TOAN 10

3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A-Lý thuyết :
Phương pháp 1:
Sử dụng phép biến đổi tương đương :
 A 0

1. A  B   B  0
 A  B2

 A 0

2. A B   B 0
 A B 2

 B  0  B 0
3. A  B  

2
 A 0  A  B
 B 0  B  0
4. A B  

2
 A 0  A B

Bài toán 1:
Giải các bpt sau :
1. x  3  2 x  1
2. x 2  x  1  x  3
3. 3x  2  4 x  3
4. 3 x 2  x  4  x  1

Bài giải :
1

x

2 x  1  0
2


  x  3 0
  x 3
 x  3  (2 x  1) 2
 2

4 x  5 x  4  0


1.
x 3
 x 2  x  1 0
8

  x  3 0
 x 
7
 x 2  x  1 ( x  3) 2

2.

3.

4 x  3  0 4 x  3 0


2
3x  2 0 3x  2  (4 x  3)

3
2
 3 x  4
2
 x  1

3
 3 x  1
 4
  x  1 0
4

 2
x 

3
x

x

4


0
3



x 1  0
1  41

 
x


4
 3 x 2  x  4 ( x  1) 2
4.  

Bài toán 2:
Giải các bpt sau :
1.x  1  2( x 2  1)
2. ( x  5)(3 x  4)  4( x  1)
3. x  2 

3  x  5  2x

4.( x  3) x 2  4  x 2  9

Bài giải :
.1
2( x 2  1) 0
 x  1  x 1



(1)   x  1 0
  x  1
2( x 2  1) ( x  1) 2
 2
 x  2 x  3 0

 x  1

 1 x 3
  4( x  1)  0

( x  5)(3 x  4) 0
(2)  
 x  1 0

 ( x  5)(3 x  4)  16( x  1) 2
 x 1
 x  5

4

 4
 x  5  x 

3    x  1
 
 3


1 x  4
  x 1

 13 x 2  51x  4  0

2.
4
x  5    x  4
5
Kết luận :

.


 x  2 0
5

3  x 0   2  x 
2
5  2 x 0


(1) 

 x  3  0
 x  3 0
 2
 2
2
 x  4 0  x  4  x  3

3. Đk:
(1)  5  2 x  3  x  x  2


2

2 x  11x 15  2 x  3
(2)

3
 2 x 
2
+) Xét :
(1) luôn đúng.
3
5
x 
2
+) Xét : 2
(2)  2 x 2  11x  15  (2 x  3)2
 2x2  x  6  0
3
  x2
2
3
5
x 
2 nên nghiệm của bpt là :
Do 2

3
x  2
2
Kết luận :
 2 x  2
2
4.Đk: x  4 0  x  2  x 2
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt .
+) Xét x > 3 :
(1) 

2

x  4 x  3

 x 2  4  x  3

2

13
 x 
6
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt
+) Xét : x  2  2 x  3

x2  4 x  3

 x  3
x   3



 x  2  x 2 6 x  13 0
 x  3
13

 x 
13
  3  x 
6
6

(tm )
Vậy kêt luận :
13

 x  6

 x 3
Bài tập về nhà :
Bài 1:
Giải các bpt sau :
1. 2 x  1 8  x
2. 2 x 2  6 x  1  x  2  0
3.  x 2  6 x  5  8  2 x
4. x  3  2 x  8  7  x
5. x  2 

x 1  x

Bài 2:

Giải các bpt sau :
1.( x 2  3x ). 2 x 2  3x  2 0
2.

3.
Bài giải :
Bài 1:
1.

2 x2

 3

9  2x
x2

1

1 x



2



2

 x  21

 x 4


5.

8  x 0

(1)  2 x  1 0
 2 x  1 (8  x ) 2

 x 8

1

 x 
2

 x 2  18 x  65 0

 x  2 0

 x  1 0  x 0
 x 0


Đkiện :
(5)  x  2  x 1  x
 x  2  2 x  1  2 ( x  1) x
 1  x  2 ( x  1) x

1
  x 5
2
2.

1  x  o 1  x 0


2
 x 0
 1  x   4 x( x  1)

2 x 2  6 x 1  x  2

(2) 

 x  2 0
x  2  0
 2
 2
2
2 x  6 x  1 0  2 x  6 x  1   x  2 
x  2

  x  3  7  x 2
 
2  2

x  2x  3  0


3

7
 x 
 
2
 x

3

7
2

x3

3.
Tương tự : 3  x 5
 x  3 0

 2 x  8 0  4 x 7
7  x 0
4.Đk: 



(4)  x  3 
 3  1  2
 2

2x  8  7  x

 2 x  8  7  x 

 2 x  8  7  x 

 4  2 x 2  22 x  56
 x 2  11x  30 0
 x 5

 x 6
 4  x 5

Kết luận :  6  x 7
9  2 x 0


3  9  2 x 0

2.Đk :
Khi đó :

