Luận văn thạc sĩ nghiên cứu một số kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong giải số mô hình thuỷ lực hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
******

VIỆN CƠ HỌC
*****

NGUYỄN THÀNH ĐÔN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRONG GIẢI SỐ MƠ HÌNH
THUỶ LỰC HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI-2005


*****

*****

NGUYỄN THÀNH ĐÔN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRONG GIẢI SỐ MƠ HÌNH
THUỶ LỰC HAI CHIỀU

Chun ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60.44.22

Luận văn thạc sĩ
Ngƣời hƣớng dẫn khoa
học: PGS.TS Hoàng Văn
Lai

HÀ NỘI-2005


1

Trang
Lời cảm ơn................................................................................................1
Mục lục.....................................................................................................2
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt.....................................................4
Danh mục các hình vẽ, đồ thị....................................................................5
Mở đầu......................................................................................................6
Chƣơng1 - GIỚI THIỆU CHUNG................................................................ 8
Chƣơng 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .......................................

11

2.1 Hệ phƣơng trình Saint Venant..................................................... 11
2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều và
hai chiều.......................................................................................................... 13
2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều
2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực hai chiều 21

2.3 Ý nghĩa vật lý của điều kiện biên trong thuỷ lực học.......................22


Chƣơng 3 - KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN TRONG MỘT SỐ
PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN HAI CHIỀU.......................................... 23

3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phƣơng pháp khối hữu hạn
3.1.1 Phƣơng pháp rời rạc hoá hệ phƣơng trình Saint Venant........25
3.1.2 Kỹ thuật xử lý các phần tử trên biên......................................27
3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ƣớt.....................................................30
3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm VODAP_2D................32
3.2 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phƣơng pháp phần tử hữu
hạn

32
3.2.1 Phƣơng pháp rời rạc hoá hệ phƣơng trình Saint Venant.........32
3.1.2 Cách đƣa điều kiện biên vào hệ phƣơng trình........................36
3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khơ ƣớt.....................................................38
3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm TELEMAC_2D..........39
Chƣơng 4 - KẾT QUẢ GIẢI SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN MẪU..................41
4.1 Bài tốn mẫu có nghiệm giải tích...................................................41
4.2 Bài tốn thí nghiệm có số liệu thực đo..............................................42
4.3 Bài tốn thí nghiệm có số liệu thực đo..............................................45
4.4 Bài tốn thực tế đánh giá thực trạng lịng dẫn sơng Hồng- sơng Thái

Bình và kiểm chứng......................................................................................50
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ........................................................................ 54

DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ............................................... 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 56


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

h - giá trị mực nƣớc.
u - vận tốc (trung bình) theo trục
x. v - vận tốc (trung bình) theo trục
y. g- gia tốc trọng trƣờng.
kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục x.
ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục y.
So,x - độ dốc đáy theo trục x.
So,y - độ dốc đáy theo trục y.
Fx - lực khối chiếu theo trục x.
Fy- lực khối chiếu theo trục y.

 e - hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp khuyếch
tán rối.
Sce - thành phần nguồn phụ.
Z - cao trình mặt thống.
Zf – cao trình đáy.


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .

Hình 2.1

Một điều kiện biên tại thƣợng lƣu.

Hình 2.2

Hai điều kiện biên tại thƣợng lƣu.

Hình 2.3

Một điều kiện biên tại hạ lƣu.

Hình 2.4

Khơng cần điều kiện biên tại hạ lƣu.

Hình 3.1

Phần tử trong miền.

Hình 3.2

Phần tử biên.

Hình 3.3

Các phần tử nửa khơ nửa ƣớt cần xử lý đặc biệt.

Hình 3.4

Các nút cần xử lý đặc biệt.

Hình 3.5

Các sửa gradient mặt thống lỗi.

Hình 4.1

So sánh mực nƣớc tính tốn với mực nƣớc giải tích.

Hình 4.2

Cấu hình kênh bài tốn mẫu số 2.

Hình 4.3

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S1.

Hình 4.4

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S2.

Hình 4.5

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S3.

