc = 0.
c(t)u + d(t)

Mệnh đề 2.2. Tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai y = a3 y 3 +
a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0
2
a2 y + a1 y + a0 , y =
là ổn định qua các phép biến đổi
y + b0

x = t,

y=

a(t)u + b(t)
, a, b, c, d ∈ C(t), ad − bc = 0.
c(t)u + d(t)


6

Định nghĩa 2.3. Cho F (x, y, y ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp
một với các hệ số a1 , . . . , aN phụ thuộc vào x. Giả sử a
˜1 , . . . , a
˜N là các hệ số của
phương trình được biến đổi thành qua phép biến đổi đã xét. Một biểu thức Φ
thỏa mãn

Φ(˜
a1 , . . . , a
˜N ) = Φ(a1 , . . . , aN )
được gọi là một bất biến của phương trình vi phân F (x, y, y ) = 0.
Định nghĩa 2.4. Một dạng chuẩn tắc hữu tỷ (rational normal form) của một
phương trình vi phân đại số là một phương trình với số các hệ số khác hằng là
nhỏ nhất mà phương trình này có thể nhận được từ phương trình đã cho bằng
một phép biến đổi theo biến phụ thuộc v bin c lp.

2.2

Phộp bin i Mă
obius
(1)

Ta ký hiu AODE K = {F (y, y ) = 0 | F ∈ K[y, w]} là tập tất cả các
phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K . Một phộp bin i Măobius
trờn K l mt hm hu t có dạng

M (u) =

au + b

,
cu + d

trong đó a, b, c, d ∈ K và ad − bc = 0. Đặt

∂M (u) (a u + b )(cu + d) − (au + b)(c u + d )
=
∂x
(cu + d)2
Au2 + Bu + C
, 0 ≤ degu (Au2 + Bu + C) ≤ 2,
=
2
(cu + d)
trong đó A = a c − ac , B = a d − ad + b c − bc , C = b d − bd và

∂M (u)
ad − bc
=
.
∂u
(cu + d)2
a
là hằng số.
c
Với mỗi M (u) ta có một ánh xạ hữu tỷ ΦM : K 2

Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc

ΦM (u, v) = M (u),

K 2 được định nghĩa bởi

∂M (u) ∂M (u)
+
v .
∂x
∂u


7

Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với

M (u) = u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song
du − b
−1
−1
−1 (u), ∂M (u) + ∂M (u) v
hữu tỷ liên kết với M −1 (u) =
, tức là Φ−1
M (u, v) = M
∂x
∂u
−cu + a
Ta có ngay mệnh đề sau.
(1)

Mệnh đề 2.5. Tập hợp GK tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM lập
thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ. Nhóm ny ng

cu vi nhúm cỏc phộp bin i Mă
obius trờn K .
(1)

Định nghĩa 2.6 (Bậc tổng thể vi phân của F ). Cho F ∈ AODE K và giả sử

F (y, y ) = A0 y m + A1 y m−1 + · · · + Am−1 y + Am ,
trong đó m ∈ N∗ , Ai ∈ K[y] với mọi i = 0, . . . , m, A0 = 0. Số

δF := max{2(m − i) + degy Ai | i = 0, . . . , m}
được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F .
(1)

Mệnh đề 2.7. Cho F, G ∈ AODE K khác khơng. Khi đó δF ·G = δF + δG .
(1)

(1)

Định nghĩa 2.8. Tác động của nhóm GK lên tập AODE K được định nghĩa
bởi

ΦM • F = (−cy + a)δF (F (ΦM −1 (y, y ))),
au + b
(1)
(1)
với mọi ΦM ∈ GK xác định bởi M (u) =
và với mọi F ∈ AODE K .
cu + d
Mệnh đề 2.9. Ta có
1. ΦM • (ΦN • F ) = ΦM ◦N • F ;

2. ΦM • (F · G) = (ΦM • F ) · (ΦM • G).
(1)

Định nghĩa 2.10. Cho F, G ∈ AODE K . Ta nói F tương đương với G, ký hiệu
(1)

là F ∼ G nếu và chỉ nếu tồn tại ΦM ∈ GK sao cho ΦM • F = G.
Định lý 2.11. Giả sử F (y, y ) = A0 y m + · · · + Am−1 y + Am ∈ K[y, y ], A0 = 0
(1)

và G = ΦM • F , trong đó ΦM ∈ GK . Giả sử δF là bậc tổng thể vi phân của F .
Khi đó

(1) degy G = degy F,

(2) degy G ≤ δF ,

(3)δG = δF .

