Luận văn thạc sĩ vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Thị Thu Hà

VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ
CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số
: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Nguyễn Đình Dũng

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Thị Thu Hà

VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ
CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH
THỂ…....................................................................................................................... 3
1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ........................................... 3
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể…..................................... 7
1.2.1. Yếu tố ma trận tương tác hạt nhân.............................................7
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ................................................. 8

CHƢƠNG 2: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH
THỂ PHÂN CỰC....................................................................................................13
CHƢƠNG 3: TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA NƠTRON PHÂN CỰC TRONG
TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC…...........................................22
3.1. Cơ sở lý thuyết về cấu trúc từ xoắn đinh ốc….......................................22
3.2. Tiết diện tán xạ từ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể cấu

trúc từ xoắn đinh ốc…...........................................................................26
CHƢƠNG 4: VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH
THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC..........................................................28
4.1. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể phân cực..............28
4.2. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn
đinh ốc................................................................................................... 29
KẾT LUẬN…......................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO…................................................................................... 32


MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học, quang học
hạt nhân phát triển mạnh cho phép ta mở rộng nghiên cứu cấu trúc của tinh thể.
Tính hiệu quả lớn của phương pháp nhiễu xạ nơtron được xác định bởi bản chất tự
nhiên của nơtron như một hạt cơ bản.
Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là một công cụ độc
đáo để nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng
[19, 20, 21, 22]
Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất tinh thể, phương pháp quang học hạt
nhân đã được sử dụng rộng rãi. Khi nghiên cứu các hạt nhân của vật chất phân cực
thì việc nghiên cứu trạng thái phân cực của chùm nơtron tán xạ cho ta rất nhiều
thông tin quan trọng về q trình vật lý, ví dụ như sự tiến động của hạt nhân của
spin của nơtron trong các bia có các hạt nhân phân cực,…[18, 19]
Các nghiên cứu và tính tốn về tán xạ khơng đàn hồi của các nơtron phân
cực trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng
về tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan
spin của các hạt nhân [22, 23]…. Ngoài các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và tán xạ
của các nơtron phân cực trong tinh thể có sự bức xạ và hấp thụ magnon cũng đã
được nghiên cứu [8,9,12,16]
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu vector phân cực của nơtron tán xạ
trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc.
Sử dụng phương pháp toán lý và lý thuyết tán xạ của cơ học lượng tử để
nghiên cứu đề tài.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết
toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.
Nội dung luận văn được trình bày trong 4 chương:
4


Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.

Chương 2: Tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực
Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể có cấu
trúc từ xoắn đinh ốc.
Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ
xoắn đinh ốc.


CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ

1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ
Hiện tượng: Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng
lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất
trung hồ về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thơng tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực
của chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do lẫn electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Để tính tốn tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào hình thức luận
thời gian.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng

n , là hàm riêng của

tốn tử Hamilton của bia:
H n = En n

(1.1)

Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái n ' . Cịn nơtron có
thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử, ban đầu trạng thái của nơtron được


mơ tả bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi
tương
tác với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái

n'.

p
'



và hạt bia chuyển sang trạng thái


Xác suấtWn ' p ' np của q trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng [2]:

=

W

2π



n'p ' n
V

n ' p '|np

p

2



δ (E + E − E
n



p

−E
n'

)

(1.2)

p'

Trong đó:
V là tốn tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia.
En , Ep , En' ,

Ep '

là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước

và sau khi tán xạ.

δ ( En + E p − En ' − E p ' - hàm delta Dirac.

)
δ (E + E − E − E ) = 1
n

p

+∞

n'
p'

2π 

−

i

(E + En −E −E
)nt '
p

e

p'

dt

(1.3)

∫

−∞

Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp ' p của q trình trong đó nơtron
sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái


p , nó nhận được bằng cách
'

tổng hóa các xác suất Wn ' p ' np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo
các trạng thái đầu. Bởi vì bia khơng ln ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng
quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng
thái n là ρn . Theo đó ta có:

W
p '| p


=

2π

∑ρ


n'p ' n
V



=

2π

p

2



δ (E + E − E
n

p

)

E
n

p

nn '

∑ρ
 nn '

n

n'
V

(1.4)

n 2 δ (E + E − E − E )
p'p

n

p

n'

p'


Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận:


n
n'p 'V 

p

= n ' Vp ' p n

(1.5)

