Luận văn thạc sĩ tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC

TĂNG TH± NGA

TONG QUAN VE M®T SO PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CÚU TÍNH ON бNH NGAU NHIấN

LUẳN VN THAC S KHOA HOC

Ngnh: Toỏn HQC

H Nđi - 2015


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC

TĂNG TH± NGA

TONG QUAN VE M®T SO PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CÚU TÍNH ON бNH NGAU NHIấN

LUẳN VN THAC SY

Ngnh: Toỏn HQC

Cỏn bđ hỏng dan: GS. TS. Nguyen HEu Dư

LèI CAM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, em xin bày to
lịng biet ơn sâu sac tói GS. TS. Nguyen Huu Dư ngưịi Thay đáng
kính đã ln t¾n tình chi bao giúp đõ em trong suot thòi gian qua.
Nhân d%p này em cũng xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia
đình, ban bè đã ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot
q trình

HQ c

t¾p và thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p.

M¾c dù có nhieu co gang, song trong q trình thnc hi¾n khóa
lu¾n em khơng tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y, em rat mong nh¾n
đưoc ý kien đóng góp cna Thay Cơ và ban bè đong nghi¾p, đe khóa
lu¾n oc hon thiắn hn.
Em xin chõn thnh cam n!
H Nđi, ngày 06 tháng 06 năm 2015.
Sinh viên
Tăng Th% Nga

1


Mnc lnc
1

Kien thÉc chuan b%

1.1 Các khái ni¾m cơ ban ve xác
suat
1.2 Các khái ni¾m cơ ban ve őn đ
%nh

2

5
. . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . .

12

Các phương pháp nghiên cÉu tính on đ%nh cua h¾ sai
phân ngau nhiên
14
2.1 Phương pháp su dung hàm Lyapunov...................................14
2.2 Phương pháp so sánh nghiên cúu tính őn đ%nh theo moment cna phương trình tna tuyen tính...................................19
2.3

Phương pháp su dung Martingale và các bat đang thúc .

36

2.3.1 Dáng đi¾u đi cna phân phoi xác suat....................36
2.3.2 Őn đ%nh ti¾m c¾n hau chac chan............................40
2.3.3 Khơng őn đ%nh hau chac chan..................................43

Ket lu¾n

45

Tài li¾u tham khao

46


Ma au
Nghiờn cỳu tớnh n %nh cna mđt hắ đng lnc là m®t bài tốn het súc
quan TRQNG trong ca lý thuyet lan thnc hành. Năm 1892, nhà toán HQc
női tieng A.M. Lyapunov, trong ban lu¾n án tien sy cna mình, đã đưa ra
hai phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m cna phương trình
vi phân. Đó là phương pháp so mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12].
Tù đó đen nay, bài toán này đã thu hút đưoc sn quan tâm nghiên cúu
cna nhieu nhà tốn HQc và có nhieu ket qua sâu sac ve ca lý thuyet lan
úng dung. Chúng ta có the ke đen các nhà tốn HQc có nhieu đóng góp
trong lĩnh vnc này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al. (1989)
[10, 11] và nhieu nhà toán hQc khác như X. Mao [18]; L. Arnol [2]....
Trong cỏc hắ đng lnc, hắ oc mụ ta boi các phương trình sai phân
đóng vai trị het súc quan TRQNG. Chúng ta có the thay sn xuat hi¾n nó
trong nhieu bài tốn thnc te như là mơ hình tăng trưong cna quan the
kieu Leslie, mơ hình đ®ng HQc kinh te đa lĩnh vnc Leontief ho¾c là khi
ta rịi rac húa e tớnh toỏn nghiắm cna mđt phng trỡnh vi phân, trong
phân tích h¾ thong du li¾u mau cna thong kê... Vi¾c phân tích du li¾u
trong cơ khí, đi¾n, kĩ thu¾t đieu khien và các van đe thnc te khác cũng
phai can đen các nghiên cúu cna phương trình sai phân ngau nhiên.
Chính vì v¾y, van đe nghiên cúu tính őn đ%nh đoi vói nghi¾m
cna phương trình sai phân là bài tốn đưoc rat nhieu ngưịi quan

tâm và phát trien nhieu phương pháp đe nghiên cúu bài toán này.
Cũng như hắ đng lnc kha vi, cỏc phng phỏp Lyapunov cng đưoc
su dung đe nghiên cúu tính őn đ%nh. Vói phương pháp hàm Lyapunov,
ngưịi ta xây dnng m®t phiem hàm (GQI là hàm Lyapunov). Phiem hàm
này đóng vai trị như là m®t "chuan" hay như "phiem hàm năng
lưong" và các quy


