GT CHUONG 1 2021 LG

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Định lí:
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K.
Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
Câu 1:

Cho hàm số f  x  đồng biến trên tập số thực
A. Với mọi x1  x2 
C. Với mọi x1 , x2 

Câu 2:

B. Với mọi x1 , x2 

 f  x1   f  x2  .

D. Với mọi x1  x2 

 f  x1   f  x2  .
 f  x1   f  x2  .

Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng (0; ) , khẳng định nào sau đây đúng?
A. f (1)  f (2) .

Câu 3:

 f  x1   f  x2  .

, mệnh đề nào sau đây là đúng?

4
5
B. f    f   .
3
4

C. f (1)  f (1) .

D. f (3)  f ( ) .

Cho K là một khoảng và hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây
là khẳng định sai?
A. Nếu f   x   0, x  K thì hàm số là hàm hằng trên K .
B. Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên K .
C. Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên K .
D. Nếu f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên K .

Câu 4:

Cho hàm số y  f  x  xác định, có đạo hàm trên đoạn  a; b  (với a  b ). Xét các mệnh đề sau:
1. Nếu f   x   0, x   a; b  thì hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  a; b  .
2. Nếu phương trình f   x   0 có nghiệm x0 thì f   x  đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 .
3. Nếu f   x   0 , x   a; b  thì hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  a; b  .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 2 .
B. 3 .

Câu 5:

C. 0 .

D. 1 .

Cho hàm số y  x3  3x  2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng (0; ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng (0; ) .

Câu 6:

Câu 7:

Cho hàm số y  x3  3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) .

Cho hàm số y  x 4  2 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2) .

1

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;1) .
Câu 8:

Hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1

A.  ;   . .
2


Câu 9:

 1

C.   ;   . .
 2


B. (0; ). .

D. (;0). .

Hàm số y  x 4  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;   . .

C.  0;   . .

B. (1;1). .

D. (;0). .

Câu 10: Cho hàm số y  x3  2 x 2  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  . .
3 
1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1  . .
3 

1

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  . .
3


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) .

2x 1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên .

Câu 11: Cho hàm số y 

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  1;   .
C. Hàm số nghịch biến trên

.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  1;   .
x  5
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x2
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   .

Câu 12: Cho hàm số y 

D. Hàm số nghịch biến trên

\ 2 .

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;5  .
Câu 13: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;   .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;   .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 .

D. Hàm số nghịch biến trên  0;3  .

2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x 1
A. (0; ). .

B. (1;1). .
C. (; ). .

Câu 14: Hàm số y 

2

Câu 15: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y  x 

2

1
.
x

D. (;0). .


A.

B.  1; 0  và  0;1 .

.

C. (1;1). .

x 2  6 x  10
nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?
x 3
A.  ; 2  và  4;   . B. (;1) và (5; ) . C. 1;3 và  3;5  .

D. (;0). .

Câu 16: Hàm số y 

D.  2;3  và  3; 4  .

Câu 17: Hàm số y  ( x  3) x 2  1 đồng biến trên các khoảng nào dưới đây?
1

A.  ; 1 và  2;   . B.  ;  và (1; ) .C.
2


1 
 ;1 .
2 

D.  0;1

Câu 18: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số y  2sin x  cos 2 x trên đoạn  0;   .
 2 
 
B.  0;  và 
;  .
 3
 3

 2 5 
  

; .
D.  ;  và 
3 2
 3 6 

  5 
 
A.  0;  và  ;  .
2 6 
 6
 5 
  
C.  ;  và  ;   .
6 2
 6


Câu 19: Cho hàm số y  2 x 2  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) .

Câu 20: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (; ) ?
A. y 

x 1

..
x3

B. y  x3  x. .

C. y 

x 1
..
x2

D. y   x3  3x. .

Câu 21: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  1, x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .

Câu 22: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2 ( x  2) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (  2);  0;   .

B. Hàm số nghịch biến

trên khoảng (2;0) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (  2);  0;   .

D. Hàm số đồng biến trên

khoảng (2; ) .
Câu 23: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;0) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2) .

Câu 24: Hàm số y  2 x  x 2 nghịch biến trên khoảng nào?
A. 1; 2  . .

B.  0; 2  . .

C.  0;1 . .

Câu 25: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào:
3

D. 1;   . .


A. y   x 4  2 x 2  3. .

B. y   x 4  2 x 2  1. . C. y  x 4  2 x 2  3. .

D. y  x 4  2 x 2  1. .

Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến thiên như hình dưới đây

A. y  x3  3x 2  1. .

B. y  2 x3  6 x 2  1. . C. y  x3  3x 2  1. .

D. y  2 x3  9 x 2  1. .

Câu 27: Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  1 có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b  0, c  0 .
B. b  0, c  0 .

C. b  0, c  0 .

D. b  0, c  0 .

Câu 28: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
x

-∞

y'

1
0

+

1

y

+∞
+
+∞

-∞

A. y  x 4  3x 2  1. .

C. y  x 4  3x 2  1 .

B. y  x3  1 .

D. y 

x3
2
 x2  x  .
3
3

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG (GIẢM) TRÊN TỪNG KHOẢNG XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ.
Dạng 1: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN
Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x, m) , m là tham số có tập xác định

Hàm số f ( x) đồng biến trên
Hàm số f ( x) nghịch biến trên

 f '( x)  0, x 
 f '( x)  0, x 

Chú ý:

ax 2  bx  c  0x 

  0

a  0

4

. Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm
. Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm


  0

a  0

ax 2  bx  c  0x 

mx  4m
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để
xm
hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 5. .
B. 4. .
C. Vô số.
D. 3. .

