Một số biện pháp phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học môn toán THPT

MỤC LỤC

Trang


MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG KIẾN THỨC 
TỐN HỌC VÀO THỰC TIỂN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC 
MƠN TỐN THPT
Phần I. Mở đầu.
Hiện nay, chương trình giáo dục Tốn  ở  nước ta đã và đang chuyển biến theo  
hướng gắn liền tri thức tốn học với thực tiễn, quan tâm đến kỹ  năng sử  dụng các 
kiến thức tốn học  đã  được  học  của HS. Có thể  thấy  điều đó  qua  mục  tiêu của 
chương trình GDPT mơn Tốn mới được Bộ  GD&ĐT ban hành ngày 26/12/2018. Cụ 
thể, mơn Tốn hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất chủ yếu, năng lực  
chung và năng lực tốn học với các thành tố cốt lõi là năng lực tư duy và lập luận tốn 
học, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng lực giải quyết vấn đề  tốn học, năng lực  
giao tiếp tốn học, năng lực sử dụng các cơng cụ và phương tiện tốn; phát triển kiến  
thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng tốn học vào 
đời sống thực tiễn. Giáo dục tốn học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng tốn học, 
giữa tốn học với các mơn khoa học khác và giữa tốn học với đời sống thực tiễn. 
1. Lý do chọn đề tài
Trong xu thế  phát triển hội nhập của thời đại cơng nghiệp 4.0, việc đổi  mới 
giáo dục phổ  thơng  ở  nước ta hiện nay là hồn tồn cần thiết. Chúng ta đang dịch  
chuyển từ giáo dục chú trọng đến việc truyền thụ kiến thức và kỹ năng sang giáo dục 
chú trọng phát triển năng lực cho học sinh  ở  tất cả  các mơn học, trong đó có mơn  
Tốn.  Người giáo viên dạy Tốn  ở  các trường phổ  thơng cũng phải tự  thay đổi để 
thích nghi với sự đổi mới; tuy nhiên họ cũng gặp khơng ít khó khăn nhất định.
Thứ nhất, quan niệm về dạy học Tốn gắn với thực tiễn của giáo viên là khác 
nhau; họ  khơng biết tình huống dạy Tốn học gắn với thực tiễn là những tình huống  
gắn với sự vật hiện tượng diễn ra trong thực tế hay chỉ trong nội bộ Tốn học, hoặc 
chỉ trong mối quan hệ giữa Tốn học và các mơn học khác 

Thứ  hai, hầu hết giáo viên  đều dạy Tốn theo đúng tinh thần của sách giáo 
khoa, mà trong sách giáo khoa hiện hành thì số lượng bài tốn chứa nội dung thực tiễn, 
hay mơ phỏng thực tiễn cịn ít cả về số lượng cũng như khơng phủ hết nội dung kiến  
thức. 
Thứ ba, giáo viên ít nghiên cứu về lịch sử Tốn nên thực sự họ cũng chưa thấy 
được nguồn gốc của Tốn học, chưa thấy được nhu cầu phát sinh, phát triển của Tốn 
học, chưa thấy được tư  tưởng của phương pháp luận Tốn học, sự cần thiết  là dạy 
học các mối liên hệ giữa các chương, mục khác nhau, xem xét mối liên hệ giữa Tốn  
học với các mơn học khác và với thực tiễn. Hầu như giáo viên tiến hành soạn giảng 
dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và sách giáo khoa, sách tham khảo hiện hành.
Điểm tồn tại thứ tư của một số giáo viên dạy Tốn hiện nay là chưa chú trọng  đúng 
mức đến việc nghiên cứu bài học; ít có hoạt động thảo luận, hợp tác giữa các giáo 
viên về một vấn đề hoặc một tình huống dạy học cụ thể. 

2


Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra cho 132 học sinh khi chưa áp dụng. 
Thời gian

Tỷ lệ HS đạt 
mức tốt (%)

Tỷ lệ HS đạt 
mức khá (%)

Tỷ lệ HS đạt 
mức TB (%)

Tỷ lệ HS đạt 

mức khơng đạt 
(%)

Năm học 
2017­ 2018

5,2

22,5

55.6

16.7

Năm học 
2018­ 2019

5,36

23,4

54,7

16,54

Đa số học sinh cịn yếu, chỉ một số ít học sinh có khả năng vận dụng kiến thức  
vào thực tiễn.  Điều đó xuất phát từ các ngun nhân chủ yếu sau:
­ Khi HS giải một bài tốn có nội dung thực tiễn, do năng lực tư  duy kém nên 
học sinh chọn sai mơ hình, dẫn đến khơng giải quyết được bài tốn. Mặt khác do HS  
chưa có thói quen xây dưng và phân tích rõ ràng các mơ hình tốn học của bài tốn thực  

tiễn.
­ Trong nhưng năm gần đây việc ra đề thi THPTQG với định hướng gắn liền tri 
thức tốn học với thực tiễn, quan tâm đến kỹ năng sử dụng các kiến thức tốn học đã  
được học của HS nâng cao kỹ năng thực hành theo tinh thần đổi mới. 
­ Số lượng bài tập có nội dung thực tiễn SGK cịn ít, nếu có thì nội dung chứa  
đựng hướng ứng dụng thực tiễn chưa nhiều. Do đó học sinh chưa có nhiều cơ hội để 
thực hành gải các bài tốn có nội dung thực tiễn do đó cũng phần nào ảnh hưởng đến  
khả năng vận dụng kiến thức tốn học và thực tiễn. 
Trong q trình dạy học chúng tơi nhận thấy rằng hầu hết giáo viên đều rất  
mong muốn sử dụng tình huống thực tiễn trong dạy học Tốn; tuy nhiên đều gặp khó 
khăn trong q trình dạy học. Những khó khăn mà giáo viên gặp phải trong q trình 
trải nghiệm, tìm tịi, xây dựng tình huống thực tiễn trong dạy học Tốn.
Do đây là một nội dung rất rộng gắn liền với rất nhiều lĩnh vực khoa học khác 
cũng như  đối với thực tiễn cuộc sống. Do đó nội dung bài viết đề  xuất một số  biện  
pháp cơ bản đó là đưa ra một số biện pháp theo hướng tiếp cận này nhằm phát triển  
năng lực giải quyết vấn đề trong cuộc sống cho HS phù hợp với mục tiêu của dạy học 
Tốn ngồi việc phát triển năng lực tốn học nói chung cần hướng tới việc phát triển 
tư  duy, phát triển năng lực vận dụng Tốn học vào giải quyết vấn đề  thực tiễn cho  
HS trong dạy học Tốn ở THPT đáp ứng phần nào u cầu dạy học hiện nay. Làm rõ 
cách thức khai thác các chức năng của tình huống thực tiễn và tìm tịi được các ví dụ 
minh họa chức năng của tình huống thực tiễn mang tính mới; Những vấn đề  nêu trên 
là tiền đề để  định hướng chúng tơi thực hiện đề  tài: Một số biện pháp phát triển 
năng lực vận dụng kiến thức tốn học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy  
học mơn tốn THPT.
Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Tốn học cho HS khơng chỉ giúp HS hiểu sâu  
3


sắc hơn các kiến thức, củng cố  các kĩ năng Tốn học mà các em cịn thấy được ý  
nghĩa, vai trị của mơn Tốn đối với các lĩnh vực khoa học khác cũng như đối với thực  

tiễn cuộc sống. Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Tốn học cịn đặc biệt có ý nghĩa 
trong việc rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề  và kĩ năng tư  duy cho HS những kĩ  
năng rất quan trọng đối với HS của bất cứ quốc gia nào trong bối cảnh tồn cầu hóa  
hiện nay. Hay Bùi Văn Nghị (2008) cùng các đồng tác giả của mình quan niệm: “Tình 
huống dạy học là một bối cảnh trong đó diễn ra hoạt động dạy và hoạt động học của 
một tiết hoặc một vài tiết học trên lớp được thiết kế bởi giáo viên nhằm đạt  được  
một mục tiêu  dạy  học  nhất  định”. Theo  đó,  người  giáo  viên  đóng  vai  trị  quan  trọng 
trong  việc  thiết kế,  ủy thác các nhiệm vụ  cụ  thể  cho học sinh. Học sinh xuất hiện  
nhu cầu nhận thức, tự vận dụng tri thức, kinh nghiệm của mình để giải quyết vấn đề 
đặt ra; thơng qua hoạt động học mà học sinh được rèn luyện kỹ năng phán đốn, kiểm 
nghiệm, điều ứng kiến thức vận dụng vào thực tiễn.
Phần II. NỘI DUNG
Để  học sinh thấy được chức năng, vai trị của tình huống thực tiễn như  chức 
năng gợi động cơ tạo nhu cầu bên trong cho học sinh tiếp cận phát hiện tri thức, chức  
năng phát hiện các quy luật tìm tịi quy tắc tốn học, chức năng củng cố khắc sâu kiến 
thức trong các khâu của hoạt động dạy học tốn, chức năng giải thích mơ phỏng các  
hiện tượng thực tiễn khai thác các  ứng dụng khác nhau của tốn học trong thực tế, 
chức năng góp phần hình thành văn hóa tốn học cho học  sinh. Do đó nội dung bài viết 
bài viết đề xuất một số biện pháp cơ bản để phát triển năng lực vận dụng kiến thức 
vào thực tiễn cho HS trong dạy học Tốn ở THPT hiện nay. 
Trong bài viết này, chúng tơi hiểu tình huống trong dạy học Tốn là: những nội  
dung Tốn học cần thiết được người giáo viên thiết kế  biên soạn, lồng ghép các  
nhiệm vụ học tập trong một đơn vị bài học, bài dạy cụ thể để học sinh thơng qua việc  
giải quyết các nhiệm vụ  đó, chiếm lĩnh tri thức Tốn học. Đồng thời chúng tơi hiểu  
tình huống thực tiễn trong dạy học tốn là những tình huống xuất phát từ thực tiễn, có 
mặt trong đời  sống hằng ngày,  ẩn chứa các nội dung hoặc mối quan hệ  tốn học  
được giáo viên quan sát, phát hiện hoặc thiết kế lại cho phù hợp với nhu cầu học tập  
của học sinh
2.1 Năng lực vận dụng tốn học vào thực tiễn
Phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh (HS) sẽ làm 