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia
lấy theo các trạng thái của nơtron và Vp ' p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia.
Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:
1
Wp '| p

+∞

i

(E

p
'

)

nn '

∫
p dt∑ ρ

=

2

i

*
(E

−E t
nn
'

e

n'
V

−∞

p'
p

n
V

n'

p'
p

n e

−E )t
n'

(1.6)

n

En , En' là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là

n,n'

, từ đó ta

viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
i

n ' Vp'

n
e
n

p

Ở đây: Vp ' p (t ) =
e

i

Ht

Vp '
e
p

i
− Ht




(E

−E )t

n'

=n'
V

p'
p

(t )

(1.7)

n

là biểu diễn Heisenberg của toán tử

Vp ' p với

toán tử Hamilton.
Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới
sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy cơng thức lấy tổng
theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Wp '| p =

1
2


+∞

+∞

i

∫e

−∞

(E

−E

)t



+

dt∑

n ' Vp ' pVp ' p (t ) n

ρnn '

nn '

i

( E −E )t
1
dte  p '
2 ∫
=  −∞

+


Sp {ρVp ' pVp ' p ( t )}

(1.8)


Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia ρ ,

các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác
suất

ρn .

Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bố trạng thái là:
ρ=
β=

Với:

e− β H
Sp {e− β H

1

}

kzT

kz - hằng số Boltmann

T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân
bố là [1]:
A = ∑ ρn A =

Sp {e
A}

(1.9)
−βH

−βH

Sp{e

n

}

Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được:

1
Wp '| p =


2

+∞

)

−E t

i

(E

∫ dte

−∞

p



p'

i

Sp{ρV
+
p'pp'p

1

( t )}

=2


+∞

(E

V

{

) Sp e

−E t

−βH

V

+

p'p p'p

∫ dte
p

−∞



p'

Sp {e− β H }

(t )}


+∞

i

( E −E )t V + V
1
(t

= 2 ∫ dte p '
) p'p p'p
 −∞

(1.10)

Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm δ ) thì tiết
diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng
lượng d 2σ
dΩd
E

, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:


d
2

σ

=

dΩdE

m2

p'
3

p'

( 2π  ) p

W p '|p =

m2

p'

+∞

35

(2π )

p


i

∫ dte
−∞

(E −E )t

(1.11)

V p' pVp 'p t 

Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm
các nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong cơng thức (1.11) đưa vào tốn tử mật độ spin của nơtron tới ρσ

và sử

dụng công thức:
L = Sp{ρσ L}

(1.12)

Do đó dạng tường minh của cơng thức (1.11) được viết lại là:
+∞ 2

m

d σ

i

p'

2

dΩdEp '

=

)

(2π

3



5

p

∫ dte

(E

−E

)t



−∞

+

Sp {ρσ Vp ' pVp ' p ( t

)}

(1.13)

1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của tương
tác hạt nhân và tương tác từ.
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:

Trong đó



V (r n) = αδ (r n R)
−


(1.14)


1




α = A + B(sJ

(1.15)

2)


r n - vị trí của nơtron


- Vị trí của hạt
nhân

R

A, B - là

các hằng
số


(1.16
)

- Spin
của hạt
nhân

J


s - Spin

của

nơtron
Do đó thế
tương tác
của
nơtron
với hạt
nhân thứ l
là:
V (r
l

n

n

Rl )

Lấy tổng công thức
(1.16) theo l từ 1 đến số
hạt nhân trong bia ta sẽ tìm
được thế tương tác của
nơtron với toàn bộ bia:
  (1.17)
V = ∑N α δ (r −
l
n
l

Rl )

Các
Vp ' p thuộc toán tử tương tác hạt
yếu tố nhân V từ xung lượng
ma
trận


p đến p ' được ghi nhận trên cơ sở (1.16) có

dạng:
V

i( p
= ∑αp ' pe





− p ') R
l

(1.18)

l

1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron với tinh thể có
thể hiểu như tương tác của từ trường được

sinh bởi nơtron với các dòng điện của điện tử
(các điện tử này là các điện tử của các đám
mây điện tử khơng kín của nguyên tử). Toán
tử năng lượng của tương tác dạng này có thể
được biết dưới dạng [20, 9]:

l


V
=
)
l

ú:

(
r )




à n ì(r

l

A n rl

nơtron nằm ở điểm r



rl − r

c





  

(1.19)

