Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯƠNG VĂN BẰNG

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯƠNG VĂN BẰNG

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ
cấp Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS. Phạm Văn Quốc

Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
5
1.1 Phương pháp quy nạp toán học....................................5
1.2 Dãy số........................................................................... 5
1.2.1 Định nghĩa..........................................................5
1.2.2 Các cách cho một dãy số....................................5
1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn.........6
1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân...........................................6
1.3.1 Cấp số cộng........................................................6
1.3.2 Cấp số nhân.......................................................7
1.4 Giới hạn của dãy số...................................................... 7
1.4.1 Định nghĩa..........................................................7
1.4.2 Định lý................................................................8
1.4.3 Một số giới hạn cơ bản........................................8
1.5 Định lý Lagrange.........................................................8
2 Một số phương pháp tìm CTTQ của dãy số
9
2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN....................................9
2.2 Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác................23
3 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số
31
3.1 Tính giới hạn thơng qua CTTQ.................................... 31
3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số .
38
3.3 Tính giới hạn bằng phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp”

.
46
3.4 Tính giới hạn của dãy số thơng qua giới hạn vô cực. .50
3.5 Bài tập tương tự.......................................................... 58
Kết luận

61

1


Tài liệu tham khảo

62

2


Mở đầu
Dãy số đóng một vai trị cực kì quan trọng trong toán học
cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG
tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic tốn học quốc tế), hay
những kì thi giải tốn của nhiều tạp chí tốn học, các bài tốn
về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức
độ khó.
Trong cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
, chuyên đề dãy số là một trong những chuyên đề hay, được
nhiều thầy cô nghiên cứu và triển khai giảng dạy.
Trong nội dung của luận văn , tác giả chỉ tập trung nghiên
cứu hai vấn đề chính liên quan đến dãy số, đó là:

+ Cơng thức tổng quát của dãy số
+ Giới hạn của dãy số
Trong mỗi nội dung , thông qua các bài tập từ đó hình thành
các phương pháp tìm cơng thức tổng quát, tính giới hạn của
một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài
tốn
Do q trình nghiên cứu, biên tập cịn nhiều hạn chế nên
nội dung cũng như cách trình bày trong luận văn chắc chắn
cịn nhiều thiếu xót, rất mong các thầy cơ và bạn đọc xem
xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hồn thiện.
Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư:
vanbang6580 @ymail.com
Nội dung chính của khóa luận bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở
⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số
⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã
trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các
thầy cơ giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học
Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành
tới gia đình, bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ

em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt
nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm
2015.
Học viên
Trương Văn Bằng


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1 Phương pháp quy nạp toán học
Trong chương trình phổ thơng, để chứng minh một mệnh đề
P(n) đúng với mọi ≥
số nguyên n n0, với n0 là số nguyên cho trước
ta thực hiện hai bước cơ bản sau:
Bước 1. Kiểm tra P (n0) đúng.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề p(k) đúng với số nguyên bất kỳ n
= k “ n0(Gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh
đề đó cũng đúng với n = k+1.
1.2 Dãy số
1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số
nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là
dãy số). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1, u2, u3, ...un, ...
Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng
đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
Định nghĩa 1.2. Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; ...;

m}
với m ∈ N∗được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là
u1, u2, u3, ...um
trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
1.2.2 Các cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng cơng thức của số hạng tổng qt
3nn
Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) với un = (−1) .
n


b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, tức là
- Cho số hạng đầu hoặc một vài số hạng đầu.
- Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng
trước nó hoặc một vài số hạng đướng trước nó (gọi là hệ thức
truy hồi).
Ví dụ 1.2. Dãy Fibonacci là dãy số (un) được xác định như sau:
{u = u = 1
1

2

un = un−1 + un−2; n = 3, 4, 5, ...
1.2.3

Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

Định nghĩa 1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với

mọi
n∈
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với
N∗.
mọi
n∈
N∗.
Định nghĩa 1.4. Dãy số bị chặn.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M
sao cho
∗
un < M, n∀ N .
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số
m sao cho u∀n > m, n
N ∗.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn
trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m,M sao cho m <
un < M, ∀n ∈ N∗.
(SGK lớp 11- Nhà xuất bản GD -2007)
1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân
1.3.1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1.5. Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô
hạn , trong đó kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số
d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lí 1.1. Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và
cơng sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công
thức
un = u1 + (n − 1)d với n “ 2