thay đổi cách dạy của giáo viên (GV) và cách học của HS theo hướng “học đi đơi với 
hành”, lí  thuyết  gắn  với  thực tiễn,  nhà trường gắn với gia đình và xã hội. Thực trạng 
dạy học ở  các trường phổ thơng hiện nay, hầu hết GV mới chỉ tập trung vào việc hình 
thành và phát triển kiến thức cho HS mà chưa chú trọng vào việc phát triển năng lực vận 
dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS. Do đó, q trình dạy học hướng tới giúp HS có kỹ 
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn rất cần thiết, được xem như mục tiêu cốt lõi của 
chương trình giáo dục phổ thơng.
2.2.  Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn
Năng lực được hiểu theo các quan điểm khác nhau như: Năng lực là tổng hợp 
những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những u cầu đặc trung của một 
hoạt động nhất định nhằm đảm bảo việc hồn thành có kết quả  tốt trong lĩnh vực 
4


hoạt động ấy. Có thể hiểu năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển  
nhờ  tố  chất có sẵn và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực hiện  
thành cơng các hoạt động nhất định, đạt được kết quả  như  mong muốn trong những  
điều kiện cụ thể.
Năng lực vận dụng kiến thức vào vào thực tiễn là khả  năng của người học tự 
giải quyết những vấn đề đặ ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng  
các kiến thức đã lĩnh hội vào nhưng tình huống, hoạt động thực tiễn để  tìm hiểu thế 
giới xung quanh và có khả  năng biến đổi nó. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực 
tiễn thể  hiện phẩm chất và nhân cách của con người trong q trình hoạt động để 
thỏa mãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức. Như vậy, có thể hiểu:  Năng lực vận dụng kiến  
thức vào thực tiễn là khả  năng chủ  thể  phát hiện được vấn đề  thực tiễn, huy động  
được các kiến thức liên quan nhằm giải quyết các vấn dề thực tiễn hiệu quả.     
2.3.  Đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực  
tiễn cho HS trong dạy học mơn Tốn ở THPT.
Mối quan hệ biện chứng giữa Tốn học và thực tiễn được xác định đó là Tốn 
học bắt nguồn từ thực tiễn và trở  về  phục vụ  thực tiễn. Thực tiễn là cơ  sở  để  nảy  

sinh, phát triển các lý thuyết Tốn học; Thực tiễn đặt ra những bài tốn và Tốn học 
được xem là cơng cụ hữu hiệu để giải quyết rất nhiều các bài tốn này. Mối quan hệ 
biện chứng giữa Tốn học và thực tiễn đó cũng thể hiện trong quy luật nhận  thức đã 
được V.I.Lênin nêu lên: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy 
trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng để nhận thức chân lý”. Khi DH  
tốn theo hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS thì  
chúng tơi tập trung một số đặc điểm sau:
Thứ nhất, q trình dạy học tốn trước hết cần phải giúp HS nắm vững kiến 
thức Tốn học. Đây là điều kiện cần để huy động và sử dụng một cách đúng đắn kiến  
thức cơ bản của Tốn học vào các tình huống mới (trong học tập, trong đời sống). Nói  
cách khác đây là điều kiện cần thiết cho việc vận dụng kiến thức Tốn học vào thực 
tiễn .
Thứ  hai, phải tạo cơ  hội để  HS thể  hiện, phát triển khả  năng chuyển đổi từ 
ngơn ngữ thực tiễn sang ngơn ngữ Tốn học và ngược lại (trong những trường hợp cụ 
thể nào đó). Nhằm đáp ứng các u cầu đã nêu, phần này sẽ đề xuất một số biện pháp 
về  DH tốn thơng qua việc sử  dụng các bài tốn có tình huống thực tiễn. Thơng qua 
các ví dụ  thực tiễn để  củng cố  khái niệm, cơng thức, quy tắc. Chỉ  ra khả  năng vận  
dụng của kiến thức tốn vào thực tiễn đời sống.
Biện pháp 1: Sử dụng bài tốn có tình huống thực tiễn trong tất cả các q trình  
dạy học mơn Tốn THPT.
Mục đích và ý nghĩa của biện  pháp:  Trong DH tốn GV khơng chỉ  chú ý đến 
truyền thụ kiến thức Tốn học mà hướng dẫn cho HS  liên hệ kiến thức tốn học với 
thực tiễn và  ứng dụng kiến thức vào thực tiễn. Đây là cơ sở quan trọng để  góp phần 
nâng cao năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn và u cầu đó ln ln phải 
được thể hiện trong tất cả các tiết học cũng như các khâu của mỗi tiết học. Nói cách 
khác, để  góp phần phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn  cho HS thì 
cần tạo cơ hội để HS thường xun tiếp xúc với các bài tốn có tình huống thực tiễn 
5

để qua đó phát triển các thành tố của năng lực này.
Cách thức thực hiện biện  pháp:  Xuất phát  từ  một  tình huống  thực tiễn  liên 
quan trực tiếp tới kiến thức cần truyền thụ   để  đặt vấn đề  cho tiết  học. Tìm hình 
ảnh, mơ hình trong thực tiễn gắn chặt với kiến thức Tốn học cần truyền thụ trong 
q trình dạy học. Giới thiệu các ứng dụng của kiến thức Tốn học (cần truyền thụ) 
trong thực tiễn. Tuy nhiên, cách giải quyết tốt nhất vẫn là chọn lựa và đưa ra một bài  
tốn thực tế. Việc sử dụng các bài tốn thực tiễn trong dạy học  ở các khâu: mở  đầu, 
luyện tập và củng cố, ơn tập vừa có mục đích giúp cho HS ln có ý thức đúng đắn về 
vai trị ứng dụng kiến thức của Tốn học trong thực tiễn, song điều quan trọng hơn là  
giúp phát triển năng lực vận dụng kiến thức Tốn học để giải quyết vấn đề thực tiễn  
một cách thường xun. Cần chú ý sử  dụng các nội dung thực tiễn trong cuộc sống  
hằng ngày xung quanh HS, trong hoạt động xã hội, trong học tập các mơn học khác; 
trong kinh tế, kĩ thuật, quốc phịng,…
1) Sử dụng các bài tốn thực tiễn trong hoạt động hình thành kiến thức.
Hoạt động mở đầu tiết học có ý nghĩa quan trọng đối với hiệu quả của tiết học 
vì nó có ý nghĩa định hướng và làm sáng tỏ  mục đích hoạt động học tập trong chính  
tiết học đó nói riêng, cũng có thể là của cả chủ đề. Việc mở đầu có nhiều phương án,  
tùy theo sự  lựa chọn của GV, song nếu mở đầu bằng việc đưa ra một bài tốn thực  
tiễn thì ngồi việc  thể  hiện  được  ý  nghĩa  và  tác  dụng  của  nó  cịn  có  khả  năng  gần 
chắc chắn là tạo được sự chú ý, tạo được hứng thú cho HS. Cũng qua đó vấn đề phải 
giải quyết đã được đặt ra.
Ví dụ 1. Khi tổ chức dạy học khái niệm Hàm số bậc hai cho HS trong SGK Đại  
số 10 trang 42.
Hoạt động 1. Tiếp cận hàm số bậc hai
Bài tốn 1. Bố bạn An gửi 10 triệu vào ngân hàng với lãi suất x/tháng. Biết rằng nếu 
khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ là được nhập vào  
vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà bố bạn An 
có được khi gửi tiền tiết kiệm 1 tháng, 2 tháng.
­ Số tiền bố bạn An có được sau khi gửi 1 tháng là triệu đồng
­ Số tiền bố bạn An có được sau khi gửi 2 tháng là: 

triệu đồng.
Hoạt động 2. Hình thành kiến thức
Bài tốn 2. Trong biểu thức tính số tiền lãi và vốn có được sau 2 năm gửi 

a) Tính số tiền bố bạn An có được sau 2 năm gửi nếu lãi suất ngân hàng là 
b) Mỗi giá trị lãi suất cho tương ứng với bao nhiêu giá trị về số tiền? Tương ứng giữa 
số tiền  và lãi suất  có phải là một hàm số khơng?
 
HS dự đốn được khái niệm hàm số bậc hai có dạng 
6


Hoạt động 3. Vận dụng hàm số bậc hai trong thực tiễn
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ  đạt tới độ  cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng 
quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ  , trong đó  
là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên,  là độ cao (tính bằng mét 
()) của quả bóng. Giả sử rằng quả bóng được đá lên với độ cao . Sau khoảng thời gian 
1 giây và 2 giây từ lúc quả bóng được đá lên thì nó đạt độ cao lần lượt là  và . Hãy tìm  
hàm số bậc hai biểu thị độ  cao h và có phần đồ  thị trùng với quỹ đạo của bóng trong 
tình huống này?
Gợi ý: Giả sử ta cần tìm 
Theo giả thiết, quả bóng từ độ cao nghĩa là ;
Sau  nó đạt độ cao là nên ;
tại khi đá lên, nó ở độ cao , ta có . 
Vậy ta có hệ: . 
Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: .
Qua ví dụ học sinh được trải nghiệm hình thành định nghĩa khái niệm, củng cố và vận  
dụng khái niệm vừa học các tình huống và giải quyết vấn đề  thực tiễn. Đặc biệt là  
các em thấy được mối liên hệ  giữa tốn học và thực tiễn và các mơn khoa học khác,  
u thích học tập mơn Tốn hơn.

Ví dụ  2: Khi tổ  chức dạy học khái niệm Cấp số  nhân SGK Đại số  và giải tích 
lớp 11 trang 98­ 102
Hoạt động 1. Bài tốn bàn cờ (tr.98. SGK ĐS và GT 11)
Tục truyền rằng nhà Vua  Ấn Độ  cho phép người phát minh ra bàn cờ  Vua được lựa  
chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà Vua thưởng cho số thóc 
bằng số  thóc được đặt lên 64 ơ của bàn cờ như  sau: đặt lên ơ thứ  nhất của bàn cờ  1 
hạt thóc, tiếp đến ơ thứ hai 2 hạt..., cứ như vậy số hạt thóc ở 
ơ sau gấp đơi số  hạt thóc  ở  ơ liền kề  trước cho đến ơ cuối 
cùng. GV đưa ra câu hỏi về số các hạt thóc được đặt vào các 
ơ của bàn cờ. Sau khi để một số HS dự đốn, GV có thể đưa 
ra đáp số  làm HS vơ cùng kinh ngạc và thú vị. Một cách mở 
đầu như  vậy sẽ  tạo nên hứng thú cho HS trước khi học bài  
mới. Nói cụ  thể  hơn, việc  xuất phát từ  các vấn đề  thực tế 
sẽ  giúp HS dễ  thấy được sự  tồn tại khái niệm Tốn học  ẩn 
chứa trong thực tiễn , từ  đây  có  được niềm  tin  và  cả  hứng 
thú để  khám phá khái niệm được học. Khi có được niềm tin thì những hồi nghi về 
sự  tồn tại kiến thức  nào đó được loại  bỏ  và đây cũng là một  yếu tố  tinh thần tạo 
động lực, kích thích sự  tìm hiểu về  kiến thức của  HS. Trở  lại với ví dụ  BÀN CỜ 
VUA trên đây, có thể đưa ra một cách trong rất nhiều cách mở đầu sau khi giới thiệu 
Bàn cờ vua và cách thức đặt số hạt thóc vào các ơ.
Hoạt động 2.  Tìm hiểu tình huống trong thực tiễn liên quan đến cấp số nhân.
Bài tốn 1. Một người gửi vào ngân hàng với số  tiền 100 triệu đồng. Nếu khơng rút  
tiền ra khỏi ngân hàng thì số  tiến được lĩnh sau n tháng () bằng số  tiền được lĩnh 
7


tháng nhân với . Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n tháng?
HS nêu được định nghĩa cấp số nhân:
GV: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và cơng bội  thì số hạng tổng qt xác định bởi 
cơng thức nào?

