Luận văn thạc sĩ tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Bùi Th% Vân

TÍNH VUNG CUA CÁC Hfi VI PHÂN TUYEN TÍNH
NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i 2012


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Bùi Th% Vân

TÍNH VUNG CUA CÁC Hfi VI PHÂN TUYEN TÍNH
NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU

Chun ngành: Tốn giai tích
Mã so: 60 46 01

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC:
TS. Lê Huy Tien


Mnc lnc

Lài cam ơn

1

Lài ma đau

4

1Nh% phân mũ đeu và nh% phân mũ không đeu
. . . . . . . . .
1.1Khái ni¾m nh% phân mũ đeu
. . . . .
1.2Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu
1.3Quan h¾ giua nh% phân mũ đeu và .nh%
. . .phân
. . . mũ
. .
1.4Tính vung cna nh% phân mũ

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
không
. . . . đeu
. . . . . .
.

5
.
.
.

.

.5
.6
.7
.8

9 2 Tính vEng cua nh% phân mũ đeu
. . . 2.1
. . . M®t
.9 so bő đe ky thu¾t . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính vung cna nh% phân mũ đeu trên nua truc dương . . . . . . .11
2.3 Tính vung cna nh% phân mũ đeu trên toàn truc . . . . . . . . . .16
3Tính vEng cua nh% phân mũ khơng đeu
3.1Tính vung cna nh% phân mũ không đeu trên nua truc dương
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1Các đ%nh lý
. . . . . . . . . . . . .
3.1.2Cau trúc cna nghi¾m b% ch¾n
. .
3.1.3Phép chieu và tính bat bien cna tốn tu .tien
hóa
. . . . . . . . . . .
3.1.4Đ¾c trưng cna nghi¾m b% ch¾n. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5Các ưóc lưong bő sung
. . . . . . ..
3.1.6Ưóc lưong chuan cho tốn tu tien .hóa
. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
3.1.7Chúng minh các đ%nh lý

3.2Tính vung cna nh% phân mũ khơng đeu trên tồn truc
3

17
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.17
.17
.19
.22
.23
.25

.27
.29
.32


32 đeu trên nua truc âm
3.2.1Tính vung cna nh% phân mũ khơng
.35 đeu trên tồn truc
3.2.2Tính vung cna nh% phân mũ. khơng
Ket lu¼n

42

Tài li¼u tham khao

43


LèI Me ĐAU
M®t trong nhung tính chat quan TRQNG cna nh% phân mũ là tính vung. Tính
vung nghĩa là khơng b% thay đői boi nhieu cna ma tr¾n h¾ so. Nđi dung chớnh
cna luắn vn nghiờn cỳu ve tớnh vung cna nh% phân mũ không đeu. Nh% phân
mũ không đeu là trưịng hop suy r®ng rat manh cna nh% phân mũ đeu.
Gan đây, tù năm 2005 Luis Barreira và Claudia Valls ó nghiờn cỳu mđt
cỏch hắ thong khỏi niắm nh% phân mũ khơng đeu (xem [5] và [10]).
Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương:
Chương 1. Nh% phân mũ đeu và nh% phân mũ không đeu. Chương
này se nêu ra đ%nh nghĩa cna nh% phân mũ đeu, nh% phân mũ không đeu,
moi quan h¾ giua chúng và đ%nh nghĩa ve tính vung cna nh% phân mũ đeu
và nh% phân mũ không đeu.

Chương 2. Tính vEng cua nh% phân mũ đeu. Chương này trình bày
tính vung cna nh% phân mũ đeu trên nua truc dương và tính vung cna nh%
phân mũ đeu trên tồn truc so R.
Chương 3. Tính vEng cua nh% phõn m khụng eu. õy l nđi dung
chớnh cna luắn văn. Trong chương này trình bày tính vung cna nh% phân
mũ không đeu trên tùng nua khoang vô han và tính vung trên tồn truc
so R thơng qua vi¾c chúng minh chi tiet các đ%nh lý ve tính vung cna nh%
phân mũ khơng đeu.
Hà N®i, ngày 30 tháng 04 năm
2012.