Câu 29: Cho hàm số y 

mx  2m  3
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m
xm
để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 4. .
B. Vơ số.
C. 3. .
D. 5. .

Câu 30: Cho hàm số y 

mx  4  3m
, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số giảm trên
xm
từng khoảng xác định.
A. m  1. .
B. m  4. .
C. 4  m  1. .
D. m  4  m  1. .

Câu 31: Cho hàm số y 

Câu 32: Cho hàm số y 

 m  1 x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m
xm

để hàm số đồng biến trên từng

khoảng xác định.

m  1
..
B. 
 m  2

A. 2  m  1. .

C. 2  m  1. .

Câu 33: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 
định của nó
A. 3  m  3. .

mx  3
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác
3x  m

C. 3  m  0. .

B. m  3. .

m  1

..
D. 
 m  2

D. m  3. .

Câu 34: Cho hàm số y   x3  mx 2  (4m  9) x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
để hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) ?
A. 7. .

B. 4. .

C. 6. .

D. 5. .

1
Câu 35: Cho hàm số y   x3  mx 2  (3m  2) x  1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số nghịch
3
biến trên
 m  1
 m  1
A. 
.
B. 
.
C. 2  m  1 .
D. 2  m  1 .
 m  2
 m  2

1
Câu 36: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y  (m  1) x3  (m  1) x 2  x  1 nghịch biến trên
3
m  1
m  1
A. 3  m  1 .
B. 
.
C. 0  m  1 .
D. 
.
 m  3
m  0

.

m để hàm số y  x3  3x 2  mx  m luôn luôn đồng biến trên .
Câu 37: Xác định
A. m  3. .
B. m  3. .
C. m  . .
D. m. .

x3
Câu 38: Cho hàm số y   m  1   m  1 x 2  3x  1  Cm  .Tìm m để hàm số  Cm  luôn đồng biến trên
3
tập xác định.
2

5


C. 1  m  2. .

B. m  1. .

A. m  2. .

D. m  1  m  2. .

1
Câu 39: Cho hàm số y   x3   m  2  x 2  mx  7 ( m là tham số). Xác định m để hàm số nghịch biến
3
trên tập xác định.
A. m  4. .
B. m  1. .
C. m  4  m  1. . D. 4  m  1. .

1
Câu 40: Cho hàm số y  x3  2 x 2   m  1 x  3m . Hàm số đã cho đồng biến trên
với giá trị m là
3
A. m  3. .
B. m  3. .
C. m  3. .
D. m  3. .
Câu 41: Cho hàm số y   m  1 x3   m  1 x 2  x  m . Tìm m để hàm số đồng biến trên
A. m  1  m  4. .

C. 1  m  4. .

B. 1  m  4. .

D. 1  m  4. .

Dạng 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA
Kiến thức cần nhớ:
2
So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c với số 0

 x1  0  x2  P  0

  0

 x1  x2  0   P  0
S  0

  0

 0  x1  x2   P  0
S  0

PHƯƠNG PHÁP:
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d đơn điệu trên khoảng ( ;  ) .
3

2

 Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ;  )  f '( x)  0x  ( ;  )

TH1:
 Nếu bất phương trình f '( x)  0  h(m)  g ( x) (*) thì hàm số đồng biến trên khoảng
( ;  )  h(m)  max g ( x)
( ;  )

 Nếu bất phương trình f '( x)  0  h(m)  g ( x) (**) thì hàm số đồng biến trên khoảng
( ;  )  h(m)  min g ( x)
( ;  )

TH2
 Nếu bất phương trình f '( x)  0 khơng đưa được về dạng (*) hoặc (**) thì đặt
 Khi đó ta có y' = g(t)= 3a.t +2(3a.α+b)t +3a.α +2b.α+c
2

2

6

t  x 


a  0

a  0   0
 Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (;  )  g (t )  0t  0  

  0  S  0
 P  0

a  0


a  0   0
 Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng ( ; )  g (t )  0t  0  

  0  S  0
 P  0
 Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng ( ;  )  f '( x)  0x  ( ;  )
TH1:
 Nếu bất phương trình f '( x)  0  h(m)  g ( x) (*) thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;  )  h(m)  max g ( x)
( ;  )

 Nếu bất phương trình f '( x)  0  h(m)  g ( x) (**) thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;  )  h(m)  min g ( x)
( ;  )

TH2
 Nếu bất phương trình f '( x)  0 không đưa được về dạng (*) hoặc (**) thì đặt

t  x 

 Khi đó ta có y '  g (t )  3a.t  2(3a.  b)t  3a.  2b.  c
2

2

a  0

a  0   0
 Hàm số f nghịch biến trên khoảng (;  )  g (t )  0t  0  


  0  S  0
 P  0
a  0

a  0   0
 Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ; )  g (t )  0t  0  

