Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ
cấp Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Mục lục

Lời nói đầu ................................................................................................................
Chương 1: Mở đầu..................................................................................................1
1.1. Định nghĩa........................................................................................................1
1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:...........................................................1
Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy........................................................................2
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.............................................................2
2.1.1.

Bất đẳng thức Cauchy................................................................................2

2.1.2.

Bất đẳng thức Cauchy cơ bản:...................................................................2

2.1.3.

Các bài toán minh họa...............................................................................2

2.1.4.

Một số bài tập tương tự..............................................................................7

2.2. Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy....................................8

2.2.1.

Bất đẳng thức Cauchy...............................................................................8

2.2.2.

Các bài toán minh họa...............................................................................8

2.2.3.

Một số bài toán tương tự...................................................16

2.3. Phương pháp thêm bớt hằng số......................................................................17
2.3.1.

Phương pháp............................................................................................17

2.3.2.

Các bài toán minh họa:............................................................................17

2.3.3.

Một số bài toán tương tự.........................................................................23

2.4. Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến...................................................24
2.4.1.

Phương pháp............................................................................................24

2.4.2.

Các bài toán minh họa:............................................................................24

2.4.3.

Một số bài toán tương tự.........................................................................38


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.5. Phương pháp nhóm các số hạng.....................................................................40
2.5.1.

Phương pháp thứ 1..................................................................................40

2.5.1.1. Nội dung phương pháp.........................................................................40
2.5.1.2. Các ví dụ minh họa:.............................................................................40
2.5.2.

Phương pháp thứ 2..................................................................................44

2.5.2.1. Nội dung phương pháp.........................................................................44
2.5.2.2. Các ví dụ minh họa.............................................................................. 44
2.5.3.

Một số bài toán tương tự.........................................................................50

2.6. Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cơ-si ngược dấu.............................................50
2.6.1.

Phương pháp............................................................................................50

2.6.2.

Các bài tốn minh họa:............................................................................ 50

2.6.3.

Các bài tập tương tự................................................................................52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số...................................................53
3.1. Nội dung phương pháp...................................................................................53
3.2. Các bài toán minh họa.................................................................................... 53
3.3. Các bài tập tương tự.......................................................................................55
Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa..........................................................56
4.1. Nội dung phương pháp...................................................................................56
4.2. Các ví dụ minh họa........................................................................................ 56
4.3. Bài tập tương tự......................................................................62
Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số.................................63
5.1. Nội dung phương pháp........................................................................63
5.2. Các bài toán minh họa:........................................................................63


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

5.3. Các bài tập tương tự............................................................................69

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học.....................................................70
6.1. Nội dung phương pháp........................................................................70

6.2. Các bài toán minh họa.........................................................................70
6.3. Các bài tập tương tự............................................................................74
Kết luận........................................................................................................ 75
Tài liệu tham khảo....................................................................................... 76


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình tốn học
phổ thơng và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng những năm gần đây thì bài tốn bất đẳng thức thường xuất hiện như
một dạng đề quen thuộc và thường được hiểu như là một bài tốn để lấy điểm
tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn bài tốn này khơng phải là đơn giản với phần
lớn học sinh.
Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác
nhau và từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập
để giải quyết các bài tốn bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này,
chúng tơi chỉ trình bày và tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất
đẳng thức quen thuộc để giải quyết các bài tốn của chương trình phổ thơng,
phục vụ q trình dạy và học mơn tốn.
Trong luận văn này ngồi phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được
trình bày như sau:
-

Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất
đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.

-

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương pháp
chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra
các phương pháp như:
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.
 Phương pháp thêm bớt hằng số.
 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.
 Phương pháp nhóm các số hạng.
 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.

-

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số. Chương này trình bày cách
từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định
được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng
thức.


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

-

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương pháp
sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ
thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.

-

Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số. Chương này trình

bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm
ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh
bất đẳng thức ban đầu.

-

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày phương
pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình
học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất
đẳng thức ban đầu.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy

Khải, thầy đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hồn thành luận văn này,
xin chân thành cảm ơn Thầy.
Tơi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các
cán bộ giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè
lớp cao học tốn khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp
đỡ tôi trong suốt q trình học tập tại trường.
Sau cùng tơi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tơi hồn thành chương trình thạc sĩ này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chƣơng 1: Mở đầu
1.1.

1.2.

Định nghĩa:
Cho A, B là các biểu thức. Khi đó, bất đẳng thức là:
A>B⟺A−B>
0. A < B ⟺ A − B
< 0.
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.2.1.