( ) (

A rl j rl

là vector thế của trường ở điểm



)=

1


r được sinh bởi

n

l

3

.n





n

nuc n

µ = 2γµ s là mơ men từ của nơtron, γ = −1,913 là đại lượng mô men từ

của nơtron trong Manheton hạt nhân.



j ( rl ) là dòng điện được sinh bởi điện tử thứ l (dấu tổng trong công thức1.19

được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp của tinh thể).
Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với các xung
lượng


p

'

p với các trạng thái ca bia (tinh th)

v



(

)



a' V a =



p' p


l





à nì ( r l − r )
n
1




ψr − r

l

n

*
a
'

a

và ψ a ta có:
'




j ( rl

)ψ

(

a

(1.20)

ei p  p'

)

r dr ( dτ )
n

c

Tính tích phân theo ( dτ ) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả điện tử chứa
trong công thức (1.19). Như chúng ta đã biết các yếu tố ma trận của dòng điện bằng:


1



=



ψ * j ( r )ψ iµ

(ψ ∇ ψ
ψ

c

Trong đó: 
sl

aa '

l

0

ala'

*

−ψ * ∇

)  + 2µ rot (ψ
sψ )

a'la

là tốn tử spin của điện tử thứ l , µ =
0

0

e

l

(1.21)
*

a'l a

là Manheton Bohr

2me c

Số hạng đầu vế phải của cơng thức (1.21) mơ tả dịng điện gây bởi chuyển
động quỹ đạo của các điện tử. Số hạng thứ hai vế phải của (1.21) mơ tả phần spin
của dịng điện .


Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện. Thay số hạng thứ


r − = .

rl
R

hai trong (1.21) vào (1.20) và đưa vào tọa độ tương
đối

Biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (1.20) dưới dạng:
−
e iqR



(a ' V

 
p 'p



  

)

a = −∑ à n ì
dR 2à0e
3
R
rotl ( a' slψ a )drl
iqrl
* 
R 
l 

(1.22)


Ở đó: q = p − p ' là vector tán xạ của nơtron.
 

Ta đã có [20]:

∫

−





RdR e
iqR

=−

R3

4π iq
q2

Và

∫e


iq l

r

rotl (ψ*a'slψ a )drl = −iq

× ∫e

Thay vào biểu thức (1.22) ta được:

(

=a−' Vp ' p a

4π  2

)




iq r




iq l

r

*





ψ a ' slψ a drl
 

  

(1.23)

r0γ  a ' ∑ e l sl a  , sn − (esn


m

)e 


l



Biểu thức trong dấu ngoặc trịn là tích vơ hướng của các vector.

e2 là vector bán kính điện từ của electron
0
r = m0 c2





e =

là vector tán xạ đơn vị.

q

Trong biểu thức (1.23) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được



q

tách riêng. Sự đơn giản hóa tiếp theo có thể đạt được nếu ta phân tách tổng theo l
thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử
nguyên tử của bia

∑

∑
ν

và tổng theo tất cả các

.Chúng ta chỉ xem xét tán xạ từ khi trạng thái của mạng

j

không thay đổi, còn trạng thái a được chọn bởi tập hợp các hình chiếu của spin để
cho các nguyên tử.


Trong trường hợp này có thể viết:




 a ' ∑e
a


l






N

iqrl




iqR j

s a  = ∑e

l





j

 
a ' ∑ eiqrν s
z



j



(1.24)

ν



ν

Ở đó z là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ j .
j

Đối với các nơtron chậm chúng ta chú ý rằng các nơtron này không gây ra
các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái năng lượng kích thích mà chỉ làm
thay đổi sự định hướng spin của nguyên tử. Như vậy phép chuyển từ a sang a '
có dạng α m sang α m . Ở đó m,

là tập được chọn các số lượng tử spin để cho

m'

'

các nguyên tử của bia (tinh thể) còn α là tập hợp các số lượng tử còn lại của

nguyên tử.
Từ định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra rằng yếu tố ma trận trong trường
hợp cụ thể này có thể được biểu diễn dưới dạng:
zj
  
zj




 

esiqr S  j
iqrν
a ' e sν a = m ' m  α m
αm 
 ∑
S j  S j 1

Sj
∑



ν
ν



(



)

(1.25)

Với

zj 
S j= ∑
sν

là toán tử spin của nguyên tử thứ j .