Hình 4.6

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S4.

Hình 4.7

Cấu hình kênh bài tốn mẫu số 3.

Hình 4.8

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S1.

Hình 4.9

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S2.

Hình 4.10

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S3.

Hình 4.11

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S4.

Hình 4.12

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S5.

Hình 4.13

So sánh tính tốn với thực đo tại điểm đo S6.

Hình 4.14

Mơ hình hành lang thốt lũ sơng Hồng.

Hình 4.15

Lƣới đƣợc chia chi tiết trên các cơng trình đê, bối.

Hình 4.16
Hình 4.17

So sánh kết quả giữa 2D và 1D tại trạm thuỷ văn Hà Nội.
So sánh kết quả giữa 2D và 1D tại cầu Thăng Long.

Điều kiện biên là một trong những bộ phận cấu thành của một bài toán
cơ học chất lỏng. Điều kiện biên trong lĩnh vực thuỷ động lực học lại mang
một số đặc trƣng chuyên sâu riêng so với các ngành khác. Hơn nữa kiến thức
và kinh nghiệm về xử lý điều kiện biên còn giúp ngƣời tác nghiệp áp dụng có
hiệu quả thuỷ động lực học vào thực tế. Vì vậy nghiên cứu và nắm rõ điều
kiện biên của các bài toán thuỷ lực là nhiệm vụ cần thiết của ngƣời làm thuỷ
lợi.
Đề tài nghiên cứu ảnh hƣởng của điều kiện biên tới kết quả số trong mơ
hình hai chiều chỉ tâp trung vào các vấn đề về điều kiện biên của phƣơng trình
nƣớc nông Saint Venant 2D. Trong khuôn khổ luận văn sẽ đề cập và giải thích
một số khái niệm, định nghĩa của điều kiện biên trong bài toán 2 chiều. Luận
văn sẽ mô tả ý nghĩa và tác dụng của từng loại điều kiện biên trong thực tế,
yêu cầu về số lƣợng điều kiện biên để một bài tốn có nghiệm duy nhất.
Tuy nhiên để dẫn giải sáng sủa vấn đề, chƣơng hai của đề tài sẽ đề cập
đến kiến thức điều kiện biên trong bài toán một chiều trƣớc. Điều kiện biên
hai chiều sẽ đƣợc lập luận tƣơng tự.
Khi nghiên cứu các bài toán hai chiều truyền lũ, các nhà thuỷ lực đã gặp
câu hỏi làm thế nào mô tả đƣợc sự lan truyền nƣớc từ vùng ƣớt lên vùng khơ,
và ngƣợc lại sự rút nƣớc. Khi đó ta khơng cịn khái niệm mơi trƣờng liên tục
trên tồn miền tính nữa. Khác với khí động học, tồn bộ vùng nghiên cứu

ln đƣợc lấp đầy khơng khí, trong thuỷ lực sự dâng nƣớc dẫn đến ngập các
vùng khô hay ngƣợc lại rút nƣớc từ vùng ƣớt thành vùng khô lại thƣờng
xuyên xảy ra. Vùng giáp ranh khô ƣớt lúc này đƣợc coi là biên lỏng di động
và chúng cần đƣợc nghiên cứu. Loại điều kiện biên này tuy không đƣợc hiểu
theo nghĩa thông thƣờng nhƣ các loại điều kiện biên khác, nhƣng do ý nghĩa
quan trọng của nó, đề tài sẽ cập đến loại điều kiện biên này ở một chƣơng
riêng. Chƣơng ba sẽ nêu các định nghĩa xác định biên trong miền, cũng nhƣ
một số bài tốn mẫu có lời giải để kiểm chứng.
Chƣơng cuối cùng sẽ đƣa ra một vài bài tốn mẫu có lời giải giải tích
hoặc số liệu thực đo do các phịng thí nghiệm của châu Âu đề xuất. Chƣơng
này cũng đƣa một vài bài toán thực tiễn mà nhóm của tác giả đã thực hiện
trong thời gian vừa qua. Kết quả số sẽ đƣợc so sánh với kết quả mẫu nhằm
chứng minh các vấn đề mà luận văn đặt ra. Tuy kết quả số chỉ là các giá trị
trung bình và đơi chỗ cịn khác so với kết quả thực đo, nhƣng nhìn tổng thể
các kết quả đó đạt các tiêu chuẩn cho phƣơng pháp số.
Bản thân lý thuyết về điều kiện biên của hệ phƣơng trình Saint-Venant
2D đã đƣợc phát triển bởi rất nhiều thế hệ khoa học. Do vậy, đề tài chỉ nhằm
mục tiêu nêu lại các lý thuyết và cách áp dụng chúng vào thực tiễn sao cho
đảm bảo tính chặt chẽ và hiệu quả đáp ứng đƣợc các bài toán thực tế đặt ra.


