14 cuc tri toa do khong gian p2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ
Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
(
)
+
min
MA MB
hoặc
−
max
MA MB

Phương pháp giải:
+ Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P).
+ Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán min phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm max là giao điểm trực
tiếp của đường thẳng AB và (P).
+ Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán max phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm min là giao điểm trực
tiếp của đường thẳng AB và (P).
Ví dụ 1. Cho hai điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9) và (P): x + y + z + 3 = 0.
a) Tìm điểm M∈(P) sao cho +
 
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA
2
+ NB

2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: M(0; –3; 0)
Ví dụ 2. Cho ba điểm A(4; –1; 2), B(3; 5; –1),vC(2; 5; –1) và (P): x + 2y – z – 3 = 0
a) Tìm điểm M∈(P) sao cho + +
  
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA
2
+ NB
2
+ NC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: M(2; 1; 1).
Ví dụ 3. Cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–9; 4; 9) và (P): 2x – y + z + 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó.
b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất.
Đ/s: a) I(7; 2; –13) b) M(–1; 2; 3)
Ví dụ 4. Cho hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) và mặt phẳng (P): x – y + z – 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó .
b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |MA – MB| lớn nhất.
Đ/s:
4 7
0; ;
3 3
 
 
 

I
, M trùng I.
Ví dụ 5.
Cho hai
đ
i
ể
m A(1; 0; 2), B(2; 1; 3) và (P): x – 2y + z – 4 = 0.
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho AM + BM nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 6.
Cho hai
đ
i
ể
m A(–4; 1; 2), B(–3; 1; 3) và (P): x – y + z + 2 = 0.
Tìm
đ
i
ể
m M thu

ộ
c (P) sao cho AM + BM nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 7.
Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + y + z – 1 = 0 và hai
đ
i
ể
m A(1, –3, 0), B(5, –1, –2).
a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A, B c

ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m I, tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m
đ
ó .
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất.
II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ

Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1; 1; 2), B(-1; 0; 1) và
1 1
:
2 1 1
− +
= =
x y z
d . Tim
đ
i
ể
m M trên d sao cho
a)
di
ệ
n tích tam giác MAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)
MA + MB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.

Đ
/s: b)
1
.
6
=
t

Ví dụ 2.
Cho hai
đ
i
ể
m A(0; 1; -1), B(3; 0; 1) và
1 2
:
1 1 1
− +
= =
−
x y z
d . Tim
đ
i
ể
m M trên d sao cho MA + MB
đạ
t giá tr
ị
nh

ỏ
nh
ấ
t.
Đ
/s:
1
.
3
= −
t
Ví dụ 3.
Cho hai
đ
i
ể
m A(0; 1; -1), B(2; 0; 1) và
1
:
1 1 2
+
= =
−
x y z
d . Tim
đ
i
ể
m M trên d sao cho
a)

MA + MB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)
Di
ệ
n tích tam giác MAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
c)
Kho
ả
ng cách t
ừ
M t
ớ
i (P) b
ằ
ng hai l
ầ
n kho
ả

ng cách t
ừ
M t
ớ
i (Q) bi
ế
t
( ): 2 2 1 0
( ): 2 2 3 0
+ + − =


− − + =

P x y z
Q x y z

Đ
/s: a)
7 42 50
26
−
=t b)
8
5
= −
t c)
11
; 5
5

= = −
t t
Ví dụ 4.
Cho ba
đ
i
ể
m A(1; 0; –1), B(0; 2; 3), C(-1; 1; 1) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 1
: .
1 2 2
+ −
= =
−
x y z
d Tìm
đ
i
ể
m M
trên d sao cho
a)
2 2 2
2 4+ −
MA MB MC
đạt giá trị lớn nhất?

b)
min
+
 
AM BC
Đ/s: a)
4
9
= −
t b)
5
9
=
t
Ví dụ 5. Cho các điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) và
1 5
:
3 1 1
− −
= =
x y z
d . Tìm điểm M thuộc d sao
cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s:

3 12 54
; ; .
11 11 11
 
−
 
 
M

Ví dụ 6. Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(2; –1; –4), C(3; 0; –2) và đường thẳng
1 3 1
: .
2 1 2
− − −
= =
−
x y z
d
a) Tìm trên d một điểm M sao cho 2+ −
  
MA MB MC
nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M thuộc d sao cho –MA
2
+ MB
2
–MC
2
đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 7. Cho A(1; 1; 0), B(3; –1; 4) và

1 1 2
: .
1 1 2
+ − +
= =
−
x y z
d
Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: M(1; –1; 2)