Boi duong HSG Toan 7 Phan dai so

NỘI DUNG ĐẠI SỐ
Ngày soạn:

Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ HỮU TỈ

A. CÁC PHÉP TỐN VỀ SỐ HỮU TỈ
1. Lí thuyết
- Các phép tính
a b a b
 
m
+ Phép cộng, trừ: m m
a c ac
. 
+ Phép nhân: b d bd
a c a d ad a
a
c ab
:  . 
:c  a : 
cb
b c
+ Phép chia: b d b c bc ; b

- Một số tính chất của dãy số
1
k
k
1
1

1
1
 
 
 .
n n  k k n(n  k )
+ n(n  k ) n n  k
1
1
n(n  1)(n  2)  (n  1) n(n  1)
3
+ n(n + 1) = 3
1
1
n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  1) n(n  1)(n  2)
4
+ n(n + 1)(n+2) = 4

2. Bài tập
* Dạng 1: Tính tốn thơng thường
Bài 1. Tính
a)

1
1
1
1


 .... 

99.100
A= 1.2 2.3 3.4

b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100
15

20

 1  1 
  . 
c) C =  2   4 
3 4  7 4 7  7
  : 
 :

d) D =  4 11  11  11 11  11

3 3

11 12  1,5  1  0, 75
1 5 5
2,5  1  1, 25
 0,35  

2 11 12
e) A =
0,375  0,3 

1 1 1 1
    

Bài 2. Thực hiện phép tính: (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) :  3 4 5 6  ;

* Dạng 2. Tính biểu thức theo dãy số quy luật
Bài 1. Tính giá trị biểu thức
a) A 

32 32
32
32
32


 ... 

2.5 5.8 8.11
2012.2015 2015.2018

1
1
1
1


 .... 
99.100 .
b) A = 1.2 2.3 3.4


1
1

1
1
(1  2)  (1  2  3)  (1  2  3  4)  ....  (1  2  3  ...  20)
3
4
20
c) B = 1+ 2

d) D = (-5)0 + (-5)2+ (-5)2 + ... + (-5)2017
1  
1  
1


1
 . 1 
 ...  1 

e)  1  2   1  2  3   1  2  3  ...  2006 
1
1
1

 .... 
97.99
Bài 2. A = 3.5 5.7

2) B =



1 1
1
1
1
 2  3  .....  50  51
3 3
3
3
3

1
1
1
1
1
 1).( 2  1).( 2  1)...(
 1)

2
2
3
4
100
Bài 3. Cho A = 2
. Hãy so sánh A với 2
(

* Một số dạng toán về hữu tỉ
14  x

; x  Z
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4  x
. Khi đó x nhận giá trị

nguyên nào?

x 1

Bài 2 : Cho biểu thức A =

x  1.

16
25
a) Tính giá trị của A tại x = 9 và x = 9 .

b) Tìm giá trị của x để A =5.
B. LŨY THỪA
1.Lí thuyết
1.1. Định nghĩa
- xn = x.x ....x (n thừa số, x  Q, n  N, n > 0 )
- Quy ước:
+ x0 = 1, với x 0
+ x1 = x, với x  Q
- Lưu ý:
n

an
a
a

n
x


 (a, b  Z , b 0)
 
bn
b
+ Với x b
thì
+ x2n 0 với x  Q ; x2n+ 1 luôn cùng dấu với x
+ (-x)2n = x 2n và (-x)2n+ 1 = - x 2n+ 1 với x  Q ;

1.2. Các phép toán về lũy thừa
a) Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số
+ xm.xn = xm + n (x  Q, m, n  N)


+ xm:xn = xm - n (x  Q*, m, n  N, m n )
b) Lũy thừa của lũy thừa
+ (xm)n = xm n (x  Q, m, n  N)
c) Lũy thừa của một tích
+ Nhân hai lũy thừa cùng số mũ: xm.ym = (xy)m (x, y  Q, m  N)
+ Lũy thừa của một tích: (xy)m = xm.ym (x, y  Q, m  N)
d) Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Với x  Q, x 0 , n  N*)
x n 

+

1
xn

a
a
x  n  
 ( a, b  Z , b 0)
b
+x b
thì

n

b
 
 a

n

e) Một số tính chất khác
+ xm = x n  m = n
+ xm = ym  x = y khi m = 2k+1 (k  Z)
+ xm = ym  x = y khi m = 2k (k  Z)
2. Bài tập
2.1. Dạng 1: Tìm x, biết
Bài 1. Tìm x, biết
x  7
a) 

x 1



 x  7

b) (x+ 2) 2 = 81.

x 11

0

c) 5 x + 5 x+ 2 = 650
(x  1) 2018  (2 x  1) 2018  x  2 y  z

2017

d) Tìm x, y, z biết:
2.2. Dạng 2: So sánh
Bài 2. So sánh
a) 12 8 và 8 12

0

b) (-5) 39 và (-2) 91

102006  1
;
2007
c) Hãy so sánh A và B, biết A= 10  1

102007  1
B = 2008
10  1 .