Hoạt động 3.  Hình thành mối liên hệ  giữa giữa số  hạng thứ  n với số  hạng đâu và 
cơng bội
Bài tốn 2. Xét cấp số nhân  có số hạng đầu và cơng bội 
a) Viết đại lượng thích hợp vào chỗ trống 
b) Có mối liên hệ nào giữa 
HS kết luận Nếu cấp số nhân có số  hạng đầu và cơng bội  thì số  hạng tổng qt xác  
định bởi cơng thức:   với 
GV hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Hoạt động 4. Củng cố mối liên hệ giũa số hạng thứ n với số hạng đầu và cơng bội
Bài tốn 3. Xét cấp số nhân có số hạng đầu và cơng bội . Tính  theo n.
Bài tốn 4. Xét cấp số nhân có số hạng đầu và cơng bội .
a) Tính                           b) Số hạng thứ bao nhiêu của dãy số bằng 160.
Hoạt động 5. Vận dụng kiến thức Tốn vào giải quyết vấn đề thực tiễn.
Bài tốn 5. Tế  bào E.Coli trong điều kiện ni cấy thích hợp thì cứ  20 phút lại phân 
đơi một lần. 
a) Hỏi nếu một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?
b) Nếu có  tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Qua dạy học định lý trên học sinh được trải nghiệm, hình thành định lý, củng cố  và  
vận dụng kiến thức tốn học vào thực tiễn.
2) Dùng bài tốn thực tiễn ở hoạt động thực hành, luyện tập, ơn tập
Bước luyện tập thiên về rèn luyện cách giải tốn cho HS. Đại đa số các bài tốn trong  
SGK là bài tốn “Tốn học thuần túy”,. Vì vậy, ở bước này GV cần đưa thêm các bài 
tập thực tiễn để tạo cơ hội cho HS phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn.
Ví dụ minh họa.     Giải phương trình:  (1) 
Như vậy bài tốn dược phát biểu với giả thiết và kết luận rất rõ ràng, tường minh và 
dơn giản. Học sinh chỉ cần vận dụng kiến thứ về phương trình bậc nhất nên phù hợp  
với đối tượng học sinh yếu, kém. Nếu biến đổi qua một bước trung gian mới đưa 
phương trình (1) bằng cách thay đổi dữ kiện đã cho bằng một điều kiện gián tiếm ta 
có bài tốn sau:
Bài tốn 1. Giải phương trình:  (2). 

Để giải bài tốn 2 học sinh chỉ cần biến đổi phương trình đã cho về phương trình bậc 
8


nhất rồi giải  (Khơng khó khăn với học sinh trung bình)  Nếu thay đổi hình thức phát 
biểu của (2) ta có bài tốn sau:
Bài tốn 2: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số:
    và 
Các kiến thức để  sử  dụng để  giải bài tốn khơng chỉ  là 
giải phương trình mà cịn bao gịm cả hàm số, đồ  thị hàm 
số, tọa độ  giao điểm hai đồ  thị  hàm số. Bài tốn 2 có thể 
phát biểu thơng qua bài tốn thực tế sau:
Bài tốn 3: Có hai loại máy bơm với cùng cùng lưu lượng 
nước   bơm   được   trong   một   giờ.   Loại   thứ   nhất   giá  
1.500.000 đồng, loại thứ 2 giá 2.000.000 đồng. Nếu dùng 
loại thứ  nhất thì mỗi giờ  phải trả  tieend điện là 1200 đồng, nếu dùng máy bơm loại 
thứ 2 thì mỗi giờ  phải trả tiền điện là 1000 đồng. Sau bao nhiểu thời gian thì số  tiền 
phải trả cho hai loại máy là như nhau?
Bài tốn đưa ra một tình huống cụ  thể  liên quan đến số  tiền phải trả bằng nhau cho  
hai loại máy bao gồm cả tiền điện và tiền mua máy bơm. Nếu khơng chú ý học sinh 
chỉ có thể  quan tâm đến tiền điện mà khơng để ý đến tiền mau máy bơm. Ở  bài tốn 
này học sinh chỉ cần biết tốn học há tình huống để đưa về bài tốn 2. GV thay đổi câu 
hỏi trong bài tốn 3 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 4.  Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm. Có hai loại máy bơm với  
cùng cùng lưu lượng nước bơm  được trong một giờ. Loại thứ  nhất giá 1.500.000 
đồng, loại thứ 2 giá 2.000.000 đồng. Nếu dùng loại thứ nhất thì mỗi giờ phải trả tiền  
điện là 1200 đồng, nếu dùng máy bơm loại thứ 2 thì mỗi giờ phải trả tiền điện là 1000 
đồng. 
a) Viết cac biểu thức tốn học thể hiện số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử 
dụng máy bơm thứ  nhất và máy bơm thứ  2 trong x giờ. (Bao gồm tiền điện và tiền  

mua máy bơm).
b) Biểu diễn bằng đồ  thị  số  tiền phải trả  theo biểu thức toán học  ở  phần a) khi sử 
dụng mỗi loại máy bơm trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Xác định tọa độ  giao điểm của hai đồ  thị   ở  phần b). Từ  đó hãy phân tích ý nghĩa  
kinh tế của bài tốn.
Nhận xét: Bài tốn 4 đưa ra một tình huống cụ thể, q trình giải quyết bài tốn cần  
nhiều hơn đến kiến thức và tư duy tốn học so với bài tốn 3. Bài tốn này địi hỏi học  
sinh phải biết dựa vào đồ  thị  hai hàm số  trên cùng một hệ  trục tọa độ  để  rút ra ý  
nghĩa kinh tế. Qua đó gia đình sẽ  biết cách mua loại máy bơm nào phù hợp với gia  
đình.
GV tiếp tục thay đổi câu hỏi trong bài tốn 4 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 5. Gia đình bạn Hưng muốn mua chiếc mày bơm Có hai loại máy bơm với 
cùng cùng lưu lượng nước bơm  được trong một giờ. Loại thứ  nhất giá 1.500.000 
đồng, loại thứ  2 giá 2.000.000 đồng. Nếu dùng loại thứ  nhất thì mỗi giờ  phải trả 
tieend điện là 1200 đồng, nếu dùng máy bơm loại thứ 2 thì mỗi giờ phải trả tiền điện 
9


là 1000 đồng. Em hay tư  vấn, phân tích ý nghĩa kinh tế  cho gia đình bạn Hưng mua  
một trong hai loại máy bơm đó.
Như  vậy bài tốn 5 khó hơn bài tốn 4.  Bài tốn 5 khơng chỉ  ra các kiến thức 
tốn học cần sử dụng cần sử dụng trong bài tốn 4. Bài tốn này địi hỏi học sinh phỉa  
suy luận, liên hệ với các kiến thức tốn học để giải quyết tình huống, phải tự xác định 
hàm số, phải biết vẽ  đồ  thị  các hàm số  trên cùng một hệ  trục tọa độ  , biết tìm giao 
điểm của hai đồi thị. Từ đó phân tích được ý nghĩa kinh tế giúp gia đình bạn Hưng đưa 
ra quyết định đúng đắn. sau khi giải quyết được tình huống trên học sinh có thể rút ra 
được bài học về việc sử dụng phương trình, đồ thị  hàm số để giải quyết các bài tốn  
tối ưu tương tự.
Nhận xét: Từ một bài tốn đơn giản sau mỗi lần khai thác ta lại có một bài tốn với  
mức độ  khó tăng dần, tự  một bài tốn có nội dung tốn học thuần túy, ta có thể  

chuyển về và phát biểu các bài tốn mang tĩn thực tiễn cao, gần gũi với cuộc sống đời  
thường ngày, giúp học sinh vạn dụng kiến thức tốn học vào giải quyết các vấn đề  
thực tiễn.   
Ví dụ  2.  Sau khi HS được học định lí sin, định lí cosin, GV có thể  u cầu HS tìm 
những  ứng dụng trong TT vận dụng kiến thức này, để  từ  đó tạo cơ  hội cho các em  
tích cực liên hệ nhằm đạt được kết quả như:
1) Vận dụng để tính gần đúng chiều cao cột cờ, tồ nhà, ngọn núi thơng qua việc tính 
độ dài “bóng” (hình chiếu trên mặt đất) của nó.
 2) Vận dụng để tính khoảng cách khi gặp vật cản, chẳng hạn tính khoảng cách giữa  
hai vị trí bị cắt bởi con sơng, tính khoảng cách từ bờ tới 
một hịn đảo nhỏ,... (luyện tập mang ý nghĩa thực hành).
3) Cho hình bình hành  có 
 
a) Chứng minh rằng: 

 

b) Khi quan sát một người thợ  sửa chữa ơtơ ta thấy  
rằng khi người thợ  dùng kích và người thợ  văn một  
thanh nằm ngang trong kích thì thấy Kích nâng được 
cái xe ơ tơ lên và người thợ  lấy lốp xe ra để  vá. Em 
hãy giải thích vì sao? 
Với câu a) học sinh sử dụng kiến thức về định lý cosin 
chứng minh được đẳng thức và trả  lời được câu hỏi “  
Trong mọi hình bình hành tổng bình phương hai đường 
chéo của nó bằng hai lần tổng bình phương chiều dài và 
chiều rộng
Ở câu b) HS giải thích được chiếc Kích có dạng hình bình 
hành nên khi ta quay một trục của đường chéo của Kích 
(giảm kích thước đường chéo). Vì tổng bình phương hai 

đường chéo là khơng đổi nên nên trục đường chéo cịn lại 
phải dài ra ( tăng kích thước) giúp nâng ơ tơ lên để người thợ có thể sửa xe.
10


