Dap an de thi HSG mon Toan Quynh Luu Nam hoc 20182019

Đáp án (Đề Thi HSG Mơn Tốn Quỳnh Lưu 2018-2019)
Câu 1:
a)

8

b)

3  2 2 2 2 

x

x1

( 2  1)2 2 2  ( 2  1)  2  1

3
2
x ( x 1)  3( x  1)  2 x  x  3 x  3  2



x 1 x  1
( x 1)( x  1)
( x  1)( x  1)

x  2 x 1
( x  1) 2
x1




( x  1)( x  1) ( x 1)( x  1)
x 1
Câu 2:
a) ĐK: n 25
2
Đặt A  5  25  n  5  25  n  A 10  2 n
Để A nguyên thì n là một số tự nhiên, do đó n là số chính phương

n   0;1; 4;9;16; 25
Vì n là số chính phương và n 25 nên
Lần lượt thử các giá trị của n ta được n=9
b) ĐKXĐ: n  21

(x  x 2  9)( x  21  x) 9 


x  21  x  x 2  9  x

x  21  x 

9
2
x  x 2  9 ( Vì x  x  9  0 )

( Nhân biểu thức liên hợp)

x  21  x 2  9  x  21 x 2  9  x 2  x  12 0
 x 4 (TM)

 (x  4)(x  3) 0  
 x  3 (TM)


ab
10a  b 9a  a  b
9a



1
a b
a b
a b
a b
Câu 3:
a
1 a b
b
Q


1 
a b
Q
a
a
Đặt
b
 1 1

'' ''
a,
b

N;0

b

9;
1

a

1
Vì
nên a
, dấu  xảy ra  b 0, a  ĐK
1
 1  Q 1  P 9Q  1 10
Q
b
 1 10
'' ''
Vì a, b  N;0 b 9; 1 a 1 nên a
, dấu  xảy ra  b 9, a 1
1
1
19
 10  Q   P 9Q  1 
Q

10
10
19
P
10 tại b 9, a 1 ; max P 10 tại b 0, a  ĐK
Vậy min
P

Câu 4:
a) ACO : BOD (g.g)

0 ·
·
·
·
·
vì CAO DBO 90 , AOC BDO (cùng phụ BOD )
AC AO

 AC.BD AO.BO R.R R 2
BO
BD
b) Từ câu a suy ra
(Khơng đổi)
AC

BD

AC


BD

ACDB
Do đó
nhỏ nhất
(hệ quả Cơsi)
hình chữ nhật
0
0
·
·
Mà AC BD  OC OD  OCD 45  COA 45 (so le trong)
AC AO R
Vậy C  Ax sao cho AC=R thì AC+BD nhỏ nhất.
c) Kéo dài CO cắt DB tại E, c/m được ACO BEO(g.c.g)  CO OE

y

x

D
H

C

A

O

B

E


Do đó DO là đường cao cũng là trung tuyến CDE nên CDE cân tại D
·
·
·
·
 DCO
DEO
 DCO
ACO
Kẻ OH  CD , c/m được ACO HCO (ch  gn)  OH OA R
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) cố định.