Chƣơng 1 – GIỚI THIỆU CHUNG.
Kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho phƣơng trình Saint Venant đã đƣợc
nhiều thế hệ các nhà khoa học cả chuyên ngành toán học lẫn cơ học quan tâm
từ lâu. Trong nƣớc có PGS.TS Trần Gia Lịch, GS.TSKH Nguyễn Kim Đan,
PGS.TS Hoàng Văn Lai đã nghiên cứu và có nhiều bài báo đăng trên các tạp
chí uy tín về vấn đề này. Ở nƣớc ngồi cũng có rất nhiều nhà khoa học đã
nghiên cứu và hoàn thiện kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho các bài toán thuỷ
lực học. Sau đây là sơ lƣợc tình hình nghiên cứu của các tác giả trong nƣớc.
GS Nguyễn Kim Đan hiện đang công tác tại đại học tổng hợp Caen

nghiên cứu chuyên sâu về các phƣơng pháp số giải hệ phƣơng trình SaintVenant 2D và kỹ thuật xử lý biên khơ ƣớt. Các kỹ thuật đó rất quan trọng
trong các bài toán vỡ đê, vỡ đập, lan truyền lũ v.v. Giáo sƣ là ngƣời hƣớng
dẫn nhiều nghiên cứu sinh và cán bộ Việt nam về vấn đề này. Phƣơng pháp và
phần mềm của giáo sƣ viết hiện đang đƣợc ứng dụng tại Việt nam.
PGS.TS Hoàng Văn Lai cũng nghiên cứu về kỹ thuật xử lý biên gián
đoạn. Kết quả tính tốn số bằng chƣơng trình do PGS Hoàng Văn Lai xây
dựng đã vƣợt qua các bài tốn mẫu do các phịng thí nghiệm thuỷ lực châu
Âu đƣa ra.
GS.TS Trần Gia Lịch và TS Lê Kim Luật đã viết một bài báo về điều
kiện biên, hai ngƣời đã chứng minh rằng để tồn tại duy nhất nghiệm trong bài
tốn tuyến tính hố, các điều kiện biên phải thoả mãn một vài bất đẳng thức


liên hệ. Bài báo có ý làm chặt chẽ theo nghĩa tốn học phƣơng pháp tuyến
tính hố. Tuy nhiên, bài báo đƣa ra một vài luận đề toán học làm cơ sở mà
khơng chứng minh.
Trong các bài tốn thực tế về quá trình lan truyền lũ, việc tìm các giá trị
của các đại lƣợng trên biên là rất quan trọng. Vì vậy ngƣời ta đã xây dựng một
số phần mềm tính các giá trị của các đại lƣợng đó từ lƣợng mƣa trên lƣu vực.
Q trình hình thành dịng chảy từ lƣợng mƣa rơi trên lƣu vực là quá trình
phức tạp, phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: độ dốc, độ che phủ của lƣu vực,
thành phần cấu tạo của đất, lƣợng bốc hơi….Mơ hình mƣa rào dịng chảy
đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết chấp nhận một số thông số đặc trƣng
cho từng lƣu vực. Các thông số này sẽ đƣợc lựa chọn bằng thuật toán tối ƣu
hoá dựa trên các số liệu thực đo ngay trƣớc thời điểm cần tính tốn. Mơ hình
thuỷ văn mƣa rào dòng chảy đƣợc xây dựng dƣới sự chỉ đạo của GS.TS. Trịnh
Quang Hồ đã có khả năng tính tốn dịng chảy sinh ra do mƣa trên các lƣu
vực. Trong khi xây dựng mơ hình thuỷ văn mƣa rào dịng chảy chúng ta phải
chấp nhận nhiều thông số thực nghiệm cho từng lƣu vực. Vì q trình hình
thành dịng chảy trên lƣu vực phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố của lƣu vực:

địa hình, độ che phủ, cấu tạo đất….Do vậy, việc xác định các thông số đặc
trƣng của lƣu vực cho mơ hình thuỷ văn mƣa rào dịng chảy là rất khó khăn
và cho độ chính xác khơng cao. Với mục đích mơ phỏng chính xác hơn q
trình hình thành dòng chảy trên lƣu vực, trong thời gian gần đây nhiều nhà
thuỷ văn, thuỷ lực đã cố gắng xây dựng các mơ hình thuỷ văn sử dụng các
thành tựu mới nhất của lĩnh vực thông tin địa lý (GIS). Một trong các mơ hình
loại này là mơ hình MARINE (Modelisation de l’Anticipation du
Ruissellement et des Inondations pour des événements) do Viện Cơ học chất
lỏng Toulouse (IMFT – Institut de Mecanique de Fluides de Toulouse) phát
triển. Trong khuôn khổ của đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ KC.08-13


với sự hỗ trợ của Dự án FLOCODS, Viện Cơ học đã hợp tác với Viện Cơ học
chất lỏng Toulouse trong việc ứng dụng thử nghiệm mơ hình MARINE cho
lƣu vực sông Đà. Kết quả của việc hợp tác này là Viện Cơ học đƣợc sử dụng
có bản quyền mã nguồn gốc bộ chƣơng trình của mơ hình MARINE.
Trong thời gian làm luận văn, dƣới sự hƣớng dẫn của PGS.TS Hoàng
Văn Lai, tác giả đã sƣu tầm và nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới luận
văn. Tác giả đã chọn lọc, trích dẫn từ các nguồn tài liệu đó, lấy đó làm chất
liệu để viết cuốn luận văn này. Tác giả cũng sử dụng các phần mềm nhƣ
TELEMAC 2D, VO_DAP 2D làm công cụ để chạy các bài tốn mẫu, lấy kết
quả từ các chƣơng trình đó làm luận chứng cho luận văn.


Chƣơng 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.
2.1 Hệ phƣơng trình Saint Venant.
Hệ phƣơng trình Saint Venant (đƣợc xây dựng năm1871) là các phƣơng
trình quan trọng trong nghiên cứu hải dƣơng và thuỷ đơng lực sơng ngịi. Các
phƣơng trình này thu đƣợc từ hệ phƣơng trình Navier-Stocke bằng cách sử
dụng một số giả thiết đơn giản hoá. Một trong các giả thiết cơ bản đƣợc sử

dụng là độ sâu cột nƣớc nhỏ hơn rất nhiều so với chiều ngang của miền. Sau
đây là một vài dạng của hệ phƣơng trình Saint Venant.
a/ Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều:
- Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều theo biến h,u
h (h.u)


0

 g.
t
x

u
Zday
 u.
g.u.u

g.


 t
h
x
2
4/
3k .h

x
x

Trong các phƣơng trình trên:
h - giá trị mực nƣớc.
u - vận tốc (trung bình) theo hƣớng x.
g- gia tốc trọng trƣờng.
k- hệ số Stricler trong lực cản đáy.

(2.1.1)


- Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều theo biến Q, A:



Q

 





t





x

trong đó:



A  Q  0
c
x
t h

Q2

  gA
A 


gA.

Zday

(2.1.2)

QQ
2

A R

4/

 gA

x

3

x

Ac _ diện tích mặt cắt (kể cả vùng chứa).
A _ diện tích cắt của dịng chảy.
R _ bán kính thuỷ lực.