đao DQc theo hàm này se giam ho¾c tăng. Đieu đó cho phép chúng ta
biet đưoc h¾ se őn đ%nh ho¾c khơng őn đ%nh. Nhưoc điem chính cna
phương pháp này l cỏc ieu kiắn a ra phu thuđc vo hm đưoc cHQN
nên nói chung chi là đieu ki¾n đn.
Phương pháp thú hai đưoc su dung là phương pháp so sánh. e đây
ta so sánh các quy đao cna h¾ vói cỏc quy ao cna hắ mđt chieu. u
iem cna phng pháp này chúng ta có the de dàng biet h¾ 1 chieu
có őn đ%nh hay khơng thơng qua các tiêu chuan đơn gian. Tuy nhiên
vi¾c so sách này khơng phai lúc nào cũng thnc hi¾n đưoc vì các quy
đao cna h¾ nhieu chieu nói chung là rat phúc tap.
Phương pháp tiep theo là su dung các đ%nh lý giói han đã có trong
lý thuyet h®i tu cna các q trình ngau nhiên (chn yeu là các đ%nh lý
giói han trong lý thuyet martingale). Vói phương pháp này ngưịi ta
phân tích quỏ trỡnh thnh tng cna mđt quỏ trỡnh tng (hoắc giam) vói
m®t martingale. Tù đó ta có the đưa ra ket luắn hắ hđi tu hay khụng.
Nđi dung chớnh cna lu¾n văn bao gom 2 chương. Trong chương 1
chúng tơi đưa vào các kien thúc toi thieu đe su dung ve sau. Chng 2
l nđi dung chớnh cna ban Luắn văn. Phan 2.1 cna chương này đe
c¾p đen su dung hàm Lyapunov đe nghiên cúu tính őn đ%nh. Trong
đó chúng tơi trình bày các đieu ki¾n đáp úng trang thái đe xích Markov
là őn đ%nh. Trong muc 2.2 chúng tơi su dung phương pháp so sánh
vói h¾ 1 chieu. Đây là m®t tőng qt hóa cna đ%nh lý so sánh cna Ma

và Caughey’s [14] và su dung đ%nh lý này đe nghiên cúu các đ%nh lý
őn đ%nh chung cna phương trình sai phân ngau nhiên phi tuyen. Muc
2.3 chúng tơi tái l¾p lai các ý tưong cơ ban tù các lý thuyet cna
martingale cùng vói các ket qua ve t¾p h®i tu. N®i dung chính cna
phan này là hai ket qua ve őn đ%nh ti¾m c¾n hau chac chan.
M¾c dù đã co gang het súc nhưng do thòi gian thnc hi¾n khóa
lu¾n khơng nhieu nên trong khóa lu¾n khơng tránh khoi nhung han
che và sai sót. Em rat mong nh¾n đưoc nhung góp ý và sn chi bao
cna các thay cô. Em xin chân thành cam ơn!


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
1.1

Các khái ni¾m cơ ban ve xỏc suat

Gia su l mđt tắp tu ý khỏc rong, F l mđt -ai so cỏc tắp con
cna . Khi ú, cắp (, F ) oc GQi l mđt khơng gian đo.
Gia su (Ω, F ) là m®t khơng gian đo. M®t ánh xa P : F → R đưoc
GQI là đ® đo xác suat trên F neu
(i) P(A) “ 0 vói ∀A ∈ F (tính khơng âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuan hố);
(iii) Neu An ∈ F (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅
j) thì
(i
Σ
P(∪∞n=1An ) = ∞n=1 P(An ) (tớnh cđng tớnh em oc).
Cỏc ieu kiắn (i)-(iii) oc GQI l hắ tiờn e Kolmogorov ve xỏc suat. Bđ

ba (Ω, F , P) đưoc gQI là không gian xác suat.
Đ%nh
1.1. Gia su (Ω1, F1 ) và (Ω2 , F2) là hai không gian đo.
Ánh xanghĩa
X
−1 : Ω1 −→ Ω2 GQI là ánh xa F1 /F2 đo đưoc neu vái MQI B ∈
F2 thì X (B) ∈ F1 .
M¾nh
đe σ-đai
1.1. 1.soGia
F1,con
G1 cua
là hai
so các
conGcua
1 , F2 ,
G2 là hai
cácsut¾p
Ω σ-đai
. Khi đó,
neut¾p
F1 ⊂
, GΩ
2 ⊂ F2
và X : Ω1 → Ω2 là ánh xa F1/F2 đo2 đưac thì X là ánh
xa1 G1/G
2 đo
đưac.
su X
: Ω1Khi