Định lí 1.2. Cho một cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +
... + un. Khi đó ta có:


Sn =

n(u1 + un)
2


1.3.2 Cấp số nhân

Định nghĩa 1.6.
Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hay vơ hạn, trong
đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng
đứng ngay trước nó với một số khơng đổi q. Số q được gọi là
công bội của cấp số nhân.
Định lí 1.3. Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu là u1 và
cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công
thức
un = u1.qn−1 với n “ 2.
Định lí 1.4. Cho cấp số nhân (un) với công bội
̸̸ q
= 1. Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un. Khi đó ta có:
u (1 − qn)
Sn = 1
1−q
1.4 Giới hạn của dãy số
1.4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số L khi
→ n
+
nếu với mọi số dương ε cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn
tại một số tự nhiên no sao cho với mọi n > no thì |un − L| < ε. Ta
viết
lim un = L.

hay viết tắt
là

n→
∞

lim un = L.
Định nghĩa 1.8. Ta nói dãy số (un) tiến tới vơ cực→
khi n + nếu
với mọi số dương M cho trước (lớn bao nhiêu tùy ý), tồn tại
một số tự nhiên no sao cho với mọi n > no thì |un| > M. Ta viết
lim un = ∞.

n→
∞

hay viết tắt là un →
∞.
Nếu với mọi n > no , un > M
thì

un = +∞.

lim

n→∞

Nếu với mọi n > no , un < −M thì
lim un = −∞.

n→
∞


1.4.2 Định lí

Định lí 1.5. Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn. (Như
vậy nếu một dãy số khơng bị chặn thì khơng có giới hạn).
Định lí 1.6. Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm
và bị chặn dưới) thì dãy số đó có giới hạn.
Định lí 1.7. Cho ba dãy số (un) , (vn) , (wn).
Nếu ∀n ∈ N∗ ta có vn ™ un ™ wn và lim vn = lim wn = L thì lim un = L.
Định lí 1.8. Nếu hai dãy số (un) , (vn) đều có giới hạn thì ta có
lim (un ± vn) = lim un ± lim vn
lim (un.vn) = lim un. lim vn
lim un
un
lim ( ) =
( nếu lim nv 0)
vn
lim
√vn

√
lim un = lim un(un “ 0∀n ∈ N∗).
Định lí
1.9.
1
Nếu lim un = 0(un ̸= 0∀n ∈ N∗) thì lim = ∞.
u
1
n
Nếu lim un = ∞ thì lim = 0.
n
u
1.4.3 Một số giới hạn cơ bản

Nếu un = C ta có lim C = C
lim nk = +∞ nếu k > 0, lim nk = 0 nếu k
< 0 lim qn = 0 nếu |q| < 1
Đối với cấp số nhân có cơng bội q, |q| < 1 ta có
+ + + ... +
u1
+ ... =
S = u1 u2 u3 un
1−q
được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn.
1.5

Định lí Lagrange

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có
đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ (a; b) sao cho f (b) − f (a) = f′(c).(b − a).


Chương 2

Một số phương pháp tìm CTTQ
của dãy số
2.1

Phương pháp sử dụng CSC-CSN

Dạng 2.1. Xác định CTTQ của dãy số (un) cho bởi
{
công thức

(2.1)

u1
un+1 = aun + f (n), n = 1, 2, 3, ...
Trong đó f (n) là đa thức bậc k theo n.
Phương pháp:
+ Ta phân tích
f (n) = g(n + 1) − ag(n)
với g(n) cũng là đa thức theo n.
Khi đó un+1 − g(n + 1) = a (un − g(n)).
Đặt vn = (un − g(n)). Ta có vn+1 = avn, do đó (vn) là một cấp số
nhân cơng bội a, −
v1 = u1
g(1).
Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1v1 = an−1

−(u1
g(1)). Vậy ta có
un = an−1 (u1 − g(1)) + g(n).
+ Cách xác định g(n) .Ta thấy
Nếu a = 1 thì g(n +−1) g(n) là đa thức có bậc nhỏ hơn
bậc của g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của
g(n), mà f (n)có bậc k nên ta chọn g(n) có bậc k+1 và có hệ số
tự do bằng không. Trong hệ thức f (n) = g(n + 1) ag(n) cho n
nhận k giá trị khác−nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải hệ ta được
các hệ số của g(n).
Nếu a ̸̸
= 1, thì g(n + 1) g(n) là đa thức có bậc bằng bậc
của g(n). Ta chọn g(n) có bậc k, Trong hệ thức f (n) =
− g(n + 1)
ag(n) cho n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải
hệ ta được các hệ số của g(n).