  0  S  0
 P  0
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k
cho trước.
3



f đơn điệu trên khoảng

2

a0
(1)


0


( x1; x2 )  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )  4 x1 x2  d

2

2

(2) hoặc sử dụng kết quả


2 '
, hay x2  x1 
a
a
 Sử dụng định lí Viet đưa (2) về phương trình theo m
x2  x1 

7


 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

ax 2  bx  c
(2),(a, d  0)
Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số y 
dx  e
a) Đồng biến trên (; )
b) Đồng biến trên ( ; )
c) Đồng biến trên ( ;  )
Txđ: D 

adx 2  2aex  be  dc
f ( x)

e
\  , y ' 

2
(dx  e)
(dx  e)2
d 
Trường hợp 1

Nếu f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )

Trường hợp 2
Nếu bất phương trình f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt

t  x 

Khi đó: f ( x)  0 trở thành g (t )  0 với
a) (2) đồng biến trên khoảng (; )

a) (2) đồng biến trên khoảng (; )

 e
  (;  )
d

 g ( x)  h(m), x  

 e
  (;  )

d

 g (t )  0, t  0 (ii )

 e
 
d
h(m)  min g ( x)
( ; ]


a  0

a  0   0
(ii )  

  0  S  0

P  0

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )

 e
  ( ; )
d

 g ( x)  h(m), x  

 e
  ( ; )
d

 g (t )  0, t  0 (iii )

 e
 
d
h(m)  min g ( x)
[ ; )


a  0

a  0   0
(iii )  

  0  S  0

P  0

c) (2) đồng biến trên khoảng ( ;  )
 e
  ( ;  )
d

 g ( x)  h(m), x  ( ;  )

8

 e
  ( ;  )
d
h(m)  min g ( x)
[ ;  ]


ax 2  bx  c
(2),(a, d  0)
Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số y 
dx  e
d) Nghịch biến trên (; )
e) Nghịch biến trên ( ; )
f) Nghịch biến trên ( ;  )
Txđ: D 

adx 2  2aex  be  dc
f ( x)
e
\  , y ' 

2
(dx  e)
(dx  e)2
d 
Trường hợp 1

Nếu f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )

Trường hợp 2
Nếu bất phương trình f ( x)  0 khơng đưa được về
dạng (i) thì ta đặt

t  x 

Khi đó: f ( x)  0 trở thành g (t )  0 với
a) (2) nghịch biến trên khoảng (; )

a) (2) nghịch biến trên khoảng (; )

 e
  (;  )
d

 g ( x)  h(m), x  

 e
  (;  )
d

 g (t )  0, t  0 (ii )

 e
 
d
h(m)  min g ( x)
( ; ]


a  0

a  0   0
(ii )  

  0  S  0

P  0

b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )

b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )

 e
  ( ; )
d

 g ( x)  h(m), x  

 e
  (;  )
d

 g (t )  0, t  0 (iii )

 e
 
d
h(m)  min g ( x)

[ ; )


a  0

a  0   0
(iii )  

  0  S  0

P  0

c) (2) nghịch biến trên khoảng ( ;  )
 e
  ( ;  )
d

 g ( x)  h(m), x  ( ;  )

9


 e
  ( ;  )
d
h(m)  min g ( x)
[ ;  ]

 Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (; a]  [b : ), a  b
 f '( x)  0x  (; a]


  f '( x)  0x  (b; ]
 f (a)  f (b)

 Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (; a] và [b : ), a  b
 f '( x)  0x  (; a ]

 f '( x)  0x  (b; ]
 Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (; a]  [b : ), a  b
 f '( x)  0x  (; a]

  f '( x)  0x  (b; ]
 f (a)  f (b)

 Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (; a] và [b : ), a  b
 f '( x)  0x  (; a ]

 f '( x)  0x  (b; ]
Câu 42: Cho hàm số y  1 (m2  1) x3  (m  1) x 2  2 x  1 (1) (m  1) . Tìm m để hàm nghịch biến trên
3
khoảng K  (; 2)

Lời giải
Tập xác định: D = R; y  (m  1) x  2(m  1) x  2 .
2

2

Đặt t  x – 2 ta được: y  g (t )  (m  1)t  (4m  2m  6)t  4m  4m  10
2

2

2

2

Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (; 2)  g (t )  0, t  0

m2  1  0
a

0

 2
  0
3m  2m  1  0

TH2: 
 4m2  4m  10  0
S

0


 2m  3  0

P  0
 m  1

m  1  0
a  0
TH1: 
 2
3m  2m  1  0
  0
2

Vậy: Với 1  m  1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (; 2) .
3

Câu 43: Cho hàm số y  x  3x  mx  m (1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên
đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải
3

2

10


Ta có y '  3x  6 x  m có   9  3m .
2

+ Nếu m ≥ 3 thì y  0, x  R

hàm số đồng biến trên R  m ≥ 3 không thoả mãn.

+ Nếu m < 3 thì y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1  x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn

 x1; x2  với độ dài l 

x1  x2 . Ta có: x1  x2  2; x1 x2  m .
3

9
YCBT  l  1  x1  x2  1  ( x1  x2 )  4 x1 x2  1  m  .
2

4

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   x3  3x 2  3mx  1 nghịch biến trên  0;   .
A. m  0 .