→Ω
ánh
/F2Ωđolàđưac,
Ω2/F→ đo
Ω3đưac.
là ánh
xa 2.
F2Gia
/F3 đo
đưac.
đó2 Ylà ◦
X xa
: ΩF11→
ánh Yxa: F
3
1
3
−1σ(C). Khi đó ánh xa X : Ω1 → Ω2 là F1/F2 đo đưac
khi3.
vàGia
chssu
khiF2X=
(C) ∈ F vái MQI C ∈ C.
1


Đ%nh nghĩa 1.2. Gia su (Ω, F , P) là không gian xác suat, G là σđai so con cua σ- đai so F . Khi đó ánh xa X : Ω → R đưac GQI
là bien ngau nhiên G- đo đưoc neu nó là ánh xa G/B(R) đo đưac (túc là
vái MQI
B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G).

Trong trưàng hap đ¾c bi¾t, khi X là bien ngau nhiên F- đo đưac, thì
X đưac GQI m®t cách đơn gian là bien ngau nhiên.
Đ%nh nghĩa 1.3. Gia su (Ω, F , P) là không gian xác suat, X : Ω → R
là bien ngau nhiên và G là σ−trưàng con cua F . Khi đó, kỳ vQNG có
đieu ki¾n cna X đoi vói σ−trưịng G là bien ngau nhiên Y thóa mãn:
(i) Y là bien ngau nhiên G−đo đưac;
(ii) Vái mői A ∈ G, ta có
∫

Ký hi¾u Y = E(X|G).

Y dP = XdP.
A

A

Trong ton bđ luắn vn ny, chỳng ta xét m®t khơng gian xác
suat đay đn có LQc (Ω, F , (Fn )n∈N , P).
Đ%nh nghĩa 1.4. Dãy các bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac
(Fn)−martingale neu
(i) X = (Xn) ∈ N là quá trình (Fn)−phù hap;
(ii) E|Xn| < ∞ vái MQI n ∈ N;
(iii) Vái MQI m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = Xm h.c.c.

GQI

là

2

tích neubình
E(|x
n | ) < ∞; ∀ n ∈ N. Ký hi¾u t¾p tat ca các
martingale
Martingale
X = (Xn ) ∈ N đưac GQI là martingale
bình phương kha phương kha tích là M
2.
Đ%nh nghĩa 1.5. Dãy các bien ngau nhiên X = (Xn ) ∈ N đưac GQI là
(Fn)−martingale dưói neu các đieu ki¾n (i) và (ii) đưac thóa mãn
và (iii’) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≤ Xm h.c.c.
Đ%nh nghĩa 1.6. Dãy các bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac GQI là
(Fn)−martingale trên neu các đieu ki¾n (i) và (ii) đưac thóa mãn và
(iii”) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≥ Xm
h.c.c.


Đ%nh nghĩa 1.7. Dãy các bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac GQI là
(Fn)−hi¾u martingale neu các đieu ki¾n (i) và (ii) đưac thóa mãn và
(iii”) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = 0 h.c.c.
Bo đe 1.1. Gia su {Xn}n∈N là m®t Fn-martingale, và xác đ%nh n =
Xn Xn1. Khi ú {n}nN l mđt Fn-hiắu-martingale.
Bo đe 1.2. Gia su {ξn}n∈N, n ∈ N là môt dóy cỏc bien ngau nhiờn đc
lắp sao cho En = 0 và E |ξn| < ∞, vái mői n ∈ N. Đ%nh nghĩa
Σn
Zn =
ξi. Khi đó {Zn}
là m®t Fn-martingale và {n} , n N
i=
1

l mđt Fn-hiắu-martingale.

nN

nN

Bo e 1.3. Gia su {ξn }n∈N là môt dãy các bien ngau nhiên đc lắp
sao cho En = 0 v E |n | < ∞,
vái mői n ∈ N và (Fn )n∈N là b®
LQc đưac sinh ra bái {ξn }n∈N . Gia su {yn }n∈N là m®t dãy các bien ngau
nhiên Fn n∈ l mđt Fn-martingale
o ac. ắt Zn+1 = i=
0 yii+1. Khi đó
N
Σn
{Zn}
Bo đe 1.4. Gia su {Xn}n∈N là m®t dãy các bien ngau nhiờn đc lắp
Qn
Fn-o ac. Neu EXn = 1 và Zn = i= Xi, vái mői n ∈ N. Khi đó
1
{Zn}n∈N là m®t Fn-martingale.
Bo đe 1.5. Gia su {ξn}n∈N l mđt hiắu-martingale, bỡnh phng kha
tớch. Khi ú ton tai mđt dóy {àn}nN cua Fn-hiắu-martingale v mđt
dóy ngau nhiờn dng Fn−1-đo đưac {ηn}n∈N sao cho vái mői n = 1, 2, ...
hau chac chan.
ξn2 = µn + ηn, trong đó