Tính chất bắc cầu:

Nếu a > ��à �
> ì
> �.
1.2.2.
Nếu a > � �à � >
� ��ì: ma > � > 0.
ma < �� ��� � < 0.
1.2.3.
Nếu a > �; � > � ��ì � + � > � + �.
1.2.4.
Nếu a > �; � < � ��ì � − � > � − �.
1.2.5.
Nếu a > � > 0; � > � > 0 ì �� > ��.
1.2.6.
0 ��ì

a

b

Nếu a > � > 0; � > � >

> .
c

d

1.2.7.
Nếu a > � > 0 ì �
> � ⟺ a2 > b2.
1.2.8.
Nếu a > � ⟺ a3 > b3.
1.2.9.
Các bất đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và
logarit: Nếu a > 1 ��ì x1 > x2 ⟺ ax1 > ax2 .

1.2.10.

Nếu 0 < � < 1 ��ì x1 > x2 ⟺ ax1 < ax2 .
Nếu a > 1 ì � > � > 0 ⟺ loga c > loga d.
Nếu 0 < � < 1 ì � > � > 0 ⟺ loga c < loga d.
Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt
đối: Cho α > 0. ��� đó:
A>�
A >�⟺
.
A<−
A<−

⟺ −� < � < �.

8


Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy
2.1.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: x1; x2 ; … ; xn. Khi đó:
x 1 + x 2 + ⋯ + x n ≥ nn x 1 x 2 … x n .
Dấu "= " xảy ra khi x1 = x2 = ⋯ = xn.
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản:
1
+ a + b 1 ≥ 4; ∀a > 0; b > 0.
b
+
a
1 1 1
+a+b+c .
>+0.≥
b 9 ; ∀a
c > 0; b > 0, c
+
a
Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
1 1
4 . ∀a > 0; b > 0.

+ ≥
a b a+ 9
. ∀a > 0; b > 0, c > 0.
b
1 1 1
+ + ≥
a b c a+b+c
Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát
1
1 1 + ⋯ + ≥ n2.
(a1 + + ⋯ + an ) +
a1
∀a
a2
an
a2
1
1
i
1

> 0; i = 1 , n .

n2
⇔

a1

+

+ ⋯ +>
an

+ + ⋯ + . ∀ai ≥ 0; i = 1 , n .
a2 an

a2
a1
Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an.
2.1.3. Các bài toán minh họa.

Ch
o
x

Bài toán 1.
1

1
1


> 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện +
+
x y
z
= 4.
Chứng minh
rằng:

1
2x + y
+z

+

≤ 1.
1
1
+
x + 2y
�+�+
2�
+z

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:


1

1 1 1
1 2 1 1
+ + .
2� + � + �
� + � + +� + � � + � + � + � = � � �
≤
42
42
Dấu “ = “ xảy ra khi x = x = y = z ⟺ x

= y = z. Tương tự ta được:
1
1 1 2 1
1
≤
=
+ + .
x + 2y + x + x + +y + z x y z
z
16
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.
1
1
1 1 1 2
=
≤
+ .
x + y + x + x + +y
y z
2z
+z
+
16 x
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.
Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
1
1
1
1 4
4

+
≤
+
4
2x + y + x + 2y
x+y+
+ +z .
z
+z
2z
16 x
=

1

1 1

y
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = z.
1 1
=4
≤1.
1
1
1
1
+
+
x+y+
Mà + + nên

2x + y +
x + 2y
x y
z
+z
2z
z
3
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z =
.
4
Bài toán 2.
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a
c
3
b
+
≥
b+
.
c
a
+
b
2 Lời giải:
+
c+a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
1

1
1
1
c + a + b + c + a + b+
≥ .
+


1
⟺2a+b+c
+

1

c+a b+ a+b 9
1
c
+
1
≥

.
b+ a+b 9
c
1
c
a
b
≥ .
⟺21

+ 1
+1
c
+
b
+
a
+
b
9
+
+
+
a
c
a
c
3
b
⟺
+
≥ .
b+c
a+b 2
+
c+a
Dấu “ = “ xảy ra khi b + c = c + a = a + b ⟺ a = b = c.
c+
a

Bài toán 3:
Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện x +
y + z = 1. Chứng minh rằng:
z
3
y
x
+
≤
.
x+
z
+
1
4
+
1
Lời giải:
y+1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được:
1
9
1
9
9
1
≥
+
=

=
.
x+
z+
x+1+y+1 x+y+z+3
1
4
+z+1
+
1
y+1
1
1
9
1
−
⟺−
y + z + ≤ −4.
1
9
1
−
1x+ 1
1
1
⟺1 x+ +1 y+ +1 z+ ≤3−
−
−
− 1
1

1
.4
x
y
3
z
⟺
+
≤ .
y+1 z+1
+
x+1
4
1
Dấu “ = “ xảy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 ⟺ x = y = z
=
.
3
Bài toán 4.
Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 .
5
1
2
x2 + y +
+x+y≥
Chứng minh
.
x+
1−x 1−
rằng:

2
y
y
Lời giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
5
1 −y−1 1
1
+
+x+y
−x − 1
+
.
1−
x+≥
1−
+
2
y
x
y
1
9
1
1
⟺

+

1−x

≥ .
1− +
x+y 2
y
⟺1−x+1−y+x+ y
bất đẳng thức luôn đúng .