Chương 1

Nh% phân mũ đeu và nh%
phân mũ không đeu
1.1

Khái niắm nh% phõn m eu

Trong khụng gian Rn, xột mđt ánh xa liên tuc t → A(t) sao cho
A(t) là tốn tu tuyen tính b% ch¾n trên Rn vói moi t ≥ 0 và phương
trình
xJ = A(t)x.

(1.1)

GQI X(t) là ma tr¾n cơ ban cna (1.1), túc là nghi¾m cna (1.1) thoa mãn
x(t) = X(t)x(0).
GQI X(t, s) = X(t)X −1 (s) là ma tr¾n tien hóa cna (1.1).

Khi đó:
Đ%nh nghĩa 1.1. Phương trình (1.1) đưoc GQI là có nh% phân mũ đeu neu ton
tai phép chieu P và các hang so K, α ≥ 0 sao cho:
i) ||X(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) vói t ≥ s,
ii) ||X(s, t)Q(t)|| ≤ Ke−α(t−s) vói s ≥ t.
Trong đó, Q = Id − P là phép chieu bù cna phép
chieu P . Đ%nh nghĩa trên tương đương vói các
M¾nh đe sau.


M¼nh đe 1.2. Phương trình (1.1) có nh% phân mũ đeu khi và chs khi Rn = S⊕U
và ton tai K, α > 0 sao cho:
i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ S,
ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| vái s ≥ t, y ∈ U .
M¼nh đe 1.3. Phương trình (1.1) có nh% phân mũ đeu khi và chs khi ton
tai HQ các phép chieu P (t) thóa mãn sup ||P (t)|| < ∞ vái P (t)X(t, s) =
t∈
X(t, s)P (s)
R
∀t ≥ s và ton tai các h¾ so K, α > 0 sao cho
i)

||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ Im P (s),

ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái s ≥ t, x ∈ Im
Q(s), trong đó Q(t) = Id − P(t).

1.2

Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu

Cho X là khơng gian Banach, hàm tốn tu A : J → B(X) là m®t hàm
liên tuc trong khoang mo J ⊂ R, và B(X) là t¾p các tốn tu tuyen tính b%
ch¾n trên X. Ta xét bài tốn giá tr% ban đau:
vJ =

(1.2)

A(t)v
trong đó s ∈ J và vs ∈
X.

v(s) =
vs

Chúng ta viet nghi¾m duy nhat cna phương trình (1.2) dưói dang
v(t) = T (t, s)v(s)
trong đó T (t, s) là tốn tu tien hóa ket hop, rõ ràng chúng ta có T (t,
t) = Id và
T (t, s) = T (t, r)T (r, s).

(1.3)

Trong trưịng hop này thì T (t, s) kha ngh%ch và
T−1(t, s) = T (s, t).
Đ%nh nghĩa 1.4. Chúng ta nói phương trình (1.2) có nh% phân mũ không đeu
trên J neu ton tai phép chieu P : J → B(X) vói:


P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s)

(1.4)

∀t > s,


và ton tai các h¾
so:

sao cho

a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D1, D2 ≥ 1

(1.5)

||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s|
||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t|

(1.6)

trong đó Q(t) = Id − P (t).

1.3

Quan h¾ giEa nh% phân mũ
đeu và nh% phân mũ khơng đeu

Nh¼n xét 1.5. So sánh hai đ%nh nghĩa ve nh% phân
mũ đeu và nh% phân mũ khơng đeu thì ta thay h¾ nh%
phân mũ khụng eu cú thờm mđt long m a|s| hoắc
b|t|. MQI h¾ nh% phân mũ đeu đeu là h¾ nh% phân mũ

không đeu. Đieu ngưoc lai không đúng. Đe minh HQA
cho đieu này, ta xét ví du sau đây.
Ví dn 1.6. Cho w > a > 0 là nhung h¾ so thnc và h¾
phương trình trong R2
uJ =
(−w
− at
sin
t)u,
vJ =
(w +
at sin
t)v.