ηn = E

Σ

n 2/Fn−1
ξ

Σ

, µn = ξn2 − E

Σ

nξ2/Fn−1

Σ

Bo đe 1.6. Neu {Xn}n∈N là m®t dãy ngau nhiên tăng vái E |Xn| < ∞
vái ∀n ∈ N thì {Xn}n∈N là m®t martingale dưái.
Bo đe 1.7. Neu {Xn}n∈N là m®t Fn-martingale khơng âm, thì limn→∞Xn
ton tai, h.c.c.
ton
tai m®t
Fn-martingale
n∈N và m®t dãy ngau nhiên tăng Fn−1-đo
Đ%nh
lý 1.1.
Gia su rang{M
{Xn}
n}n∈N là m®t Fn-martingale dưái. Khi đó
đưac {An}n∈N sao cho vái ∀n = 1, 2, ...
Xn = Mn + An, hau chac chan.

(1.1)

.


Đ%nh lý 1.2. Gia su {Xn}n∈N là m®t Fn-martingale dưái khơng âm
vái khai trien Doob’s (1.1). Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} . Trong đó
{Xn →} là t¾p tat ca các ω ∈ Ω mà lim Xn(ω) ton tai và huu han.
n→
∞

Bo đe 1.8. Gia su {Zn}n∈N là m®t q trình Fn-đo đưac khơng âm, vái
E |Zn| < ∞ vái mői n ∈ N và

Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1, n = 0, 1, 2, ...,
trong ú {n}nN l mđt Fn-hiắu-martingale, {un}nN, {n}nN l cỏc q
trình Fn-đo đưac khơng âm và E |un| , E |υn| < ∞ vái mői n ∈ N. Khi
.
Σ .
đó
Σ
ω : ∞u
< ∞ ⊆ ω : ∞υ
Σ
n
→} .
n
n=1
< ∞Σ ∩

n=1

{Zn
á đây {Zn →} là t¾p các ω ∈ Ω trong đó limn→∞Zn ton tai và huu han.
Chúng minh. Ta có
Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − vn +

(1.2)

ςn+1)
= Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1,
trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là m®t quá trình Fn+1-đo
Σn
đưoc. Vì dãy Zn = i= wi là dãy tăng và Fn-đo đưoc vói E |Zn| ≤
Σi=
1
1
là m®t
n E |wi | < ∞ vói MQI n ∈ N, nên theo bő đe 1.6
{Zn }n∈N
Fn-martingale
dưói. Do đó, theo Đ%nh lý 1.1 chúng ta có bieu dien
n∈N

trong đó ,Mn+(1)
1

,

Zn+1 = Cn + M

(1)
n+
1

,
là m®t Fnmartingale và
{Cn}n∈N


q
trìnhđưoc.
tăng Ket hop vói (1.2) ta thu đưoc
Fn-đo
Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn) + (Mn+1 −n+M (1) ), (1.3)
1
Σn
Σn
Σn
trong đó Un = i= ui, Vn = i= υi, Mn = i= ςi. Chúng ta đ%nh nghĩa
(1 1

1

1

M n = Mn − Mn) , U n = Z0 + Un. Khi đó đó theo phương trình (1.3) vói
MQI n ∈ N thì
Zn+1 + (Vn + Cn) = U n + Mn+1 = Yn+1.

(1.4)


Dãy ngau nhiên {Yn}n∈N đưoc đ%nh nghĩa boi (1.4) là m®t Fnmartingale dưói khơng âm, và nó có the đưoc phân tích duy nhat thành
. đưoc U n
tőng cna Fn-martingale dưói {Mn}n∈N và m®t dãy tăng Fn-đo
, đó
Σ
n∈N
là Yn+1 = U n + Mn+1. Theo đ%nh lý (1.2) chúng ta ket lu¾n rang
.
Ω1 = U ∞ < ∞ ⊆ {Yn →} .
(1.5)
Σ
Đieu
nàyb%
có ch¾n
nghĩa trên
là lim
Yn ton tai hau chac chan trên Ω1 và dó
đó Yn+1
Ωn→∞
1 hau chac chan. Theo ve trái cna (1.4)
chúng ta có khai trien khác cna Yn+1, cu the là
Yn+1 = Zn+1 + (Vn + Cn).