C. m  1 .

B. m  1 .

D. m  1 .

1
Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x3  2 x 2  mx  2 đồng biến trên  ;1 .
3
1
A. m  .
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m .
2

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  2 x3  3x 2  6mx  1 nghịch biến trên  2;   .
1
A. m   .
4

B. m 

1
.
2

C. m  2 .

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực củam sao cho hàm số y 
A. m  0 hoặc 1  m  2 .

D. m  1 .
 
 0;  .
 4
C. 1  m  2 . D. m  2 .

tan x  2
đồng biến trên khoảng
tan x  m

B. m  0 .

1
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   x3  (m  1) x 2  (m  3) x  1 đồng biến trên  0;3  .

3
A. (; 1] .
B. (; 1) .
C. [  1;1] .
D. [1; ) .

Câu 49: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x3  3x 2  (m  1) x  3m  1 nghịch biến trên  1;1 .
A. m  4 .

C. m  0 .

B. m  0 .

D. m  8 .

Câu 50: Tất cả giá trị thực của m để hàm số y  x3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên  0;   là
A. m  0 .
Câu 51: Tìm m để hàm số y 
A. 8  m  1. .
Câu 52: Tìm m để hàm số y 
A. m  1. .
Câu 53: Tìm m để hàm số y 
A. 2  m  3 .

C. m  12. .

B. m  0 .

mx  7m  8
đồng biến trên khoảng  3;  

xm
4
B. 8  m  1. .
C.  m  3. .
5

mx  4
nghịch biến trên khoảng  ;1 .
xm
B. m  1. .
C. 2  m  1. .

D. m  12. .

D.

4
 m  3. .
5

D. 2  m  1. .

mx  9
đồng biến trên khoảng  ; 2  .
xm
B. 2  m  3 .
C. m <2 hoac m  3. . D. khơng có giá trị m. .

11

Câu 54: Tìm m để hàm số y 
A. m  2. .

mx  2
nghịch biến trên khoảng 1;   .
x  m 1
B. m  2. .
C. m  2. .

D. m  2. .

1
Câu 55: Tìm m để hàm số y  x3  mx 2  (2m  1) x  m  2 nghịch biến trên khoảng  2;0 
3
1
1
A. m   .
B. m   .
C. m  1.
D. m  0 .
2
2
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số y  x3  1  2m  x 2   2  m  x  m  2 đồng biến trên
khoảng  0;  

7
A. m   . .
4

B. m  1. .

C. m  2. .

5
D. m  .
4 .

Câu 57: Cho hàm số y  2 x3  2 x 2  mx  3 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 1;  
A. m 

2
.
3

B. m  2 .

C. m  3 .

D. m  2 .

1
Câu 58: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   x3   m  1 x 2   m  3 x  10 đồng biến trên khoảng
3
 0;3 .
A. m  0 .

B. m 

12

.
7

C. m 

12
.
7

D. m tùy ý.

m  sinx
 
nghịch biến trên khoảng  0;  .
2
cos x
 6
5
5
C. m  .
D. m  .
4
4
Lời giải

Câu 59: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
A. m 

5
.

2

Chọn.

B. m 

5
.
2

C.

Cách 1: sử dụng chức năng mode 7 của máy tính casio.
Cách 2:
Đặt t  s inx  y 

mt
t 2  2mt  1


y

.
2 2
1 t2
1

t
 

mt
 
nghịch biến trên khoảng
 0;  tức là hàm số y 
1 t2
 6
 1
 1
 1
trên  0;   y  0 trên  0;   t 2  2mt  1  0 trên  0; 
 2
 2
 2
Hàm số y 

m  sinx
nghịch biến trên
cos2 x

1
1
 1
 m  t   g  t  , t   0;  1 .
2 2t
 2

t  1
1 1 t 2 1
1
1

g t    2  2 . g t   0  
Xét g  t   t 
.
2 2t
2t
2 2t
t  1
12


Bảng biến thiên:

Từ BBT suy ra BPT 1  m 

5
.
4

Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y 
  
 ; .
3 2
A. m  2 .
m  2 .

B. m  2 .

m cos x  4
đồng biến trên khoảng
cos x  m

C. m  2 hoặc m  2 .

D. m  2 hoặc

Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
ĐK: cos x  m

y 

(m2  4)sin x
(cos x  m)2

 
 
1
Vì : sin x  0 x  ( ; ) và x  ( ; )  0  cos x 
3 2
3 2
2
m  2

m 2  4  0
  m  2
m  2

  
nên hàm số đồng biến trên  ;  khi : 

1  
1 
3 2
 m  2
m  (0; )
m 

2
2

  m  0
Cách 2 :
Đặt t   cos x với


3

x



1
 t 0
2
2

Khi đó bài tốn trở thành tìm m để hàm số y 
Tập xác định: D 

\ m

13

mt  4
đồng biến trên
t  m

 1 
  ;0 
 2 


ta có: y 

m2  4
(t  m)2

m  2

m 2  4  0
 m  2
m  2


 1 
   m  0  
Hàm số đồng biến trên   ;0  khi : 
1
 2 
 m  2

m  ( ;0)


