Luận văn thạc sĩ về phép biến đổi FOURIER phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Thị Thảo

VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


Phạm Thị Thảo

VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Tốn học tính tốn
Mã số: 60 46 30

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2012


Lời cảm ơn
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy tôi,

PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, người thầy kính mến đã hết lịng dạy
bảo, hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện
luận văn Thạc sỹ và những năm trước đó khi tơi thực hiện khóa luận tốt
nghiệp.
Tơi xin cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn-Cơ-Tin học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình dạy bảo và tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt những năm học vừa qua. Đồng
thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô và các anh chị trong
Seminar "Giải số phương trình vi phân" thuộc bộ mơn Tốn học Tính tốn
và Tốn ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội về những trao đổi khoa học quý báu.
Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị em
đồng nghiệp, bạn bè và các anh chị em trong nhóm Tốn học Tính tốn,
Cao học 2009-2011 về những hỗ trợ, chia sẻ và giúp đỡ trong suốt thời gian
tôi học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình tơi, những
người đã ủng hộ, động viên và giúp đỡ tơi trong suốt những năm tháng
qua để tơi có thể hoàn thành luận văn này.

i


Lời mở đầu
Những kiến thức ban đầu liên quan đến phép biến đổi Fourier phân đã
được xây dựng từ những năm 1920-1930. Sau đó, phép biến đổi này nhiều
lần được phát triển. Trong suốt thập niên 1980, nó nhận được sự quan tâm của
một số nhà toán học [7, 9]. Trong [7, 9], các tác giả V. Namias, A.C. McBride
và F.H. Kerr không chỉ đưa ra định nghĩa chuẩn cho phép biến đổi Fourier
phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thơng thường mà cịn
phát triển các phép toán tử cho biến đổi này đồng thời ứng dụng nó để giải

quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử. Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier
phân chỉ thực sự được quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt bài báo về ứng dụng
trong quang học, xử lý tín hiệu [2, 3, 8, 10]. Từ đó đến nay, nó đã trở thành
một một công cụ rất hiệu quả trong xử lý các tín hiệu có tần số phụ thuộc
thời gian và xử lý các tín hiệu quang học. Nhiều nghiên cứu trên phép biến
đổi Fourier phân đã được thực hiện nhằm giải quyết các bài toán ứng dụng
trong quang học, xử lý tín hiệu, hệ động lực học, quá trình ngẫn nhiên.
Trong thời gian gần đây lý thuyết về tích chập của phép biến đổi
Fourier phân đã được nhiều tác giả quan tâm [6, 12, 4, 13]. Dựa trên
những kết quả đã có về tích chập của phép biến đổi Fourier, các tác giả tập
trung xây dựng các tích chập đối với phép biến đổi Fourier phân và ứng
dụng các tích chập trong thiết kế bộ lọc.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, gồm hai chương:

i


Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourier
phân bao gồm định nghĩa, biểu diễn tích phân, các tính chất và phép tốn
tốn tử. Trong chương này, luận văn cũng giới thiệu một vài ứng dụng của
phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu.
Chương 2 xây dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng của phép
biến đổi Fourier phân và ngược của nó đồng thời áp dụng các chập này để
giải phương trình tích phân dạng chập.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên
luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự
đóng góp của các thầy cơ và các bạn để nội dung luận văn được hoàn thiện
hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2012
Học viên

Phạm Thị Thảo

ii


Bảng ký hiệu

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

FT

Phép biến đổi Fourier

FRFT
Hn(x)
Hn
φn(x)

Phép biến đổi Fourier phân
Đa thức Hermite bậc n:
2 n
−x2
n xe
d
(x) = (−1)
với n ∈N.
dxn e
2
x

Hàm Hermite bậc n: φn(x) = e− 2 Hn(x).
∫
• Khơng gian L1 (R) := .f : R → C : |f (x)| dx < +∞Σ
∫
R
1
1
√Với
φn(x) dx,
• f ∈ L (R) và
| kí hiệu
| Nn :=
2π|sin α|

√

ǁf ǁ0
:=

1
2π |sin
α|

∫
|f (x)| dx,
R

√

ǁf ǁ1

R

∫

Nn
:= 2π |sin α|
R

|f (x)| dx.


iii


Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời mở đầu

i

Danh mục các ký hiệu

iii

1 Phép biến đổi Fourier phân

1

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân

. . . . . . . . . . . .