ν

S j là đại lượng spin của nguyên tử thứ j .

iq r

Biểu thức:
z

F
∑(q ) = α m j esiqr S  j =α m





S j  S j 1

ψ
∑

*

zj

e
S

ν

 

( s S ψ) dτ
ν

j

(1.26)




j

∫

j

ν

j

(S

+1)

j

j






Trong đó ψ là hàm sóng của điện tử của nguyên tử thứ j . ( dτ j là yếu tố thể
j

tích trong khơng gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ j ), không phụ thuộc


vào số lượng tử m có nghĩa là khơng phụ thuộc vào sự định hướng của spin của các
nguyên tử và coi chúng như là đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử.


Đại lượng này ( Fj ( q ) ) được gọi là Form-factor từ của nguyên tử (chính xác hơn

nên gọi nó là Form-factor spin).
trong ngun tử.

Fj

(q )

đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin

Khi z =1 thì Form - factor từ nguyên
j
tử

Fj

(q )

đơn giản chỉ là biểu diễn

thành phần Fourier của mật độ spin.
Khi
và ψ −


z j >1 công thức (1.26) dễ dàng được biến đổi chúng ta sẽ kí hiệu ψ + ( r )

là các hàm sóng của điện tử ở lớp không lấp đầy là +1/2 và -1/2 (tương


(r )

ứng với hướng spin trong nguyên tử 

S j ). Tạo từ các hàm này các tổ hợp phản đối

xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó mơ tả trạng thái với
 

spin tổng cộng S, và đặt nó vào ψ j ở (1.26). coi các giá trị riêng của toán tử ( sν S ) là
S/2, khi đó spin của điện tử thứ ν cộng với spin của ngun tử và -(S+1)/2 thì thay
vào cơng thức (1.26) ta nhận được biểu thức sau đối với Form-factor spin:
iq r
1
F (q ) =
e−N
  { N | ψ ( r ) |2
( r ) |2 } dr
|ψ

∫
2S

+

+

−

(1.26')

−

N+ , N_ là các điện tử trong nguyên tử với spin tương ứng với spin tương ứng

là +1/2 và -1/2.
Như vậy hàm điện tử ψ ±

được giả định là đã được chuẩn hóa từ (1.26')



(r )
chúng ta có thể cho q = 0:
F (0) =

1
2S

(N
+

−N) =1
−


Do vậy hiển nhiên ta có:
N+ − N− = 2S .

Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ (1.26).
Fj


(q )

Biểu thức (1.26') cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của Form-factor spin
như thành phần Fourier của mật độ spin nguyên tử. bây giờ quay về (1.23) ta


thấy rằng các phép biến đổi (1.24) và (1.25) cho phép biểu diễn yếu tố ma trận


( m ' S m) của các toán tử spin của các nguyên tử

(1.20) qua các yếu tố ma trận

j

riêng rẽ của bia (tinh thể). Kết hợp biểu thức (1.23) đến (1.26) ta sẽ nhận được biểu
thức cho toán tử của tương tác từ:
Vp ' p
Fj 
4π  2 r
j
j
iqR
=
−
γ
m
(q)e
∑

 n)e
S j, n (es
−
× s



(1.27)

)

(

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm khơng phân cực tán xạ trong
tinh thể, ngồi tương tác hạt nhân chúng cịn tương tác từ. Do đó trong biểu thức tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại tương tác
ở trên:
d 2σ

d 2σ

d 2σ
= n + m
dΩdEp ' dΩdEp '

dΩdEp '

(1.28)

Thay các biểu thức thế ở (1.18) và (1.27vào (1.11) chúng ta tìm được dạng
tường minh của các số hạng trong (1.28):
d 2σ

2
'm

n
=
dΩdEp '

Và:
d 2σ

2

=
dΩd
E
p'

(r0γ )

p'

p

+∞ i

p

∑

(2π )3 5 p

∑
jj '





l l'

∫e

ll '



( E −E )t

−∞



+∞

E





e iqRl (0)eiqRl ' (t )
dt

(1.29)

∑

Fj (q)Fj ' (q) αβ (δαβ − eα eβ ) ×
i
(
1

−



β



−E )t
p

α

×

2π  ∫

−∞

dte 

j

S (0)e



−iqR j (0) iqR j ' (t )

e

j

S (t)




(1.30)
Với:

(α, β = x, y, z )

 sα − (se)eα   s β − (se)e β 

4
1
= (δ

αβ

− eα eβ )

(1.31)