PT BPT Quy ve bac hai

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
 f ( x) khi f ( x) 0

1. Định nghĩa:
|f(x)|=  f ( x ) khi f ( x)  0
f ( x)

f ( x) 
0 ;
2. Chú ý:
f(x);
II. Các dạng tốn thường gặp
1. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

f ( x) 
- f(x);

2

f ( x )  f ( x )

2

Dạng 1: | f ( x)| = | g ( x)| (1)
Cách giải:
- Giải phương trình f ( x)  g ( x) (a) và giải phương trình f ( x)  g ( x) (b)
- Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b).
Dạng 2: | f ( x )| = g ( x) (2)
Cách giải
- Tìm điều kiện để g ( x) 0 (*)
- Giải phương trình f ( x)  g ( x ) (c) và giải phương trình f ( x)  g ( x) (d) chọn nghiệm thỏa mãn điều
kiện (*)
- Tập nghiệm của phương trình (2) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (c) và (d).
1) Giải các phương trình sau
x2  1
x2  5x  4
3
2
a) |x – 1|= x + x + 1
b)
= x - 2x + 8
c)
=x+4
| f ( x )| + | g ( x )|=h  x 
Dạng 3:
Cách giải:
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hồn tồn xác định
- Giải phương trình trên từng khoảng vừa tìm được
2) Giải các phương trình sau
3
x 3
x 1
x 4  1

2
a) x - 5
-1=0
b)
c) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9
3) Giải các phương trình sau:
2
x 2 
2
2
2
|
x

2
|

1
a) (x – 1) + 4|x – 1| + 3 = 0
b)
c) (x + 2)|x3 – 3x| = x6 – 6x4 + 9x2 + 2x
d) |x2 - 4x + 3| - 2  2|3 - x| - |x - 1|
g) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9
HD: c) viết lại phươpng trình: (x3 – 3x)2 - (x + 2)|x3 – 3x| + 2x = 0
Đặt t = |x3 – 3x|.
đáp số: x = 0; x 1; x  2; x 2

d)

u | x  1|


- đặt  v | x  3 | , điều kiện: u 0 vaì v 0.
- Lúc đó BPT viết lại theo u và v là: u.v + u - 2v - 2  0  (v +1)(u - 2)  0.


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

2. Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Dạng 1: | f ( x)| > g ( x) (1)
Cách giải:
 g ( x)  0
(a)

f
(
x
)
xá
c
định

Trường hợp 1:
Trường hợp 2: - Điều kiện g ( x ) 0 (*)
 f ( x )   g ( x)

(b )

f
(
x
)

g
(
x
)

- Bất phương trình (1)
, chọn nghiệm thoả mãn (*)
Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b).
4) Giải các bất phương trình sau
x2  4x
2
2
1
x  1 2
1  4x  2x 1
2 x  3 2 x 2  5 x  3
x2  x  2
x
a)
b)
c)
d)
Dạng 2: | f ( x)| < g ( x) (2)
Cách giải
- Tìm điều kiện để g ( x)  0 (*)

- Bất phương trình (2)   g ( x)  f ( x)  g ( x) (c) chọn nghiệm thảo mãn (*)
5) Giải các bất phương trình sau
x2  1  2x  0
2x  5  7  4x
a)
b) | x2 -2x -3|  3x – 3
c)
x2  4x
x2  5x  4
1
1
x 2  3x  2  x 2  2 x
x2  x  2
x2  4
d)
e)
g)
| f ( x )| + | g ( x )|< h  x 
Dạng 3:
Cách giải:
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hoàn toàn xác định
- Đưa về dạng 1 hoặc dạng 2

6) Giải các phương trình sau
x 2 x  4  x  2
a)
d)

x 1  x  x  2

x2  x
2
x
h)
x2  1  x 1
2
x  x  2
m)

b)
e)

x  3  x 1  2

2x  5
1  0
x 3
x2  2 x  4

k)

x2  x  2
x2  x  6

n)

x 2

1

2 x

c)

x  x  1  3x  x

x 2
3
g) x  5 x  6
x2  4x  3
1
x2  x  5
l)
2


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
f ( x)
1)
Xác định khi f(x)

0. Lúc đó

f ( x)

0;

2

 f ( x )   f ( x)
2)
II. Các dạng tốn thường gặp
1. Phương trình chứa căn bậc hai
Dạng 1:

f ( x )  g ( x)

- Tìm điều kiện để f ( x) 0 hoặc g(x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
7) Giải các phương trình sau:
Cách giải:

a)

2 x 2  3x  4 =

Dạng 2:

7x  2

b)

 3x  2 =

2 x 1

c)

5  2x =

x 1

c)

x 2  2 x  4 3  x

f ( x) g ( x)

