XÁC SUẤT THỐNG KÊ: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI

KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI


Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (dưới dạng bảng phân phối xác suất,
hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên.
Tuy nhiên, khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên, nếu chỉ đánh giá thông qua quy luật phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó thì ta sẽ không dễ dàng so sánh được, đánh giá được
các biến ngẫu nhiên với nhau về một đặc tính nào đó. Vì vậy cần có những con số thể hiện
những thông tin cô đọng nhất về biến ngẫu nhiên ấy. Các con số này gọi là các số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ
lệch chuẩn và các số đặc trưng khác. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về kỳ vọng và phương sai.


1.

Kỳ vọng tốn: Kỳ vọng tốn thường được kí hiệu:
E: Expectation;
E(X) = X = M(X)
= µ(X)M: Mean

1.1. Định nghĩa:
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

Thì

X

x1

x2

….

xn

P[X=xi]

p1

p2

....

pn

……..
………

E(X) = x1p1 + x 2p 2 + ... + x n p n + ... = ∑ x i p i

E(X) =

+∞

−∞

i =1

∞

∑| x | p < +∞

∫ xf (x)dx
Chú ý:

i =1
+∞

i

i

∫ | x | f (x)dx < +∞

−∞

∑p
i =1

+∞

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì

∞

i

=1


1.2. Ví dụ:

Ví dụ 2. Bắn liên tiếp ba viên đạn độc lập vào một mục tiêu. Gọi X là số viên đạn trúng đích trong 3 viên. Xác
suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,5. Tìm phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng của X.


1.3. Ý nghĩa của kỳ vọng:
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đó (tính theo độ
tập trung xác suất). Nó phản ánh giá trị trung tâm của biến ngẫu nhiên.
Vậy kỳ vọng E(X) là trung bình có trọng lượng. Nếu lặp lại n lần độc lập phép đo đại lượng
ngẫu nhiên X, ta nhận được kết quả
.
Dưới một số giả thiết nhất định thì
hội tụ về kỳ vọng E(X) khi
Vì vậy với n đủ lớn ta có thể xem

.

X1 , X 2 ,..., X n
X1 + X 2 + ... + X n
X=
n

n→∞

X ≈ E(X)



Ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến là đại lượng ngẫu nhiên liên tục X

(phút) có hàm mật độ xác suất:

x
khi x ∈ (0, 10)

f (x) =  50
0
khi
x
∉
(0,10)
Tính thời gian chờ xe trung bình của khách.


1.4. Tính chất của kỳ vọng tốn:

a)

E(c) = c (với c là hằng số)

b) Nếu X, Y có kỳ vọng thì

cũng có kỳ vọng và

c) Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có kỳ vọng E(X), E(Y) thì E(XY) =
E(X).E(Y)
d)

X±Y
c là hằng

số) ± E(Y)
E(X(với
± Y)
= E(X)

Ta tiếp tục tìm hiểu một tính chất rất quan trọng sau đây:

E(cX) = cE(X)


Giả sử biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X,

Y = ϕvà
(X)có kỳ vọng

Eϕ(X)

.

Khi đó:

P[X = x i ] = pi , i = 1, 2,....

+ Nếu X có phân phối rời rạc
+∞

thì

E(Y) = E(ϕ(X)) = ∑ ϕ(x i )pi
i =1

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x)

+∞

thì

E(Y) = E(ϕ(X)) = ∫ ϕ(x)f (x)dx
−∞


Ví dụ 4: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất là
X

0

1

p

0,5

0,5

Tính

.

Giải:

E(X), E(2X + 1), E(X ), E(e )
3

X

1
1 1
E(X) = 0 × + 1 × =
2
2 2

1
E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2 × + 1 = 2
2
1
1
1
E(X 3 ) = 03 × + 13 × =
2
2 2

1 1 1 1
E(e ) = e × + e × = (e + 1)
2
2 2
X

0

Ví dụ 5: Quay trở lại ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục X (phút) có hàm mật độ xác suất:

Tính
Giải:

.

x

f (x) =  50
0

khi x ∈ (0, 10)
khi x ∉ (0,10)

E(X 2 )

+∞

4
x
1
x
2
2
2
E(X ) = ∫ x f (x)dx = ∫ x . dx = .
50
50 4

−∞
0
10

10
0

= 50


1.5. Ứng dụng của kỳ vọng toán:
Khái niệm kỳ vọng tốn lúc đầu xuất hiện trong các trị chơi may rủi để tính giá trị mà người
chơi mong đợi sẽ nhận được. Hiện nay khái niệm này được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
kinh doanh và quản lý như một tiêu chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa
nhiều chiến lược khác nhau.
Trong kinh tế, kỳ vọng toán đặc trưng cho năng suất trung bình của một phương án sản xuất, lợi
nhuận trung bình của một danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình
hoặc tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm…
Do đó trong kinh tế, kỳ vọng toán là một tiêu chuẩn để ra quyết định khi có nhiều phương án lựa
chọn khác nhau.