Hệ phƣơng trình Saint Venant 1D đã đƣợc ứng dụng rất nhiều trong việc
nghiên cứu và tính tốn q trình lan truyền lũ trong các hệ thống sơng.
b/ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều:
_ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều theo các biên h,u,v




h

t
u
 



 u.grad(h)  h.div(u)  0
Z

gu(u 2  v 2 )1/ 2 1


2 4/
 .div(h. e
u.grad(u)  g

3k x h
t
2
2 1/ 2 .grad(u))
x
Z gv(u  v )
 v
1h



2 4/
 .div(h. e .grad(v))
3k y h
 t u.grad( )  g 
h
y

(2.1.3)

Phƣơng trình đầu mơ tả định luật bảo tồn khối lƣợng. Các phƣơng trình
thứ hai và thứ ba mơ tả định luật biến thiên động lƣợng. Trong các phƣơng
trình trên:
h - giá trị mực nƣớc.

u - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hƣớng
x. v - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo
hƣớng y. g- gia tốc trọng trƣờng.


kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hƣớng x.
ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hƣớng y.

 e - hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp
khuyếch tán rối.
_ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều theo các biến h, qx, qy với
qx=h.u , qy=h.v :

qx


q

h
2 q 2 h

x
 x
 t  x ( h


2

t

qy
)

y





qy

0


x
y
Z

 gh
x

t

q

y
( e


y

q
)  fq 

F
(qx


2
 q  qx   ( 2
F
q y  h Z
y
)  gh (q

y y h
2
y




x


e
x
x

 ( qy

y

)
fq
y

(

x

e

)

x

)

(
y

x

qy
e

) (2.1.4)

)

y

x

Trong đó 

là hệ số khuyếch tán, f là tham số Coriolis, Z cao trình mặt

e

thống, F(q) là lực ma sát đắy.
Hệ phƣơng trình Saint Venant 2D đã đƣợc ứng dụng rất nhiều trong
nghiên cứu biển, dịng chảy hở nƣớc nơng, lũ lụt v.v.
2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều
và hai chiều.
Phƣơng pháp đặc trƣng đƣợc sinh ra từ lý thuyết hình học về các phƣơng
trình vi phân á tuyến tính. Phƣơng pháp cho phép giải thích một số hiện tƣợng
trong cơ học chất lỏng, và đơi khi cho chúng ta lời giải giải tích. Phƣơng pháp
cũng chỉ ra số điều kiện biên cần thiết của bài tốn. Vì vậy, các khái niệm đặc
trƣng và bất biến Riemann là các khái niệm căn bản cần hiểu rõ.


2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều.


Xét hệ phƣơng trình Saint-Venant 1D, khơng thành phần khuếch tán,
không thành phần nguồn (không lƣu lƣọng phụ, không ma sát đáy, chảy trên
kênh đáy phẳng) :
h (h.u)


0
t
x
u
u
h
  u.  g.  0

x
x
t
c




Thay

(2.2.1)

2 trong hệ phƣơng trình (2.2.1), ta thu đƣợc hệ sau

h bằng g

u
(2c)
 u
 c.
0

t u. x
x

(2c)
(2c)
u

 u.
 c.  0
 t
x
x

(2.2.2)

Lấy tổng và hiệu của hai phƣơng trình trên, ta thu đƣợc hệ sau :


(u  2c)  (u  c).

 (u  2c)  0

t
x


 (u  2c)  (u  c). (u  2c)  0
t
x

(2.2.3)

Cả hai phƣơng trình trên đều có dạng
A dx A

0  .
t

Suy ra dA 0
dt 
với

Au
2c

(2.2.4)

dt x

trên các đƣờng có phƣơng trình

hoặc A  u  2c . Các giá
trị

dt
d
dt

(u  2c)  0 trên các đƣờng

(u  2c)  0 trên các đƣờng

u
c dt

hay

dx
dt

uc

A  u  2c và A  u  2c đƣợc gọi là các

bất biến Riemann. Chúng ta có :
d

dx

C có phƣơng trình

dx

u
c dt

dx
C có phƣơng trình

u

c dt


Các đƣờng

C và C

đƣợc gọi là các đƣờng đặc trƣng. Sự tồn tại các

đƣờng đặc trƣng đã đặt hệ phƣơng trình Saint-Venant 1D vào họ các phƣơng
trình hyperbolic.