Bài tập 2.1. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
{u = 2
1

un+1 = 2un + 3n + 1, n = 1, 2, 3, ...
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
Lời giải
Ta phân tích 3n + 1 = a(n{+ 1) + b − 2
(an +{b)
a = −3
−b = 4
Cho n = 1, n = 2 ta

−a − b = 7
b = −4
được
⇒
Ta có un+1 = 2un + 3n + 1 ⇔ un+1 + (3(n + 1) + 4) = 2 (un + (3n +
4))
Đặt vn = un + 3n + 4, ∀n, ta có
v1 = u1 + 3.1 + 4 = 9, vn+1 = 2vn, ∀n.
Do đó vn là một cấp số nhân có công bội bằng 2,
v1 = 9. Suy ra vn = 9.2n−1, ∀n .
Vậy un = 9.2n−1 − 3n − 4, ∀n.
Bài tập 2.2. Cho dãy số (un) xác định bởi cơng thức
{u1 = 2
.
un+1 = un + 2n + 1
Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy (un)
Lời giải
2

(

Ta phân tích 2n + 1{
=3a(a(n
+ ⇒b(n + 1)) − an2 +
+ b+=1) {
a=1
Cho
) n = 1, 2 ta được
3
bn .

b=0
5a + b = 5
−(n + 1)2 = un −n2 = ... = u1 −1 = 1 ⇒ un+1 = 1+(n +

Khi đó un+1
1)2
Vậy un = 1 + n2, ∀n.

Dạng 2.2. Tìm CTTQ của dãy số (un) cho bởi cơng thức
{u1
un = aun−1 + b.αn, n = 2, 3, 4,
...

+ Trường hợp
1:
a ̸= α ta phân tích αn = kαn − akαn−1 .
Cho n một giá trị ta tìm được k =α
)

(2.2)


Khi đó un −
kbαn

=a
a un−1 −
(
kb.αn−1

α−

Đặt vn = un − kbαn. Ta có vn+1 = avn, do đó (vn) là một cấp số nhân


cơng bội a, v1 = u1 − kbα.
Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1v1 = an−1(u1 − kbα)
un = an−1 (u1 − bkα) + bk.αn.
+ Trường hợp 2:
n
n
n−1
a
( = α , ta phân tích
) α = nα − α(n − 1)α
n
n−1
−
n −
n−1 −

n−1

Suy
ra u
1 −

− 1)αn + u1αn−1. = ... = α
bnα = α u ub(n
n = b(n 1)α

Bài tập 2.3. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
{u = 1
1
un = 3un−1 + 2n, n = 2, 3, 4, ...
Tìm cơng thức của số hạng tổng quát của dãy số (un) .
Lời giải
Ta phân tích 2n = a.2n − 3a.2n−1
Cho n = 2 ta được a = −2
Suy ra 2n = −(2.2n + 3.2.2n−1 nên ta có
un + 2.2n = un−1n +
) suy ra vn là cấp số nhân có cơng bội bằng 3 và
Đặt
, ∀n,
3 vn = un + 2.2n−1
2.25, do đó vn = 5.3n−1,
v1 = u1 + 2.2 =
∀n. Vậy un = 5.3n−1 − 2n+1.
Bài tập 2.4. Tìm CTTQ của dãy số (un) biết
{u = −2
1
un = 5un−1 + 2.3n − 6.7n + 12; n = 2, 3, 4, ...
{ n
3 = a.3n − 5a.3n−1
Lời giải
7n = b.7n − 5b.7n−1
Ta phân
tích
3
7
Cho n = 2 ta được a = − ; b =

2 công2 thức truy hồi của dãy số được viết
Hơn nữa 12 =−3 + 5.3 nên
lại
như sau
(
n−1
n−1
un + 3.3n + 21.7n + 3 =5
) un−1 + 3.3 + 21.7 + 3 , ∀n
Đặt vn = un + 3.3n + 21.7n + 3, ∀n, ta có vn là cấp số nhân có
cơng bội bằng 5, v1 = u1 + 3.3 + 21.7 + 3 = 157, suy ra vn =
157.5n−1, ∀n.
Vậy un = 157.5n−1 − 3n+1 − 3.7n+1 − 3.


