Tich vo huong cua 2 vecter

Tiết 16-17: tích vô hớng của hai vectơ
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Hiểu ĐN góc giữa hai vectơ .
- Biết ĐN tích vô hớng của hai véctơ và các tính chất của nó.
- Biết đợc biểu thức tọa độ của tích vô hớng.
- Làm đợc một số ví dụ áp dụng đơn giản.
2. Kĩ năng:
- Xác định góc giữa hai vectơ .
- Tính đợc tích vô hớng của hai vectơ bằng 2 cách: ĐN và biểu thức tọa độ.
- Tính đợc độ dài của một vectơ khi biết tọa độ của nó.
3. T duy: Thực hiện thành thạo các bớc tính toán giá trị của một biểu thức tích vô hớng , chứng
minh một đẳng thức về tích vô hớng .
4. Thái độ: Cẩn thận, chính xác, biết ứng dụng của tích vô hớng.
B. Chuẩn bị:
GV: Hệ thống câu hỏi và bài tập.
HS: Các phép toán thông thờng. Các kiến thức về tọa độ vectơ và của điểm.
C. Phơng pháp:
Cơ bản dùng phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các hoạt động.
D. Tiến trình bài dạy:
*) ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
*) Bài mới:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
1. Góc giữa hai véctơ :
Hoạt động 1: Tìm hiểu k/n góc giữa hai véctơ .
*) ĐN: (SGK-Tr44):
r
b
r
a

CH:

r r

( a, b) ?
- Nhận xét về độ lớn của
r r
a,
( b) khi 2 véctơ cùng híng, ngỵc
- NhËn xÐt vỊ
híng?
r r
a, b
- Cho
= a . H·y tÝnh c¸c gãc:
r r
r r
r r
- a, - b - a, b a, - b
,
,
?

(

( )
) (

) (

)

r
a
r
b

r r
r
a,
b
đều
khác
0
- NÕu
:
r r
r r
- NÕu a = 0 hc b = 0 :
r r
a, b
- KÝ hiÖu:
r r
r r
a, b
- NÕu
=900: a ^ b .
r r
a, b

- NhËn xÐt
khi 2 vÐct¬ cïng híng, ngỵc
híng?

( )
( )
( )

Cđng cè: HD thùc hiƯn H1(SGK-Tr 44)

- Thực hiện H1: dựa vào ĐN và các nhận xét
trên?
2. Định nghĩa tích vô hớng của hai véctơ :
Hoạt động 2: Tìm hiểu ĐN tích vô hớng của hai véctơ :
r
r
- ĐN: Tích vô hớng của hai véctơ a và b là một
rr
số, kí hiệu là a.b đợc xác định bởi:
- HÃy phát biểu bằng lời ĐN trên?
- HÃy tìm công thức bình phơng vô hớng theo
ĐN?

rr r r
r r
a.b = a . b cos a, b
r
a
-§N: TÝch vô hớng của với chính nó đợc gọi
r

r2
là bình phơng v« híng cđa a , kÝ hiƯu a
Nh vËy :
r2
r r
r2
a = a . a .cos 0 0 = a

( )


Hoạt động 3: Củng cố ĐN.
HD thực hiện Ví dụ 1(SGK-Tr45)
Chú ý sử dụng các t/c và các điều đà biết về tam
giác đều.

- CH: So sánh với t/c của c¸c sè?

- Thùc hiƯn vÝ dơ 1(SGK-Tr 45): Cho tam giác
ABC đều có cạnh a và trọng tâm G. Tính các
tích vô hớng sau đây:
uuu
r uuu
r uuu
r uur uuu
r uuu
r
AB.AC ; AC.CB ; AG.AB
uuu
r uuu

r uuu
r uuu
r uuu
r uur
GB.GC ; BG.GA ; GA.BC .

3- Tính chất của tích vô hớng:
-Định lÝ: (SGK-Tr47)
- Dïng t/c tÝch v« híng ta cã thĨ chứng minh đợc các hệ thức sau:
r r 2 r2 r 2
rr
a + b = a + b + 2a.b
r r 2 r2 r 2
rr
a - b = a + b - 2a.b
r r r r
r2 r 2
a +b a - b = a - b

(

Cđng cè: Thùc hiƯn H2(SGK-T47)
r r
a,
Trả lời câu hỏi: Với hai véctơ b bất kì, ®¼ng
r r 2 r2 r 2
a.b = a .b
thøc
cã ®óng không? Vì sao?