2
1
  m  
 
2
Nhận xét: Nếu ta đặt t  cos x

Ta thấy x tăng và t giảm (ngược nhau). Do đó để giải bài tốn náy ta đặt t   cos x hoặc
đặt t  cos x nhưng phải đổi yêu cầu của đề bài.
Ví dụ: Đặt t  cos x ta được y 

mt  4
 1
, t   0; 
t m
 2

Khi đó bài tốn trở thành tìm m để hàm số y 

y' 

mt  4
 1
 1
, t   0;  nghịch biến trên  0; 
t m
 2

 2

m2  4
(t  m)2

  m  2
m  4  0   m  2
 m  2


 1
Hàm số nghịch biến trên  0;   
.
 1   m  0  
 2
m  2
m   0; 2 




m  1
 
2
2

Câu 61: Tìm m để hàm số y 
A. m  1 .

Chọn.

2cos x  1
đồng biến trên  0;   .
cos x  m
1
B. m   .
C. m  1 .
2
Lời giải

1
D. m   .
2

C.

Cách 1: Ta có: y 

 2m  1 .sin x .
2
 cos x  m 

Để hàm số đã cho đồng biến trên  0;   thì  2m  1 .sin x  0 hay 2m  1  0, x   0;   và

cos x  m, x  (0;  )  m  (0;1)

14


1


m



2

Do đó 
 m  1.
m 1

  m  1
Cách 2
Nhận xét: Nếu ta đặt t  cos x

Ta thấy x tăng và t giảm (ngược nhau). Do đó để giải bài toán náy ta đặt t   cos x hoặc
đặt t  cos x nhưng phải đổi yêu cầu của đề bài.
Ví dụ: Đặt t  cos x ta được y 

2t  1
, t   1;1
t m

Khi đó bài tốn trở thành tìm m để hàm số y 

y' 

2t  1
, t   1;1 nghịch biến trên  1;1
t m

2m  1
(t  m)2

1

m

2m  1  0 
2
Hàm số nghịch biến trên  1;1  

 m  1.
m  1

m   1;1

  m  1
Câu 62: Cho hàm số y 

 m  1 sin x  2
sin x  m

. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng

 
 0; 
 2

Chọn.

 m  1
C. 
.
m  2
Lời giải

 m  1
B. 
.
m  2

A. 1  m  2 .

B.

 
Đặt sin x  t khi đó x   0;   t   0;1 .
 2

Khi đó y 

 m  1 t  2
t m

15

m  0
D. 
.

m  1


u cầu bài tốn tương đương với tìm m để hàm số y 

 0;1 .
Ta có y 

m2  m  2

t  2

2

 m  1 t  2
t m

nghịch biến trên khoảng

.

2


 m  1
 y  0, t   0;1
 m  m  2  0
Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1  
.



m  2


m   0;1
m   0;1

Câu 63: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

2sin x  1
đồng biến trên khoảng
sin x  m

 
 0,  ?
 2

1
1
1
B.   m  0 hoặc m  1.C.   m  0 hoặc m  1 .D. m   .
2
2
2
Lời giải

1
A. m   .
2

Chọn.

C.

Xét hàm số y 

2sin x  1
 
trên  0, 
sin x  m
 2

Đặt t  sin x
Xét hàm số f  t  

f  t  

2t  1
trên  0,1
t m

2m  1

t  m

2


 f '  t   0, t   0;1
 

Hàm số y đồng biến trên  0,   f  t  đồng biến trên  0,1  
 2

m   0;1
1

 2m  1  0
 1
m   2
 m0


.
 m  1

 2
m 1

m  0

m  1



m  0
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến trên
A.  2  m  2 .
Chọn D

C.  2  m  2 .

B. m   2 .

y  sin x  cos x  mx

TXĐ: D 

.

Ta có y  cos x  sin x  m .
Hàm số đồng biến trên

 y  0x 

 cos x  sin x  m  0x 

 m  sin x  cos x, x  R
Cách 1: Ta có:  2  sin x  cos x  2x 
16

D. m  2 .


Suy ra 1  m  2 .
Cách 2:



m  sin x  cos x, x  R  m  2 sin  x  
4


m

m


 sin  x   
1 m  2
4
2
2

Câu 65: Giá trị của tham số thực m để hàm số y  sin 2 x  mx đồng biến trên
m  2. .

Chọn.

C. m  2. .
Lời giải.

B. m  2. .

là
D. m  2. .

C.

+ TXĐ: D 
+ y  2cos 2 x  m.
+ Hàm số đồng biến trên R  y  0x  R  2cos 2 x  m  0x  R  m  2cos 2 xx  R

 m  min  2cos 2 x   2  do  1  cos2x  1 .
x

.

Câu 66: Tìm m để hàm số y  mx  sin x  3 đồng biến trên
A. m  1 .
Chọn.

.

C. m  1 .
Lời giải

B. m  1.

D. m  1 .

A.

y  m  cos x.

Hàm số đồng biến trên

 m  cos x  0x 

 m  1.

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CÓ ĐỘ DÀI l CHO TRƯỚC.
Câu 67: Hàm số y  x3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 với m .

Chọn.