1

1.2

Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân . . . . .

3

1.3

Phép tính tốn tử tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng . .

11

1.5

Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân.....................................14
1.5.1

Ứng dụng trong cơ học lượng tử.........................................14

1.5.2

Ứng dụng trong xử lý tín hiệu............................................19

2 Tích chập của phép biến đổi Fourier phân

29

2.1

Về tích chập của biến đổi Fourier phân.........................................29

2.2

Một số tích chập có trọng của biến đổi Fourier phân...................31

2.3

Ứng dụng.......................................................................................... 42

Kết luận

45

iv

Chương 1
Phép biến đổi Fourier phân
1.1

Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược trong không gian L2(R)
được định nghĩa như sau
1 ∫∞ f
(x)
g(u) = √
2π
−∞ e

f
√ (x) =
2π

−iu
x

dx,

1 ∫∞ g(u) iu du,
x
e

(1.1.1)

(1.1.2)

−∞

trong đó Phương trình (1.1.1) thường được xem là Fourier và Phương trình
(1.1.2) là Fourier ngược. Chuyển sang dạng tốn tử, phép biến đổi này được
cho bởi công thức sau
1 ∫∞
f
F π [f (x)] = √
(x)
e
2
2π

−iu
x

dx,

(1.1.3)

dx.

(1.1.4)

−∞

1 ∫∞ f
F − π [f (x)] = √
(x)

e
2

iu
x

2π

−∞

Toán tử
π

F

là các liên hợp phức của nhau, thỏa mãn hệ thức

và F −
2

π

2

Fπ F− π = F− π Fπ


= 1. Chúng ta chú
ý rằng nếu
2

2
2

2

F π [f (x)] = g(u) thì F
2

2

1

π

[g(u)] = f (−x), (1.1.5)


1.1. Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân

2

và nếu
F

[f (−x)] = g(−u) thì F π [g(−u)] = f (x). (1.1.6)

π
2

2

Có thể chỉ ra rằng hàm riêng của phép biến đổi Fourier là các hàm Hermite
e−x2 /2 Hn (x) với giá trị riêng e−inπ 2 , trong đó Hn (x) là đa thức Hermite cấp
n. Điều này được biểu diễn dưới dạng toán tử
2

−x /2
e
H (x)Σ = e−inπ
Σ
/2
Fπ
n e−x2 H
2
2

n

(x).

(1.1.7)

Bây giờ, chúng ta mở rộng phương trình giá trị riêng này với tham số liên
tục α
F
Σα
e−x /2 H
2

Σ
n (x) =
−inα −x2 /2

e

e

(x).

(1.1.8)

n

H

Tốn tử tổng qt Fα có thể được biểu diễn dưới dạng e−iαA. Từ dạng này,
toán tử A được xác định bằng một vài kỹ thuật biến đổi đại số
1 d2 1 2 1
Biến đổi Fourier và Fourier ngược lần lượt ứng với các giá trị α =

π

2

và

α = −2 π . α = 0 ứng với toán tử đồng nhất cịn α = π ứng với tốn tử
chẵn lẻ. Nếu chúng ta xác định cấp a của phép biến đổi Fourier phân bằng
cơng thức a = α/(π/2) thì phép biến đổi Fourier thơng thường có cấp 1.