( )

(

(

)

)
)(

)

Tiết 17
r2
r2
a =a

a) HD: Sử dụng t/c cđa tÝch v« híng:
.
H·y chøng minh:
uuu
r uuu
r
2
2
2
2
2CA.BD
AB +CD -BC -AD =

.
b) HD: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo vuông
uuu
r uuu
r
Û
AC.BD
=0
gãc
HD HS ghi nhí ý nghÜa b»ng lêi.
-HD: XÐt 2 trờng hợp:
0
Ã
+) AOB < 90 :

4- Một số áp dụng của tích vô hớng:
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD.
a) Chøng minh r»ng:
uuu
r uuu
r
AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 + 2CA.BD
b) Chøng minh mét ®iỊu kiện cần và đủ để tứ
giác có hai đờng chéo vuông góc là tỏng bình
phơng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Bài toán 2: (HS tự tìm hiểu)
Bài toán 3: ( Công thức hình chiếu)
uuu
r uuu

r
Cho hai vectơ OA,OB . Gọi B' là hình chiếu của
B trên đờng thửng OA. Chøng minh r»ng:
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
OA.OB = OA.OB ' (C«ng thức hình chiếu)

0
Ã
+) AOB > 90 :

Bài toán 4: ( Phơng tích của một điểm đối với
một đờng tròn):
Cho một đờng tròn (O; R) và điểm M cố định.
Một đờng thẳng D thay đổi luôn đi qua M, cắt
đờng tròn ®ã t¹i hai ®iĨm A, B. Chøng minh
r»ng:
uuur uuur
MA.MB = MO2 - R 2
HD: VÏ ®êng kÝnh BC. Sư dơng công thức hình
chiếu để c/m công thức trên.


- Củng cố: Xét xem khi nào thì
M/(O) >0, M/(O)=0 ?

P

P M/(O) <0,

P

Chú ý:

uuur uuur
2
2
+) Giá trị không đổi MA.MB = MO - R gọi
là phơng tích của điểm M đối với đờng tròn (O)
và kí hiệu M/(O).
+) Khi M nằm ngoài đờng tròn (O), MT là tiếp
tuyến của (O) ( T là tiếp điểm) thì:
uuur 2
2
M/(O) = MT = MT .
5. Biểu thức tọa độ của tích vô hớng:
r
r
a
=
(x;
y)
b
Định lÝ: Cho hai vect¬
; = (x '; y ') .
Khi ®ã:
rr
a.b

= xx '+ yy '
*
r
a = x2 + y2
*
r r
xx '+ yy '
cos(a, b) =
2
x + y 2 x ' 2 + y '2
*
r r r r
a
( ¹ 0;b ¹ 0 )
r r
* a ^ b Û xx '+ yy ' = 0
Hệ quả: Trong mặt phảng tọa độ, khoảng cách
A ( x A ; y A ) và B ( x B ;y B )
giữa hai điểm
là:

P

P

_ HD chứng minh bằng đ/n tích vô hớng.

- Gợi ý: Điểm P(p;0).
- ¸p dơng c«ng thøc tÝnh c«sin cđa gãc.

AB=

uuu
r
AB =

2
2
( x B - x A ) +( y B - y A )

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho 2 điểm
M(-2;2) và N(4;1).
a) Tìm trên trục Ox điểm P cách đều hai điểm
M, N?
Ã
b) Tính côsin góc MON .
-Củng cố, HD công việc về nhà.
- Làm bài tập 4-14(SGK-Tr51,52).

Tiết 18: bài tập
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Củng cố kiến thức lí thuyết trong bài.
2. Kĩ năng:
- Xác định góc giữa hai vectơ .
- C/m các đẳng thức vectơ có tích vô hớng.
- Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hớng để giải một số bài tập hình học.
3. T duy:
- Bồi dỡng và phát triển t duy lôgic.
4. Thái độ:
- Rèn luyện tính chính xác, cẩn thận.

B. ChuÈn bÞ:


GV: Hệ thống câu hỏi và bài tập.
HS: Chuẩn bị bài tập ở nhà.
C. Phơng pháp:
Cơ bản dùng phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các hoạt động.
D. Tiến trình bài dạy:
*) ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
*) Bài mới:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hoạt động 1: Xác định góc giữa hai véctơ .
Bài 5: Cho tam giác ABC. Tổng
uuu
r uur
uur uuu
r
uuu
r uuu
r
AB, BC + BC, CA + CA, AB
cã thÓ nhËn giá trị nào
uuu
r uur
uur uuu
r
uuu
r uuu
r

trong các giá trị sau: 900, 1800, 2700, 3600.
AB, BC + BC,CA + CA, AB
HD:
= (1800 - B)+(1800 - C)+(1800 - A)
=5400 - 1800 =3600.
Bµi 6. Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300. Tính
giá trị của các biểu thức sau:
uuu
r uur
AC, CB
uuu
r uur
uuu
r uur
cos AB, BC + sin BA, BC + tan
HD: Sư dơng t/c:
r r
r r
2
a)
(- a, - b) = (a, b)
uuu
r uur
uur uuu
r
uuu
r uuu
r
r r
r r

r r
sin AB, BC + cos BC, BA + cos CA, BA
0
(- a, b) = (a, - b) = 180 - (a, b)
b)
.
1+ 3
2+ 3
2 .
2
ĐS: a)
b)
Hoạt động 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ có chứa tích vô hớng.
Bài 7: Cho 4 ®iĨm bÊt l× A, B, C, D. Chøng minh r»ng:
uuu
r uur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
DA.BC
+
DB.CA
+
DC.AB
=0
- Gọi 1 HS lên bảng.
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: " Ba đờng cao
- Đa ra lời giải ngắn gọn:
của tam giác ABC đồng quy".