2.3. Dạng 3: Thực hiện phép tính
Bài 1. Tính giá trị biểu thức
a)

A 27.(

3 5 2 4
2 1
) .(  ) : (
)
2
5
125

a)

B

85 ( 5)8  ( 2)5 .109
21657  208

c) Biết rằng:12 + 22 + 33 +...+ 102= 385. Tính tổng : S = 22+ 42+...+202
C. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
1. Lí thuyết.
- Gía trị tuyệt đối của a là khoảng cách từ điểm a đến 0 trên trục số, kí hiệu
a khi a 0

a 
a 0
 a khi a < 0
Ta có:
và

-Tính chất:
+

A  B  A B
A  B  A B

. Dấu “ = ” xảy ra khi A= B.

+
. Dấu “ = ” xảy ra khi A= B
- Cách tìm GTLN, GTNN:

a


A  C C

+

C  A C

+
nên GTLN của
- Lưu ý:

+

A  C C

nên GTNN của

C  A C

khi A= 0
khi A= 0

1 1

a > b > 0 thì a b

 A C
 A C  0  
 A  C
 A  C  0   C  A C

2. Bài tập
2.1. Dạng 1. Tìm x biết.
Bài 1. Tìm x, biết.
3x - 2 4

a)
Giải:

a) Ta có:

(1)

b)

3x - 2 4

5x - 2  7  x

(2)

c) 2

x - 1  3x 7

d)

(1) ( Các phần c, d làm tương tự, lưu ý chuyển vế)

3
3
 x  (1)  3x - 2 4  x 3 
2
2 (thỏa mãn)
+ Nếu 3x - 2  0
3
2 3
 x  (1)   (3x - 2) 4  x  
2
3 2 (thỏa mãn)

+ Nếu 3x - 2 < 0
2
Vậy x = 3 hoặc x = 3

b)

5x - 2  7  x

(2)
 x

+ Ta có: 5x - 2 > 0
+ Ta có: 7- x > 0  x  7
+ Trường hợp 1:

x

2
5

2
5

(2)    5x - 2  7  x   5x  x 7  4   4x 3  x 

3 2

4 5 (thỏa mãn)

2

 x 7
+ Trường hợp 2: 5

(2)  5x - 2 7  x  5x  x 7  2  6x 9  x 

3
2 (thỏa mãn)

+ Trường hợp 3: x  7
(2)  5x - 2  (7  x)  5x - x  7  2  4x  5  x 

Bài 2. Tìm x, biết.
a)
b)

3x + 2 5

(1)

d)

x

5x - 2  x  3  7  x

1
4
2
    3, 2  
3

5
5

(2)

x - 1  3x 7

c) 2
2.2. Dạng 2. Rút gọn biểu thức
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau.

5
4 < 7(loại)

2x + 3 +2x  4


M  3x  x

P 4( x  3)  3 x  3

a)
(1)
b)
(2)
2.3. Dạng 3. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức.

c) 2

Q 2 x +1  3 x  1

Bài 1. Tìm GTNN
a)

A 3 2 x  1  1

D

b)

C

P  x  1  2 6,9  3 y  3

c)

1
3 x  2

(Với C > 0)

7
x5

c)
(Với x  Z)
Bài 2. Tìm GTLN
E 8  6 x  7

F

1
2 x  1 3

a)
b)
Bài 3 Tìm số nguyên x thoả mãn:
a)5x-3 < 2

b)3x+1 >4

c)4- x +2x =3

A  x  2015  x  2017

Bài 4. Cho biểu thức
Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Ngày soạn:
Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ 2. TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
1.Lí thuyết
1.1. Định nghĩa
a c
  ad bc
Tỉ lệ thức là đằng thức của hai tỉ số b d

1.2. Tính chất
a c
a b b d b a

  ad bc   ;  ; 
b d
c d a c d c

1.3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a c ma  nc
 
k
b d mb  nd
a c e ma  nc  pe
   
k
b d f mb  nd  pf
x y z
x : y : z a : b : c   
a b c
Lưu ý:


2. Bài tập
Bài 1. Tìm hai số x, y biết
x 3
 y  8

 x 2  y 2   44
5
b) 

x 7
 

y 4
4 x  5 y 72


a)
Bài 2. Tìm các số x, y, z biết

a)

c)

y y z
 x

  ;
 3 7  2 5
2 x  4 y  5 z 146

b)

  2( x  3) y  4 3(z  5)



5
4
2

 x  y  z  1

Bài 3

a) Tìm các số x, y, z biết:

x y y z
  ; 
2 3 4 5
 xyz  1920

x y y z
  ; 
2 3 5 7

b) Tìm các số x, y, z biết:  x  y  z 92

c) Tìm x, y, z biết: 3(x - 1) = 2(y - 2), 4(y - 2) = 3(z - 3) và 2x + 3y - z = 50.
d) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 5x = 7z và 3x - 7y + 5z = 30
5z  6 y 6 x  4z 4 y  5x