(1.7)

Mẳnh e 1.7. Hắ (1.7) l mđt nh% phõn m không đeu
trong R nhưng không là nh% phân mũ đeu.
Chúng minh. Có the de dàng kiem tra rang u(t) = U
(t, s)u(s) và v(t) = V (t, s)v(s)
trong đó
U (t, s) =
e−wt+ws+at cos


t
−
a
s
c

o
s
s
−
a
s
i
n
t
+
a
s
i
n
s

,
V
(
t
,
s
)
=
e
w
t
−
w
s

−
a
t
c

Tốn tu ket hop cna h¾ (1.7) là
T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v).
Gia su P (t) là phép chieu P (t)(u, v) = u, rõ ràng
P thoa mãn đieu ki¾n (1.4).
Ta se chi ra rang ton tai D sao cho
U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| vói t ≥
s,
(1.8)


và
V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| vói t ≥ s.

(1.9)

Trưóc tiên chúng ta viet lai U (t, s) như sau:
U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t).

(1.10)

Vói t, s ≥ 0 thì tù (1.10) có
U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2as.
Hơn nua neu t = 2kπ, s = (2l − 1)π vói k, l ∈ N thì
U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as.

(1.11)

Vói t ≥ 0, s ≤ 0 thì tù (1.10) suy ra
U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s).
Cuoi cùng neu s ≤ t ≤ 0 thì tù (1.10) suy ra
U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|s|.
Ket hop lai ta suy ra đưoc (1.8) vói D = e2a và vi¾c chúng minh cho V
(t, s)
trong (1.9) là hoàn toàn tương tn.
Hơn nua neu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì
V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t|.

(1.12)

Tù vi¾c thoa mãn (1.8), (1.9) thì h¾ (1.7) là h¾ nh% phân mũ khơng
đeu. Lai theo (1.11) và (1.12) thì khơng the bo đưoc e2a|s| và e2a|t| bang cách
cho D ho¾c w − a đn lón, đieu này suy ra h¾ (1.7) khơng là nh% phân mũ
đeu. Như v¾y ta hồn tồn ket thúc chúng minh m¾nh đe.

1.4

Tính vEng cua nh% phân mũ

H¾ xJ = A(t)x có nh% phân mũ đeu (khơng đeu). Ta nói rang nh% phân là
vung neu δ = sup ||B(t)|| đn nho thì h¾
xJ = [A(t) + B(t)]x
cũng có nh% phân mũ đeu (khơng đeu).

(1.13)

Chương 2

Tính vEng cua nh% phân mũ
đeu
Tính vung đưoc chúng minh lan au tiờn boi Massera v Schăaffer (1958)
dúi gia thiet rang ma tr¾n h¾ so là b% ch¾n. Sau ú, Schăaffer ó bo gia thiet
ny. Tat ca cỏc chỳng minh đó đeu dùng cơng cu giai tích hàm. Cuoi
cùng, dna vào đ%nh lý đo th% đóng. Coppel (1967) đã đưa ra m®t cách
chúng minh đay đn. Ơng chi ra rang trưịng hop tőng qt có the đưoc đưa
ve trưịng hop riêng đơn gian hơn rat nhieu mà trong đó ma tr¾n h¾ so
A(t) giao hốn vói phép chieu P cna
nh% phân mũ vói moi t. Đó là m®t ket qua rat huu ích, tuy nhiên chúng
minh là khơng trnc tiep. M®t chúng minh cơ ban và trnc tiep đưoc đưa
ra boi Dalecki˘i
và Kre˘in (1970), nhưng dưói gia thiet A(t) là b% ch¾n. e đây, chúng ta se chi
ra rang gia thiet đó có the đưoc loai bo m®t cách de dng.

2.1

Mđt so bo e ky thuắt

Bo e 2.1. Cho φ(t) là m®t hàm giá tr% thnc liên tnc, b% ch¾n sao cho:
φ(u)du ∀t ≥ 0.
+
∫∞
θα
φ(t) ≤
e−α|
−αt

Ke
t−u|
0


Trong đó K, α và θ là các hang so dương. Neu θ
thì φ(t) ≤ ρKe−βt ∀t ≥ 0
1
<
2
vái
β = α(1 − 2θ)1/2, ρ = θ−1{1 − (1 − 2θ)1/2}.