Bài tập 2.5. Tìm CTTQ của dãy số (un) biết
{u = 1
1

un = 2un−1 + 3n − n, n = 2, 3, 4, ...
Lời giải
Ta phân
tích

{ n
3 = k.3n − 2.k.3n−1
n = an + b − 2 (a(n − 1) + b)

Cho n = 2, 3 ta được k = 3; a−=
1; b = 2

Khi đó ta có
(
un − 3.3n − n − 2 = )2 un−1 − 3.3n−1 − (n − 1) − 2
= ... = 2n−1 (u1 − 9 − 1 − 2) = −11.2n−1
Vậy un = −11.2n−1 + 3n+1 + n + 2
Nhận xét: Bài toán trên là tổng hợp của dạng 1 và dạng 2.
Dạng 2.3. Xác định CTTQ của dãy số (un) cho định bởi công thức
{u1, u2
(2.3)
un − aun−1 + bun−2 = 0; ∀n ≥ 3
trong đó a,b là các số thức thỏa mãn
− a2 4b
0.
Phương pháp:
Ta phân tích un − x1 un−1 = {x2(un−1 − x1 un−2)
x1 + x2 =
Ta phải chọn x1, x2 sao
hay x1, x2 là hai nghiệm
a
cho
2
của
phương trình: x ax + b = 0 x(Phương
1.x2 = b trình này được gọi là
− trưng của dãy số đã cho).
phương trình đặc
Khi đó un − x1un−1 = x2 (un−1 − x1un−2) = ... = x2n−2 (u2 − x1u1)
Suy
un = x1un−1 + (u2 − x1u1) xn−2
ra

2
n
Đưa về dạng (2.2) un = aun−1 + b.α
+ Nếu x1 ̸= x2 ta tìm được
un = kxn + ℓxn
(2.4)
{
k + ℓ = u1
với kx1 + ℓx2 = u2
+ Nếu x1 = x2 = α ta tìm được

1

2

un = (kn + ℓ)αn−1

(2.5)


{
k + ℓ = u1
với (2k + ℓ) α = u2
Bài tập 2.6. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
{u = −1; u = 3
1

2

un = 5un−1 − 6un−2; n = 3, 4, 5, ...

Tìm CTTQ của dãy số trên.
Lời giải
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy số đã cho như sau
un − aun−1 = b(un−1 − au{n−2 )
a + b = hay a,b là hai nghiệm của
Ta phải chọn a,b sao
5
cho
phương
a.b = 6
2−
trình: x 5x + 6 = 0 . Phương trình có hai nghiệm x = 2; x = 3.
Chọn a = 2; b = 3. Khi đó ta có
un − 2un−1 = 3 (un−1 − 2un−2) = ... = 3n−2 (u2 − 2u1) = 5.3n−2
5
Công thức truy hồi được viết lại =
+ .3n, n = 2, 3, 4, ...
n−
9
là un
2u 1
Ta phân tích 3n = c.3n − 2c.3n−1 . Ch)o n = 2 ta được c = 3.
5 n−
5 n
= ... = 2n−1 −
Suy ra − .3 = 2 n− − 1 .3
3
3
1
un

5).
(u1
n−1
n
Vậy un = (5.3
−
3.2
.
u
Bài tập 2.7. Cho dãy số xác định bởi công thức
{u = 1; u = 2
1

2

un+1 = 4un + 4n−1; ∀n ≥ 2
Hãy xác định CTTQ của dãy số (un) .
Lời giải
Phươ√ng trình đặc trưng x2 − 4x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 = 2 + √5;
x2 =
2 − 5.
√ n
√
Theo công thức (2.4) ta có un =
5) + b(2
5) n
a(2 +
−
Do u1 = 1;
√ ta có hệ

{u2 = 2 nên
1
(2
+
5)a
+
(2
−
√
5)b = 1√
√
⇒a
√
(9
+
2
5)a
+
(9
−
2
5)b = 2
= −b =
2 5
(
√ )


Vậy un
=

2
5

1
√

(2
+

√
n

n

5) − (2 − 5)

.