(1.6)

Vì
b%Vch¾n

hau chac chan trên Ω1 và q trình Zn+1 là khơng âm,
qYn+1
trình
n + Cn cũng b% ch¾n trên Ω1 hau chac chan. Vì Vn và Cn
tăng, có giói han huu han hau chac chan limn→∞Vn và limn→∞Cn trên Ω1.
Do đó giói han limn→∞Zn cũng ton tai trên Ω1.
Gia thiet 1.1. {ξn}n∈N là m®t dãy các bien ngau nhiên Fn-đo đưac,
trong đó
n

E [ξn/Fn−1] = 0, Eξ2 = 1, và E|ξn|
và mői ξn có hàm phân phoi pn thóa mãn

3

b% ch¾n đeu,

(1.7)

lim

|x|
→∞

x3pn(x) = 0.

(1.8)

Đ%nh lý 1.3. Xét φ : E → E sao cho ton tai δ > 0, φ˜ : E → E thóa
và

mãn
˜ ≡ φ trên Uδ = [1 − δ, 1 + δ] ,
(i) φ
.
(ii ˜
φ ∈ C3(E), .φ˜jjj (x). ≤ M vái M bat kỳ và vái MQI x ∈ E,
) .∫
(iii) .φ − φ˜. dx < ∞.
E

Gia su fn và gn là các bien ngau nhiên b% ch¾n đeu Fn-đo đưac. Và
{ξn}n∈N là m®t dãy các bien ngau nhiên thóa mãn gia thiet 1.1. Khi đó
√
E Σφ(1 + fnh + gn hξn+1)/FnΣ
=
+ φJ (1)fn h +
hfφ(1)
n O(h)
n2

+hg O(h),

φ

(1)

jj

2

g2 h +

(1.9)


trong đó O(h) → 0 h®i tn đeu theo n khi h → 0.
Chúng minh. Đe cho ngan GQN, chúng ta se gia su fn và gn là hang
so tương úng và su dung kỳ vQNG khơng có đieu ki¾n, chúng minh
trong trưịng hop tőng qt đưoc thnc hi¾n tương tn. Chúng minh
bao gom hai phan chính, đau tiên chúng tơi đưa ra cơng thúc (1.9)Σ đoi
Σ˜
vói E φ . Sau đó, chúng tơi se chúng
˜ minh rang φ là m®t xap xi tot
cna φ. Chính xác hơn, chúng ta chúng minh ưóc lưong sau đây cho˜ sai
so E[φ − φ] =
2
hgTheo
O(h).
cơng thúc Taylo mo r®ng

φ˜ 2 φ˜ (θ) 3
J
˜
˜
˜
φ (1 + x) = φ (1) + φ (1)x +
jj x +
jjj
x,
2 √

6
vói θ nam giua 0 và x. Thay x = f h + g hξ và lay kỳ vQNG. Su dung
tính
chat cna {ξn}n∈N ta thu đưoc E(x) = fnh, Ex2 = f 2h2 + g2h và
do đó
E˜

˜

˜J
φ(1 + x) = φ(1) + φ
(1)fg +

JJ h
φ2˜g
+

.
JJ h +
φ2˜f
E[φ˜6JJJ (θ)x3 ]
2

2

2

E chúng ta có the
√ ưóc
Vì .φ˜JJJ (θ) b% ch¾nM

đeu
2
JJJ
3
3
˜
.x .
E[φ (θ)x
lưong,
≤
].
.
.
6
Tiep theo chúng ta kí hi¾u
c

2

√

2

6

≤ fh


cho sai so ∆ = E

O(f h) + g
= 1 + hf
1, c

2
=

hO(g h) + hO(fh).
g và tìm m®t ưóc
√hg

Σφ(c1 + c2 ξ) − φ˜(c1 + c2ξ)Σ, ta có
∆= ∫
E

=∫

.φ(c1

+ c2ξ) − φ˜(c1 + c2 ξ)Σ p(ξ)dξ

r − c1 dr
(φ(r) − φ˜(r))p(c
)
|
2

=

∫

r − c1 dr
(φ(r) − φ˜(r))p( c
,
|)
E/Uδ
2


trong
đó,φ˜
bien
c1 + U
cδ2.ξBây
và bo
Uδ trên
c¾n lay tích phân boi vì
φ(r) −
(r) r= =
0 trên
giịđichúng
ta ưóc
lưong
r − c1 1
|∆| ≤ sup
− φ˜(r). dr
.p .
c Σr − Σc∫ .φ(r)
r∈/
1

δ
≤ U|c
| C sup2.p . |
ΣE
Σ
1

2
2

r∈/Uδ

.