Chúng minh. Xét phương trình tích phân tương úng
+ ∫∞
θα

ψ(t) =
Ke−αt

ψ(u)du.
e−α|
t−u|

0

Bang cách tách khoang lay tích phân [0, ∞) thành [0, t] và [t, ∞),
chúng ta thay MQI nghi¾m ψ(t) liên tuc, b% ch¾n là kha vi và
ψ J (t) = −αKe−αt −

θα2

∫t

e−α(t−u) ψ(u)du +
θα2

∫∞

e−α(u−t) ψ(u)du.

t

0

Do đó ψ(t) kha vi lan nua và
(t) = Ke−
−α|
∫∞ e
2
α
αt
−
ψ(t) + θα3 t−u|
ψ JJ
2θα2
0

ψ(u)du.

Suy ra ψ(t) là nghi¾m cna phương trình vi phân
ψ JJ = α2 (1 − 2θ)ψ.
Vì ψ(t) b% ch¾n nên neu θ thì
1
<
2
ψ(t) = Ce−βt (vói hang so C nào đó).
Thay vào phương trình tích phân đau tiên ta đưoc C = ρK. V¾y phương
trình tích phân có nghi¾m duy nhat:
ψ(t) = ρKe−βt
liên tuc và b% ch¾n.
De thay vói MQI hang so L ≥ θ −1 K,
− +
∫∞
αt
θα
L ≥ Ke
e−α|
t−u|
0


Ldu

∀t ≥ 0.

Neu cHQN L ≥ sup φ(t), bang phương pháp xap xi liên tiep phương trình tích
phân có m®t nghi¾m ψ(t) sao cho:
φ(t) ≤ ψ(t) ≤ L

∀t ≥ 0.

Do ψ(t) xác đ%nh duy nhat nên ta suy ra đieu phai chúng minh.


2.1

Áp dung Bő
đe

đoi vói φ(s − t), chúng ta thu đưoc Bő đe 2.2.
Bo đe 2.2. Cho φ(t) là m®t hàm giá tr% thnc liên tnc sao cho
∫ ≤
φ(t)
s −α(s−t)
Ke
+
θα

e−α|t−u|φ(u)du

0

1

vái 0 ≤ t ≤ s; K, α, θ là các hang so dương. Neu θ <
2
thì φ(t) ≤ ρKe−β(s−t)
vái 0 ≤ t ≤ s, β = α(1 − 2θ)1/2 và ρ = θ−1{1 − (1 −
2θ)1/2}.

2.2

Tính vEng cua nh% phân mũ
đeu trên nEa trnc dương

Bây giị xét A(t) là m®t hàm ma tr¾n liên tuc
vói t ≥ 0, X(t) là ma tr¾n cơ ban cna phương trình
vi phân tuyen tính
xJ = A(t)x
(2.1)
thoa mãn X(0) = I.
Gia su phương trình (2.1) cú nh% phõn m vắy thỡ ton
tai mđt phộp chieu P
và hang so α, K sao cho:
||X(t)P X −1 (s)|| ≤ Ke−α(t−s) vói t ≥ s
||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤
Ke−α(s−t) vói s ≥ t.

|
|

(2.
2)

Cho B(t) là hàm ma tr¾n liên tuc, b% ch¾n, chúng ta
se chi ra rang neu
δ = sup B(t) đn nho thì phương trình nhieu
t≥0

y J = [A(t) + B(t)]y
(2.3)


cũng có nh%
phân mũ.
Vói MQI hàm
ma tr¾n Y (t)
liên tuc đ¾t
||Y || = sup |
Y (t)|
và
t

TY
(t)
=
X(
t)
P
+
0

∞

∫

X(t)P X(t)
(I−P )
X

−1
(u)B( X (u)
u)Y B(u)Y
(u)d (u)du
u−
t

∫
−1


−αt
+ K||Y
e−α(t−u) |B(u)|du ∫∞

th |TY (t)| ≤ Ke
−α(u−t)
||
+
e
|B(u)|du

ì

∫

t

t


0

suy ra TY (t) b% ch¾n và
liên tuc và
||T Y || ≤ K +
2α−1Kδ||Y ||.
Tương tn ta thu đưoc