Cấp của phép biến đổi được giới hạn trong đoạn −2 ≤ a ≤ 2.
Các tính chất dưới đây được suy ra trực tiếp từ biển diễn tốn tử.
Σ
Σ
Tuyến tính. Fα Σ bk fk (u)Σ =
bk Fα [fk (u)].
k

Biến đổi ngược. (Fα)

k
−1

= F−α.

Unitary. (Fα)−1 = (Fα)∗ .
Cộng chỉ số. Fα+β = FαFβ.
Giao hoán. FβFα = FαFβ.
Kết hợp. Fγ(FβFα) = (FγFβ)Fα.
Hàm riêng. Fα [φn(x)] = e−inαφn(x).


1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi
Fourier phân

3

Dạng toán tử mặc dù khá hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết nhưng

rất khó để sử dụng vào tính tốn. Để khai thác triệt để phép biến đổi mới,

toán tử được biểu diễn lại dưới dạng tích phân. Biển diễn tích phân được tác
giả V. Namias xây dựng lần đầu tiên trong bài báo [9] và sau đó được hai
tác giả A. McBride và F. Kerr [7] điều chỉnh nhằm khắc phục những điểm
chưa chặt chẽ.

1.2

Biển diễn tích phân của phép biến đổi
Fourier phân
Fα[φn](x) = e−inαφn(x)

Phương trình hàm riêng

chỉ ra rằng đa thức Hermite là hàm riêng của toán tử Fα với giá trị riêng
e−inα. Mọi hàm bình phương khả tích f đều khai triển được thơng qua các
Σ∞
hàm riêng này
n=0 an φn (x) với
∫+∞
2
1
x
− 2
an =
Hn(x)e
f (x)dx.
√
2nn! π
−∞

Tác động toán tử Fα lên hàm f ta được
fα :=
Fα

Σ
∞

[f ] = Σ
n=
Fα
0

Σ
anφn
Σ= ∞

[φ
anF

n

]=

n= α
0

∞
Σ
n=
0

ane−inαφn.

Đến đây, chúng ta có định nghĩa của biến đổi Fourier phân dưới dạng
chuỗi, tuy nhiên dạng này khơng thuận tiện cho mục đích tính tốn. Tiếp
tục thay
an trong chuỗi bởi biểu diễn tích phân ta thu được


+∞
∫
∞
Σ
 −inα
1√
fα(p) n=
 2nn!
0
π φn(x)f (x)dx e φn(p)
=
−∞


∫+∞
Σ

−inα

=

∞

e


−
f (x)dx
Hn(p)H
√ n(x) (x +p )/2
−
2nn! π
∞
e
.
1
∞∫
2xpe−iα − e−2iα (x2 +
ex
√
=√
p2) 1 − e−2iα
Σ
π 1− e−2iα p
−∞
2

n=0

2

x2 +
ex . p2
p
−
2

Σ

f
(x)dx,

trong đó bước biến đổi cuối sử dụng cơng thức Mehler [5]
.
Σ
2xpe−iα −e−2iα (x2 +p2 )
ex
n
Σ∞
(p) p n
(x1−e−2i
e−inα √
H
H
) α
√
.
√
n
n=0
2 n! π

π 1 − e−2iα
=
Để đơn giản biểu diễn, chúng ta sử dụng các đẳng thức sau
2xpe−iα
e− (

1

α^−α)

1 − e−2iα

= −ixp csc α,
i π
2 2

=√
,
√ √
π 1 − e−2iα
2π |sin α|
e
iα

−2

1

i

trong đó α
^ = sgn(sin α). Rõ ràng là các đẳng thức này chỉ đúng trong
trường hợp sin α ƒ= 0, tức là α ∈/ πZ. Biểu diễn tích phân thu được là
.
Σ
i 2
− i π α^−α
xp i
e 2α 2(∫∞ 2 ) e p
cot
−i
+ 2 cot
ex
f=
f (x)dx,
√
α(p) = (Fαf ) (p)
p
α
sin
α
2π |sin
x
−∞
2
α|
trong đó α = sgn(sin α) và 0 < |α| < π.
^
Trong dạng toán tử, biến đổi Fourier phân được định nghĩa (Fαf ) (p) =
f (p) nếu α = 0 và (Fαf ) (p) = f (−p) nếu α = ±π. Điều này vẫn