.


8

Chương 3
Nghiệm đại số của phương trình vi
phân đại số cấp một
3.1

Nghiệm đại số

Định nghĩa 3.1. Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức
vi phân. Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của F và đồng
thời là một phần tử đại số trên trường K .
Mệnh đề 3.2. Nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một thì
mỗi nghiệm kỳ dị của F (y, y ) = 0 là một nghiệm đại số. Hơn nữa, số nghiệm
kỳ dị của F (y, y ) = 0 là hữu hạn.
Mệnh đề 3.3. Cho P (y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L của

F (y, y ) = 0 trên K . Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P (ξ) = 0 đều là nghiệm đại số
của F (y, y ) = 0.
Định nghĩa 3.4 ([2]). Một nghiệm đại số P (x, y) = 0 của phương trình vi
phân đại số cấp một autonom F (y, y ) = 0 được gọi là không tầm thường nếu

degx P > 0.
Mệnh đề 3.5 ([2]). Cho F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp
một với hệ số hằng. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường
của F (y, y ) = 0. Khi đó P (x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của

F (y, y ) = 0, với c là hằng số tùy ý.


9

Định lý 3.6 ([2]). Cho F ∈ Q[y, y ] là một đa thức bất khả quy trên Q. Giả
sử P ∈ Q[x, y] là bất khả quy và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm
thường của phương trình vi phân autonom F (y, y ) = 0. Khi đó

degy P ≤ degy F + degy F.

degx P = degy F,

Hơn nữa, P (x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình

F (y, y ) = 0 và chặn bậc như vậy là mịn theo nghĩa có thể chỉ ra một phương
trình vi phân autonom F (y, y ) = 0 mà chặn bậc ở trên đạt được dấu bằng.

3.2

Một số tính chất bảo tồn của nghiệm
(1)

Định lý 3.7. Cho F, G ∈ AODE K và giả sử F ∼ G. Khi đó F có một nghiệm
tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại số.
Định nghĩa 3.8. Cho c ∈ C là hằng số, ta định nghĩa ánh xạ tịnh tiến
(1)

(1)

Tc : AODE K → AODE K
bởi

(1)

Tc F = F (x + c, y, y ) với mọi F ∈ AODE K .
(1)

Mệnh đề 3.9. F ∈ AODE K là autonom nếu và chỉ nếu Tc

F = F với mọi

c ∈ C.
(1)

Định nghĩa 3.10. Cho F ∈ AODE K thuộc lớp autonom và ΦM là một phép
biến đổi sao cho ΦM • F là autonom. Một nghiệm đại số P (x, y) = 0 của

F (y, y ) = 0 trên C(x) được gọi là không tầm thường tương ứng với ΦM nếu
degx (ΦM • P ) > 0.
Định lý 3.11. Cho F (y, y ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một
trong lớp autonom và ΦM là phép biến đổi sao cho ΦM • F = 0 là autonom. Giả
sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F (y, y ) = 0 trên
C(x) tương ứng với ΦM . Khi đó ΦM −1 • (Tc (ΦM • P )) = 0 là một nghiệm tổng
quát đại số của phương trình F (y, y ) = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.


10

Định lý 3.12. Giả sử phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y ) = 0 thuộc
lớp autonom và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số khơng tầm thường của phương
trình F (y, y ) = 0 tương ứng với ΦM . Khi đó, giống của đường cong đại số

P (x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F (y, y ) = 0.