4
5
6
e) Tìm x, y, z, biết
và 3x- 2y + 5z = 96

Ngày soạn:
Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ 3. CÁC DẠNG TOÁN TỈ LỆ THUẬN, NGHỊCH

1. Lý thuyết
1.1. Đại lượng tỉ lệ thuận.
y
y
 x  ;k 
k
x
+ Đại lượng tỉ lệ thuận y = ax
y1 y2
y
 ....  k
x
+ Tính chất: x1 x2

1.2. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
a
a
y   x   a  xy
x
y
+ Đại lượng tỉ lệ nghịch
y1 x2
 ; x1 y1 x2 y2 .... xy a
y
+ Tính chất: 2 x1

2. Bài tập
Bài 1: Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở được 912 m3 đất. Trung bình
mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đựợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ
với 1 và 3, khối 8 và tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối

Lời giải:
Gọi khối lượng đất chở được của 3 khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c (m3) (a, b, c > 0)
 a + b + c = 912 (m3).
a
b
c
 Số học sinh của 3 khối là: 1,2 ; 1,4 ; 1,6
b
a
b
c


Theo đề ra ta có: 3.1, 4 1, 2 và 4.1,4 5.1,6
a
b
c


20
 4.1,2 12.1,4 15.1,6

Vậy a = 96 m3; b = 336 m3; c = 480 m3.
Nên số HS các khối 7, 8, 9 lần lượt là: 96: 1,2 = 80 (HS); 336: 1,4 =240 (HS)
480: 1,6 =300 (HS)


Bài 2: Ba máy xúc cùng tham gia làm việc. Biết ba máy có số ngày làm việc tỉ lệ với 3; 4;
5, số giờ làm việc tỉ lệ với 6; 7; 8, năng suất làm việc 1 giờ của mỗi máy tỉ lệ nghịch với 5; 4; 3
và cả ba máy múc được 359 m3 đất. Tính số mét khối đất mỗi mãy múc được?

Lời giải:
Gọi khối lượng đất xúc được của máy lần lượt là a, b, c (m3) (a, b, c > 0)
 a + b + c = 539 (m3).
a b c
Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ với 3; 4; 5, ta có: 3 ; 4 ; 5
a
a b
b
c
a
:6 
:7 
:8 
18 ; 4
28 ; 5
40
Số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6; 7; 8, ta có 3

Vì năng suất làm việc 1 giờ của mỗi máy tỉ lệ nghịch với 5; 4; 3
5a
b
c
a b
c
4. 3. 
 
18 7 40
18
28
40

5
3
a b
c
a b c
539
 


15
18 7 40 18
40 539
7
3
5
3
15
Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 5
18
40
 a=
.15 = 54; b = 7.15 = 105; c =
.15 200
5
3

Nên số lượng đất xúc được cuả ba máy lần lượt là: 54m3; 105m3; 200m3
Bài 3. Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút.
1
5

Sau khi đi được
quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa.
Tính quãng đường AB và người đó khởi hành lúc mấy giờ?
Bài 4. Có 130 học sinh thuộc 3 lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng cây.
Mỗi học sinh của lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây. Hỏi mỗi lớp có bao
nhiêu học sinh tham gia trồng cây ? Biết số cây trồng được của 3 lớp bằng nhau.
Ngày soạn:

Ngày giảng:

CHUYÊN ĐỀ 5. CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Kiến thức về hàm số:
- Hàm số y = ax
+ Lập bảng giá trị
+ Xác định đồ thị hàm số đi qua hai điểm O (0;0) và A (1; a)
+ Ta có A (x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax khi: y0 = ax0
Bài 1. Cho hàm số y = (m -2) x + 3.
a) Tìm m biết đồ thị hàm số trên đi qua điểm A (1; 3)
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở phần a)
1
Bài 2. Cho hàm số y = (2m - 2 ) x

a) Xác định m biết điểm A(-2; 5) thuộc đồ thị hàm số trên
b) Viết công thức hàm số trên
c) Trong các điểm sau điểm nào thẳng hàng với điểm A


1 5
4

B(- 2 ; 4 ), C(2; - 3 ), D(-4; 10)

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua hai điểm A (a- 1; a2 + a)
a) Tìm hệ số a
b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn f(2x - 1) = f(1- 2x)
CHUYÊN ĐỀ 6. CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức.
Bài 2. Cho đa thức f(x)= – 15x3 + 5x4- 4x2 + 8x2 - 9x3- x4 + 15 - 7x3
a) Thu gọn đa thức
b) Tính f(-1); f(1)
Bài 2. Cho đa thức f(x)= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x2017
Tính f(-3); f(3)
Dạng 2. Cộng, trừ đa thức
Bài 1. Tìm đa thức A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN
Bài 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x2 – 8x +5 . Tìm giá trị lớn nhất của P?