- Tìm điều kiện để g(x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình

Cách giải:

8) Giải các phương trình sau:
a)

3 x 2  9 x  1 | x  2 |

Dạng 3:

b)

3x 2  9 x  1  x  2

f ( x )  g ( x )  h( x )

 f ( x ) 0

 g ( x ) 0
h( x ) 0


Cách giải:

- Tìm điều kiện sao cho
- Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2.
Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới
bình phương hai vế của phương trình.
9) Giải các phương trình sau:
a)

3x  7 -

x 1 = 2

b)

x2  9 

x 2  7 2

Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn

10)
Giải các phương trình sau:
2
2
4
4
a) x  x  5  x  x  4 5
b) 4 x  x  1 
HD:
a) đặt t = x2 + x – 4 đk t 0
4
b) với x  1. chia hai vế cho x rồi đặt ẩn phụ;

4

x 1

c)

x 2  3 2 2 

5  x2


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

11)
a)

Giải các bất phương trình sau
 x  5   x  2   3 x  x  3  0

2

2

c) 3 x  5 x  7 

3 x  5 x  2 1

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

b)

 x  1  x  4   5

x 2  5 x  28

x4

Đáp số: a)  x  1

  2 x  1
 2
   x 1
3
c)  3

b) – 9 < x < 4

Dạng 5: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
12)
Giải các phương trình sau:
a)

3 x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8 7

2
d) x x  1 ( x  1) x  x  x

3
b) x3 + 1 = 2 2 x  1
2  x  3  x  (2  x )(3  x )  5
e)

c)

3

9  x 2 

x 1

2
2
a) đặt u  3 x  2 x  15, v  3 x  2 x  8 , điều kiện: u 0 ; v 0
3
b) đặt u  2 x  1 ;

HD:

3
c) đặt u  9  x ; v  x  1, v 0
d) đặt u = x ; v = x  1 . điều kiện: u 0 ; v 0;
v   2  x  3  x
e) đặt u= 2  x  3  x ;
2. Bất phương trình chứa căn bậc hai

Dạng 1:

f ( x )  g ( x)

 f ( x) 0

Cách giải:
- Tìm điều kiện để  g ( x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
13)
Giải các phương trình sau:
2

a) 1  x  2 x  3 x  5  0

b)

2
d) x  x  12  7  x

e)

h)

2

21  4 x  x  x  3

 x  3

x 2  4 x 2  9

1 3 1 1
  
2
c) x 4 x 2
g)

 x  2

x 2  4 x 2  4

8 x 2  6 x  1  4 x  1 0

Dạng 2:
Cách giải:

f ( x )  g ( x)

(1)

Ta giải hai trường hợp

 f ( x)  0

 g ( x ) 0
Trường hợp 1. Bất phương trình (1)
Trường hợp 2. - Điều kiện g ( x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của trường hợp 1 và trường hợp 2
14)
Giải các phương trình sau:
2
2
( x  1)(4  x)  x  2
a)  x  4 x  3  2 x  5
b)
c) x  3 x  10  x  2
x 1
4 3
  2
2
2
x 4
d) 3 x  13 x  4  2  x 0
e)  x  8 x  12  x  4
g) 2 2


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

2
2
h) ( x  3) x  4  x  9

f ( x )  g ( x )  h( x )

Dạng 3:

 f ( x ) 0

 g ( x ) 0
h( x ) 0


Cách giải:

- Tìm điều kiện sao cho
- Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2.
Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới
bình phương hai vế của phương trình.
15)
Giải các phương trình sau:
x  3  2x  8  7  x

a)

b)

2 x  1  3x  2  4 x  3  5x  4

d)

e)

x 1  3 
x 1

x4

x 2  x 3

2
2
2
h) x  3 x  2  x  6 x  5  2 x  9 x  7
Dạng 4: Đặt ẩn phụ
16)
Giải các bất phương trình
2
2
 x  1  x  2  x 2  3x  4
a) x  2 x  2 x  4 x  3
b)
2
2
x  x  3 6  x 2  3x

d)
e) x  4 x  6  2 x  8 x  12
6  x  2   x  32   x 2  34 x  48

h)

2 x  x  1 1  x 2  x 1

a)
c)
e)
h)

 x  4   x  1  3

x2  5x  2  6

 x 2  x  6  2(2 x  1)  0

n)

2 x  6 x2 1  x 1

Giải các phương trình sau:
√ x+5+ √3 x +6=√3 2 x +11
Giải các phương trình sau:

b)

√3 x+1+ √3 x +2− √3 x −1=0

m)
17)
a)
18)

k)

3

x  4  x  4 2 x  12  2 x 2  16

x 2  4356  x

x

 x  3

2

x. x 2  4356  x 2 5

2

 3 x  22  x  3 x  7

c)

c)

x2 

3  x  5  2x

g)

