CHUYEN DE TOAN 8 RAT HAY

CHỦ ĐỀ 8: RÚT GỌN PHÂN THỨC
A/ PHƯƠNG PHÁP:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
- Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu
Tính chất: A = - ( - A)
B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
DẠNG 1: Rút gọn phân thức đã cho.
* Thực hiện các bước của rút gọn một phân thức.
* Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là ta đi rút gọn biểu thức sao cho
kết quả rút gọn là một hằng số.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
14 xy 5 (2 x  3 y )
2
2
a) 21x y (2 x  3 y ) ;

8 xy (3x  1)3
3
b) 12 x (1  3x)

20 x 2  45
2
c) (2 x  3)

5 x 2  10 xy
3
d) 2(2 y  x)

80 x 3  125 x
e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x)

9  ( x  5)2
2
f) x  4 x  4

32 x  8 x 2  2 x 3
x3  64
g)

5 x3  5 x
4
h) x  1

x2  5x  6
2
i) x  4 x  4 .

10 xy 2 ( x  y )
3
J) 15 xy ( x  y )

x 2  xy  x  y
2
k) x  xy  x  y

3 x 2  12 x  12
x4  8 x
l)

7 x 2  14 x  7

2
n) 3x  3x

2a 2  2ab
m) ac  ad  bc  bd

x 2  xy
2
2
o) y  x

2x  2 y
2
2
ơ) x  2 xy  y

2  2a
3
p) a  1

x2  6 x  9
2
q) x  8 x 15


x 4  2 x3
4
3
v) 2 x  x

x7  x4
6
u) x  1

( x  2) 2  ( x  2) 2
16 x
ư)

24,5 x 2  0,5 y 2
2
x) 3,5 x  0,5xy

a 3  3a 2  2a  6
a2  2
y)
;

(a  b)(c  d )
2
2
2
2
z) (b  a )(d  c ) .

Bài 2. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
45 x(3  x)
3
a) 15 x( x  3) ;

y 2  x2

3
2
3
b) x  3x 2 y  3xy  y .

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
x2  y 2
a) ( x  y )(ay  ax) ;

2ax  2 x  3 y  3ay
b) 4ax  6 x  6 y  6ay ;

DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức.
Để chứng minh đẳng thức ta biến đổi một vế (hoặc biến đổi cả hai vế) của đẳng thức
bằng cách rút phân thức của vế đó sao cho hai vế của đẳng thức bằng nhau.
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2

2
2
2x  y ;
a) 2 x  xy  y

x 2  3 xy  2 y 2
1

3
2
2
3

b) x  2 x y  xy  2 y x  y .

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
x5  1
x 4  x3  x 2  x  1
x

1
a)
;

2 x 2  xy  y 2
xy

2
2
b) 2 x  3xy  y x  y .

DẠNG 3: Tính giá trị biểu thức:
Bước 1: Rút gọn biểu thức đó cho đơn giản
Bước 2:
+ Nếu bài cho biết rõ giá trị của biến thì thay giá trị đó vào biểu thức rút gọn để tính.
+ Nếu bài cho đẳng thức liên hệ giữa các biến, thì rút biến này theo biến kia rồi thay vào
biểu thức rút gọn sao cho biến bị triệt tiêu, từ đó tính được giá trị của biểu thức.
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
ax 4  a 4 x
1
2
2
a) a  ax  x với a = 3, x = 3 ;

x3  x 2  6 x
3
b) x  4 x với x = 98

x3  3x
1

3
5
c) 3x  x với x = 2 ;

x 4  2 x3
1

2
3
d) 2 x  x với x = 2 ;


10ab  5a 2
1
1
2
e) 16b  8ab với a = 6 , b = 7 ;

a7 1
15
8
f) a  a với a = 0,1;

2x  4 y
2
2
g) 0, 2 x  0,8 y với x + 2y = 5;

x2  9 y2
h) 1,5 x  4,5 y với 3x - 9y = 1.

a b
Bài 2. Cho 3a + 3b = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a  b .
2

2


BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
x 2  16
2
a) 4 x  x

( x 0, x 4)

5( x  y)  3( y  x )
( x y)
10(
x

y

)
d)

2ax 2  4ax  2a

g)

5b  5bx

2

x2  4x  3
( x  3)
b) 2 x  6
2 x  2 y  5 x  5y
( x  y )
2
x

2
y

5
x

5
y
e)

15 x( x  y )3

x 2  xy
2
f) 3xy  3y

( x  y, y 0)

4 x 2  4 xy

(b 0, x 1)

( y  ( x  y ) 0)

2
c) 5y( x  y)

3
2
h) 5 x  5x y

( x 0, x  y)

x 6  2 x3y3  y6

( x  y )2  z2
( x  y  z 0)
x

y


z
i)

k)

x 7  xy 6

Bài 2. Rút gọn các biểu thức.
m4  m
2
a) 2m  2m  2 ;

ab 2  a 3  a 2b
3
4
b) a b  b
;

xy  1  x  y
c) y  z  1  yz ;

ax  ay  bx  by
d) ax  ay  bx  by ;

a 2  b 2  c 2  2ab
2
2
2
e) a  b  c  2ac ;

a 2  b2
2
2
f) a  a  b  b ;

a3 1
2
g) 2a  4a  2 ;

a 3 (b 2  c 2 )  b 3 (c 2  a 2 )  c 3 (a 2  b 2 )
a 2 (b  c )  b 2 ( c  a )  c 2 ( a  b)
h)
;

x 2  (a  b) x  ab
2
i) x  (a  b) x  ab ;

x 2  a 2  b 2  2bc  2ax  c 2
2
2
2
2
j) x  b  a  2bx  2ac  c ;
x x 2

3x3  2 x 2  4 x  5
2
k) 6 x  3x  9 ;

l) x  5 x  6 .