˜
˜

||T Y − T Y || ≤
2α−1Kδ||Y − Y ||.
Do đó theo nguyên lý
co neu
1
θ = α−1Kδ < ,
2
thì ánh xa T có m®t
điem bat đng. Ký hiắu
iem bat đng ny l
Y1(t), ta cú





t
1

Y1(t
)=
X(t)
P+



X(t)PX
(u)B(u)
Y1(u)du


0

X(t)(IP
)
X1(u)B(
u)Y1(u)d
tu.

(2.4)
Suy ra Y1(t) kha vi v
l mđt nghiắm ma trắn
cna phng trỡnh vi phân
(2.3). Do đó Y1(t)P cũng
là m®t điem bat đ®ng
cna T , ta có Y1(t)P =
Y1(t).
Trưịng hop riêng

neu Q = Y1(0) thì
QP = Q.
Tù
(2.4)

thay t


boi0
ss
ta X
có(
t
X )
X P
Y X
−
=1
X
+(
u
)
KetB
ho(
p u
vói)t
(2.Y
4) 1
ta (
thuu

đư)
oc d
u
(
2
.
5
)

Y1(t
)=
X(t)
PX−
1
(s)
Y1(s
)+

∫ ∫

t

X(t)
PX−
1
(u)
B(u
)Y1(
u)d
u

s
∫

∞
−1

− (u)B(
X u)Y1(u
)du.

(2.
6)


M¾t khác, cho t = s = 0 trong (2.5) ta đưoc
PQ = P.
Suy ra Y1(t)Q cũng là m®t điem bat đ®ng cna T , do đó
Y1(t)Q = Y1(t).

th
ì

Cho t = 0 ta thay Q là m®t phép chieu.
Neu Y1(t)Q l mđt ma trắn c ban cna phng trỡnh (2.3) sao cho Y
(0) = I
Y1(t) = Y (t)Q.
Đ¾t
Y2(t) = Y (t)(I −
Q)
v¾y thì Y (t) = Y1(t) + Y2(t). Theo công thúc bien thien hang so,

Y2(t) = X(t)(I − ∫
Q)
t
+

X(t)X−1(u)B(u)Y2(u)du.

(2.7)

0

Thay t bang s và su dung (I − P )(I − Q) = I − Q ta có
X(t)(I − P )X−1(s)Y2(s) = X(t)(I − ∫
Q)
s
X(t)(I − P )
−
X−1(u)B(u)Y2(u)du.
0

Ket hop vói đang thúc trưóc ta thu đưoc
Y2(t) = X(t)(I − P )
X−1(s)Y2(s) +

∫
t

X(t)PX−1(u)B(u)Y2(u)du
0

∫

s

X(t)(I − P )
X−1(u)B(u)Y2(u)du.

−
t

Tù (2.6) và (2.8) vói MQI ξ có
|Y1(t)ξ| ≤
Ke

−α(t−
s)

∫
|Y1(s)ξ| +
θα

s

∞

e

−α|

t−u|

∫s

(2.8)


| )t
Yξv≥
≥
1 |ó
i0
(d
uus,
| e
Y−
ξα
K|
αt

| −
Yu
)|
+|
θY
0 2

(
u
)
ξ

|
d
u
v
ó
i
s
≥
t
≥
0
.


Do Bő
đe

trong đó

2.1 và Bő đe 2.2,
|Y1 (t)ξ| ≤ ρKe−β(t−s) |Y1 (s)ξ| vói t ≥ s ≥
0,
|Y2 (t)ξ| ≤ ρKe−β(s−t) |Y2 (s)ξ| vói s ≥ t ≥
0,
β = α(1 − 2θ)1/2,
2θ)1/2}.