1

1
1
+1 −
+x + ≥
y 9.
1−x
y

1
Dấu “ = “ xảy ra khi 1 − x = 1 − y = x + y ⟺ x = y
=
.
3


Bài toán 5.
Cho 3 số dương a, b, c và abc = ab + bc + ca. Chứng minh
rằng:
1

1
1
3
+
+
< .
a + 2b + 3c
2a + 3b + c
3a + b + 2c
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
1
1
1 1
1
=
≤
+
a + 2b + 3c
a+c+2b+c
4a+c
2b+c
11 1 1
1
1 1
≤ 1
b + c.
4
+
+

.
1
1 1 1
4
2
3
4 a c
⟺
≤
+ + .
a + 2b + 3c 16 a 2b 2c
a+c=2b ⟺a=b=c=0.
Dấu “ = “ xảy ra + c a = c
khi
b=
c
mâu thuẫn giả thiết a, b, c
dương.
⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do
đó ta có Tương tự ta có:

1
1
a + 2b
1
+ 3c <
16
a

1

3
+ + .
2b 2c

1

1 1 1
3
<
+ + .
b + 2c
16 b 2c 2a
+ 3a
1 1 1
3
1
+ + .
<16 c 2a 2b
c + 2a +
3a
Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
1
1
1
1
1
+
3
a + 2b
3a + b

+ +
+ 3c
2
+
+ 2c <161
2
2a + 3b +
c

1

1 1
+ + .
a b c

16


1
1 = 1.
+ +
a b
c
1
1
1
3
+
+
< .

a + 2b
2a + 3b
3a + b + 2c
+
c
16
+ 3c

Do abc = ab + bc
+ ca ⟺

⟹

1


�à� ��á� �.
Cho ∆ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
1
+
+
≥
+
+
.

A
B
C
cosA
cosB
cosC
sin
sin
sin
2

Vì ∆ABC nhọn → 0 < A, B,
C<

π

2

2

Lời giải:
⟹ cos A, cosB, cosC > 0.

2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
1
1
4
4
2

+
>
=
cosA
cosB
cosA + cosB
co
2 cos sin
C
=
s
A+B
A−B
cos
2

2

2

A− B

2

≥

2
C

sin

2

A−B
Dấu “ = “ xảy ra khi
= 1 ⟺ A = B.
cos
2
Tương tự ta có:
1
1
2
B−C
= 1 ⟺ B = C.
+
≥ sin A . Dấu “ = “ xảy
2
cosB
cosC
ra khi cos
2
1
1
2
C−A
= 1 ⟺ C = A.
+
≥ sin B . Dấu “ = “ xảy
2
cosC

cosA
ra khi cos
2

Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên
ta có:
1
1
1
2
2
2
2
+
+
≥
+
+
.
A
B
C
cosA
cosB
cosC
sin
sin
sin
1

2
1
1
1
1
⟺
+
+
≥
cosA
cosB
cosC
sin
2

2
A
2

+

2

1

sin
2

B

+
sin

C

Dấu “ = “ xảy ra khi A = B = C hay ∆ABC đều.
�à� ��á� �.
Chứng minh rằng: Trong mọi ∆ABC ta có:
C
A
B
ab
+ bc
+ ca
sin
sin
sin
2
2
2

.

.


≥ 2S 3. Với S là diện tích ∆ABC.
Lời giải:
C
A

B
Xét vế trái = ab + bc
+ ca
sin
sin
sin
.
2
2
2


C
2S sin

A
2S
B
2S
sin +
sin
2 sin sin
B
+
.2
2 A

=
sin
C

=

S

S
+

cos
C
2

+A
cos

S
co
s

B= S
2

cos

C+

2

1

Trong ∆ABC ta luôn có

0<

,
2

+

cos
A

A BC

2

⟹
cos

1

2

1B.
co
s

2

π
, < .
2 2 2

A
B
C
, cos , cos > 0.
2
2

2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
.C
1
1
1
cos
9
+
≥A
+
+ cos
2
cos
+
cos
cos
A
B
C
2
B

cos
2
2
2

Mà mọi ∆ABC thì
cos
Do
đó

2

A
2

+
cos

B

+
cos

C
≤

3
3
2

.

2
2
1 +1
1
9
+
B
A
C
cos
cos
cos = 2 3. Vậy vế trái ≥ 2 3.
≥
33
2

2

2

A
Dấu “ = “ xảy ra khi
cos

2

Hay ∆ABC đều.
2.1.4. Một số bài tập tƣơng tự.