Ta đƣa các quy ƣớc sau:
_ Đặt hệ toạ độ (0,x,t) sao cho dòng chảy dọc theo chiều dƣơng của trục
0x. Biên vào của miền là đƣờng dọc theo trục 0t, biên ra của miền là đƣờng
vng góc và cắt trục 0x tại điểm có toạ độ (0,L).

Xét trên biên vào :
t

Cdx/dt=u+c

A
C
dx/dt=u-c

0

L

B

x

Hình 2.1: Một điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
Điều kiện biên vào (thƣợng lƣu):
_ Trƣờng hợp 1 (xem hình 2.1):

u
c

Dịng chảy vào miền là dịng êm,

sóng truyền nhanh hơn dòng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng
uA  2hA  uB  2hB  C

trong đó giá trị đặc trƣng C

C ta có

đƣợc xác định qua điều


kiện đầu tại B hoặc xuất phát từ các giá trị trong miền đã tính. Muốn xác định
trạng thái của điểm A ta cần cho thêm một mối liên hệ

f (uA , hA )  0 . Ta cũng

không thể cho nhiều hơn một quan hệ đƣợc, vì nhƣ vậy sẽ thừa. Thƣờng

ngƣời ta cho quan hệ còn lại là modul lƣu
lƣợng

theo thời gian.

q  uA
.hA

t

dx/dt=u+c

Cdx/dt=u-c
C

A

0

L

x

Hình 2.2: Hai điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
_ Trƣờng hợp 2 (xem hình 2.2):

u
c

Dịng chảy vào miền là dịng xiết,

sóng truyền chậm hơn dịng chảy. Cả hai đƣờng đặc trƣng đều có hƣớng đi
lên, ta chƣa thể xác định đƣợc các giá trị đặc trƣng của hai đƣờng đặc trƣng
đó. Vì vậy muốn xác định trạng thái điểm tại A ta cần cho hai liên hệ
f1 (uA , hA )  0 và f2 (uA , hA )  0 . Trong trƣờng hợp này ngƣời ta cho cả độ sâu

mực nƣớc
hA

lẫn modul lƣu lƣợng

q  uA
.hA

theo thời gian.


Xét trên biên ra:
t

A
dx/dt=u-c

C

dx/dt=u+c

C

0

B

L

x

Hình 2.3: Một điều kiện biên tại hạ lƣu.
Điều kiện biên ra (hạ lƣu):
_ Trƣờng hợp 3 (xem hình 2.3):

u
c

Dịng chảy ra khỏi miền là dịng

êm, sóng truyền nhanh hơn dòng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng C ta có
uA  2hA  uB  2hB  C

trong đó giá trị đặc trƣng C

đƣợc xác định qua điều

kiện đầu tại B hoặc từ trong miền. Muốn xác định trạng thái của điểm A ta
cần cho thêm mối liên hệ

f (uA , hA ) 
0

cịn lại. Ta cũng khơng thể cho nhiều

hơn vì nhƣ vậy sẽ thừa. Thƣờng ở trƣờng hợp này ta cho giá trị giá trị mực
nƣớc
hA

hoặc độ cao cột
nƣớc

z A theo thời gian.