3.3

Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
(1)

(1)

Định lý 3.13. Cho F ∈ AODE K và giả sử tồn tại ΦM ∈ GK sao cho ΦM • F
là phương trình vi phân đại số autonom. Khi đó, bậc của một nghiệm tổng quát
đại số của F (y, y ) = 0 trên K bị chặn trên bởi (δF + degy F ). Hơn nữa, nếu
ay + b
K = C(x) và M (y) =
, trong đó bậc của a, b, c, d nhỏ hơn N , thì bậc
cy + d
theo x của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F (y, y ) = 0 nhỏ
hơn degy F + N (δF + degy F ).
Thuật toán 1
Input: F ∈ K[y, y ], degy F > 0, degy F > 0, M (y) =

ay + b
để ΦM • F là
cy + d

autonom.
Output: Tính nghiệm tổng quát đại số của F = 0 nếu có.
1. Sử dụng Thuật tốn 4.4 trong [2] để tính một nghiệm đại số khơng tầm
thường của ΦM • F . Nếu ΦM • F khơng có nghiệm đại số khơng tầm thường
thì kết luận “ F = 0 khơng có nghiệm tổng quát đại số”.
2. Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số khơng tầm thường của ΦM • F = 0 nhận
được từ bước 1 thì

(−cy + a)degy Q Q(x + C, M −1 (y)) = 0
là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.


11

Chương 4
Sự tương đương của các phương trình
vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ
được
4.1

Phương trình vi phân đa thức

Một phương trình vi phân đa thức có dạng

y = an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + · · · + a1 (x)y + a0 (x),

(4.1)

trong đó a0 , a1 , . . . , an ∈ K , an = 0.

4.1.1

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b

Phương trình (4.1) được biến đổi thành

z = An (x)z n + An−1 (x)z n−1 + · · · + A1 (x)z + A0 (x),

(4.2)

Định lý 4.1. Với mọi 2 ≤ i ≤ n − 1, ta có
i−1

An−i = −
j=0

n−j
i−j i−j
(−1)
ni−j

Ai−j
n−1 An−j
ai−j
n

i−1

+
j=0

n−j
i−j i−j
(−1)
ni−j

ai−j
n−1 an−j
ai−j
n

+ an−i .
(4.3)

Định lý 4.2. Ta có

n
j=0

j
(−1)j Aj An−1
+
nj
Ajn

An−1
nAn

=

n
j=0

j
(−1)j aj an−1
+
nj
ajn

an−1
nan

.

12

4.1.2

Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw

Phương trình (4.2) được biến đổi thành

w =a
˜n (x)wn + a
˜n−1 (x)wn−1 + · · · + a
˜1 (x)w + a
˜0 (x),
Bằng cách khử a, ta suy ra một hệ phương trình các bất biến sau

a
˜i
Ai


 i−1 = i−1 , ∀i = 2, . . . , n − 1,
a
˜nn−1
Ann−1
1
1

1 a

˜n
1 An

a
˜1 +
= A1 +
, và a
˜0 a
˜nn−1 = A0 Ann−1 .
n − 1a
˜n
n − 1 An

(4.4)

(4.5)

Nhận xét 4.3. Để phương trình (4.2) biến đổi thành phương trình (4.4) qua
phép biến đổi z = aw thì hệ số a được xác định bởi a
˜n = An an−1 . Như vậy, nói
chung a thuộc một mở rộng đại số của trường chứa các hệ số a
˜n và An .

4.1.3

Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b

Định lý 4.4. Với n ≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) và (4.4) là
tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu

K1 (a) = K1 (˜
a), K0 (a) = K0 (˜
a), Ki (a) = Ki (˜
a), 2 ≤ i ≤ n − 2.

(4.6)

Hệ quả 4.5. Phương trình vi phân đa thức (4.1), với n ≥ 3, là tương đương với
dạng chuẩn tắc sau

u = un + Kn−2 (a)un−2 + · · · + K1 (a)u + K0 (a),
qua phép biến đổi y = α1 u + β1 với α1n−1 =

4.2

1
,
an

β1 = −

an−1
.
nan

Phương trình vi phân Riccati

Định lý 4.6. Với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.4) là
˜ 0 (a) = K
˜ 0 (˜

tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu K
a).
Ví dụ 4.7. Hai phương trình vi phân trong [15] (danh mục các phương trình vi
phân của Kamke)

4
2
no.1.140 : y = −y 2 − y − 2 và
x
x


13

1
4x + 1
4
y2 + 2
y−
−x
2x − x
2x − 1
˜ 0 (a) = 0, qua phép biến
là tương đương bởi vì chúng có cùng bất biến vi phân K
4x − 1
1
,b=− 2
.
đổi được xác định y = aw + b với a = 2
2x − x

