Bai T9489 THTT32018 NVXa2432018

d Ỵ ( - 2;1] .
Cho các số thực dương a, b, c và số thực
Chứng minh rằng

a 2 + abd + b 2 + a 2 + acd + c 2 > b 2 + bcd + c 2 .
x
f ( x) = - log a x
a
Xét hàm số
với x ³ a (ở đó a ³ e là hằng số).
1
1
f '( x ) = ³ 0, " x ³ a,
a x ln a
Ta có
nên f ( x) ³ f ( a) = 0, " x ³ a. Dẫn tới
log a x 1
£ , " x ³ a.
x
a
Như vậy
n
ư
ư 1ỉ
log a (k - 1)
1 n
1
1 n ổ
1
1 ữ
ỗ 1 - 1 ữ

ữ
Ê
= ồ ỗ
=
ỗ
, " n ẻ Ơ , n 1 +[ a ] .
ữ
ồ
ồ
ỗ
ữ
ữ
ốk k +1ữ
ứ aỗ
ỗ1 +[ a ] n +1ø
a k =1+[ a] k (k +1) a k =1+[ a ] ỗ
ố
k =1+[ a ] k ( k - 1)( k +1)
n ẻ Ơ , n ³ 1 +[ a ]
Mặt khác, với mọi
, ta có
n
n
n
log a [ a ]
log a [ a ]
log a (k - 1)
log a (k - 1)
1
=

+ å
³
+ å
å
[ a ].( [ a ] +1) ( [ a ] + 2) k =2+[ a] k (k - 1)(k +1) [ a ].( [ a ] +1) ( [ a ] + 2) k =2+[ a] k (k - 1)(k +1)
k =1+[ a ] k ( k - 1)( k +1)

æ 1
log a [ a ]
1
1 ử
1ổ
1
1 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ữ
=
+
.
ỗ
ữ
ồ
ỗ
ữ

ữ
ữ
ỗ
ữ
[ a ].( [ a ] +1) ( [ a ] + 2) k =2+[ a] è2(k - 1) k 2(k +1) ø [ a ].( [ a ] +1) ( [ a ] + 2) 2 ỗố[ a ].( [ a ] +1) n(n +1) ø
n
n
3
log a (k - 1)
Bn £ å
£ An
a Bn £ Õ k - k k - 1 £ a An , n ẻ Ơ , n 1 +[ a ] ,
k =1+[ a ]
k =1+[ a ] k ( k - 1)( k +1)
Suy ra
hay
trong đó
ỉ
ư
ư
log a [ a ]
1ổ
1ỗ
1
1 ữ
ỗ 1 - 1 ữ
ữ
ữ
An = ỗ
,

B
=
+ ỗ
,
ữ
ữ
n
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ1 +[ a ] n +1ø
ằ
÷
[ a ].( [ a ] +1) ( [ a ] + 2) 2 ỗố[ a ].( [ a ] +1) n(n +1) ø
[ a ] là phần
kí hiệu
nguyên của số thực a.
=

log a [ a ]

+

n