2

=
cos

C

3

B
= cos
2
5

Bài 1: Cho x > 0, y > 0 và 4
x+y=

=
2

2

⇔ A = B = C.

. Chứng minh
rằng:

4 1
+

x ≥ 5.
4y


Bài 2: Giả sử x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn
điều kiện: x2 + y2 + z2 = 3xyz.
z
3
y
+
+
≥ .
x+1y+1z+12
Bài 3: Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1.
Chứng minh
rằng:

x

Chứng minh
rằng:

1

1
3
1
+
+
≥ .

xy + x yz + zx + z 2
y
Bài 4: Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh rằng:
x
z
3
y
P=
+
≤ .
x + 2y
x + y + 2z4
+
+z
2x + y
+z


Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc
+ ca ≥ 4 3S . với S là diện tích ∆ABC .
2.2. Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho n số khơng âm a1, a2, … , ankhi đó:
(a1 + a2 + ⋯ + a n )
1≥2 … an .
n
aa n
Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an .
2.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán 1.

Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng:
1 + z3 + x3
1 + y3
3
1 + x3
+
≥3 3 .
+z
+ y3
zx
+
P=
yz
xy
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1, x3 , y3 ta được:
1 + x3 + y 3
≥
xy

33 1. x3.
y xy
3

3
= .
xy

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = x3 = y3 ⟺ x = y = 1 .
Tương tự ta

có

1 + y3 + z3 3
≥
.
yz
yz

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = y3 = z3 ⟺ y = z = 1.
1 + z3 + x3 3
≥
.
zx
zx
Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = z3 = x3 ⟺ z = x
= 1. Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có ∶
P≥

3

3

xy + yz+
zx

3

3

≥ 3.3

1 1 1
. . =33 .
xy yz
zx


⟹P≥33.


x=y=z=1
Dấu “ = “ xảy ra khi
1
1 ⟺ x = y = z = 1.
1
= zx
xy=
yz
Bài toán 2.
Chứng minh rằng: ∀x ∈ ℝ ta có:
12 x 15 x 20 x
+
+
≥ 3x + 4x + 5x .
5
4
3
Lời giải:
x
12

15 x
20 x
∀x ∈ ℝ
> 0;
> 0;
> 0.
5
4
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
12
5

x

+

15

x

≥2

4
5

12

x

15
4

x

= 2.3x .

12 x
15 x
Dấu “ = “ xảy ra khi
⟹ x = 0.
5 =
4
Tương tự ta có:
15 x
20 x
15 x
20 x
x
+
≥ 2.5 . Dấu “ = “ xảy ra
=
⟹ x = 0.
3
khi
4
3
4
20 x
12 x

20 x
12 x
x
+
≥ 2.4 . Dấu “ = “ xảy ra khi =
⟹ x = 0.
3
5
3
5
Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có:
12 x 15 x 20 x
+
+
≥ 3x + 4x + 5x .
5
4
3
Dấu “=” xảy ra khi x=0.
Bài tốn 3.

1

Cho 3 số khơng âm x,
y, z và
1

1
1
+

+
1+ 1+y 1+z
x


Chứng minh rằng ∶ xyz ≤
Từ giả thiết ta có

.
8

= 2.
Lời giải:


1
1+x
.

1
=2−

1
1+y

Dấu “ = “ xảy
ra ⟺
Tương tự ta
có

1

−

y

z
yz
=
+
≥2
1+z
1+y
1+z
y+1 z+1

z
y
=
⟺ y = z.
1+ 1+
z
y
zx

=
z. y ≥ 2 x + 1 z + 1 . Dấu “ = “ xảy ra ⟺
1+
xy
1

≥2
x + 1 y + 1 . Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = y.
1+z
Các vế đều không âm, nhân các vế với nhau ta có ∶
1
1+x1+y 1+z

≥8

x2y2z2
x+12 y+1

2 z + 1 2 8xyz
=
.
x+1y+1z+1

1
⟺ xy ≤ . Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = y = z.
8
Bài toán 4.
Cho 3 số dương x, y, z và xy xy + xz xz + yz yz = 1.
Chứng minh
rằng:

6
x6
+y
+z6
1 ≥ .

x 3 + y3
y3 + z 3
z 3 + x3
2

Lời giải:

Đặt X = x , Y = y , Z = z => X, Y, Z > 0 .
Khi đó bài tốn đã cho trở thành:
3

3

3

Cho X, Y, Z là 3 số dương thỏa mãn XY + YZ + ZX = 1 .
CMR: S
=

X2
X+
Y

2
Y
+

Z2 ≥ 1 .
Z+X 2

+
Y+Z
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
X+
≥2
Y4
X2 +

X2
X+Y

x