9

 x 
2

 x 0



2


32 3
x
3
 x  1 
  3 2 3
 x 1

3


32 3
x
3

  32 3
x

3

Kết luận :
 32 3
x
3
Bài 2:
1.
 2 x 2  3 x  2 0


(1)    2 x 2  3 x  2  0
 2
  x  3x 0




 x 2


1
  x 

2

 
1
  x   2
  
  x  2
  x 0  x 3


1

 x  2

 x 2
 x 3




Bài 2:
1. x 2  3x  2  x 2  4 x  3 2 x 2  5 x  4
2. x 2  8 x  15  x 2  2 x  15  4 x 2  18 x  18
3. 1  x  1  x 2 
Bài giải :
Bài 1:

x2
4


(2) 



2x2 3  9  2 x



4 x2
 9  2x  4
7
 x
2

2

 x  21

7
 9
 x 
2
 2
 x 0
Kết luận :
3.
Đk: 1  x 0  x  1
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét x 0 :
(3) 





x2 1  1  x



2

x2

 1 1 x



2

x 4

 x 4

 2  2 1 x   4
 1 x  3  1 x  9
 x 8
Kết luận :  1  x  8
Chú ý : Dạng :
f ( x ). g ( x ) 0
 g ( x) 0

   g ) x)  0
  f ( x) 0

Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Giải các bpt sau :
 3x 2  x  4  2
1.
2
x

Nhân xét x = 1 là nghiệm
+) Xét x <1 :
(2)   1  x   2  x  

(1) 



 3x 2  x  4  2
2
x

 3x 2  x  4  2 x  2

 2 x  2 0

2
2
  3x  x  4   2 x  2 
 x 1
9
 2
 x
7
7 x  9 x  0
9
4
x
3
Vậy (1) có nghiệm : 7
Xét :  1  x  0 :
(1) luôn đúng
Kết luận nghiệm của bpt:
  1 x  0
9
  x 4

3
7
Bài 2:
1.
 x 2  3x  2 0
 2
 x  4 x  3 0  x 1  x 4
 x 2  5 x  4 0
Đk: 
(1)   x  1  x  2    x  1  x  3
2

 x  1  x  4  (2)

Suy ra : x  5 là nghiệm của bpt
+) Xét : x 5 :
(2)  x  5  x  5  4 x  6

1 x  3  x

2  1  x   4  x 


4

  1 x 
3

 x 0
Đk : 

:
4
0x
3:
Xét :

2  x  3  x 2 4  x
2 x  3 x  4 x  4 x

Ta có : 2 4  x ,  x 1
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm .
+) Xét : x 4 :
(2)  x  2  x  3 2 x  4

 x  5  x  5  2 x 2  25 4 x  6
17
 x 2  25  x  3  x 
3
17
5 x 
3
Suy ra :
Là nghiệm của bpt .
Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là :

 x  5

 x 3

17

 5 x 
3



Ta có :
x 2  x 3  x 4  x 4

3.

2 x  4,  x 4
Suy ra : x 4 : , bất pt luôn đúng .
Bài toán 1:Giải bpt sau :
 x 1
 x 1  x  4   5  xx 245 x  28(1)
Vậy nghiệm của bpt là : 
Bài giải :
2.
2
 5
x 0 28, t  0
Đặt:x 2t 8 xx 15
 2x 2  5 x  28  0,   )x 3
( Do
 x  2 x  15 0 xR
 x  5  x 5
Khi 4đóx 2:  18 x  18 0

Điều kiện:
(1)  t 2  24  5t

(2)  x t 25 5xt  324
  0 x  5  x  3
 (4 x  
6)(0x t3)(2)
8
( do t> 0 )
2
Nhận xétx 0= 3 làxnghiệm
của bpt
 5 x  28
8 :
x

5
+) Xét :
:
 x 2  5 x  36  0
 9x4
(2)   5  x   3  x     x  5   3  x    6  4 x   3  x 
Kết luận : -9 < x < 4
 5  x   x  5  6  4x
Bài toán 2 :
 5  x  x  5  2 x 2  25 26  4 x
7 x  7  7 x  6  2 49 x  7 x  42  181  14 x(1)
2
2
 x2 7 25
x 
7 30 x  x 6 25  3  x 
 x

17
7:
Đk:
x 7 x  6 0
3
t  7 x  7  7 x  6, t 0
 t 2 7 x  7  7 x  6  2
Đặt :

 14 x  2

1  x 0
  1  x 1

Đk: 1  x 0
:
Khi đó :
Bài tốn3:
x4
2
2
(3)  1  x 31  x  2 1 1 x 4  x 
16
3 x
 2x 
 7(1)
2 x x4
2 x
 Đk
1  :xx2 > 20: 1  x 2  1  0

16
1 
 2

41 
(1)  3 x  x
 2  x    7(2)

 1  x 2  1  2 
0
4x 
x

16  x  1;1
1 :  1  x 11
Vậy nghiệm
t của
x bpt là 
2 x.
 2
2 x
2 x
1
1
 t 2 x  1  x 
t 2  1
4x
4x
Đặt :
Khi đó :