2x − x
no.1.165 : y = −

2x2

Chú ý 4.8. Trong [9], Czy˙zycki và cộng sự đã nghiên cứu sự tương đương của
các phương trình Riccati dưới tác động của một số nhóm con của nhóm Lie các
phép biến đổi tương đương của phương trình Riccati. Trong số các nhóm con
này có nhóm con gồm các phép biến đổi dạng y = aw + b.
Mệnh đề 4.9. Phương trình vi phân Riccati tương đương với phương trình vi
phân autonom qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu bất biến vi phân
˜ 0 (a) là hằng số.
K

˜ 0 (a) khác hằng số và phương trình Riccati được xác định trên C(x) thì
Nếu K
ta việc tìm nghiệm đại số của phương trình Riccati có thể dựa vào thuật toán
Kovacic [17].
Chú ý 4.10. Dựa vào sự phân loại nhóm Galois vi phân của phương trình vi
phân tuyến tính cấp 2, các tác giả trong [33, Corollary 1.7] đã chỉ ra các bậc có
thể có của các đa thức tối tiểu của các nghiệm đại số của phương trình Riccati

w = w2 + r(x).
Chú ý 4.11. Liên quan đến các hệ số của đa thức tối tiểu của các nghiệm đại
số, A. Zharkov (1995) [35, Theorem 1.1] đã chứng minh rằng nếu phương trình
Riccati w + w2 = r, với r ∈ Q(x), có một nghiệm đại số thì tồn tại một đa thức
tối tiểu xác định nghiệm đó mà các hệ số của nó nằm trong một mở rộng của
trường Q với bậc tối đa là 3.

4.3

Phương trình vi phân Abel

Phương trình vi phân Abel loại một có dạng

y = a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0

(4.7)


14

trong đó ai ∈ K . Phương trình vi phân Abel loại hai

y =

a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0
b1 y + b0

1
có thể biến đổi về dạng thứ nhất bằng phép đổi biến b1 y + b0 = .
v
Qua phép biến đổi y = aw + b, phương trình Abel (4.7) được biến đổi thành
w =a
˜3 w 3 + a
˜2 w 2 + a
˜1 w + a
˜0 .
Hệ quả 4.12. Hệ các bất biến vi phân cơ sở của phương trình Abel là


1 a3 1 a22


K
(
a
)
=
a
+
−
 1
1
2 a3 3 a3
1
2 3

2

K0 (a) = 3/2 (3a0 a3 − a1 a2 a3 + a2 a3 − a2 a3 + 9 a2 ).
3a3

(4.8)

Hệ quả 4.13. Hai phương trình vi phân Abel y = a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 và

w =a
˜3 w 3 + a
˜2 w 2 + a
˜1 w + a

˜0 là tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu
và chỉ nếu K1 (a) = K1 (˜
a) và K0 (a) = K0 (˜
a).
Ví dụ 4.14. Các phương trình vi phân Abel

dt
= − (t + x − 1)((t + x)2 − 5(t + x) + 7)
dx

(4.9)

và

ds
= −(s − 1)3 .
dx
là tương đương qua phép biến đổi t = s − x + 1.

(4.10)

Định lý 4.15. Ta có thể đưa phương trình Abel về dạng chuẩn tắc sau

w = w3 + K1 (a)w + K0 (a).

(4.11)

Chú ý 4.16. Nếu K0 (a) và K2 (a) đều là các hằng số thì phương trình Abel là
tương đương với một phương trình vi phân autonom.
Chú ý 4.17. Nếu K0 (a) = 0 thì (4.11) là một phương trình Bernoulli.

Định lý 4.18. Có hai dạng chuẩn tắc hữu tỷ khác nhau của phương trình Abel:
1. w = a
˜3 w 3 + a
˜1 w, nếu K0 (˜
a) = 0;


15

2. w = a
˜3 w 3 + a
˜1 w + 1, nếu K0 (˜
a) = 0.
Chú ý 4.19. Với các phép biến đổi dạng x = φ(t), y(x) = a(t)w(t) + b(t), trong
[1], P. Appell (1889) đã đưa ra một dạng chuẩn tắc của phương trình Abel là

w = w3 + J(t) và J(t) là một bất biến của phép biến đổi. Vấn đề xác định sự
tương đương của hai phương trình Abel qua phép biến đổi như trên đã được E.
S. Cheb-Terrab và cộng sự nghiên cứu trong [7].