= hg2C

c2
|c2|
Σ 3
p(y)y3
,
(r − 1 − hf

sup

r∈/Uδ

)3

√

trong đó y = (r − 1 − hf )/ hg. Neu ho¾c h b% ch¾n, và f, g → 0
ho¾c
3
đieu
− 1và
− hhf→)30,b%
0, ∞
giađeu
thiettrên
p(y)y
0 suy
ra |
f | , ki¾n
|g| b%(rch¾n
dech¾n
thay boi
y →
r ∈→
E/U
δ . Do đó
theo
sup, p(y)y3/(r 1
r∈/Uδ

−

−

hf )3, = O(h),

do đó, |∆| ≤ hg2O(h).
Đ%nh nghĩa 1.8. Gia su {X, Xn , n “ 1} là HQ bien ngau nhiên cùng xác
đ%nh trên khơng gian xác suat (Ω, F, P). Ta nói:
• Dãy {Xn, n “ 1} h®i tu hau chac chan đen X khi n → ∞ neu
ton tai t¾p N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn(ω) → X(ω) khi n → ∞
vái MQI ω ∈ Ω\N.
h.
c. c.
−
Ký hi¾u Xn → X h. c. c. ho¾c
X khi n .

Xn
ã Dóy {Xn, n 1} hđi tu ay đn đen X khi n → ∞ neu vái MQI
ε > 0 thì
∞
Σ
P(|Xn − X| > ε) < ∞.
c

n=1

Ký hi¾u Xn
X khi n → ∞.
→−
• Dãy {Xn, n “ 1} h®i tu theo xác suat đen X khi n → ∞ neu
vái MQI ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.
n→
∞

Ký hi¾u Xn −P→ X khi n → ∞.


• Dãy {Xn, n “ 1} h®i tu theo trung bình cap p > 0 đen X khi
n→
neu X, Xn (n “ 1) kha tích b¾c p và E|Xn − X|p = 0.
lim
∞
n→∞
Ký hi¾u Xn −pL→ X khi n → .
ã Dóy {Xn, n 1} hđi tu theo phõn phoi (h®i tu yeu) đen X khi
n → ∞ neu
lim Fn (x) = F (x)

n→
∞

vái

MQI

x ∈ C(F ).

Trong đó Fn(x) và F (x) tương úng là hàm phân phoi cua các bien
ngau nhiên Xn và X, C(F ) là t¾p hap các điem mà tai đó F (x) liên
tnc.
d
Ký hi¾u Xn →− X.

H®i tn hau chac chan cịn đưac GQI là h®i tu vói xác suat 1, h®i
tn theo trung bình cap p cịn đưac
1.2

GQI

là h®i tu trong Lp .

Các khái ni¾m cơ ban ve on đ%nh

Lay (Ω, F , Fn , P) là không gian xác suat đay đn vói b®
phương trình sai phân ngau nhiên
. xk+1 = F (k, xk) + G(k, xk)ξk,
k
Z
∈

LQ c

{Fn }. Xét
(1.10)

x0 = ϕ0.
trong đó F : N × Rd → Rd, G : N × Rd → Rd thoa mãn F (i, 0) =
0, G(i, 0) = 0.

Đ%nh nghĩa 1.9. (i) Nghi¾m tam thưàng cua phương trình (1.10)
đưac GQI là őn đ%nh ngau nhiên hay őn đ%nh theo xác suat neu
vái mői
c¾p s ∈ (0; 1) và r > 0 ton tai δ = δ(s, r, n0) > 0 sao cho

P{|xn | < r vái MQI n ≥ n0 } ≥ 1 − s
khi
|x
0 | < δ. Ngưac lai, nghi¾m cua phương trình đưac
không őn đ%nh.

GQI

là


(ii) Nghi¾m tam thưàng cua phương trình (1.10) đưac GQI là őn đ%nh
ti¾m c¾n ngau nhiên neu nó őn đ%nh ngau nhiên và vái MQI s ∈ (0;
1) ton
xn = 0} ≥ 1 − s
tai δ = δ(s, n0) > 0 sao
{
cho

P lim

n→∞

khi |x0| < δ.
hau chac
neutam
nó őn
đ%nh ngau
nhiên vàtrình
vái MQI

x0 đưac
∈ Rd GQI
thì là
(iii) chan
Nghi¾m
thưàng
cua phương
(1.10)
őn đ%nh
P{ lim xn = 0} = 1.
n→∞