(2)  3t  2  t 2  1  7

 7x  7  7x  6

 7 x  7   7 x  6

t 2  1

Khi đó :
(1) 

7 x  7  7 x  6  14 x  2 49 x 2  7 x  42  181

 t 2  t  1  181
 t 2  t  182  0
 0 t  13(t 0)


7 x  7  7 x  6  13



49 x 2  7 x  42  84  7 x

6
6
  x  12
 7
 x  6
7

 x  6
6
x  6
Kết luận : 7
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ :








 2t 2  3t  9  0  t  3(t  2)
1
 x
 3(3)
2 x
Đặt :
u  x ,u  0
1
 3  u   3  2u 2  6u  1  0
2u
3 7
3 7
 0u
u 
2
2
3 7

3 7
 0 x 
 x
2
2
8 3 7
83 7
 0 x
x 
2
2
8 3 7
83 7
0x
x 
2
2
Kết luận :
Bài tập về nhà :
Bài 1: Giải các bpt sau :
1). 3x 2  6 x  4  2  2 x  x 2
2).2 x 2  4 x  3 3  2 x  x 2  1
3). 3 x 2  5 x  7 

3x 2  5 x  2 1


Bài 2:
1). x  2 x  1  x  2 x  1 
2).5 x 

3).

5
2 x

 2x 

3
2

1
4
2x

x
x 1
2
3
x 1
x

Bài 3:
x

x
2

x 1



35
12

Bài giải :
Bài 1:
1.Đặt :

 2   2  3  t 2   3t  1
 2t 2  3t  5  0
5
 0 t  (dot 0)
2
 0  3  2x  x2 

5
2

 3  x 1


25   3  x 1
2
3  2 x  x  4
3.
Đặt :
t  3 x 2  5 x  2, t 0

t  3x 2  6 x  4, t 0
 t 2 3x 2  6 x  4 3( x 2  2 x )  4

t2  4
 x  2x 
3
Khi đó :
t2  4
 1  t  2 
3
2
 t  3t  10  0  0 t  2(t 0)
2

 0  3x 2  6 x  4  2
 3 x 2  6 x  4  4( do3 x 2  6 x  4  0)
2

 3x  6 x  0   2  x  0
2.
Đặt :
t  3  2 x  x 2 , t 0
 t 2 3  2 x  x 2
2

 2 x  x 3  t
Khi đó :

2

 3x 2  5 x t 2  2
Ta được :
t 2  5  t 1



t 2  5 t  1  t 2  5  t  1

 2t 4  t 2
 0  3x 2  5 x  2 2
3 x 2  5 x  2 0
 2
3 x  5 x  2 4
2

 x  1  x  3


 2  x 1

3
Bài 2:
1.

 1 





2

x  1 1 

  2  x  1
2
1

x 
3
 3





x 1 1

Đk : x 1 :


x  1 1 

x 1 1 

3
2

Đặt : t  x  1, t 0
Khi đó :

Bài 2:

2



2 2
2 2
u 
0  x 
2
2
 
 


2 2
2 2
u 
 x

2

2

3 2 2
0  x 
2


3 2 2
x


2

2



3
2


3
 t  1  t  1  (2)
2
)t 1:
3
3
(2)  2t   t 
2
4
 x  1 1(dot 1)  x 2
)0 t  1:
3
(2)  2 
2
 x 1
0  x  1 1  
 x 2
Vậy :
Kết luận : x 1
2.Đk : x > 0

1 
1

 2  5  x 
  2 x  2 x  4(3)
2 x

Đặt :
1
1
t x
2 x .
 2, t  2
2 x
2 x
1
 x
t 2  1
4x
Khi đó :
 3  5t  2  t 2  1  4

3.
Đk: x   1  x  0 :
x 1
x
1
t
,t  0 
 2

x
x 1 t
Đặt:
Ta được :
1
 2t  3  2t 3  3t 2  1  0
t2
  t  1  2t 2  t  1  0
1
 0  t  ( dot  0)
2
x 1 1
4
 0
    x1
x
2
3

Bài 3:
x1
x2  1  0  
 x 1
Đk:
+) Xét x < -1 :bpt VN
+) x > 1 :

 1 

x2 

t

1

t

 2t  5t  2  0 
2

t  2

 2  2x  4 x 1  0

Đặt : u  x , u  0
Ta được : 2u2 – 4u + 1> 0



1225
144

x2
x2  1

,t  0
1225
0
144

25
( dot  0)
12
x2
25

 144 x 4  625 x 2  625
x 2  1 12

 t


2 x

2

2

(2)  t 2  2t 

Do đk:Ta có
1

x2

x 1
x
x
1225
 2

 2.

 0(2)
2
x 1
x  1 144
4

2

x

x2
 2.
x 1
2

 144 x 4  625 x 2  625  0
25
5


2
 0  x  16
1  x  4
 
 
(dox  1)
 x 2  25
x5


3
9


Đặt :