9
C. m  . .
2
Lời giải

9
B. m   . .
4

9
A. m  . .
4

A.

y  3x 2  6 x  m; y  0  3x 2  6 x  m  0
  9  3m

  0  m  3 thì y  0x 

hay hàm số đồng biến trên

Suy ra m  3 khơng thỏa bài tốn.
  0  m  3 thì y  0 có hai nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 )

Suy ra hàm số nghịch biến trong khoảng  x1 ; x2 

17

9
D. m   . .
2


Theo giả thiết: x1  x2  1   x1  x2   1   x1  x2   4 x1 x2  1 (*)
2

2

Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  2; x1 x2 
Thay vào (*): 4 

m
.
3

4m
9
 1  m  (thỏa).
3
4

Câu 68: Tìm m để hàm số y  x3  3(2m  1) x 2  (m  1) x  2 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ?
A. m  

1
..

12

B. m  1. .

C. m 

1
 m  1. . D. m  1. .
12

Lời giải
Chọn.

C.

y  3x 2  6(2m  1) x  m  1 có   9(2m  1)2  3(m  1)
Hàm số nghịch biến trên 1 đoạn có độ dài bằng 2  y  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa
2
1

1
m
m





0


m


3
4

x1  x2  2  


12 .

x

x

2
m

1

2
 1 2
4(2m  1)  4
4
 m  1

3

1
Câu 69: Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3   m  1 x 2  4 x  7 có độ dài khoảng

3

nghịch biến bằng 2 5 .
A. m  2, m  4. .
B. m  1, m  3. .

C. m  0, m  1. .

D. m  2, m  4. .

Lời giải
Chọn.
TXD:

D.
.

Ta có y  x 2  2(m  1) x  4 . Xét phương trình x 2  2(m  1) x  4  0,    m  1  4 .
2

Nếu   0 thì hàm số đồng biếm trên

do đó hàm số khơng có khoảng nghịch biến.

m  1
2
Nếu   0   m  1  4  0  
,khi đó y  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2 . Hàm số
 m  3
nghịch biến trên khoảng  x1 ; x2  .

Vậy theo bài tốn ta có x2  x1  2 5   x1  x2   4 x1 x2  20 1 .
2

 x  x  2  m  1
Theo định lý Vi-et ta có  1 1
.
 x1 x2  4

m  1  3
m  2
2
2

Từ 1  4  m  1  16  20   m  1  9  
.
 m  1  3  m  4

18


Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực m để f  x    x3  3x 2   m  1 x  2m  3 đồng biến trên một khoảng
có độ dài lớn hơn 1

Chọn.

5
C.   m  0 .
4
Lời giải

B. m  0 .

A. m  0 .

5
D. m   .
4

D.

Ta có: y  3x 2  6 x   m  1
Để hàm số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 thì y  0 phải có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1 .
Khi đó:   9  3  m  1  3m  6
Do đó: y  0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi   0  m  2

 3 .

 x1  x2  2

Áp dụng vi-ét ta có: 
m 1
 x1.x2  3
Ta có: x1  x2  1   x1  x2   1   x1  x2   4 x1.x2  1  4  4.
2

2

m

5
4

m 1
1
3

 4 .

5
Kết hợp điều kiện  3 ,  4  ta có: m   .
4
Câu 71: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x3  3mx 2  3  2m  1 x  1 nghịch biến trên đoạn có độ
dài bằng 2 ?
A. m  0; m  2 .

B. m  2 .

C. m  0 .
Lời giải

Chọn.
B.
Xét hàm số y  x3  3mx 2  3  2m  1 x  1 .
TXĐ: D 

. y  3x 2  6mx  3  2m  1 .

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
 y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 .

9m2  9  2m  1  0
  0


 m  2. .
2
2
x

x

4
x
x

4


2
m

4
2
m

1

4



 1 2
1 2
 

19

D. m  1 .


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lí

 f '( x0 )  0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
 f ''( x0 )  0

Nếu 

 f '( x0 )  0
thì hàm số đạt cực đại tại x0
 f ''( x0 )  0

Nếu 

Dạng 1: Tìm điều kiện hàm số có cực trị
Nếu hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f '( x)  0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm.
Để hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0
Chú ý:
Hàm số y  ax  bx  cx  d có cực trị

3

2



phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

ax 2  bx  c
, a.a '  0 có cực trị  phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
Hàm số y 
a'x b'
biệt khác b ' .
a'

Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm
ngoại lai.
Khi giải các bài tập loại này ta hay dùng định lí Viet.
1.1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước.
 f '( x0 )  0
 f ''( x0 )  0

Hàm số đạt cực tiểu tại x0  

 f '( x0 )  0
 f ''( x0 )  0

Hàm số đạt cực đại tại x0  

Câu 72: Tìm giá trị cực đại của hàm số y  x3  12 x  20 .

A. yCÑ  2 .

C. yCÑ  52 .

B. yCÑ  4 .

Câu 73: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 là:
A. 1 .
B. 3 .
C. 0 .

D. yCÑ  36 .
D. 2 .

Câu 74: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x 4  100 là
A. 1 .
Câu 75: Hàm số y 
A. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

2x  3
có bao nhiêu điểm cực trị?
x 1
B. 0 .
C. 2 .