Ví dụ 3. Khi dạy xong chương Hàm số ở lớp 10, để ơn tập kiến thức về hàm số bậc 
hai, thay vì việc đưa ra một hàm số bậc hai rồi u cầu HS nhắc lại các tính chất, cách  
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên 
đưa ra bài tốn sau:

 hoặc một đoạn nào đó, GV có thể 

Bài tốn: Một khách sạn tại thành phố Vinh có 50 phịng cho th. Biết rằng hiện tại  
giá mỗi phịng cho th là 400 nghìn đồng/ngày/phịng thì kín hết phịng. Người quản 
lý khách sạn cho biết nếu cứ mỗi lần tăng thêm giá 20 nghìn đồng trên phịng thì có  
thêm phịng trống (khơng có người th). Hỏi khách sạn phải chọn giá phịng bao nhiêu 
để khách sạn có thu nhập cao nhất trong một ngày.”
Gợi ý: Gọi ( nghìn đồng) là giá phịng khách sạn đặt ra nghìn đồng.
Khi đó số phịng giảm là , khi đó số phịng cho th là .
Tổng doanh thu của khác sạn trong một ngày là: 
.
Dự vào hàm số bảng biến thiên của hàm số bậc hai (Parabol) thì đạt GTLN tại  Do đó, 
 
với giá phịng đồng trên ngày thì lợi nhuận của khách sạn là cao nhất.  Như vậy, ngồi 
việc giải quyết các u cầu đặt ra  ở  trên, việc đưa bài tốn này vào tiết ơn tập sẽ 
giúp  HS nhận thấy   được  ý nghĩa của tốn học  là  có thể  ứng  dụng  trong  các  hoạt  
động  kinh doanh. Cũng qua  đây, học sinh  có  thể  giải  quyết đượ c  các  tình  huống 
tươ ng tự  trong thực tiễn hay nói một cách khác việc đưa ra bài tốn này góp phần 
phát triển năng lực vận d ụng kiến th ức tốn học vào thực tiễn cho HS.
Ví dụ  4: Sau khi học xong tính đồng biến và nghịch biến của hàm số  để  vận dụng 

kiến thức vừa học và thực tiễn GV có thể đưa ra bài tốn sau:
Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu vào cánh tay phải của bệnh nhân. Sau  
một thời gian t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được tính theo cơng 
thức.  
                                      

 .

Vào khoảng thời gian nào thì nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân tăng? giảm?
Học sinh tính được đạo hàm và tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. 
                                    

  .

+ Xác định được khoảng giá trị t để hàm số đồng biến nghịch biến.
+ Nhận ra được khoảng thời gian để  nồng độ  thuốc trong mạch máu bệnh nhân tăng 
giảm. Thơng qua ví dụ thực tiễn học sinh được trải nghiệm việc vận dụng kiến thức  
tốn học vào giải quyết bài tốn thực tiên.
c) Tìm hình ảnh, mơ hình trong thực tiễn minh họa kiến thức tốn học trong tất cả các  
q trình của tiến trình thực hiện kế hoạch dạy học. Để thực hiện theo hình thức này 
địi hỏi GV phải sưu tầm, tìm hiểu, chuẩn bị các hình  ảnh, mơ hình nhằm cung cấp 
các hình ảnh mang tính trực quan, giúp HS tưởng tượng đúng đắn, góp phần huy động  
và sử dụng các kiến thức tốn học khi giải quyết các bài tốn thực tiễn.
11


Biện pháp 2: Chọn lựa và sử dụng bài tốn thực tiễn để rèn luyện những yếu tố 
phù hợp của năng lực vận dụng kiến thức, kỹ năng vào thực tiễn của học sinh.
1) Mục đích và ý nghĩa của biện pháp: Các bài tốn thực tiễn tùy theo nội dung, mục  
tiêu dạy học của nó có thể  góp phần nâng cao một hay một số thành tố. Do đó việc 

chọn lựa có mục đích các bài tốn cho từng loại thành tố hoặc nhiều thành tố của năng  
lực là rất cần thiết và sau đó là sử dụng chúng đúng với mục đích chọn lựa trong q 
trình thực hiện kế hoạch dạy học.
2) Cách thức thực hiện biện   pháp:  Nhằm rèn luyện cho HS phát triển các năng lực 
thành phần của năng lực giải quyết vấn đề, trong DH cần tạo cơ hội để HS thực hiện 
các hoạt động phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Các hoạt động 
(thành tố) này vừa có mối quan hệ chặt chẽ với nhau vừa có tính độc lập tương đối. 
Do đó, trong q trình dạy học tốn, thơng qua các hoạt động, GV có thể quan tâm phát 
triển từng thành tố tương ứng hoặc kết hợp nhiều thành tố khác nhau.
Ví dụ 1: Xét bài tốn tính giá cước xe Taxi.  Bài tốn này GV có thể đưa ra khi dạy về 
Bất phương trình ở lớp 10 THPT nhằm phát triển các thành tố của năng lực giải quyết 
vấn đề thực tiễn.
Bài tốn: Gia đình bạn Minh ở Thành phố Vinh có kế hoạch th xe taxi về thăm q  
nội và q ngoại (khơng đi, về  trong ngày). Q nội cách nhà 40 km, q ngoại cách 
nhà 95  km.  Qua tìm hiểu, bạn Minh biết được bảng giá của hai hãng taxi có uy tín 
(Hình 3) và quyết định chọn lựa chỉ  đi một trong hai hãng taxi đó là Mai Linh hoặc  
Taxi Group. Hãy đưa ra lời khun cho bạn Minh để  lựa chọn hãng Taxi với chi phí  
thấp nhất.

Hình 3. Bảng giá taxi của hãng Mai Linh và hãng Taxi Group
Sau đây là bảng thống kê tính giá cước đi một chiều của hai hãng taxi (đơn vị 
tính: đồng).
Hãng taxi

Giá mở cửa

Tiếp theo 
đến km 30

 Từ    km  

31 trở đi

Mai Linh

10.500 (cho 0,7 km)

          14.800        12.200   3.000 đồng/mỗi 5 phút

Taxi Group

14.000 (cho 0,506 km)

       14.900

    11.700

Phí chờ

2.000 đồng/mỗi 6 phút

Bài  tốn  trên  có  nhiều  thông  tin  và  chủ  yếu  sử  dụng  nhiều  ngôn  ngữ  thơng 
thường nên sẽ gây trở ngại cho HS trong việc tìm hiểu và trả lời. Để giải quyết được 
và giúp HS phát triển được các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề thơng qua giải  
bài tốn trên, cần làm rõ các hoạt động sau:
Hoạt động 1.  Tìm hiểu, xác định vấn đề cần giải quyết
12


Để trả lời được các câu hỏi “Gia đình bạn Minh khi về q nội thì nên đi xe của hãng 
nào?”, “Gia đình bạn Minh khi về q ngoại thì nên đi xe của hãng nào?”. HS cần biết  

cách chuyển ngơn ngữ, chúng ta chọn hãng có chi phí thấp nhất, vì vậy việc chọn hãng 
nào thực chất là việc  xác  định được chi  phí của  hãng nào  thấp nhất. Vậy thực chất 
của bài tốn là đi tính chi phí của từng hãng và lựa chọn hãng có chi phí thấp hơn.
Với u cầu câu 3) “nên chọn đi hãng taxi nào để chi phí là thấp nhất?”, trong câu này  
HS cần tính chi phí theo từng hãng theo x, việc xác định chi phí hãng nào thấp hơn địi 
hỏi HS phải so sánh được hai biểu thức theo  ẩn x, do vậy cần chuyển hóa từ  ngơn  
ngữ  thực tiễn sang ngơn ngữ  tốn học đó là so sánh hai biểu thức chứa x hay đi giải  
bất phương trình một ẩn.
Hoạt động 2. Xác định các thơng tin tốn học ( Cơ  hội góp phàn phát triển năng lực  
giao tiếp tốn học thể hiện qua việc nhận biết thơng tin)
Chẳng hạn GV có thể  gợi ý HS: Lập bảng thống kê tính giá cước đi một chiều của  
hai hãng taxi. Việc lập bảng nhằm làm rõ những thơng tin chính, giảm được yếu tố 
phụ khơng cần thiết cho việc lập mơ hình tốn học của tình huống.
Hoạt động 3.  Kết nối được các kiến thức, thơng tin liên quan
HS cần kết nối được cách tính tiền cước dựa trên các thơng tin: giá mở cửa tương ứng 
qng đường bao nhiêu, giá từ 0,7 km đến 30 km, giá cước khi 31 km trở lên.
HS cần nhận ra việc tính giá phải được chia thành 3 đoạn khác nhau: 
(giá mở  cửa) + (giá đi đến 30 km + (giá đi đến 40 km) giá mở cửa chỉ có giá trị trong 
0,7 km đầu tiên, chứ khơng phải là 1 km, nên việc tính tiền tiếp theo phải được tính 
bằng số kilơmét tiếp đến 30 km, tức là  km, nhân với giá tiền.
Hoạt động 4.  Diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học
­ HS cần biết chuyển từ bài tốn chứa ngữ cảnh thực tế sang mơ hình tốn học. 
Tính giá tiền taxi Mailinh, Group khi đi với qng đường 40 km, 95 km? 
So sánh ti ền phải trả khi  đi taxi Mailinh, Group v ớ i  qng đ ườ ng  40 km, 95 km.
Học sinh sử  dụng những kiến thức, kĩ năng được học để  tìm kiếm chiến lược  
giải quyết.
­ HS cần nhận ra cách tính số tiền phải trả đó là: số  kilơmét (qng đường) nhân với  
giá tiền. 
­ HS cần biết so sánh tiền cước giữa hai hãng và đưa ra nhận xét nên đi hãng có tiền 
cước thấp hơn. 

­ HS cần nhận ra được cách tính số tiền phải trả khi đi taxi Mai Linh trong trường hợp  
qng đường xác định là:  Kinh phí phải trả taxi một chiều về q nội là:
­ Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là:
 (đồng)
­ Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là:
 (đồng)
13


Vì cước phí cầu phà (nếu có) là như nhau nên bạn Minh nên chọn hãng taxi Mai Linh.
Kinh phí phải trả taxi một chiều về q ngoại là:
­ Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là:  
 (đồng).
­ Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là: 
 (đồng).
Vì cước phí cầu phà (nếu có) là như  nhau nên bạn Minh nên chọn hãng Taxi  
Group. Như vậy, có thể thấy lúc thì chọn hãng này, có lúc lại chọn hãng kia. Câu hỏi  
tự nhiên đặt ra cho học sinh là khi nào thì bạn Minh nên chọn hãng nào?
Do đó cách tính trong trường hợp chưa biết quảng đường đi bao nhiêu km ( giả sử là x  
km) là: 
 ­ Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là: 
(đồng).
 ­ Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là: 
(đồng).
Giải bài tốn: Khi đó, ta sẽ  tìm xem với điều kiện nào thì giá tiền đi bằng hãng Mai 
Linh tiết kiệm hơn đi bằng hãng Taxi Group hay khơng. Tức là ta có bất phương trình: 
Chuyển đổi kết quả bài tốn sang thực tế:  Nếu bạn Minh đi về q xa khoảng từ  trở 
lên thì nên đi bằng hãng Taxi Group vì phải trả ít tiền hơn, cịn nếu đi về q khoảng 
48 km trở xuống đến  thì nên đi bằng hãng taxi Mai Linh.
 