Đ%nh nghĩa 1.10. Nghi¾m tam thưàng cua phương trình (1.10)
đưac GQI là őn đ%nh mũ hau chac chan neu
1
lim
log |xn| < 0
n→ sup
n
∞

h.c.c

Đ%nh nghĩa 1.11. (i) Nghi¾m tam thưàng cua phương trình (1.10)
đưac GQI là őn đ%nh moment cap p vái p > 0 neu vái ε ∈ (0;
1) ton tai δ = δ(ε) > 0 sao cho
p

E|xk| < ε,∀k ∈ N.
p

khi E|xk| < δ.
ti¾m(ii)
c¾nNghi¾m
momenttam
capthưàng
p váicua
p>
0 neutrình
ton tai
δ0 >
0 sao
cho
phương
(1.10)
đưac
GQI là őn đ
%nh tna
p
E|xk| → 0 khi k → ∞.
p

khi E|xk| < δ0;
(iii) Nghi¾m tam thưàng cua phương trình (1.10) đưac GQI là őn đ%nh


ti¾m c¾n moment cap p vái p > 0 neu nó őn đ%nh moment cap p
và őn đ%nh tna ti¾m c¾n moment cap p.

Chương 2

Các phương pháp nghiên cÉu tính
on đ%nh cua h¾ sai phân ngau nhiên
2.1

Phương pháp sE dnng hàm Lyapunov

: X xích
→ RMarkov
+ là m®t hàm đo đưoc đưoc hieu như là
m®tBalan
Cho X
{X, và
} làVm®t
thuan nhat trong m®t khơng gian
"chuan", m®tn “hàm Lyapunov” ho¾c "hàm năng lưong". Trong các đ
%nh
dung
hi¾unày,
chuan
tac Pta
P (A/X
x) và
Ex Y đe chi
x (A)
0 = sup
xác lýcác
o kí
muc

chúng
gia= thiet
rang
x V (x) = ∞.
Chúng tơi su suat có đieu ki¾n cna bien co A hay kỳ vQNG cna
bien ngau nhiên Y
Markov
Xtheo
sau đ®
n đơnxác
v% thịi Pgian
là hàm x ›→ Ex [V (Xn) − V
(X
)]. De
x. Đ® d%ch chuyen (drift) cna hàm
V 0trên
xích
Xn thì đo
Ex[V (Xsuat
)
−
V
(X
n
0)] = X V (y)P (n, x, dy) − V
(x). Gia su rang dàng thay rang neu P (n, x, ·) là xác suat chuyen
cna quá trình Markov g : X → N là m®t hàm đo đưoc khác. Ta hieu
g(x) như là hàm thòi gian
∫ chuyen cna V sau g(x) bưóc là hàm
phu thu®c trang thái x. Đ® d%ch

Σ
Σ
x ›→ Ex V (Xg(x)) − V (X0) .
Cho h : X → R là hàm đo đưoc thú ba sao cho −h đưoc xem như ưóc
lưong đ® lón cna hàm đ® dịi sau thịi gian g(x) búc. Gia su rang:
ã (L1) h b% chắn dúi: infxX h(x) > −∞.
• (L2) h đen cuoi cùng dương: limV (x)h(x) > 0.
ã (L3) g b% chắn trờn %a phng: supv(x)≤N g(x)/h(x) < ∞,∀N > 0


• (L4) g đen cuoi cùng b% ch¾n boi h: limv(x)g(x)/h(x) < .
oi vúi mđt tắp o oc B X bat kỳ ta đ%nh nghĩa:
τB = inf {n > 0 : Xn ∈ B} .
τB đưoc hieu là lan tro lai đau tiên đen B cna quá trình Xn . T¾p B
đưoc GQI là t¾p hoi quy neu Px (τB < ∞) = 1 vói ∀x ∈ B. Nó đưoc
GQI là hoi quy dương neu supx∈B Ex τB < ∞.
Đ%nh lý 2.1. Gia su rang đ® d%ch chuyen cua V sau g(x) bưác thóa mãn
"đieu ki¾n d%ch chuyen"
Σ
Ex ΣV (Xg(x)) − V (X0) ≤ −h(x).
Trong đó V , g, h thóa mãn (L1)-(L4). Đ¾t
τ ≡ τN = inf {n > 0 : V (Xn) ≤ N} .
Khi
đó tonrataisup
N0 > 0, ∀N
> N0 và x ∈ X bat kì, chúng ta có Exτ <
∞. Ngồi
V (x)≤N Exτ < ∞.
Chúng minh. Hien nhiên tù đieu ki¾n d%ch chuyen ta suy ra V (x) −
h(x)

0 vói MQI x. Chúng ta cHQN N0 sao cho inf
h(x) > 0 và
≥
V (x)>N
sup
V

(x)>N

g(x)/h(x) < ∞ vói

MQI

N ≥ N0 . Vói moi N > N0 đ¾t

d = sup

g(x)/h(x).