4x

x 1

x 1 3

4x
2

x 2  3 x  12  x 2  3x

g)

l)

5 x 2  10 x  1 7  x 2  2 x

b)

3 x 2  6 x  16  x 2  2 x 2 x 2  2 x  4

d)

x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5 7 2

x 3
1 1 4 2
 
 2
3
x
9
x
9
x
g)

21  x  21  x 21

x
21  x  21  x

2
2
HD: a) đặt t  x  4  x  4  2 x  2 x  16 t . Đáp số x = 5
b) bình phương hai vế. Đáp số x = 0; x = - 2

6
x 2  4356  x
x
u
; v  x. x 2  4356  x 2
119
x

c) đặt
. Đáp số
d) nhân hai vế với 2 . Đáp số x = 15


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

19)

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

2
e) đặt t  x  3 x  7 . Đáp số x = 6; x = - 3
x 3
3
0
x
4
g) đk: 3 x
. Bình phương hai vế. Đáp số
Giải các bất phương trình sau:
6  x  x2
6  x  x2

2x  5
x 4
a)

x2  4 x
2
3 x

b)

2

c)
Đáp số:

17  15 x  2 x
0
x 3

  2  x  1

a)  x 3

d)
  3  x 1

 x  17
2
c) 

 x 0

b)  x 4

x 2  4 x 2  9

 x  3

d) x  3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1. Trục căn thức
Phương pháp:
Phân tích đưa về dạng:  x  x0  A  x  0
Chứng minh A  x  0 vô nghiệm hoặc đưa về hề tạm
Bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
3x 2  5x  1 

1)

x 2  2  3  x 2  x  1 

x 2  3x  4

 2x  4

Hướng dẫn: biến đổi đưa về:

3x 2  5 x  1  3  x 2  x  1

x2  1  x2  3x  4

x 2  12  5 3 x  x 2  5

2)

x2



 x  2 

2
 x  12  4

Hướng dẫn: biến đổi đưa về:

x2

Chứng minh
3)

3x  6



3

x 2  12  4





x2


 3  0
x2  5  3


x2
x2  5  3

 3  0, x 

5
3

x2  1  x  x3  2


 x  3 1 

Hướng dẫn: biến đổi đưa về:

x 3

1

Chứng minh
2

  x  3 x 2  3 x  9



3
3 x2  1  2 2 x2  1  4 
x  2 5



x 3

3

x

2

1

 1  2 2 x 2  1  4

=

x 3



2



x2  1  1  3

2

x 2  3x  9
x3  2  5

2

4) 2 x  x  9  2 x  x  1 x  4
Hướng dẫn:
Ta có x > - 4
2x  8

Biến đổi đưa về:

2 x2  x  9 

2x2  x 1

x  4


2 x2  x  9 

2x2  x  1 = 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

 2 x 2  x  9  2 x 2  x  1

2
2
Ta có hệ phương trình  2 x  x  9  2 x  x  1 x  4

2. Biến đổi về dạng phương trình tích
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)

3

x  1  3 x  2 1  3 x 2  3 x  2

3  x x 3  x
2)
3. Đặt ẩn phụ
Bài 3. Giải các phương trình sau:

1)

x 2  1  x  x 2  1 2

x

2
2) 2 x  6 x  1  4 x  5

Hướng dẫn:

Ta có

x 

4
5

Đặt t  4 x  5, t 0
4
2
Ta có phương trình theo t t  22t  8t  27 0
Phương trình có hai nghiệm x: 1  2; 2  3
2

3

4

2

3) x  x  x 2 x  1
3. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến
2
2

Khái niệm phương trình thuần nhất bậc hai: ax  bxy  cy 0
Cách giải Xét x 0
2

 y
 y
a    b    c 0
 x
Nếu x 0 , chia hai vế cho x, ta được  x 

a) Dạng:

aA  x   bB  x  c A  x  B  x 

Cách giải Đặt P  x   A  x  B  x  và Q  x  aA  x   bB  x 
Bài 4. Giải các phương trình:
a)
c)
e)

2  x 2  2  5 x 3  1
x 3  3x 2  2

 x  2

5 x 2  14 x  9 

3

2

3
b) 2 x  5 x  1 7 x  1

 6 x 0

d)

x2  2x  2x  1  4x2  4x 1

x 2  x  20 5 x  1

Hướng dẫn: d) Ta có

x

1
2 . Bình phương hai vế ta được:

x

2

 2 x   2 x  1 x 2  1

u  x 2  2
1 5

x2  2 x 
 2 x  1
v


2
x

1
2
Đặt 
. Giải hệ theo u, v ta được phương trình theo x

4. Phương pháp ẩn phụ khơng hồn tồn
Bài 5. Giải các phương trình:
2
2
a)  x  1 x  2 x  3 x  1

2
b) 4 x  1  1 3x  2 1  x  1  x
2

Hướng dẫn: a) Đặt t  x  2 x  3, t  2
2
Phương trình theo ẩn t và ẩn x là:  x  1 t x  1