HS cần phải giải thích được cách tính, giải thích được những ý có thể phát sinh 
như khơng tính phí cầu đường vì do chính mình tự trả, do đó khơng ảnh hưởng khi so  
sánh tiền cước hai hãng theo cách tính trên và tuyến đường đi là duy nhất nên phí là 
như nhau. 
Việc phân tích theo từng hoạt động trên nhằm cho thấy việc giải bài tốn trên  
các hoạt động cụ thể là cách thức giúp HS đạt được, rèn luyện và phát triển các năng  
lực thành phần tương ứng.
 ­ GV có mở rộng hoặc đưa ra các bài tốn thực tiễn tương tự được khơng?
Từ bài tốn này, GV có thể đưa ra u cầu HS trả lời câu hỏi hoặc thực hiện các hoạt 
động dưới đây: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tiếp tục đặt ra các tình huống để 
khai thác thêm bài tốn, ví dụ như: Trên đường về  q ngoại thì phải đi qua q nội,  
gia đình ở thăm q nội 5 giờ sau đó về q ngoại? Gia đình bạn Minh đi và về trong  
ngày?   Hình thức thanh tốn có đa dạng? Đối với các tình huống này, học sinh phải 
tính thêm kinh phí xe taxi chờ, ưu đãi nếu về ngay trong ngày.
Qua ví dụ trên cho thấy rằng sử dụng q trình tốn học hóa trong hướng dẫn 
14


học sinh giải quyết các bài tốn thực tiễn giúp phát triển năng lực tốn học cho học  
sinh, cụ thể: thơng qua biểu diễn các khoản tiền phải chi trả thơng qua số km đi bằng  
biểu thức; so sánh hai biểu thức bậc nhất một  ẩn  (tức là giải bất phương trình bậc  
nhất một ẩn); sử  dụng kết quả  giải bất phương trình bậc nhất một ẩn để  đưa ra câu 
trả lời cho tình huống thực tiễn. Qua đó, có thể  thấy thơng qua q trình tốn học hóa, 
giáo viên có cơ hội phát triển cho học sinh các năng lực như: năng lực tốn học hố, 
năng lực giải tốn và năng lực chuyển từ  kết quả  giải tốn về giải quyết vấn đề thực 
tiễn.
Ví dụ  2.   Vận dụng kiến thức về  hàm số  để  giải 
quyết các bài tốn liên quan đến thực tế.
 Một guồng nước có bán kính 1m, đặt trên mặt nước, 
quay ngược chiều kim đồng hồ, guồng quay mỗi vịng 

hết 360 giây, thời gian được tính từ  vị  trí A mà gầu 
nước nằm ngang ở phía trên của guồng
( Xác định theo hình vẽ)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa góc 
(Điểm G là điểm gắn gầu ở trên guồng,  được tính theo đơn vị độ, và chiều cao 
( tính theo mét) của gầu.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa thời gian ( tính bằng giây) và góc 
c) Xác định những thời điểm để gầu ở vị trí cao nhất.
d) Viết phương trình biểu thị độ cao  của gầu theo thời gian .
Sản phẩm: + Học sinh nhận ra được mối quan hệ và biết tạo dựng kết nối giữa góc 
và độ cao của gầu. 
+ Học sinh nhận ra được mối quan hệ và biết tạo dựng kết nối giữa thời gianvà góc
+ Học sinh nhận biết và sử  dụng kiến thức để  xác định những thời điểm (tính bằng 
giây) để gầu đạt vị trí cao nhất.
+ Biết sử  dụng ngơn ngữ  tốn học, ngơn ngữ  thơng thường để  biểu đạt độ  cao theo 
thời gian.
Thơng qua các hoạt động học sinh xác định được cách thức chiến lược tương  
thích giải quyết vấn đề. Chỉ  ra chứng cứ, lý lẽ, biết lập luận hợp lý trước khi kết  
luận. Từ đó góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư 
duy lập luận tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng lực giao tiếp tốn học. 
Ví dụ 3. Vận dụng kiến thức về xác suất vận dụng vào thực tiễn
Một bác sỹ  có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có người nói rằng cứ  10 người đến 
chữa thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng khơng?
Cơ  hội góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề  tốn học thể  hiện qua việc  
thực hiện các thao tác.
­ Nhận ra vấn đề  cần giải quyết: Kiểm tra xác suất để  10 người đến chữa thì chắc  
chắn có 8 người khổi bệnh có phải là 0,8 khơng?
15

­ Xác định được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề.  Ta có thể xem việc chữa cho  
10 người là một phép thử độc lập. Tính xác suất để  trong 10 người đến chữa bện thì 
có 8 người khỏi bệnh và so sánh với xác suất chữa khổi bệnh trong bài tốn.
Thực hiện và trình bày giải pháp.
Gọi A là biến cố chữa khổi bệnh cho một người ta có   Khi đó xác suất của biến cố 
khơng chữa khỏi bệnh là cho một người là  xác suất để trong trong 10 người đến chữa  
thì có 8 người khỏi bệnh là: 
vậy nên khẳng định là sai.
 
Ví dụ 4. Vận dụng kiến thức về cấp số cộng vào thực tiễn
Khi tốt nghiệp phổ thơng bạn A khơng có điều kiện học tiếp, bạn làm cơng nhân cho 
một cơng ti nước ngồi với thời gian kí hợp đồng (10 năm). Cơng ti X đề  xuất hai 
phương án trả lương cho bạn A, cụ thể là:
­ Phương án 1. Bạn A nhận số tiền 35 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ 
năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 4 triệu đồng mỗi năm.
­ Phương án 2. Bạn A nhận được nhận 7 triệu đồng cho q đầu tiên và kể từ q làm 
việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi q.
Em tính giúp cho bạn nên chọn phương án nào?
Ta phải tính xem trong 10 năm bạn được nhận tiền lương là bao nhiêu?
Học sinh nhận thấy cả hai phương án trả lương sau một năm (một q) đều tn theo  
một quy luật nhất định.
Phương án 1. Đó là cấp số cộng với số hạng đầu là  và cơng sai 
Phương án 2. Đó là cấp số cộng với số hạng đầu là  và cơng sai 
Cách tiếp cận dạy học từ các kĩ năng tính tốn, tư duy, trải nghiệm như trên, học sinh  
dễ dàng tiếp cận mơn tốn, học sinh có hứng thú hơn khi học tốn.
Biện pháp  3: Hướng dẫn HS tự  sưu tầm, tìm hiểu những  ứng dụng của Tốn  
học để  chuyển những tình huống thực tiễn khi học các mơn khoa học tự  nhiên  
khác trong chương trình phổ thơng theo mơ hình bài tốn thực tiễn.
1) Mục đích và ý nghĩa của biện pháp: Đây là cơ hội cho học sinh học tập trải nghiệm và  
phát triển năng lực của học sinh một biểu hiện cụ thể của quan niệm DH tích cực, phát 

huy tối  đa vai trị chủ  thể  của HS trong học tập. HS chủ  động trong mọi hình thức, 
mỗi hành động cụ thể. Thêm nữa, HS hồn tồn có khả năng thực hiện việc  này (chủ 
yếu là sưu tầm song khơng hạn chế khả năng “chế biến”, “sáng tác” của các em để có 
được càng nhiều bài tốn thực tiễn thuộc càng nhiều lĩnh vực thì càng tốt). Ứng dụng 
của tốn học mà HS có thể  trực tiếp nhận và phải tìm hiểu, giải quyết trước hết là 
qua nội dung học tập nói chung và đặc biệt là các bộ  mơn có liên quan  chặt chẽ với 
tốn học (các mơn khoa học tự  nhiên), góp phần thực hiện ngun tắc liên mơn trong 
DH.
Ngồi việc sưu tầm các bài tập ở các mơn học khác địi hỏi phải sử dụng cơng 
cụ TH để giải quyết thì cần tạo cho HS khả năng tự mình khai thác các bài tốn thực  
16


tiễn thuộc các lĩnh vực của cuộc sống.
2) Cách thức thực hiện biện  pháp: Nhằm tạo cơ hội để HS có thể sưu tầm, khai thác  
các bài tốn thực tiễn nói chung thì các u cầu sau có thể xem là điều kiện cần:
Thứ nhất, người học cần phải có vốn kiến thức tốn học cần thiết.
Thứ hai, người học cần phải có vốn hiểu biết  thực tiễn  ở mức độ phù hợp với 
lứa tuổi và trình độ  trải nghiệm, có vốn ngơn ngữ  tự  nhiên, có khả  năng chuyển đổi 
sang ngơn ngữ tốn học hoặc ngược lại nói chung.
Thứ  ba, người học phải nhận ra được kiến thức tốn học tiềm  ẩn trong tình  
huống thực tiễn nói  chung  và  tình  huống  của  mơn  học  nói  riêng.  Biết  liên  kết  kiến 
thức tốn học với kiến thức trong thực tiễn trong các mơn học khác, với các trải nghiệm 
của bản thân trong cuộc sống thực tiễn.
­ Đối với việc nhận ra các bài tập ở các mơn học mà khi giải cần phải sử dụng  
cơng cụ tốn học: Khi dạy đến một chủ đề tốn học cụ thể, GV hướng dẫn HS sưu 
tầm các bài tập trong các SGK, các nguồn internet, đề thi. Sau khi hồn thành q trình 
sưu tầm (sau một  học  kỳ,  một  năm  học),  HS  có  thể  sắp  xếp  các  bài  tập  theo  từng 
nhóm  ứng dụng chủ đề kiến thức tốn học cụ thể. Một bộ sưu tập như vậy sẽ rất có 
ích cho các HS khóa sau, giúp GV chủ động trong DH. Riêng đối với HS thì việc sưu  