đúng với biểu diễn tích phân vừa tìm được vì tại các giá trị này, lim
fα+ε = fα . Do

ε→0

đó, với tính chất giới hạn này, ta có thể giả thiết rằng biểu diễn tích phân
đúng trên toàn đoạn |α| ≤ π. Rõ ràng, trường hợp |α| > π có thể lấy
modul
và đưa về trường hợp trong khoảng [−π, π]. Định lý dưới đây được chứng
minh cụ thể trong [7].


Định lý 1.2.1. Giả sử rằng α
thì biến đổi Fourier phân có biểu diễn
2
= aπ
∫∞
tích
(Fαf ) (p) = Kα(p, x)f (x)dx,
phân
−∞

trong đó nhân của biến đổi được xác định là
.
ixp
i(x2 + p2)
e−i π ()
α^−α
Σ
2

Kα(p, x) = cα
exp

−

+

.1 1 − i cot α

2

, cα = √

=
2π
2π |sin α|
với a ∈/ 2Z; Kα (p, x) = δ (p − x) với a ∈ 4Z; và Kα (p, x) = δ (p + x)
với
,
a ∈ 2 + 4Z.
i(x +p ) cot α
nếu α
+
,
kπ
Sử dụng công thức nhân
.
,
 1−i cot α exp

sin α

2

2

−

2

ixp

 2π
Kα(p, x) = δ (p − x) ,

sin α

2

nếu α = 2kπ

 (p + x) ,
δ

nếu α = (2k + 1)π



(1.2.1)
biến đổi Fourier phân được định nghĩa dưới dạng tích phân như sau

∫
∞ Kα(p, x)f (x)dx
(Fαf ) (p) =
. −∞
∫
i
1−i cot α

e p ∞ exp ,−
cot
α
2
2

+ ix2 cot α , f (x)dx, nếu α ƒ= kπ

ixp




2π

sin α

2

−∞

= f (p),


f (−p),

nếu α = 2kπ
nếu α = (2k + 1)π.


Vấn đề điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier phân đã được nghiên cứu
trong [11]. Tác giả chỉ ra rằng biến đổi Fourier phân tồn tại trong cùng
điều kiện phép biến đổi Fourier tồn tại.
Một số các tính chất sau của nhân phép biến đổi được suy ra trực tiếp
từ định nghĩa.


Định lý 1.2.2. Nếu Kα(p, x) là nhân của phép biến đổi Fourier phân thì
1. Kα(p, x) = Kα(x, p) (đối xứng chéo).
2. K−α(p, x) = Kα(p, x) (liên hợp phức).
3. Kα(−p, x) = Kα(p, −x) (đối xứng điểm).
∫
4. ∞ Kα(p, t)Kβ(t, x)dt = Kα+β(p, x) (tính cộng tính).
−∞

∫
5. ∞ Kα(p, x)Kα(t, x)dx = δ(p − t) (tính trực giao).
−∞

Mặc dù phép biến đổi Fourier phân được định nghĩa với mọi α thực
nhưng do tính tuần hồn của các hàm lượng giác liên quan nên biến đổi
này thường được xét trên đoạn [−π, π]. Lúc này, dạng tích phân được
cho bởi công thức

∫

∞

Fα [f ] (p) = f (x)Kα(x, p)dx,

(1.2.2)

−∞

trong đó
.
α

1−i cot α

exp
2
π

. i cot α

Σ
(x2 + p2 − 2xp sec α) ,
2

nếu α

0,

2

π

, π



K (x, p) =

δ (x − p)

nếu α = 0


δ (x + p)
 π
√1 e−ixp

nếu α =
nếu α =

2π

π
2

là phép biến đổi Fourier phân (FRFT), và
∫∞
F−α [g] (x) = g(p)K−α(x, p)dp,

−∞

(1.2.3)


1.3. Phép tính tốn tử tổng
qt

trong đó

.