Sử dụng phân tích:
uur uuu
r uuu
r
DC
DB
Giải:
uBC
uu
r =u
uu
r- u
uu
r
CA
DC
- HƯ qu¶:
uuu
r = DA
uuu
r- u
uu
r
uuu
r uur
AB = DB - DA
ỡù DA.BC = 0
ù
rồi biến đôi vế trái.
ớ uuu

r uuu
r
uuu
r uuu
r
ùù DB.CA = 0
ù
ợ
DC.AB
=0
Nếu
thì
Nói cách khác :
ùỡù AD ^ BC
ớ
ù
Nếu ùợ BD ^ AC thì CD ^ AB .
Điều đó chứng tỏ nếu hai đờng cao kẻ từ A và B cắt nhau
tại D thì CD cũng là đờng cao của tam giác đó. Hay nói
cách khác, ba đờng cao cuat tam giác đồng quy tại một
điểm.
Bài 8: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác
ABC vuông tại A là:
uuu
r uur
HD: Chứng minh:
uuu
r uur
u
u

u
r
u
u
u
r
BA.BC
= AB 2
2
BA.BC = BA + BA.AC .
- Chú ý chỉnh sửa cách trình bày bài tập
chứng minh điều kiện cần và đủ.
Bài 9: Cho tam giác ABC với 3 đờng trung tuyến AD, BE,
CF. Chøng minh r»ng:
uur uuu
r uuu
r uur uuu
r uur
BC.AD + CA.BE + AB.CF = 0
HD: áp dụng t/c trung điểm của đoạn
thẳng:

(

) (

) (

)

(

) (

(
(

) (

)
)

(
(

)

)
)

(

)

(

)

uuu
r 1 uuu

r uuu
r
AD = AB + AC
2
..
rồi biến đổi vế trái.

(

)
Bài 10: Cho hai điểm M, N nằm trên đờng tròn đờng kính


AM Ç BN = { I}
.
uuur uur uuu
r uur
a) Chøng minh: AM.AI = AB.AI
uuu
r uu
r uuu
r uu
r
BN.BI
=
BA.BI
uuur uur uuu
r uu
r
b) TÝnh AM.AI + BN.BI theo R.

AB=2R. Gäi
- Gäi 1 HS lên bảng trình bày.
- HD:
a) áp dụng trực tiếp công thức hình
chiếu.
b) áp dụng kết quả câu a.

Bài 12: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB=2a và một số k2.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA2 - MB2 = k2.
Giải:
Gọi O là trung điểm của đoạn AB. Ta có:
uuur uuur uuur uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
2
2 = MA + MB MA - MB
MA 2 - MB 2 =uuMA
ur uuu
r- MBuuur uuu
r
2MO.BA = 4OM.OB
Gäi H là hình chiếu của M trên đờng thẳng OB, ta cã:

uuur uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
OM.OB = OH.OB . Suy ra MA2 - MB2 = 4OH.OB
uuur uuu
r
2
2
2
Û
4OH.OB
= k2
Do ®ã: MA - MB = k

(

HD: Gọi H là hình chiếu của M trên
OB. HÃy chứng minh H cố định?

)(

)

4OH.OB = k 2
k2
OH =

4OB
Từ đó suy ra H là điểm cố định trên đờng thẳng AB,
không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Vậy tập hợp các điểm M là đờng thẳng vuông góc với AB
tại H.
Hoạt động 3: Các bài tập áp dụng các biểu thức tọa độ của tích vô hớng.
Bài 13: Trong mptđ cho
r 1r r
r
r r
u = i - 5j ; v = ki - 4j
HD: Tõ gt suy ra tọa độ các vectơ và áp
2
dụng các biểu thức tọa độ của tích vô hr r
ớng.
a) Tìm k để u ^ v
r
r
u=v
b) Tìm k để
Bài 14: Trong mptđ cho tam giác ABC có các đỉnh
A ( - 4;1) ;

B ( 2;4) ;
HD: Sau khi tính độ dài 3 cạnh hÃy xét
xem tam giác ABC có gì đặc biệt?
- HÃy áp dụng CT:
1
S = AH.BC
2

b) Tìm trực tâm H(xH; yH):
H là trực tâm tam giác ABC
uuur uur
ỡùù AH ^ BC ïìï AH.BC = 0
Û í
Û í uuu
r uuu
r
ïỵï BH ^ AC ùù BH.AC = 0
ùợ
c) Điểm I(x;y) là tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC

C ( 2; - 2) .
a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kiểm tra tính thẳng hàng
của ba điểm G, H, I.


ìï IA = IB
Û ïí
Û
ïïỵ IA = IC

ìï IA 2 = IB 2
ï
í 2
ïï IA = IC 2
ỵ

Cđng cè, HD công việc về nhà:
- Hoàn thiện các bài tập SGK.
- Ôn tập hệ thức lợng trong tam giác
vuông.