Bài tập 2.8. Xác định CTTQ của dãy số (un) biết
{
u1 = 1; u2 = 3
un − 4un−1 + 4un−2; ∀n ≥ 3
Lời giải
Phương trình đặc trưng −
x2
4x + 4 = 0 có nghiệm x1 = x2 = 2
Theo cơng thức (2.5) ta có {
un = (an + b)2n−1

a+b=1
1
Do = 1; = 3 nên ta có hệ
u1
2(2a + b) = ⇒ a = b = 2 .
u2
3
n−2
Vậy un = (n + 1)2 .
Bài tập 2.9. Dãy số Fibonacci
Ngày 1/1/1202 Giáo Hồng Lamã ra cho nhà tốn học Ý
là Fi- bonacci một Bài tốn như sau: Hơm nay người ta tặng
tơi một cặp thỏ mới đẻ (một đực, một cái). Biết rằng thỏ mới
đẻ sau một tháng bắt đầu đẻ và tiếp đó mỗi tháng đẻ một cặp
thỏ con(một đực, một cái). Hỏi hết năm tơi sẽ có mấy cặp thỏ
(giả thiết khơng có cặp thỏ nào chết trong năm.)
( Bài tập phương trình sai phân-Lê Đình Định-Trang
73)
Lời giải
Bài tốn được phân tích như sau: Tháng giêng có một cặp thỏ,
tháng hai vẫn có một cặp thỏ vì cặp thỏ thàng giêng vẫn chưa
đẻ được. Tháng ba có hai cặp thỏ vì cặp thỏ ban đầu bắt đầu
đẻ một cặp mới,...
Ký hiệu un là số cặp thỏ sau n tháng, thế thì sau n+2 tháng ta có
un+1
cặp thỏ đẻ được.
Vậy ta có phương trình
{
u1 = 1; u2 = 1
un+2 = un+1 + un

Phương trình đặc trưng x2 − x − 1 = 0 có hai nghiệm
x=

1− 5
√

1

;

2

=

x
2

1+
√
5
2


(

√ ) (
√ )
1+ 5 n
1− 5 n

Cho n=1,n=2 ta có hệ phương trình


1=
2
√
3
+


1=


Vậy un
=

√
5

1+ 5
√

.a +
2√

1− 5

.b
⇒ a = −b
=

√

1
√


5

.a +

3− 5

.b
1 [(1 + √5)n

2


+
2
√ )n ]
1− 5
2
Cho n= 12 ta được u12 = 144 cặp thỏ.
Vậy sau một năm Giáo Hồng có 144 cặp thỏ.
Dạng 2.4. Xác định CTTQ của dãy số (un) cho bởi
{
công thức:
(

(2.6)

u1; u2
un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3
(trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b ≥ 0) ta làm như sau
Phân tích f(n)=g(n)+ag{(n-1)+bg(n-2) rồi đặt vn =
Ta
đưa
dãy số về
u
g(n).
n −
v1 = u1 − g(1), v2 = u2 − g(2)
, dạng (2.3)
dạng
vn + avn−1 + bvn−2 = 0; ∀n ≥
3
Xác định CTTQ của vn, suy ra CTTQ của un.
Vấn đề cịn lại là xác định g(n) như thế
nào?
Vì f(n) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho
g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa thức bậc k theo n. Khi đó chỉ cần
cho n nhận k+1 giá trị bất kỳ ta sẽ tìm được g(n).
Giả sử g(n) = amnm + am−1nm−1 + ... + a1n + a0, (am̸̸= 0) là đa thức
bậc m theo n.
Khi đó hệ số của nm và nm−1 trong đa thức g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là
am(1 + a + b) và− [ (a + 2b)m.am + (1 + a + b)am−1]
Do đó :
i) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác 1 thì̸̸1 + a + b = 0 nên g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa

thức bậc m nên ta chọn g(n) cùng bậc với f(n).
ii) Nếu phương trình x2 +ax+b = 0 có hai nghiệm
phân biệt , một nghiệm bằng 1 thì 1 + a + b = 0 và [−(a +
2b)m.am + (1 + a + b)am−1]
= −(a + 2b)m.am =
̸ 0 nên ta chọn g(n) =n.h(n) trong đó h(n)
cùng bậc với f(n). g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức bậc m1.
iii) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép
bằng 1 thì a=-2,b=1 nên g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức
bậc m-2 nên ta chọn


g(n) = n2h(n), trong đó h(n) cùng bậc với f(n).
Tóm lại
Để xác định CTTQ của dãy số (un):
{
u1; u2
un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3
2
(trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và
− a 4b 0) ta làm
như sau: Xét g(n) là một đa thức bậc k theo n.
+)Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác 1 ta phân tích
− f (n) = −g(n) + ag(n 1) + bg(n
2) rồi đặt vn = un g(n).
−
+) Nếu phương trình x2+ax+b = 0 có hai nghiệm
phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 ta phân tích f (n)
= n.g(n) + a(n − 1).g(n − 1)

+ b(n− 2).g(n − 2) rồi đặt vn = un n.g(n).
+) Nếu
− phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép
là 1 thì ta phân tích f (n) = n2.g(n) + a(n − 1)2.g(n − 1) + b(n
− 2)2.g(n − 2) rồi đặt vn = un − n2.g(n).

Bài tập 2.10. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
{u = −1; u = 3
1
2
un − 5un−1 + 6un−2 = 2n2 + 2n + 1; ∀n ≥ 3
Xác định CTTQ của dãy số trên.
Lời giải
Ta phân tích
2n2 + 2n + 1 = (an2 + bn + c) − 5 (a(n − 1)2 + b(n − 1) + c)
+ 6 (a(n − 2)2 + b(n − 2) + c)
Trong công thức trên cho n = 1, 2, 3 ta có hệ phương trình


 7a − 5b + 2c = 5
 a=1
a
3b
+
2c
=
−
⇒ b=8
13
c = 19


−5a − b + 2c =
25
− −
{
v1 = −29; v2 = −36
2
Đặt v = u
n
8n 19 , ta có
vn − 5vn−1 + 6vn−2 = 0; ∀n ≥ 3
2
Phương trình đặc trưng −
x
5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 3
Theo cơng thức (2.4) ta có vn = k.2n + ℓ.3n.
n

n

−


Cho n=1,n=2 ta được hệ phương
trình





k=−

51

{
2
2k + 3ℓ = −29
⇒
 22
4k + 9ℓ = −36
3
ℓ
=
51
22
n
Suy ra vn = − 2 + 3n
51 2 22 3
Vậy un = − 2n + 3n + n2 + 8n + 19.
2
3
Bài tập 2.11. Xác định CTTQ của dãy số (un)
{
biết
u1 = 4; u2 = 15
un − 3un−1 + 2un−2 = 2n + 1; ∀n ≥ 3
Lời giải
Phương trình đặc trưng−x2
x2 = 2 nên ta phân tích

3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1 = 1;

3a − b = 3
Cho n=1, n=2 ta có hệ phương
a = −1
⇒
a−b=5
trình
b = −6
{
v1 = 11, v2 = 31
Đặt vn = un + n(n + 6) , suy
vn − 3vn−1 + 2vn−2 = 0 .
ra
Theo công thức (2.4) ta có vn = α.2n + β.1n với α, β thỏa mãn hệ
phương
trình
{⇒
{
2α + β = 11
α = 10
4α + β = 31
β = −9
Suy ra vn = 5.2n+1 − 9. Vậy un = 5.2n+1 − n2 − 6n − 9.
Dạng 2.5. Xác định CTTQ của dãy số (un) cho bởi
(2.7)
cơng thức
{

(

)
, với a2 − 4b ≥ 0
. Phân tích

u1; u2
un + aun−1 + bun−2 = c.αn; ∀n ≥ 3

2n + 1 = n(an + b) − 3(n − 1)(a(n −{1) + b) + 2(n − 2)
{(a(n − 2) + b)


αn = kαn + a.k.αn−1 + b.k.αn−2

(2.8)

Trong công thức (2.8) cho n = 2 ta có k(α2 + a.α + b) =
α2.
+) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân
biệt
khác α, ta có k
=

α2
kc.α
α2 + a.α + b

ta có dãy số
. Đặt vn = un −