tầm đó vừa tạo nên hứng thú, vừa rèn luyện được khả năng nghiên cứu, vừa phát triển 
năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn.
Dưới đây là một số ví dụ minh họa về nhận ra và sưu tầm các bài tập có trong 
các bộ mơn khác, cần có cơng cụ tốn học khi giải quyết.
­ Đối với các mơn học khác:
Đối với Vật  lí: Vật lí là mơn khoa học thực nghiệm, học  Vật lí trong trường 
phổ  thơng là học tập gắn liền với thực tiễn thơng qua các sự  vật, hiện tượng Vật lí 
trong thế giới tự nhiên để  giúp HS hiểu biết các quy luật của nó và cùng chung sống 
với thực tiễn đời sống xã hội. Với các đặc thù vốn có của mình, kiến thức tốn học 
có một vai trị đầy ý nghĩa đối với q trình phát triển Vật lí. Khơng thể  nghiên cứu 
và phát triển Vật lí nếu thiếu nền tảng tốn học. Vì vậy, trong DH cần u cầu HS 
xác định kiến thức tốn được học có thể  sử dụng để giải quyết các vấn đề của vật lí. 
Dưới đây là một số ví dụ có trong SGK, sách tham khảo, đề thi của mơn Vật lí có sử 
dụng đến kiến thức tốn học để giải quyết, được sắp xếp theo đơn vị  kiến thức tốn 
học mà HS có thể nhận ra và sưu tầm theo các chủ đề tốn học. Chẳng hạn như:
­ Sử dụng kiến thức về vectơ và phép chiếu vng góc: đó là bài tập 2 SGK Vật 
lí 10 trang 48. Chương trình Nâng cao: Một chiếc thuyền chuyển động ngược dịng 
nước với vận tốc 14 km/h so với mặt nước. Nước chảy với t ốc độ  9 km/h so với bờ.  
Hỏi vận tốc của thuyền so với bờ? Một em bé đi từ đầu thuyền đến đi thuyền với 
vận tốc 6 km/h so với thuyền. Hỏi vận tốc của em bé so với bờ? (Thực chất của bài 
tập này là tìm cường độ  lực tổng hợp tác dụng lên một vật của hai lực ngược chiều  
nhau: Một lực có độ lớn 14 và một lực có độ lớn 9).
­ Sử dụng kiến thức về hàm số và đồ thị: Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A, A

1 
năm 2012: Trong giờ thực hành, một HS mắc đoạn mạch AB gồm điện trở  thuần 40 , 
17


tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn dây có độ tự cảm L nối tiếp nhau theo 

đúng thứ tự trên. Gọi M là điểm nối giữa điện trở thuần và tụ điện. Đặt vào hai đầu 
đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200V và tần số 50 Hz. Khi  
chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị C thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu 
điều 
m 
đoạn mạch 
MB đạt giá trị cực tiểu bằng 75V. Điện trở thuần của cuộn dây là:
A. .                  B. .

C. . 

D. .

­ Sử dụng kiến thức về phương trình, hệ phương trình: Đề thi tuyển sinh ĐH, 
khối A, A năm 2012: Từ một trạm phát điện xoay chiều một pha đặt tại vị trí M, 
CĐ 
1 
điện 
năng được truyền tải đến nơi tiêu thụ N, cách M 180 km. Biết đường dây có điện  
trở tổng cộng  (coi dây tải điện là đồng chất, có điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài của  
dây). Do sự cố, đường dây bị rị điện tại điểm Q (hai dây tải điện bị  nối tắt bởi một  
vật có điện trở  có giá trị  xác định R). Để  xác định vị  trí Q, trước tiên người ta ngắt  
đường dây khỏi máy phát và tải tiêu thụ, sau đó dùng nguồn điện khơng đổi 12V, điện 
trở trong khơng đáng kể, nối vào hai đầu của hai dây tải điện tại M. Khi hai đầu dây 
tại N để hở thì cường độ dịng điện qua nguồn là , cịn khi hai đầu dây tại N được nối  
tắt bởi một đoạn dây có điện trở khơng đáng kể thì cường độ dịng điện qua nguồn là 
0,42 A. Khoảng cách MQ là:  A.            B. .
C. .
D. .
­ Sử dụng kiến thức về hàm số mũ, logarit: Đề thi THPT quốc gia năm 2015: 

Tại vị  trí O trong một nhà máy, một cịi báo cháy (xem là nguồn điểm) phát âm với 
cơng suất khơng đổi. Từ  bên ngồi, một thiết bị  xác định mức cường độ  âm chuyển  
động thẳng từ M hướng đến O theo hai giai đoạn với vận tốc ban đầu bằng khơng và  
gia tốc có độ lớn 0,4 m/s2 cho đến khi dừng lại tại N (cổng nhà máy). Biết NO = 10 m  
và mức cường độ âm (do cịi phát ra) tại N lớn hơn mức cường độ  âm tại M là 20dB.  
Cho rằng mơi trường truyền âm đẳng hướng và khơng hấp thụ  âm. Thời gian thiết bị 
đó chuyển động từ M đến N có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
A. .                     B. .

C. .

D. .

Đối với Hóa học. Khơng chỉ trong Vật lí vai trị cơng cụ của tốn học cũng thể 
hiện rõ trong việc phát triển hệ thống kiến thức Hóa học. Dưới đây là một số bài tốn  
minh họa, sắp xếp theo đơn vị kiến thức tốn học mà các bài tốn cần sử dụng để giải  
quyết. 
Chẳng hạn như:
­ Sử  dụng  kiến  thức  về  tổ  hợp,  chỉnh  hợp:  Bài  1.33.  tr.8  ­  SBT  Hóa  học  10 
Chương trình Nâng cao: Trong tự nhiên oxi có ba đồng vị:  Cacbon có hai đồng vị
là  . Hỏi có thể có bao nhiêu loại phân tử khí cacbonic hợp thành từ các đồng vị 
trên? Viết cơng thức phân tử và tính phân tử khối của chúng.
­ Sử  dụng kiến thức về  tính thể  tích khối cầu: Bài 3.63. tr.27 ­ SBT Hóa học 
10 Chương trình Nâng cao: Trong mạng tinh thể lập phương tâm diện, các ngun tử 
tiếp xúc với nhau  ở mặt bên. Đường chéo của mặt đó có độ  dài bằng 4 lần bán kính 
ngun tử. Hãy xác định % chiếm chỗ  của ngun tử  kim loại trong mạng này (Ghi  
chú: lập phương tâm diện: Các ngun tử, ion kim loại nằm trên các đỉnh và tâm các 
18

mặt của hình lập phương).
­ Sử dụng kiến thức về hàm số và đồ thị của hàm số bậc nhất:  Bài 6.34. tr.54 ­ 
SBT Hóa học 12 Chương trình Nâng cao: Vẽ đồ thị biểu diễn số mol CaCO sinh ra 
3 
phụ  thuộc vào số  mol  tác dụng với dung dịch . Biết dung dịch chứa 1 mol , số mol  
 
tham gia phản ứng lần lượt là: . Dựa vào đồ thị, hãy cho biết số mol  đã tác dụng với 
 
dung dịch để thu được 0,75 mol .
­ Sử dụng kiến  thức  về  hệ phương  trình bậc nhất  2  ẩn:  Bài  1.67. tr.13  ­  SBT 
học 10 Chương trình Nâng cao: Trong phân tử có tổng số hạt là 140 hạt, 
Hóa 
trong đó 
số hạt mang điện nhiều hơn số hạt khơng mang điện là 44 hạt. Số khối của ngun tử 
M lớn hơn số  khối của ngun tử  X là 23. Tổng số  hạt (p, n, e) trong ngun tử  M  
nhiều hơn trong ngun tử X là 34 hạt. Viết cấu hình electron của các ngun tử M và 
X. Viết cơng thức phân tử của hợp chất.
Đối với Sinh  học.  Ngồi  Vật lí,  Hóa học  thì Tốn học cũng có vai trị quan 
trọng đối với việc giải quyết một  số vấn đề Sinh học. Dưới đây là một số bài tốn 
minh họa, sắp xếp theo đơn vị kiến thức Tốn học mà các bài tốn cần sử  dụng để 
giải quyết. Chẳng hạn  như:
­ Sử dụng kiến thức về hàm số mũ, cấp số nhân: Bài tập Sinh học 10. Cho biết 
thời gian thế hệ (thời gian từ khi sinh ra một tế bào vi khuẩn cho đến khi tế  bào vi 
khuẩn đó phân chia xong để tạo thành 2 tế bào vi khuẩn) trong điều kiện ni cấy đầy 
đủ ở 40oC của vi khuẩn E.coli là 20 phút và mỗi tế bào vi khuẩn E.coli có chiều dài 10­
6
 m. Tính chiều dài tổng cộng của tất cả các tế bào vi khuẩn được tạo ra sau 24 giờ 
ni cấy từ 1 tế bào vi khuẩn E.coli ban đầu?
­ Sử dụng kiến thức về tổ hợp, xác suất: Bài tập trong mơn Sinh học: Ở người, 
tỉ  lệ  nam/ nữ  xấp xỉ  1:1. Tuy nhiên, trong thực tế,  ở  các gia đình có 2 con thì khơng 

phải gia đình nào cũng có 1 con trai và 1 con gái. Hãy giải thích tại sao như vậy?
Khi mỗi gia đình đều sinh 2 đứa con thì xác suất để mỗi gia đình có 1 đứa con 
trai và 1 đứa con gái là bao nhiêu?
­ Sử dụng kiến thức về giải phương trình: Bài tập trong mơn Sinh học: Ở một 
lồi gia súc giao phối ngẫu nhiên, tính trạng màu lơng do một gen nằm trên nhiễm sắc 
thể thường có hai alen quy định. Alen A quy định lơng đen trội hồn tồn so với alen a 
quy định lơng trắng. Một quần thể của lồi này đang ở trạng thái cân bằng di truyền có 
số con lơng trắng chiếm tỉ lệ 16%. Tìm tần số các kiểu gen thuộc về gen này trong 
quần thể.
­ Đối với việc khai thác các bài tốn thực tiễn trong các lĩnh vực của đời sống 
GV có thể hướng dẫn HS thực hiện một số bước  sau:
Cơng  việc  đó  nên  diễn  ra trong  cả  q trình  học  tốn,  thực  hiện theo trật  tự 
học các chủ  đề.  GV có thể đưa ra các nhận xét về bài tốn thực tiễn tạo cơ hội phát 
triển năng lực giải quyết vấn đề  thực tiễn cho  HS. u cầu sưu tầm,  giải và “chế 
biến” các bài tốn thực tiễn (khơng đặt ra như  nhau đối với mọi HS). Tùy theo trình 
19