4.4

Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu
tỷ được

Định nghĩa 4.20. Phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y ) = 0 trên C(x)
được gọi là tham số hữu tỷ được nếu đường cong đại số tương ứng F (y, y1 ) = 0
là hữu tỷ.
Định nghĩa 4.21. Phương trình vi phân liên kết của F (y, y ) = 0 đối với

P(t) = (u(t), v(t)) là
v(t, x) − ∂u(t,x)
dt
∂x
=
.
∂u(t,x)
dx

(4.12)

∂t

Vấn đề chặn bậc cho các đường cong đại số bất biến được biết với tên gọi
“Bài toán Poincaré ” và đã được M. M. Carnicer (1994) nghiên cứu và giải quyết
trong trường hợp “nondicritical ” trong [4]. Một khi đã có một chặn bậc cho các
đường cong đại số bất biến, chúng ta có thể tìm chúng dựa vào thuật tốn của
M. J. Prelle và M. F. Singer [28, 20] để tìm tất cả các đường cong đại số bất
biến .
Định lý 4.22. Cho G = ΦM • F . Giả sử P(t) = (u(t), v(t)) là một phép tham
số hữu tỷ thực sự của F (y, y1 ) = 0. Đặt Q(t) = ΦM (P(t)). Khi đó G(w, w1 ) = 0
được tham số hữu tỷ bởi Q(t) và phương trình vi phân liên kết của G(w, w ) = 0
đối với phép tham số Q(t) cũng chính là phương trình vi phân liên kết của

F (y, y ) = 0 đối với phép tham số hữu tỷ P(t).


16

Định lý 4.23. Nếu hai phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ

được tương đương nhau thì hai phương trình vi phân liên kết của chúng tương
đương.
Định lý 4.24. Cho các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ
được F (y, y ) = 0 và G(w, w ) = 0 với các phép tham số hữu tỷ thực sự tương
αt + β
˜
là một
ứng là P(t) = (u(t), v(t)) và Q(s)
= (w(s), z(s)). Giả sử s =
γt + δ
phép biến đổi tương đương giữa hai phương trình vi phân liên kết tương ứng
au + b
với α, β, γ, δ ∈ C(x), αδ − βγ = 0. Nếu tồn tại M (u) =
sao cho
cu + d
˜ αt + β thì ΦM • F = G.
ΦM (P(t)) = Q
γt + δ
Thuật toán 2
Input: F (y, y ) = 0, G(w, w ) = 0 tham số hữu tỷ được
Output: kiểm tra hai phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y ) = 0 và

G(w, w ) = 0 có tương đương qua phộp bin i Măobius

M (u) =

au + b
.
cu + d

1. Tính một phép tham số hữu tỷ thực sự P(t) = (u(t), v(t)) của F (y, y ) = 0
˜
và một phép tham số hữu tỷ thực sự Q(s)
= (w(s), z(s)) của G(w, w ) = 0.
2. Tính phương trình vi phân liên kết với P(t),

∂u(t)
v(t) −
dt
∂x .
=
∂u(t)
dx
∂t

˜ ,
3. Tính phương trình vi phân liên kết với Q(s)

∂w(s)
z(s) −
ds
∂x .
=
∂w(s)
dx
∂s

∂u(t)
∂w(s)
z(s) −

dt
ds
∂x khơng tương đương với =
∂x
4. Nếu phương trình
=
∂w(s)
dx
∂u(t)
dx
∂s
∂t
thì F (y, y ) = 0 và G(w, w ) = 0 khơng tương đương.
v(t) −

5. Tìm α, β, γ, δ ∈ C(x), αδ − βγ = 0 sao cho phép đổi biến s =
đổi phương trình liên kết này thành phương trình liên kết kia.