t

dx/dt=u+c

C

A

dx/dt=u-c

0

C

B

x

C

Hình 2.4: Khơng cần điều kiện biên tại hạ lƣu.
_ Trƣờng hợp 4 (xem hình 2.4):

u
c

Dịng chảy ra khỏi miền là dịng

xiết, sóng truyền chậm hơn dịng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng C
uA  2hA  uB  2hB  C

trong đó giá trị đặc trƣng C

đƣợc xác định qua điều

kiện đầu tại C hoặc lấy từ trong miền đã tính. Trên đƣờng đặc trƣng C
uA  2hA  uB  2hB  C

trong đó giá trị đặc trƣng C

ta có

ta có

đƣợc xác định qua điều

kiện đầu tại B. Do vậy ta đã có đủ hai liên hệ để xác định trạng thái của điểm
A, ta không cần cho thêm một điều kiện rằng buộc nào nữa.
Từ đó ngƣời ta xây dựng khái niệm số Froude để đƣa ra một tiêu chuẩn

xác định số điều kiện biên:
u
F  

(2.2.5)

u
F

0,

c

g.h

Nếu F < 1 : Dòng chảy là êm: Cần cho 1 điều kiện biên ở thƣợng lƣu và 1
điều kiện biên ở hạ lƣu.


Nếu F > 1 : Dòng chảy là xiết: Cần cho 2 điều kiện biên ở thƣợng lƣu.
Nhƣ vậy số điều kiện biên cần cho bằng số đƣờng đặc trƣng đi vào miền
tính tốn.
Có thể xác định số lƣợng điều kiện biên một cách đơn giản thông qua
công cụ tuyến tính hố. Viết lại hệ phƣơng trình (2.2.2):
u
(2c)
 u
 u. x c. x  0
t


(2c)
(2c)
u

 u.
 c.  0
 t
x
x

 trình này có
 thể viết lại dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
Hệ phƣơng
u


V

c
V
.  0
u  x


t 
c
u

Với véctơ
V



(2.2.6)

  2c 




Đây là hệ phƣơng trình á tuyến tính (ma trận của hệ phụ thuộc vào
nghiệm cần tìm).
Hệ này cóthể xấp xỉ bằng một hệ tuyến tính:

u

V

t  c

c  V
.  0
u  x

(2.2.7)

Trong đó u và c là các giá trị đã biết của lớp lặp trƣớc. Ma trận này có các
tƣơng ứng với các véctơ riêng 
giá
 trị riêng


1
và

u


u

c
c
và

1

2

1


1

1
2    . Điều kiện biên của hệ phƣơng trình tuyến tính trên phụ thuộc vào
 1

dấu của các giá trị riêng của ma trận, và ta cũng thu đƣợc số điều kiện biên
nhƣ đã trình bày ở trên.
2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên cần thiết cho bài toán hai chiều
Xét bài toán hai chiều trên một kênh hở, đáy phẳng nhẵn khơng ma sát,

khơng có thành phần nguồn phụ, khơng có thành phần khuyếch tán.


Bài tốn đƣợc biểu diễn thơng qua hệ Saint-Venant 2D

h (u.h) (v.h)


0

t
x
y
h.u (u 2.h) (u.v.h)


h





(2.2.8)


 t

y

g.h.

x
 h.v (u.v.h) (v 2.h)





0

x
h






t

x

Để viết hệ phƣơng trình Saint Venant dƣới dạng bảo tồn, ta khơng dùng
biến vận tốc u và v, mà sử dụng các biến lƣu lƣợng.
qx = uh,

qy = vh

Khi đó hệ phƣơng trình trên đƣợc viết lại nhƣ sau:


qx


q

h


t



qy

0

y
qy
h2

x
 q2

x
 x
) 0
 t  x ( h 2
y




q
2
 q  x  ( q y  h 2 )  0
y

y y h
2
 t

(2.2.9)

Hay dƣới dạng phƣơng trình véctơ :
 

  
U  F (U )  G(U ) 
t
x
y
0

(2.2.10)








q

q
 x
y
 h 


 q q
2

h
q
2
 x y

Với U  q , F (U )   x  g
,
G(U )  
h
 x

h
2 
qy 
 2


2
 

qx qy
h 
 qy


 h g 
2 
 
h


Để xử lý phƣơng trình véctơ này trên biên, ta biến đổi phƣơng trình từ
tọa độ Đề Các (x,y) có gốc tọa độ (0,0) về tọa độ địa phƣơng (,) có gốc tọa
độ (xi, yi) là trung điểm của cạnh biên ki j, biến  theo hƣớng pháp tuyến