1+i cot α

.
exp −

7
i cot α

Σ
(x2 + p2 − 2xp sec α) ,
nếu α

2
π

K−
α

√1
2π

π

2

2


(pp)
− x)
δ (xδ +
(x, p) =
π


0,

nếu
=0
nếu α
α=

eixp

nếu α = 2π

là phép biến đổi Fourier phân ngược (IFRFT).
Định lý Parseval quen thuộc đối với phép biến đổi Fourier cũng được mở

rộng đến phép biến đổi Fourier phân.
∫+∞
∫+∞
∗
x(t)y (t)dt =
Xα(u)Yα∗(u)du.
−∞

−∞

Bằng việc áp dụng Định lý Parseval, tính chất bảo tồn năng lượng (bảo
tồn chuẩn) dưới đây đã được chứng minh
∫+∞
dt
2
|x(t)| =
−∞

∫+∞
du.
2
|Xα(u)|
−∞

Như vậy, nếu hàm f (x) ∈ L2(R) thì ảnh của nó qua phép biến đổi Fourier
phân cũng là một hàm thuộc không gian L2(R).

1.3

Phép tính tốn tử tổng qt

Cũng như trong trường hợp phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace,
phép tính tốn tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân.
Phép biến đổi của tích
Cho f (x) là một hàm bất kỳ thuộc lớp hàm L2(R), ta cần chỉ ra phép
biến đổi Fourier phân của xmf (x).
Sử dụng công thức truy hồi
Hn+1(x) + 2nHn−1(x) − 2xHn(x) = 0,

,π


ta suy ra
Σ
F x
e
α

Σ

− 2
x

2 H (x) (p) =
n
pe

p2

−

2

e
−i(n+1)α

p2

−2

Hn(p)

−i(n−1)α

(e

(1.3.1)

− e−i(n+1)α)Hn−1(p).
′

Mặt khác, Hn(p) = 2Hn−1(p) nên
d
dp
Fα

2

2
p

Σx −x2

−
p2
H (x) =
−in − 2
−in e 2 Hn−1(p). (1.3.2)
e
Σ n
e
H
(p)
+
n
α
α
−pe
2ne
p2
Rút gọn ne−inαe− 2 Hn−1(p) giữa phương trình (1.3.1) và (1.3.2) ta thu được
Σ Σ −
−
Σ
Σ .
2
2
Σ
d
x2

x2 H (x) =
p cos α + i
Fα
F
H
n
α e
n(x) .
sin α
xe
dp
Suy ra

Fα [xf ] = .p cos α + i sin α α [f ].
d
d
p
ΣF

(1.3.3)

Dạng tốn tử của phương trình này là
Fα x = .p cos α + i sin α
d
d
p
ΣF

.

(1.3.4)

α

Lặp lại cơng thức (1.3.4) ta có kết quả
.
=
Σm
m
Fα
p cos α + i d
F α.
sin α
x

(1.3.5)

Từ phương trình (1.3.5) ta có ngay
Fα[x

1
]=
sin 2α(i
+ p2
2

2f

d
2

d2
F [f ].
cot α)Fα[f ] + ip sin 2α Fα[f α
2 α
] − sin
dp(1.3.6)
dp

Bây giờ ta xét hàm g(x) với giả thiết khai triển được thành chuỗi Taylor
g(x) =Σbmxm. Sử dụng phương trình (1.3.5), ta tìm được phương trình
tốn tử tổng qt hơn


Fα [g(x)] = g .p cos α + i sin αα .
d
d
p
ΣF

(1.3.7)