D. 1 .

B. 3 .

Câu 76: Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y 

1
A. yCT  .
8

B. yCT  

x 1
.
x2  8

4
.
33

C. yCT 

20

1
.
4

1
D. yCT   .
8

x2  2x  2
Câu 77: Tìm điểm cực đại của hàm số y 
.
x 1
A. x  3 .
B. x  1 .
C. x  2 .

D. x  0 .

x2  2x  1
.
x 1
B. x  1 .
C. x  2 .

D. x  1 .

x2  x  2
có tọa độ là
x 2
B.  0; 0  .
C. (4;9) .

D. (0; 1) .

4
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x
B. x  4 .
C. x  2 .

D. x  2 .

Câu 78: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y 
A. x  3 .

Câu 79: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y 
A. (0;1) .
Câu 80: Cho hàm số y  x 
A. x  4 .

Câu 81: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f '( x)  x 2 ( x 2  4), x 

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

B. Hàm số đạt cực đại tại x  2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .

A. Hàm số có hai điểm cực trị.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x)  x 2 ( x  1)2 ( x  2) . Số cực trị của hàm số là
A. 1 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 2 .
Câu 83: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Câu 84: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị cực đại yCÑ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.
A. yCĐ  3 và yCT  2 . B. yCĐ  2 và yCT  0 .
C. yCĐ  2 và yCT  2 . D. yCĐ  3 và yCT  0 .
Câu 85: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

21


Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có bốn điểm cực trị.
C. Hàm số khơng có cực đại.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  5 .

Câu 86: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x  0 .
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1.

B. Hàm số có đúng một cực trị.
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 .

Câu 87: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có bốn cực trị.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 , đạt cực đại tại x  2 .
C. Hàm số đạt cực trị tại x  0, x  1, x  2 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 , đạt cực tiểu tại x  2 .
Câu 88: Đồ thị của hàm số y   x3  3x 2  5 có hai điểm cực trị A và.
OAB với O là gốc tọa độ.
10
A. S  9 .
B. S  .
C. S  10 .
3

B. Tính diện tích S của tam giác
D. S  5 .

Câu 89: Đồ thị của hàm số y  x3  3x 2  9 x  1 có hai điểm cực trị A và.
thuộc đường thẳng AB?.
A. P(1;0) .
B. M (0; 1) .

B. Điểm nào dưới đây
D. Q(1;10) .

C. N (1; 10) .

Câu 90: Một hàm số f  x  có đạo hàm là f '  x   x  x  1  x  2   x  3 . Số cực trị của hàm số là:
2

A. 2 .

B. 1 .

3

C. 3 .

4

D. 4 .

Câu 91: Hàm số y  x 4  2 x 2  2017 có bao nhiêu cực trị?
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 92: Cho hàm số y f ( x) xác định trên
và có đạo hàm f '( x) ( x 2)( x 1)2 . Khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y f ( x) đồng biến trên ( 2;

) . B. Hàm số y f ( x) đạt cực đại tiểu x 1 .
C. Hàm số y

f ( x) đạt cực đại tại x

Câu 93: Hàm số f  x  xác định và liên tục trên

2.

D. Hàm số y

f ( x) nghịch biến trên ( 2;1) .

và có đạo hàm f '  x   2  x  1  x  1 . Khi đó hàm
2

số f  x  .
22


B. Đạt cực tiểu tại điểm x  1 .
D. Đạt cực đại tại điểm x  1 .

A. Đạt cực tiểu tại điểm x  1 .
C. Đạt cực đại tại điểm x  1 .

Câu 94: Cho hàm số f có đạo hàm là f   x   x  x  1  x  3 . Số điểm cực trị của hàm số f là.
2

A. 2 .

3

C. 3 .

B. 0 .

D. 1 .

Câu 95: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x 2  2  x 4  4  . Số điểm cực trị của hàm số

y  f  x  là?
A. 3 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 96: Biết f ( x)  x 2 (9  x 2 ) , số điểm cực trị của hàm f  x  là.
A. 1 .

B. 2 .

Câu 97: Cho hàm số y  f  x  xác định trên

C. 0 .

D. 3 .

và có bảng biến thiên như hình vẽ:

.
Chọn khẳng định đúng?
A. Hàm số có 1 điểm cực trị.
C. Hàm số có 2 điểm cực trị.

B. Hàm số khơng có điểm cực trị.
D. Hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 98: Cho hàm số y  2 x3  3x 2  4 . Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:
A. 0 .

C. 12 .

B. 12 .

D. 20 .

x 2  3x  1
Câu 99: Cho hàm số y 
. Tính tổng giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số.
x
A. yCĐ  yCT  0 .
B. yCĐ  yCT  5 .
C. yCĐ  yCT  1 .
D. yCĐ  yCT  6 .
Câu 100: Cho hàm số y   x4  2 x2  3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1, y2 . Khi đó.
A. y1  y2  12 .

C. 2 y1  y2  5 .

B. y1  3 y2  15 .

D. y2  y1  2 3 .

Câu 101: Cho hàm số y  2 x3  3x 2  4 . Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:
A. 0 .

C. 12 .

B. 12 .

D. 20 .

Câu 102: Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y  x3  3x 2  1 là.
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 103: Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
A. 5 2 .

