14 cuc tri toa do khong gian p5

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



IV. BÀI TOÁN VỀ GÓC CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ
Phương pháp giải:
+ Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cân lập là (a; b; c)
+ Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường,
song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c)
+ Thiết lập phương trình về góc, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai ẩn b; c.
Chú ý:
+ Góc giữa hai đường thẳng
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
.
cos( ; ) cos ;
.
= =
 
 
 
u u
d d u u
u u

+ Góc gi
ữ
a hai m

ặ
t ph
ẳ
ng
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
.
cos( ; ) cos ;
.
= =
 
 
 
n n
P P n n
n n

+ Góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng

( )
.
sin( ; ) cos ;
.
= =
 
 
 
P d
P d
P d
n u
d P n u
n u

+ Ta bi
ế
t r
ằ
ng hàm sin
φ

đồ
ng bi
ế
n khi 0 <
φ
< 90
0
, ng

ượ
c l
ạ
i hàm cos
φ
ngh
ị
ch bi
ế
n.
V
ậ
y khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc l
ớ
n
ứ
ng v
ớ
i hàm max, góc nh
ỏ

ứ
ng v
ớ
i hàm nh
ỏ
. Còn khi hàm
xét max, min là hàm cosin thì ng
ượ
c l

ạ
i,
đề
bài yêu c
ầ
u tìm góc l
ớ
n thì hàm ph
ả
i
đạ
t min, góc nh
ỏ
thì hàm
đạ
t max.
Ví dụ 1.
Cho
1 2 2 1
: ; ': ;( ): 2 2 3 0
1 2 1 2 1 2
− + + −
= = = = + + − =
− −
x y z x y z
d d Q x y z

L
ậ
p (P) ch

ứ
a d sao cho
a)
góc gi
ữ
a (P) và (Q) nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)
góc gi
ữ
a (P) và d’ l
ớ
n nh
ấ
t.
Đ/s:
a)
( ): 2 5 3 0
+ + + =
P x y z b)
( ):7 5 9 0
− + − =
P x y z
Ví dụ 2. Cho điểm A(1; −1; 2) và mặt phẳng
( ) : 2 3 0.
− − + =
Q x y z

Lập phương trình đường d đi qua A; song song với (P) đồng thời tạo với đường
1 1
:
1 2 2
+ −
∆ = =
−
x y z
m
ộ
t
góc l
ớ
n nh
ấ
t? nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ/s:

2
2
1 1 2
max :
1 (5 4) 5
5 5 7
cos

φ
0 cos
φ
1
3 5 4 2
3 3
min :
1 0 1
− + −

= =

−
−
=
⇒
≤ ≤
⇒

−
− +

= =


x y z
t
x y z
t t

Ví dụ 3.
Cho
đ
i
ể
m A(−1; 0; −1) và hai
đườ
ng
1 2 2 3 2 3
: ; ':
2 1 1 1 2 2
− − + − − +
= = = =
− −
x y z x y z
d d
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Lập phương trình đường ∆ đi qua A đồng thời cắt đường d sao cho góc giữa ∆ và d’ lớn nhất? nhỏ nhất?
Đ/s:
2
2
1 1
max :
2 9
2 2 1
cosφ 0 cosφ
1 1

3 6 14 9 5
min :
4 5 2
+ +

= =

−
= ⇒ ≤ ≤ ⇒

+ +
+ +

= =

−

x y z
t
x y z
t t

Ví dụ 4. Cho các điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng
1 2
:
1 1 2
− +
= =
−
x y z

d
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a d và
a)
kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (P) max.
b)
góc gi
ữ
a (P) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) min.
c)
góc gi

ữ
a (P) và tr
ụ
c Oy max.
Ví dụ 5.
Cho
đ
i
ể
m A(1; 4; 2),
đườ
ng th
ẳ
ng
1 4
:
2 1 3
+ −
= =
−
x y z
d và (P): x + y + z – 1 = 0
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

ng ∆
đ
i qua A sao cho
a)
∆ // (P) và kho
ả
ng cách gi
ữ
a ∆ và d l
ớ
n nh
ấ
t.
b)
∆ // (P) và góc gi
ữ
a ∆ và d l
ớ
n nh
ấ
t? nh
ỏ
nh
ấ
t?
c)

1
': 3
1

= − +


∆ ⊥ = +


= − +

x t
d y t
z t
và kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m B(−1; 1; −1) l
ớ
n nh
ấ
t? nh
ỏ
nh
ấ
t?