Tác động toán tử này lên hàm f ta được
Fα [gf ] = g .p cos α + i sin αα [f ].
d
d
p
ΣF

(1.3.8)

Đổi thứ tự của f và g ta cũng tìm được
Fα [gf ] = f .p cos α + i sin αα [g].
d
d
p
ΣF

(1.3.9)

Vậy biến đổi Fourier phân của xmf (x) trong đó f (x) thuộc lớp hàm
Lebesgue L2 trong khoảng (−∞, +∞) được cho bởi công thức
.
Σm
d
m
f (x)] p cos α + i
Fα [f (x)] .
Fα
sin α
=
[x
Đặc biệt, trong trường hợp m = 2:
Σ
Σ2 1
2
Fα x f (x) = sin 2α(i + p
α [f (x)] +
F 2
cot α)

1
d
d2
2

(1.3.10)

(1.3.11)

Phép biến đổi của vi phân
Quy tắc chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của đạo hàm một hàm số. Bằng
cách sử dụng biểu diễn tích phân (1.2.2) và phương pháp tích phân từng
phần với giả thiết hàm f (x) → 0 khi x → ±∞, ta tìm được
df
ip
Fα[f ].
F αΣ
Σ = −i cot α [xf ] +
d
sin
x
α
αF
Sử dụng phương trình (1.3.3), ta được
df
Fα Σ
Σ = .ip sin α + cos α
d
d
d x

p
ΣF

α

[f ] .

Dạng tốn tử của phương trình (1.3.12) là
d
d α,
F αΣ Σ = Σip sin α + cos α
d
d
x
p
ΣF

(1.3.12)

(1.3.13)

và có thể mở rộng đến đạo hàm cấp cao
F

Σ

dm

Σ

.
= ip sin α +
cos α

d

Σm

F α.

(1.3.14)


Trong trường hợp đạo hàm cấp 2, ta có cơng thức
Σ
Σ
2
d
d2f
=
sin
α+i
cos
α)
sin
αF
[f
]+ip
sin
α

Fα
(−p
dx2

2

d2
α 2
Fαdp
[f ]
(1.3.15)


1.3. Phép tính tốn tử tổng
qt

10

Với hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Taylor, ta có
df
Fα Σg .
Σ f Σ = g .ip sin α + cos α α [f ] .
d
d
d
x
p
ΣF

(1.3.16)

Phép biến đổi của tích hỗn tạp
Bằng cách sử dụng công thức (1.3.10) và (1.3.14) trong trường hợp m = 1
ta tìm được cơng thức phép biến đổi của tích hỗn tạp
.
Σ (f ) +
df
F .x
Σ = − sin α + ip2 cos α

(1.3.17)

sin αF
α

dx

α

d
i
d2
p cos 2α
Fα (f ) + sin 2α
Fα (f ) .
dp
2
dp2
Phép biến đổi của thương
. Σ

f
Để tìm Fα x , ta bắt đầu từ cơng thức (1.2.3) bằng cách thay f xbởi f . Công
thức phép biến đổi của thương được cho dưới đây.
f

Fα

i

. Σ
∫p ip2
ipe 2
=
−
e− cot Fα (f ) dp.
2 cot
2
x
sin α
−∞ α

(1.3.18)

Phép biến đổi của tích phân
Xét hàm g(x)
=

x

∫

a

f (x)dx, ta
suy ra

f (x)
=

(1.3.12), ta có

d

g(x)

d
x

F [f ] =
d
Fα
Σ
g(x)Σ = (ip sin α + cos
α)

d

. Áp dụng công thức

α

[g] .

(1.3.19)

F

α

d
d
x
p
Đặt gα := Fα [g] và fα := Fα [f ], ta thu được phương trình vi phân
′

ip sin α gα(p) + cos αgα(p) = fα(p).
Giải phương trình này ta thu được cơng thức