B. 2 5 .

C. 2 .

D. 4 .

1
Câu 104: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2  (m2  4) x  3 đạt cực đại tại x  3 .
3
A. m  1.
B. m  1 .
C. m  5 .
D. m  7 .
Câu 105: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  2 x 2  (m  3)x  1 đạt cực tiểu tại x  1 .
A. m  2 .

C. m  4 .

B. m  1.
23

D. m  0 .


Câu 106: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  (m2  1)x 2  (m  2)x  m  1 đạt cực đại tại
x  2.

4
A. m  .
3

7
B. m   .
C. m  2 .
4
Câu 107: Hàm số y  x3  2mx 2  m2 x  2 đạt cực tiểu tại x  1 khi.

A. m  2 .

B. m  1 .

C. m  1.

1
Câu 108: Tìm m để hàm số y  x3  mx 2  4 x  1 đạt cực trị tại x  2 .
3
A. m  0 .
B. Không tồn tại m . C. m  2 .
Câu 109: Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số y 
.
A. 3 .

B. 1 .

D. Khơng có m.

D. m  3 .

D. m  2 .

1 3
x  mx2   m2  m  1 x  1 đạt cực đại tại x  1
3
C. 2 .

D. 0 .

Câu 110: Cho hàm số y  2 x3   m  1 x 2  2 x , với m là tham số thực. Tìm tập hợp M của các tham số
thực m sao cho hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x  1 .
A. M   .
B. M  3 .
C. M  6 .

D. M  3 .

Câu 111: Giá trị của m để hàm số y   x3  2 x 2  mx đạt cực tiểu tại x  1 là:
A. m  1 .

C. m  1 .

B. m  1 .

D. m  1 .

Câu 112: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f  x   x 3  3mx 2  3  m 2  1 x  2016 đạt cực tiểu tại

x  2?
A. m  1.

C. m  3 .

B. m  3 .

Câu 113: Hàm số y  x3  3x 2  mx đạt cực tiểu tại x  2 khi:
A. m  0 .
B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  1 .
D. m  0 .

1
Câu 114: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  (m  1) x 4 đạt cực đại tại x  0 là:
4
A. m  1 .
B. m  1.
C. Không tồn tại m . D. m  1 .

x 2  mx  1
Câu 115: Để hàm số y 
đạt cực đại tại x  2 thì m thuộc khoảng nào?
xm
A.  0; 2  .
B.  2;0  .
C.  2; 4  .
D.  4; 2  .

x3
Câu 116: Gọi m0 là giá trị thực của m để hàm số y 
 mx 2   m2  1 x  1 đạt cực trị tại x0  1 , các
3
giá trị của m0 tìm được sẽ thoả mãn điều kiện nào sau đây?
A. 1  m0  3 .

Câu 117: Cho hàm số f  x   x  m 
tại x  2 và f  2   2. .

A. m  1; n  1.

C. m0  0 .

B. m0  0 .

D. m0  1 .

n
(với m, n là các tham số thực). Tìm m, n để hàm số đạt cực đại
x 1

B. Không tồn tại giá trị của m, n .C. m  n  1. D. m  n  2 .

Câu 118: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2   6m 2  3 x đạt cực trị tại x  1 .
24


C. Khơng có giá trị m . D. m  0 hoặc m  1 .

B. m  1.

A. m  0 .

Câu 119: Đồ thị của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có hai điểm cực trị là A 1; 2  và B  1; 6  . Tính
P  a 2  b2  c 2  d 2 .
A. P  23 .

D. P  26 .

C. P  18 .

B. P  15 .

Câu 120: Biết hàm số f  x   x3  ax 2  bx  c đạt cực tiểu tại điểm x  1 , f 1  3 và đồ thị của hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tính giá trị của hàm số tại x  1 .
A. f  1  4 .
B. f  1  2 .
C. f  1  3 .
D. f  1  13 .

MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH
1. Cho hàm số
Nếu

y  f ( x )  ax 4  bx 2  c

với

a, b  0

a.b  0 đồ thị hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị là

 2b b 2
  2b b 2

A(0; c), B  
;
 c  ,C  
;

 c

 

a 4a
a 4a

 

 ab  0
 ab  0



Hàm số có một cực trị



Hàm số có ba cực trị



Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều



Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác vuông (vuông cân)

24a  b3  0



8a  b3  0
3
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có các góc đều là góc nhọn  8a  b  0



Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có diện tích



Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm  b




S0  32a3 .S02  b 5  0

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành hình thoi.  b
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có một góc bằng 

2

2

 6ac  0

 2ac  0

 8a(cos  1)  b3 (1  cos )  0



Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có một góc bằng 

 cos 

 b2  2ac  0

b3  8a
 b3
2

cot

2 8a
b3  8a

Hàm số y  ax  bx  c, a  0
4

2

 Hàm số y  ax  bx  c, a  0 có một điểm cực trị a.b  0
4

2

4
2
a0
 Hàm số y  ax  bx  c, a  0 có cực tiểu mà khơng có cực đại: 

 Hàm số y  ax  bx  c, a  0
4

2

b  0
a0
có cực đại mà khơng có cực tiểu: 
b  0

4
2
a0
 Hàm số y  ax  bx  c, a  0 có hai cực tiểu và một cực đại: 

b  0

25