(1)


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

2
Phương trình bậc hai ẩn t: x  2 x  3   x  1 t  2  x  1 0

Hướng dẫn: b) ĐK: x 1 . Đặt t  1  x
Phương trình theo ẩn t và ẩn x là: 4 x  1  1 3 x  2t  t 1  1 (1)
(Phương trình bậc hai ẩn t có deta khơng có dạng bình phương)
Để ý: 3x = - (1 – x) + 2(1 + x)
Thay vào (1)
5. Phương pháp lượng giác hóa
5.1. Một số kiến thức cơ bản
Dấu hiệu
Phép thế
Điều kiện
x a, a  0

x a sin 

  
  ; 
 2 2

a 2 x 2  b 2 y 2 c 2 ; a, b, c  0

c

 x  a sin 

 y  a cos 


b

  
   ; 
 2 2

a 2  x2

x a tan  

a2  x2

x

a

cos 

1 x ; x 1

a2  x2 

a
cos 

a 2  x2 a tan 

x cos 2

a b
1 ab

a tan 

b tan 

a  b  c abc

a tan 

b tan 
c tan 


  
   ; 
 2 2
    3 
   0;     ; 
2 
 2 
 
   0; 
 2
  
,    ; 
 2 2

 ,  ,  là ba góc của một tam

giác

Chú ý:
     k


  tan   tan   tan  tan  tan  tan 
 ;  ;  k 2
a)


      2  k
 tan  tan   tan  tan   tan  tan  1

 ;  ;    k 
2
2
b) 



      4  k
  1  tan    1  tan    1  tan   2  1  tan  tan  tan  

 ;  ;    k 
2
2
c) 

5.2. Phương pháp lượng giá hóa
3
Từ phương trình lượng giác đơn giản cos3t sin t và cos3t 4cos t  3cos t
3
2
Ta có phương trình: 4 x  3x  1  x

(1)


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

x
2
2
2
x
2
Nếu thay bởi ta được phương trình 4  3x x x  1

(2)

3
2
2
Trong phương trình (2) thay x bởi x – 1 ta được phương trình: 4 x  12 x  9 x  1  2 x  x

Bài 6. Giải phương trình:
Hướng dẫn:

1  1  x2 


1 x

3



1 x

3

2
  2  1 x

3
3

ĐK: x 1 .
3

3

 1  x    1  x  0 vô nghiệm
Trường hợp x    1;0 . Ta có

 
x cos t , t   0; 
 2
Trường hợp x   0; 1 . Đặt
 1

2 6 cos t  1  sin t  2  sin t
2


Khi đó phương trình là:

Bài 7. Giải các phương trình:
1)

1  2x  1  2x 

1  2x
1  2x

1  2x
1  2x



1  1  x 2 x 1  2 1  x 2

2)

3

3) x  3x  x  2

4)

3



6 x  1 2 x
2


1 
x2  1 
 1
2
x

1


5)

Hướng dẫn:

1) Đặt

2
x 2  1  x  1
1 x 


2x
2x  1  x2 
2

6)
tan t 

2) Đáp số:

x

1  2cos x
1  2cos x
1
2

3) Chứng minh x  2 . PT vô nghiệm
4) Lập phương hai vế:

4 x3  3 x 

1
2 x 1, x cos t , t   0;  

5
7 
 
S cos ;cos ;cos 
9

9
9 

Tập nghiệm của phương trình:
1
   
x
, t   ; 
x  2 3  1
sin t
 2 2  . Đáp số:
5) Đặt





1
   
x
x tan t , t    ; 
3
 2 2  Đáp số:
5) Đặt

6. Phương pháp bất đẳng thức
Bài 8. Giải các phương trình:

2 2
 x  x 9

1) x  1
3
2
4
3) x  3x  8 x  40  8 4 x  4 0

7. Phương pháp hàm số
Bài 9. Giải các phương trình:

3
2
3
2
2) x  4 x  5 x  6  7 x  9 x  4


Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
Chun đề: Phương trình, Hệ phương trình

1)

 2 x  1  2 





Giáo viên: Lê Văn Tiến
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm



4 x 2  4 x  4  3 x 2  9 x2  3 0

3
2
4
3) x  3x  8 x  40  8 4 x  4 0

2
4
2
4
2) 13 x  x  9 x  x 16