De thi HSG toan 7

/>PHỊNG GD&ĐT
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN 7
ĐỀ HSG TOÁN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
 8
.  0,5  .3    1  :1
 15 60  24
a) Tính: A = 15
20
100
b) So sánh: 16 và 2
1

Bài 2. (3,0 điểm).
2x  7 

1
1
1
2
2

a) Tìm x biết:
1 n

n
5
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3  4.3 13.3
Bài 3. (4,5 điểm).

2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b +c c+ d d +a
Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c+ d + d +a + a+b + b +c

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
t



x  y  z x  y  t y  z  t x  z  t với x, y, z, t là các số
b) Cho biểu thức
10
tự nhiên khác 0. Chứng minh M  1025 .
M

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vng góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:




a) BAM = ACM và BH = AI.
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 0. Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và  1  x 1 ,  1  y 1 ,
2
4
6
 1  z 1 . Chứng minh rằng đa thức x  y  z có giá trị khơng lớn hơn 2.

-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.


/>HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Bài 1.

a) 2,0 đ

Nội dung
7 47 47
A 
:
5 60 24
+ Biến đổi:
7 2

=5 5

=1
20

4.20

80

+ Biến đổi: 16 2 2
b) 2,0 đ + Có 280  2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)
20
100
Vậy 16  2
Bài 2.
1
1
1
2
2 => 2 x  7 1
+ Ta có

a) 2,0 đ => 2 x  7 1 hoặc 2 x  7  1
2x  7 

=> x 4 hoặc x 3
Vậy x 4 hoặc x 3 .
n
1
5
+ Biến đổi được 3 .(3  4) 13.3
n
6
b) 1,0 đ => 3 3
=> n = 6
KL: Vậy n = 6
Bài 3.

2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d
=
=
=
a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
 1
 1

 1
1
a
b
c
d
a b c d a b c d a b c d a b c d



a
b
c
d

+ Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4

Điểm
4,0 đ
1,0
0,50
0,50
0,5
1,0
0,5
3,0 đ
0,5
0,5
0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ

+ Biến đổi:

a)
(2,5 đ)

b)
(2,0 đ)

+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0
+ Ta có:

0,5
0,25
0,25
1,0
0,25
0,25

x
x


x yz x y

y
y

x  y t x  y

0,1


/>z
z

y  z t z t

t
t

x  z t z t
x
y
z
t
+
)+(
+
) => M < 2
⇒ M< (
x+ y x+ y

z +t z +t

0,25
0,5
0,25

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025

Bài 4.
0,25





* Chứng minh: BAM  ACM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)

0,5
0,25
0,25
0,25

0


+ Lập luận được: BAM CAM 45

1.a/

2,75 đ

0

+ Tính ra được ACM 45



=> BAM  ACM

0,5
0,75
0,25

* Chứng minh: BH = AI.


1.b/
2,0 đ





+ Chỉ ra: BAH  ACI (cùng phụ DAC )
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được AM  BC
+ Chứng minh được AM = MC





+ Chứng minh được HAM ICM
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI

(*)





IMA
+ Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB
(do
0
AMB  AMC 90
0

+ Lập luận được: HMI 90

(**)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25


/>Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
A

0,25
2)
1,5đ

B

E

H

C

D

+ Chứng minh được :
0,25

AEC  ABC  BAE









HAD
 DAC
 BAE
EAH
 HAD
 DAC
EAC


(Vì B và HAC cùng phụ với BAH
)

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
+ Tương tự chứng minh được AB = BD
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0
=> z = - x - y 0
2

Bài 5.
2,0 đ

4

6

+) Vì  1  x 1 ,  1  y 1 ,  1 z 1 = > x  y  z  x  y  z
2
4
6
=> x  y  z  x  y  z
2
4
6
=> x  y  z  2 z

2
4
6
+)  1  z 1 và z 0 => x  y  z 2
2
4
6
KL: Vậy x  y  z 2

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
/>
(*)
(**)

0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25

0,25
0,50
0,25