˜ αt + β .
6. Đặt Q(t) = Q
γt + δ

αt + β
biến
γt + δ


17

au + b

sao cho Q(t) = ΦM (P(t)), tức là
cu + d
αt + β
αt + β
∂M
∂M
w
,z
= M (u(t)),
(u(t)) +
(u(t)) · v(t) .
γt + δ
γt + δ
∂x
∂u

7. Tìm M (u) =

Nếu khơng tồn tại M (u) như trên thì F (y, y ) = 0 và G(w, w ) = 0 khơng
tương đương.

au + b
thì F (y, y ) = 0 và G(w, w ) = 0 là tương
cu + d
đương qua phép biến đổi ΦM .

8. Nếu tìm được M (u) =

4.5

Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số
hữu tỷ được thuộc lớp autonom

Các kết quả trong phần này được trình bày dựa vào bài báo [5].
Định lý 4.25. Cho F (y, y ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một
tham số hữu tỷ được tương đương với một phương trình vi phân autonom. Khi
đó tồn tại một phép tham số hữu tỷ thực sự của F (y, y1 ) = 0 để phương trình
v(t)
dt
=
∈ C(t), trong đó u(t), v(t) ∈ C(t) là
vi phân liên kết với nó có dạng
dx u (t)
các hàm hữu tỷ theo t.
Định lý 4.26. Cho F (y, y ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một trên
C(x) tham số hữu tỷ được và thuộc lớp tương đương autonom. Giả sử (u(t), v(t))
u (t)
là một phép tham số hữu tỷ thực sự của F (y, y1 ) = 0 sao cho
∈ C(t). Nếu
v(t)
u (t)
dt là một hàm hữu tỷ thì phương trình F (y, y ) = 0 có một nghiệm tổng
v(t)
quát đại số.
Trong [29], R. H. Risch (1969) đã đưa ra một thuật tốn xác định tính biểu
diễn được tích phân của hàm hữu tỷ bằng các hàm sơ cấp. Nói riêng, dựa vào
u (t)
thuật tốn của Risch ta có thể xác định khi nào
dt là một hàm hữu tỷ.
v(t)

Mệnh đề 4.27. Giả sử (u(t), v(t)) là một phép tham số hữu tỷ thực sự của
u (t)
đường cong F (y, y1 ) = 0. Khi đó tính hữu tỷ của
dt là khơng phụ thuộc
v(t)
vào việc chọn phép tham số hữu tỷ thực sự của F (y, y1 ) = 0.


18

Chú ý 4.28. Gần đây, N. T. Dat và cộng sự [10, Theorem 3.2], [11, Theorem 3.1]
u (t)
chứng minh rằng điều kiện
dt là một hàm hữu tỷ cũng là điều kiện cần
v(t)
để phương trình vi phân tham số hữu tỷ được thuộc lớp autonom F (y, y ) = 0
có nghiệm tổng quát đại số.
Thuật toán 3
Input: F (y, y ) = 0 tham số hữu tỷ được và thuộc lớp tương đương autonom
qua phép biến đổi ΦM .
Output: Tính một nghiệm tổng quát đại số của F (y, y ) = 0 nếu có.
1. Dùng ΦM tính một phép tham số hữu tỷ thực sự (u(t), v(t)) của F (y, y ) =
u (t)
0 sao cho
∈ C(t).
v(t)

u (t)
u (t)
dt. Nếu

dt khơng phải là một hàm hữu tỷ
v(t)
v(t)
thì F (y, y ) = 0 khơng có nghiệm tổng qt đại số. Ngồi ra, sang bước 3.

2. Tính tích phân

3. Đặt

A(t)
=
B(t)

u (t)
P (t)
dt và
= u(t).
v(t)
Q(t)

4. Nghiệm tổng quát đại số của F (y, y ) = 0 là

res (A(t) − B(t)(x + C), yQ(t) − P (t), t) = 0.


19

KẾT LUẬN
Trong luận án chúng tôi đã đạt được những kết quả chính sau:
1. Đưa ra một số tính chất của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân

cấp một.
2. Thiết lập một số tính chất bảo tồn liên quan đến nghiệm của phương
trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm các phép biến đổi Măobius.
3. Ch ra mt tp cỏc bt bin ca phng trình vi phân đa thức.
4. Chỉ ra rằng phương trình vi phân liên kết của một phương trình vi phân
đại số cấp một tham số hữu tỷ được là một bất biến.
5. Chỉ ra một dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân liên kết của các
phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được thuộc một lớp tương
đương autonom.