độ mà gợi ý cho từng HS hoặc nhóm thực hiện u cầu nào là chủ yếu và chỉ cần đạt 
đến mức độ nào. Tuy nhiên vì mục đích cuối cùng là góp phần phát triển năng lực giải 
quyết vấn đề thực tiễn nên trong q trình HS giải tốn, đồng thời lại từ đó mà đưa ra 
được một số bài tốn khác thì GV nên tận dụng các cơ hội để chú ý rèn luyện NL trên 
trong DH. Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho.
Bài tốn:  Diện tích (là một bài tốn phản ánh một thực tế  đang báo động về 
mơi trường, kiến thức tốn liên quan tới cấp số nhân).
Do hiện tượng tan băng, nước biển dâng nên diện tích một hịn đảo trên Thái 
Bình Dương mỗi năm bị  chìm thêm 2%. Giả  sử năm 2015 diện tích đảo là 1.200 km2. 
Hỏi năm 2030 diện tích của đảo cịn lại bao nhiêu?
a) Em hãy giải bài tốn trên.
b) Từ bài tốn trên hãy xây dựng các bài tốn thực tiễn (có thể dựa vào mơ hình 

TH của bài tốn trên để xây dựng bài tốn mới).
Mục đích của câu hỏi (a) nhằm u cầu HS giải được bài tốn để  hiểu nội 
dung, từ đó thấy được mơ hình Tốn học và nội dung Tốn học của bài tốn. Câu hỏi 
(b) nhằm tạo cơ hội để HS liên hệ, kết nối các tình huống khác trong thực tiễn để đưa 
ra các bài tốn thực tiễn khác.
Để  giải quyết được câu hỏi (a) HS phải huy động kiến thức về  Tốn học và 
kiến thức về địa lí, mơi trường. Trong q trình thực nghiệm đa số  HS biết cách giải  
quyết, tuy nhiên một số em lúng túng khơng biết xử lí thế nào. Trong trường hợp này,  
GV có thể  đặt ra câu hỏi “Em hãy tính diện tích hịn đảo năm 2016? năm 2017? năm 
2018”, “Từ  các kết quả  trên em hãy dự  đốn được kết quả  diện tích hịn đảo năm  
2030?”. 
Từ việc giải bài tốn ở phần a, HS xác định được mơ hình TH của bài tốn là đi  
xác định số hạng của một cấp số nhân: “Cho  Xác định ”.
. 
Với câu (b), GV có thể gợi ý để HS đưa ra bài tốn sau bằng cách thay đổi việc 
xác định diện tích đảo năm 2030 thành năm 2050 (thay đổi n).
Bài tốn 1: Do hiện tượng tan băng, nước biển dâng nên diện tích một hịn đảo 
trên Thái Bình Dương mỗi năm bị  chìm thêm 2%. Giả  sử  năm 2015 diện tích đảo là  
1.200 km2, hỏi năm 2050 diện tích của đảo cịn lại bao nhiêu?
Tương tự như trên, GV có thể gợi ý để HS xây dựng bài tốn mới là cho biết 
diện tích cịn lại và tính số năm tương ứng.
Bài tốn 2: Do hiện tượng tan băng, nước biển dâng nên diện tích một hịn đảo  
trên Thái Bình Dương mỗi năm bị  chìm thêm 2%. Giả  sử  năm 2015 diện tích đảo là  
1.200 km2, hỏi năm đến năm bao nhiêu thì diện tích của đảo cịn 1.000 km2?
GV cũng có thể gợi ý cho HS tìm các tình huống thực tiễn tương thích với mơ 
hình tốn học của bài tốn DIỆN TÍCH:
Bài tốn 3: Mỏ sắt Thạch Khê thuộc tỉnh Hà Tĩnh được xem là mỏ sắt lớn nhất  
khu vực Đơng Nam Á, được phát hiện từ năm 1960, với trữ lượng khoảng 544 triệu 
tấn. Số lượng mỏ lộ thiên ít nên trữ lượng khai thác được rất ít. Đến năm 2014, Cơng 
20

ty Cổ  phần Sắt Thạch Khê đã xây dựng Dự  án khai thác từ  năm 2015 với cơng suất 
khai thác mỗi năm là 1,8% tổng số lượng mỏ.
a) Hỏi đến năm 2030 trữ lượng của mỏ cịn lại bao nhiêu triệu tấn?
b) Sau bao nhiêu năm nữa thì trữ lượng mỏ cịn lại 348 triệu tấn?
Ngồi những chủ đề này, GV có thể cho HS tiến hành các hoạt động tương tự 
đối với các chủ  đề  khác và u cầu các em tìm kiếm các bài tốn trong các mơn học 
khác có sử dụng đến kiến thức liên quan đến chủ  đề tốn học. Cũng cần nhấn mạnh 
thêm là sự phát triển năng lực diễn ra trong cả một q trình tích lũy các kiến thức, kĩ 
năng và kinh nghiệm, đồng thời đó cũng là một q trình rèn luyện lâu dài nên trong 
q trình thực nghiệm, địi hỏi GV sử dụng các bài tốn thực tiễn khơng chỉ ở các tiết 
dạy đơn lẻ mà là trong nhiều bài dạy liên tục theo các chủ đề tương ứng. 
Biện pháp 4: Sử  dụng bài tốn thực tiễn trong hoạt động thực hành, hoạt động 
ngoại khóa Tốn học cho HS trung học phổ thơng.
a) Mục đích và ý nghĩa của biện pháp: ­ Đây là những hoạt động trải nghiệm 
nhằm giúp HS kết nối trực tiếp được tốn học với thực tiễn qua học tập. Đó chính là 
cơ hội để HS thực hành các kiến thức lý thuyết tốn học, áp dụng kiến thức vào giải 
quyết các vấn đề  thực tiễn. Điều này cũng giúp HS thấy được ý nghĩa và giá trị  của  
kiến thức tốn trong  ứng dụng để  từ  đó góp phần thúc đẩy mạnh động cơ  trong học 
tập  mơn  Tốn.  Sự  cần  thiết  của  việc  thực  hành  tốn học  được  khẳng  định  trong 
hướng dẫn về PPDH theo chương trình tập huấn thay SGK của Bộ Giáo dục và Đào 
tạo: “Việc chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ  thực hành tốn học để  đảm  
bảo u cầu rèn luyện kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức tốn học vào thực tiễn,  
nâng cao hứng thú cho người học”. “Đảm bảo việc  đánh giá một cách tồn diện, 
khơng thiên về  trí nhớ  hoặc lí thuyết;  phải chú ý đánh giá trình độ  phát triển tư  duy  
tốn học, năng lực sáng tạo trong khi học và giải tốn, khả năng thực hành, ứng dụng  
vào các tình huống, đặc biệt là tình huống thực tế...”. Học  kết  hợp  với  hành  khơng 
phải là điều gì mới mẻ về mặt lý luận mà thực sự đã trở thành ngun lý được cả thế 
giới thừa nhận từ lâu nay. Song ở đây muốn nhấn mạnh thêm đến tác dụng tích cực 

của hoạt động thực hành đối với việc góp phần tạo nên sự  thay đổi tích cực đối với  
năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn một sự kết hợp hiệu quả  (nếu tổ chức tốt) giữa 
suy nghĩ và hành động, thao tác, tay chân, giữa lý thuyết và  thực tiễn. Ngồi việc đảm 
bảo và tăng cường hoạt động thực hành tốn học thì các hình thức ngoại khóa tốn học  
cũng có ý nghĩa tích cực trong việc khai thác các bài tốn thực tiễn. Nếu  được tổ chức 
tốt, khêu gợi được hứng thú và nhiệt tình tham gia một cách tự nguyện của các thành 
viên thì các hoạt động như các câu lạc bộ tốn học, nhóm sưu tầm, tập san tốn học,...  
chắc chắn  sẽ  có  được  rất  nhiều  bài tốn thực tiễn  phong  phú  đa  dạng  và  cách  giải 
chúng cũng phong phú khơng kém. Đó là nguồn bài tập rất có giá trị đối với việc dạy 
và học tốn. 
b) Cách thức thực hiện giải pháp: 
Tổ chức hoạt động ngoại khóa:   GV có thể tổ chức ngoại khóa bằng cách:
+ Nghiên cứu, làm bài tập lớn. Một số chủ đề, nội dung có thể phát triển hoặc  
đi sâu thơng qua dạng các bài tập lớn sau khi được trang bị kiến thức, ví dụ: Tích vơ 
hướng của hai vectơ và ứng dụng; Thống kê; xác suất, ..
21


+ Điều tra, khảo sát: Hình thức này phù hợp với việc học thống kê. Việc điều 
tra, khảo sát cụ thể các tình huống thực sẽ làm cho các số liệu trong bài tốn thống kê 
trở  nên sinh động và có tính thực tiễn cao. Để  tiến hành điều tra cần hướng dẫn HS 
xác định rõ: Mục đích điều tra; đối tượng điều tra và mẫu thích hợp; cách thức thu 
thập và trình bày số  liệu;  cách  phân  tích  và  rút  ra  các  kết  luận  thống  kê  về  phân  bố 
giá trị của dấu hiệu
cần điều tra. Nên phân cơng cho các nhóm với các chủ  đề  điều tra khác nhau  
đảm bảo tính đa dạng của tình huống; tổ  chức báo cáo kết quả  và thảo luận, thu  
hoạch.
+  Làm  báo tốn học  (chú  trọng các bài tốn thực tiễn):  Phát  động  phong  trào  làm 
báo, trong đó có chun mục  ứng dụng của tốn học trong thực tiễn, thi giải các bài  
tốn tốn học thực tiễn hoặc trình bày các chun đề  tốn học mà trọng tâm là chú  

trọng khai thác các ứng dụng thực tiễn của kiến thức tốn học.
+ Giao lưu tốn học: Một trong các nội dung giao lưu là thi giải các bài tốn  
thực tiễn hoặc thi tìm kiếm càng nhiều càng tốt ứng dụng thực tiễn của một kiến thức 
tốn học nào đó.
+ Tổ chức thăm quan các cơ sở sản xuất có ứng dụng tốn học mà có thể thăm 
quan được.
Tổ chức hoạt động thực hành.
+ Trước hết là đảm bảo tốt việc dạy các giờ  thực hành được quy định, đồng 
thời tìm kiếm thêm các cơ hội thực hành từ các chủ đề tốn học. Khi thực hành có thể 
tổ chức thực hành trong lớp học và thực hành ngồi lớp học.
+ Thực hành trong lớp học (làm các bài tập có ý nghĩa thực hành).
Với hình thức này, GV có thể  đặt ra các tình huống liên quan đến thực tiễn 
dưới dạng bài tập (ở các bước củng cố và luyện tập, các bài tập này có thể khơng có 
ở trong SGK). Để thu hút HS tham gia và đưa ra các bài tập có ý nghĩa thì các bài tập  
cần gắn với các tình huống cụ thể, hiện tượng cụ thể trong  thực tiễn.  Một số chủ đề 
có thể tổ chức cho HS thực hành trong lớp học:
Thống kê: Tổ  chức cho HS thống kê điểm kiểm tra 1 tiết mơn Tốn của cả lớp, 
từ đó xác định điểm trung bình, độ lệch chuẩn,... Hoạt động thực hành này có ý nghĩa là 
làm cho HS thấy được lực học của mình so với mặt bằng chung của cả lớp, cịn GV  
thì đánh giá được mức độ phù hợp của đề kiểm tra.
Xác suất: Tổ  chức cho HS thực hành rèn kỹ  năng giải các bài tốn tính xác suất 
gắn với các tình huống quen thuộc.