V (x)>N

Tù đieu ki¾n (L2) và (L4) ta suy ra 0 < d < ∞. Đ¾t
−H = infx∈Xh(x).
Khi đó tù gia thiet (L1) ta có H < ∞. Chúng ta đ%nh nghĩa m®t dãy
tăng tn các thịi điem dùng xây dnng bang phương pháp đ¾ quy như
sau
t0 = 0,
tn = tn−1 + g(Xtn−1 ), n ≥ 1.
Do Xn là xích Markov manh nên các bien ngau nhiên

Yn = Xtn,


nap
n de dàng
chúng
minh đưoc
rang
Ex V thuan
(Yn+1 ) nhat).
≤ Ex V Bang
(Yn ) +quy
H
cũngtheo
tao thành
m®t xích
Markov
(có the
khơng
và Ex V (Yn ) < ∞ vói MQI n và x. Ta đ%nh nghĩa thòi điem dùng
γ = inf {n ≥ 1 : V (Yn) ≤ N} ≤ ∞.
γ ≤ tγ,

Rõ ràng

h.c.c.

Gia
là σ

đai túc
so sinh
Y0, ..., Yn . Lưu ý rang γ là thòi điem
dùngsudnFnbáo
đưoc,
là 1boi
{γ≥i} ∈ Fi−1 vói MQi i. Chúng ta đ%nh nghĩa
"năng lưong tích lũy" giua 0 và γ ∧ n boi
γ∧n

En =

Σ

n

V (Yi) =

i=
0

Σ

V (Yi)1{γ
i=
0

và ưóc lưong thay đői Ex(En − E0) theo m®t "kieu mactingale":
n

Σ
Ex(En − E0) = Ex

Ex(V (Yi)1{γ≥i}/Fi−1)

= EΣ
x

1{γ≥i}Ex(V (Yi)/Fi−1)

i=1
n
i=1
n

≤ Ex Σ 1{γ≥i}Ex(V (Yi−1) − h(Yi−1)/Fi−1)
i=1
n+
1

≤ Ex

Σ

1{γ≥i−1}Ex(V (Yi−1) − h(Yi−1)/Fi−1)


i=1
n

= ExEn − Ex Σ h(Yi)1{γ≥i}.
i=0

Trong ưóc lưong này chúng ta đã su dung V (x) − h(x) ≥ 0 và trong bat
đang thúc cuoi, chúng ta cũng dùng 1{γ≥i} ≤ 1{γ≥i−1} và lay tőng tù 0
tói n + 1. Tù đây chúng
ta thu đưoc
n
Ex

Σ

i=1

h(Yi)1{γ≥i} ≤ ExV (X0) = V (x).

(2.1)


Gia su V (x) > N . Neu i < γ thì theo đ%nh nghĩa cna γ ta có V (Yi)
> N.
Như vây tù đ%nh nghĩa cna d ta nh¾n đưoc
h(Yi) ≥ d−1g(Yi) > 0, i < γ.
Cũng theo đ%nh nghĩa cna H ta có
h(Yi) ≥ −H,

∀i.

(2.2)

(2.3)

Su dung các ưóc lưong (2.2) và (2.3) vào (2.1) chúng ta có:
n

V (x) ≥Ex

Σ

n

h(Yi)1{γ≥i} + Ex

Σ

h(Yi)1{γ=i}

i=0

Σ
(γ−1)∧
−1

≥d Ex

i=0

g(Yi) − HPx(γ ≤ n).

n

i=0

Lưu ý rang g(Y0) + ... + g(Yk) = tk+1, suy ra:
V (x) ≥ d−1Extγ∧(n+1) − HPx(γ ≤ n).
Lay giói han khi n → ∞ (ca hai dãy tương úng đang tăng theo n) và
thu đưoc
Extγ ≤ d(V (x) + H).
Do τ ≤ tγ nên ta suy ra Exτ < ∞.
Ta xét trưòng hop V (x) ≤ N . Lay kỳ vQNG có đieu ki¾n theo bien Y1
chúng ta có
Exτ ≤ g(x) + Ex(ExY1τ 1(V (Y1 >
N ))
Do đó,

≤ g(x) + Ex(d(V (Y1) + H)1(V (Y1) > N ))
≤ g(x) + dH + d(V (x) + H).
sup E τ
sup
x
g(x) + d(2H + N ).
≤
V

(x)≤N

v(x)≤
N