Ví dụ 6:
Bài tốn: Trị chơi “Bầu cua tơm cá” công bằng hay thiên vị? Tại sao?
Luật chơi: Giả sử đặt a (đồng) vào ô B. Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc. Nếu xuất hiện
i mặt B thì sẽ được thưởng i lần a đồng (i = 1, 2, 3). Ngược lại khơng xuất hiện mặt B
nào thì mất số tiền đặt vào.

Trị chơi “Bầu cua tơm cá” cơng bằng hay thiên vị?
Giả sử đặt a (đồng) vào “ô cá”.
Gọi X là số tiền thu về sau 1 lần tham gia (tức là 1 lần đặt tiền).
X có thể nhận những giá trị:
-a, a, 2a, 3a.
Ta xem việc gieo 3 con xúc xắc (xí ngầu) như thực hiện dãy 3 phép thử Bernoulli,
với

1
n = 3, p =
6


0

3

 1   5  125
P[X = −a] = C  ÷  ÷ =
 6   6  216
2
75
1  1  5 
P[X = a] = C3  ÷ ÷ =
216
 6  6 
2
15

2 1 5
P[X = 2a] = C3  ÷  ÷ =
 6   6  216
3
0
1
31 5
P[X = 3a] = C3  ÷  ÷ =
 6   6  216
0
3

Số tiền trung bình thu về sau 1 lần tham gia là:

125
75
15
1
−17a
E(X) = (−a).
+ a.
+ 2a.
+ 3a.
=
<0
216
216
216
216 216
Kết luận: Trò chơi thiên vị cho người “cầm cái”.

Ví dụ 7:
Một dự án xây dựng được viện thiết kế C soạn thảo cho cả 2 bên A và B xét duyệt
một cách độc lập. Xác suất để A và B chấp nhận dự án khi xét duyệt tương ứng là 0,7
và 0,8. Nếu chấp nhận dự án thì A phải trả cho C là 4 triệu đồng, còn ngược lại thì
phải trả 1 triệu. Với B, nếu chấp nhận dự án thì phải trả cho C là 10 triệu đồng,
ngược lại phải trả 3 triệu. Chi phí cho thiết kế là 10 triệu và thuế 10% doanh thu. Hỏi
C có nên nhận thiết kế hay khơng?


Hướng dẫn:
Để quyết định xem có nên nhận thiết kế hay khơng thì C phải tính số lãi kỳ vọng mà
C có thể nhận được.
Gọi X là số lãi mà C có thể nhận được sau khi trừ mọi chi phí.
X có thể nhận những giá trị: -6,4; -3,7; -0,1; 2,6.
Từ đó:
Ta có E(X) = 0,53 > 0. Vậy C vẫn có thể nhận thiết kế.

E(X) = ( −6, 4) × 0, 06 + (−3, 7) × 0,14 + ( −0,1) × 0, 24 + 2, 6 × 0,56 = 0, 53


2. Phương sai: Trước hết ta xem ví dụ sau: Có hai nhóm người đều có chiều cao trung bình là
160,8 cm.

Nhóm 1

Nhóm 2

160

142

160

150

167

187

Như vậy, giá trị trung bình khơng phản
số liệu. Chúng ta cần đến
156 ánh hết được sự phân tán của một 180
một giá trị khác. Đó là giá trị phương sai.
161
145
E(X) =160,8 cm

E(X) = 160,8 cm


2. Phương sai:
2.1. Định nghĩa:
Phương sai thường được kí hiệu:

D(X) = var(X) = σ (X) = σ
2

2

var (variance) X

D(X) = E(X − EX)

2

2.2. Ý nghĩa của phương sai: Về mặt tốn học, phương sai cho biết độ sai bình phương trung bình
(Tức là trung bình bình phương sai số của X so với giá trị trung bình E(X)). Trung bình bình
phương sai số tức là độ lệch giữa X và E(X), tức là phương sai cho biết mức độ phân tán giữa các
giá trị của X so với vị trí kỳ vọng E(X).


Quay trở lại ví dụ trên: Có hai nhóm người đều có chiều cao trung bình là 160,8 cm.

Nhóm 1: D(X) = 15,7

Nhóm 2: D(X) = 443,7

Ta thấy chiều cao của những người ở nhóm 2 có sự khác biệt nhiều hơn những người ở nhóm 1.
Tức là những giá trị đo đạc được ở nhóm 2 cách xa giá trị trung bình hơn những giá trị đo đạc
được ở nhóm 1.


2.3. Tính chất của phương sai:

a)

Dc = 0 (với c là hằng số)

b)

D(cX) =(với
c DX
c là hằng số)

c)

DX = E(X 2 ) − (EX) 2

2

(Trung bình bình phương trừ bình phương trung bình)
Ví dụ 8: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối là:
X

2

3

4

6

7

0,1

0,2

0,3

0,2

0,2

Tính kỳ vọng, phương sai của X.

E(X) = 2 × 0,1 + 3 × 0,2 + 4 × 0,3 + 6 × 0,2 + 7 × 0,2 = 4,6

E(X ) = 2 × 0,1 + 3 × 0,2 + 4 × 0,3 + 6 × 0,2 + 7 × 0,2 = 24
2

2

2

2

2

DX = E(X 2 ) − (EX) 2 = 24 − 4,6 2 = 2,84

2