22


Phương trình và hệ  phương trình: Tổ  chức cho HS giải các bài tốn lập phương 
trình,  hệ  phương trình  và  thực  hành  dùng  máy  tính  bỏ  túi để  giải phương  trình,  hệ 
phương trình đó. Chẳng hạn tổ chức cho HS giải các bài tốn thực tiễn có sử dụng kiến 
thức giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm số  để giải, ví dụ:“Cho một tấm nhơm hình vng 

cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi 
hình vng có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm 
nhơm
 lại 
như  hình vẽ  dưới đây  để  được một cái hộp 
khơng  nắp 
(như  hình vẽ). Tìm  x  để  hộp nhận được có 
thể   tích   lớn 
nhất.”
Thơng qua bài tốn giáo viên giáo dục  
cho học sinh  
các kĩ năng tư duy sáng tạo, hoạch tốn kinh tế, kĩ năng làm việc sao cho hiệu quả mà  
tốn ít ngun vật liệu nhất... ( học để làm).
Ứng  dụng  của  tích  phân:  Tổ  chức  cho  HS  thực  hành  tính  diện  tích  của  hình 
phẳng thơng qua bài tốn thực tiễn, ví dụ:
“Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ  dài  trục  lớn  bằng 16m  và  độ  dài 
trục  bé  bằng 10m.  Ơng muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé 
của elip làm trục đối xứng (như  hình vẽ). Biết  kinh  phí  để  trồng  hoa  là 100.000 
đồng/1m2.    Hỏi     ông    An    cần     bao     nhiêu    tiền 
đểtrồng hoa trên dải đất đó? (Số  tiền được làm trịn  
đến hàng nghìn).”
Hệ  thức lượng trong tam giác:  Trong giờ  thực 
hành, GV có thể đưa ra các bài tốn tốn học thực tiễn  
cho HS giải quyết, ví dụ: 
Bài tốn  “Một chiếc màn hình hình chữ  nhật, 
cao 1,4 m, được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt của  
bạn B (tính từ sàn nhà đến mép dưới của màn hình). Để 
nhìn rõ nhất, bạn B phải đứng  ở vị trí sao cho góc nhìn 
lớn  nhất.  Hãy  xác  định vị  trí đó. Biết góc nhìn là góc 
BOC. Việc đưa các bài tốn tốn học thực tiễn có lồng 

ghép các hình  ảnh của sự  vật  hiện  tượng trong  hoạt 
động thực hành làm cho hoạt thực hành trở nên có ý nghĩa, tạo động lực thu hút HS 
tham gia; khơng những thế việc sử dụng kiến thức tốn học trong thực hành làm cho 
kiến thức trở nên có ý nghĩa và HS nhớ lâu hơn.
+ Thực hành ngồi lớp học: Đối với một số nội dung mà việc thực hành trong  
lớp học khơng đáp  ứng được u cầu đặt ra thì có thể  tổ  chức thực hành ngồi lớp 
học. Hình thức này có thể đặt ra các u cầu đa dạng hơn, phong phú hơn để  HS vận 
dụng kiến thức tốn học giải quyết các vấn  đề  trong  cuộc  sống  thực  ở  xung  quanh 
HS, chẳng hạn, sử dụng kiến thức tốn học và các thao tác để tính tốn, đo đạc, khảo 
sát,…  Đây  là  loại  cơng  việc  được  thực  hiện  trong  một khung thời gian, mơi trường 
khác nhiều so với lớp học, góp phần tạo hứng thú, khí thế làm việc cho HS. Nội dung  
thực hành cũng có thể xem là các bài tốn thực tiễn.
Trong Chương trình mơn Tốn phổ thơng có nhiều nội dung có thể tổ chức thực  
hành ngồi lớp học, chẳng hạn: Thực hành vận dụng kiến thức để đo đạc tính tốn.
23


Ví dụ 1: Có thể thực hành việc đo chiều cao cột cờ của nhà trường (trong SGK 
đã có nhiệm vụ về hoạt động này và trường nào cũng có thể thực hiện). Dưới đây là 
một vài gợi ý cho HS về cách đo (trong trường hợp cần thiết).
Cách thứ nhất: Đo bóng của cột cờ: Điều này dễ thực hiện bởi bóng nắng hiện  
ở  trên mặt đất thuận lợi cho việc đo. Đo góc giữa bóng cột cờ  với đường thẳng nối 
đầu mút bóng và điểm cao nhất của cột cờ.
Cách thứ  hai:  Tạo thước  ngắm; Tính tốn nhờ  kiến thức về  tam giác đồng 
dạng. Việc tính tốn địi hỏi HS sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (chuyển về tính 
độ dài cạnh của tam giác vng khi biết 
góc nhọn và độ dài một cạnh góc vng. 
Với   các   dữ   kiện   này,   HS   chỉ   cần   sử 
dụng cơng thức tính sin của một góc thì 
các em sẽ có được kết quả. 

Ví   dụ   2:  Thực   hành   tính   chiều 
cao của đường hầm Hải Vân (ở  các địa 
phương khác có thể  tìm kiếm các cấu 
trúc tương tự để tổ chức hoạt động thực 
hành). 
Có thể tổ chức hoạt động này theo các bước sau:
cổng).

+ Nêu  rõ  mục  đích,  u cầu và  kết quả cụ  thể của  cơng việc  (chiều cao của 
+ Xác định các kiến thức tốn học cần huy động và sử  dụng trong hoạt đồng  

này.
+ Xác định các phương tiện, cơng cụ đo cần thiết.
+ Xác định quy trình các bước phải thực hiện trong q trình đo đạc.
+ Phân cơng thực hiện (theo từng nhóm sẽ tiến hành đo).
+ Báo cáo (tại thực địa) cách đo và kết quả đo của mỗi nhóm).
+ Thảo luận để tìm ra cách đo tối ưu và kết quả đúng.
+ Suy nghĩ thêm về các bài tốn có mơ hình từ bài tốn này. Việc tính chiều cao  
có thể được thực hiện bằng cách:
+ Đo chiều rộng của cổng ở mặt đất.
+ Xác định 1điểm nằm giữa 2 chân cổng trên mặt đất sao cho chiều cao của  
cổng tính từ điểm đó tới cổng là 1 m.
+ Thiết lập phương trình parabol bằng cách chọn trục tung chứa đường vng 
góc từ đỉnh xuống mặt đất, trục hồnh là đường nối hai chân cổng.
b) Thực hành làm mơ hình trực quan, trước hết là các mơ hình hình học.
Nhằm chuẩn bị cho tiết học về hình chóp, hình lăng trụ, GV có thể đặt ra u 
cầu cho các nhóm sử  dụng các vật liệu như  gỗ, thanh nhựa để  làm mơ hình về  hình 
chóp, hình hộp, hình lăng trụ… Việc tự mình làm các mơ hình nhằm mục đích giúp HS 
24

ý thức rõ ràng về mơ hình, cấu trúc mơ hình, về mối quan hệ giữa các yếu tố của mơ  
hình qua hình ảnh trực quan do mình tạo ra.
Ví dụ 3: Sau khi học phép cộng vectơ, GV có thể u cầu HS giải thích tại sao? 
­ Em hãy sử dụng kiến thức về các phép tốn về véc tơ  của mình để giải thích 
các hiện tượng trong thực tiễn sau:
Tại sao chiếc giá đỡ màn hình máy 
Tại sao khi trơng cây người ta phải 
chiếu project lại 
được  làm 4 cây chống đỡ  như  trên để  bảo vệ 
thiết kế như 
hình  cây khỏi bị nghiêng, đổ khi mưa gió? 
1?
                    Em hãy dùng ký hiệu tốn học phát biểu thành bài tốn?
Từ  tình  huống  trải  nghiệm bài tốn thực tế  sẽ  tăng cường hứng thú cho học 
sinh khi học tốn. Như vậy cùng một mục đích luyện tập, củng cố kiến thức cho HS  
sau khi học cơng thức về véc tơ nếu GV chỉ đưa ra một bài tốn “tốn học thuần túy” 
thì HS sẽ chỉ biết vận dụng cơng thức vào giải tốn. Với việc đưa bài tốn thực tiễn 
như trên vào khâu củng cố vừa tạo được hứng thú cho HS tìm tịi lời giải, vừa cho HS 
thấy được ý nghĩa thực tiễn của nội dung kiến thức đã học. Điều này sẽ giúp HS ghi 
nhớ  cơng thức về  đẳng thức véc tơ  đối với  hình chóp tam giác, tứ  giác đều tốt hơn. 
Các hoạt động thực hành trong lớp và ngồi lớp học cần được GV triển khai vào thời 
gian thích hợp theo phân phối chương trình ngay từ đầu năm học.
2.4.   Một số  kế  hoạch dạy học biện pháp phát triển năng lực vận dụng kiến 
thức vào thực tiễn cho HS trong dạy học mơn Tốn ở THPT
Trong phần này, chúng tơi trình bày một số thiết kế và thực hiện minh họa kế 
hoạch dạy học cụ thể theo tinh thần vận dụng kiến thức tốn học vào thực tiễn theo  
chương trình phổ thơng mới.   
KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1          (Tiết tự chọn đại 14)
Sử dụng kiến thức về bất phương trình bậc hai để  giải quyết các vấn đề  thực 

tiễn
I. MỤC TIÊU
Học xong bài này học sinh cần đạt được các u cầu sau:
­ Vận dụng được các kiến thức đã học về  bất phương trình bậc hai một  ẩn và cách  
giải 
­ Vận dụng được các kiến thức của mơn học khác vào giải quyết các tình huống thực  
tiễn.
­ Vận dụng được tiến trình ba bước sử dụng kiến thức tốn học để giải quyết các bài 
tốn thực tiễn 

25