ρ = θ−1{1 − (1 −

(2.9)

Đ
e tù
bat
đan
g
thúc
(2.9)
suy
ra
phư
ơng
trìn
h vi
phâ
n
(2.3)
có
nh%
phâ
n
mũ,
ta
chi
can
chi
ra
ran
gY
(t)Q
Y

−1
(t)
b%
ch¾
n.
Tù
(2.4)
ta có
ngay
đưoc
9)
có
X Tù−1(
( (2.t)Y
P 1(t)


=
−

∞

X
(
t
)
(t
I

Suy

ra

−1
−
(u
)B(u
P
)Y1(
u)d
)u.
X

∫

X(t)PX−1(t∫ X(t)PX−1(u)B(u)Y2(u
)Y2(t) = t )du.
Tù

|
Y1 (u
)ξ|
≤
ρK
e−β(
u−t)
|
Y1 (t)
ξ|
vói
u≥

t.
∞

−1

| (t
)Y1(
X
t)ξ|
)(
≤
−
)θα
ρK|
Y1(t
)ξ|

(2.
e 10)
−
(
α
+
β
)
(
u
−
t
)

= d
Y u
t

vói η = (ρ
− 1)K.
Tương tn
tù (2.7) ta
thu đưoc

S
u
y

0

|Y2 (u)ξ| ≤ ρKe−β(t−u) |Y2 (t)ξ|
vói 0 ≤ u ≤ t.
∫
t

r
a
|X(t)PX−1(t)Y2(t)ξ| e−
(α+β)
≤ θαρK|Y2(t)ξ|
(t−u)
d
0

≤u
D
e
t
h
a
y

(2.
11
)

η
|
Y
2

(
t
)
ξ
|
.

∫

Y (t)QY −1(t) − X(t)PX−1(t) =X(t)(I
− P )X−1(t)Y (t)QY −1(t)
−
X(t)

PX−1
(t)Y
(t)(I
−
Q)Y
−1
(t).


Thay ξ bang Y1(t)ξ trong (2.10) và (2.11) vói ξ tùy ý, ta đưoc
|Y (t)QY
trong đó

−1

(t) − X(t)PX−1(t)| ≤ η(γ1 + γ2),

γ1(t) = |Y (t)QY

−1

(t)|,γ2(t) = |Y (t)(I − Q)Y

−1

(t)|.

γ1 ≤ η(γ1 + γ2) + K.

Do đó

Tù

Y (t)QY

−1

(t) − X(t)PX−1(t) = X(t)(I − P )X−1(t) − Y (t)(I − Q)Y

−1

ta có
γ2 ≤ η(γ1 + γ2) + K.
Hơn nua

γ1 + γ2 ≤ 2(1 − 2η)
thì

−1

Neu η <
1

K.

γ1, γ2 ≤ (1 − 2η)−1K.
2

Neu trong (2.9) ta thay ξ bang Y −1(s)ξ thì thu đưoc nh% phân mũ:
|Y (t)QY
|Y (t)(I − Q)Y

(s)| ≤ Le−β(t−s) vói t ≥ s ≥ 0,
−1
(s)| ≤ Le−β(s−t) vói s ≥ t ≥ 0,
−1

trong đó L = (1 − 2η)−1ρK2.
Đieu ki¾n η
1
<

là thoa mãn neu θ <
4
K

1

. Do đó can k ≥ 1.

2
M¼nh đe 2.3. Gia su phương trình vi phân (2.1) có nh% phân mũ (2.2) trên
R+. Neu
α
sup |B(t)| <
t∈R+

4K2

thì phương trình nhieu (2.3) cũng có nh% phân mũ:
5 2 −(α−2Kδ)(t−s)

K e
vái t ≥ s ≥ 0,
2
5
|Y (t)(I − Q)Y −1 (s)| ≤ K 2 e−(α−2Kδ)(s−t) vái s ≥ t ≥ 0,
2
|Y (t)QY

−1

(s)| ≤

(t)


trong đó Y (t) là ma tr¾n cơ ban cua (2.3) sao cho Y (0) = I và phép chieu Q
có cùng khơng gian nhân vái phép chieu P. Hơn nua
|Y (t)QY

−1

(t) − X(t)PX−1(t)| ≤ 4α−1K3δ ∀t ≥ 0.