a 2 x  b2 x
x
x
n) a  b ;

1  (2a  3b) 2
m) 2a  3b  1 ;

33 x  33 y
x
y
o) 3  3 ;

24 m  24 n
2n
2m
ơ) 2  2 ;

a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b)
ab 2  ac 2  b3  bc 2
p)
;

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3
2
q) 3x  19 x  33x  9 ;

2

( x 0, x y)


x 3  y 3  z 3  3 xyz
2
2
2
u) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ;

x 3  y 3  z 3  3 xyz
2
2
2
ư) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) .

Bài 3: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
A

(2 x 2  2 x )( x  2)2

a)

( x 3  4 x )( x  1)

1
x
2
với

B

b)

x 3  x 2 y  xy 2
x 3  y3

với x  5, y 10

Bài 4: Rút gọn các phân thức sau:
( a  b )2  c 2
a) a  b  c

a2  b2  c 2  2ab
2
2
2
b) a  b  c  2ac

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3
2
c) 3x  19 x  33x  9

Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
a3  b3  c3  3abc
2
2
2

a) a  b  c  ab  bc  ca

x 3  y3  z3  3 xyz
2
2
2
c) ( x  y )  ( y  z)  (z  x )

a 2 ( b  c )  b 2 (c  a)  c 2 ( a  b )
ab2  ac2  b3  bc2

e)

x 3  y 3  z3  3xyz
2
2
2
b) ( x  y)  ( y  z)  (z  x )

a2 (b  c)  b2 (c  a)  c2 (a  b)
4 2
2
4 2
2
4 2
2
d) a (b  c )  b (c  a )  c (a  b )

x 24  x 20  x16  ...  x 4  1
26

24
22
2
f) x  x  x  ...  x  1

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
x 2
23  x 3

( x 0)
2
x
x
(
x

2
x

4)
a)

3x
 3 x(x  y)

( x y )
2
2
xy
y


x
b)

x  y 3a( x  y )2

(a 0, x  y )
2
3a
9
a
(
x

y
)
c)

Bài 7: Tìm giá trị của biến x để:
a)
b)

P

Q

1
2

x  2 x  6 đạt giá trị lớn nhất

x2  x 1
2

x  2 x  1 đạt giá trị nhỏ nhất

1
max P  khi x  1
5
ĐS:
3
min Q  khi x 1
4
ĐS:

Bài 8: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:


( x 2  a)(1  a)  a2 x 2  1
2
2 2
a) ( x  a)(1  a)  a x  1


3 xy  3 x  2 y  2 9 x 2  1 
1

 x  , y 1
y 1
3x  1 
3


b)

ax 2  a axy  ax  ay  a
( x  a )2  x 2

( x  1, y  1)
y 1
2x  a
c) x  1
d)
x 2  y2
e) ( x  y)(ay  ax )

2ax  2 x  3y  3ay
f) 4ax  6 x  9 y  6ay

Bài 9. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
x 4  x3  x 1
4
3
2
a) x  x  2 x  x  1 ;

x4  5x2  4
4
2
b) x  10 x  9 .

Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.

A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD:
Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
x2  y 2  z 2
2
2
2
Bài 11. Rút gọn ( y  z )  ( z  x)  ( x  y ) biết rằng x + y + z = 0.
3x  2 y
Bài 12. Tính giá trị của phân thức A = 3x  2 y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.

HD
9 x 2  4 y 2  12 xy 20 xy  12 xy 8 xy 1



2
2
2
9
x

4
y

12
xy
20
xy


12
xy
32
xy
4
Ta có A =

Do 2y < 3x < 0  3x  2 y  0,3 x  2 y  0  A  0 . vậy A =



1
2.

(14  4)(54  4)(94  4)...(214  4)
4
4
4
4
Bài 13. Rút gọn biểu thức: P = (3  4)(7  4)(11  4)...(23  4) .

HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
( 1.1  2)(1.3  2) (3.5  2)(5.7  2)
(19.21  2)(21.23  2)
 1.1  2
1

.... 



(21.23  2)(23.25  2) 23.25  2 577
Do đó P = (1.3  2)(3.5  2) (5.7  2)(7.9  2)
1
Bài 14. Cho phân số A = 1, 00...01 (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập

phân.


HD
10100
100
Ta có A = 10  1 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:

A=

100 100
10100 (10100  1) 99...9 00...0

0, 99...9
00...0


10200  1
99...9
100
100

200

(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
(a 2  b 2  c 2 )(a  b  c )2  (ab  bc  ca )2
(a  b  c) 2  ( ab  bc  ca)
Bài 15. Cho phân thức: M =

a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0

 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.

 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
 a+b=b+c=c+a
 a = b = c.

Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c khơng đồng thời bằng 0,
tức là a2 + b2 + c2  0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
x( x  2 y )  y 2 x 2  2 xy  y 2 ( x  y ) 2


x  y a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
x y
x y
Ta có M = x  2 y  y

(Điều kiện là a2 + b2 + c2  0)