chuong IV Gioi han hay

MỤC LỤC
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN.................................................................................................1
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ..............................................................................1
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.............................................................................2
C. CÁC VÍ DỤ............................................................................................................2
D. BÀI TẬP.................................................................................................................3
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.................................................................................................4
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN..........................................................................................4
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.............................................................................5
C. CÁC VÍ DỤ............................................................................................................6
D. BÀI TẬP.................................................................................................................8
HÀM SỐ LIÊN TỤC..........................................................................................................9
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.......................................................................................9
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN...........................................................................10
C. CÁC VÍ DỤ..........................................................................................................10
D. BÀI TẬP...............................................................................................................11

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

un
có thể

lim u 0 hay u n  0 khi n  +.
n   n 
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (

lim  u  a  0.
lim  un  a hay u n  a khi n  +.
n   ), nếu n  n
Kí hiệu: n 
lim  un  lim  un 

 Chú ý: n 
.
2. Một vài giới hạn đặc biệt.

1
1
lim 0 , lim k 0 , n,k  *
n
n
1 1 1 1
1
lim . . . ..... 
n  n n n  n
k

a)

1
1
1
lim .lim ...lim 0.0...0
   0
n
n

n
k
        
k


lim q n 0

 

q 1

b)
với
.
c) lim(c)=c (c là hằng số).
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.

*
v

u

w

n


n
n

n
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :
và
lim  vn  lim  wn  a  lim  u n  a

.

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

lim  un vn  lim  un  lim  vn  a b
lim  un .vn  lim un .lim vn a.b

lim

un lim  un  a

 ,  vn 0 n  *; b 0 
vn lim  vn  b

lim un  lim  un   a ,  un 0 ,a 0 
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có cơng bội q ,với

q  1.

u
u1(1  qn )
lim Sn lim u1  u2  ...un lim
lim 1
1 q
1 q

5. Dãy số dần tới vô cực:

u

 n   

  

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực n
khi n dần tới vơ cực
nếu un lớn hơn

một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=
hay un   khi
n   .

  un   .Ký hiệu: lim(un)=
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là   khi n   nếu lim
  hay un    khi n   .
c) Định lý:
o Nếu :
o Nếu :

lim  un  0 u n 0 ,n  

*



lim  un  

lim

1
0
un

 thì

lim

1

un

thì
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

P  n
un 
Q  n

1. Giới hạn của dãy số (un) với
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và

lim  un  

a0
b0 .

mẫu số cho nk để đi đến kết quả :
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=  .


un 

f  n
g n

2. Giới hạn của dãy số dạng:
, f và g là các biển thức chứa căn.
o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
C. CÁC VÍ DỤ.

3n2  2n  5
2 5
3  2
2
2
3n  2n  5
n n 3
n
lim

lim

lim

1 8 7
7n 2  n  8
7n 2  n  8
7

 2
2
n
n
n
1.
1
n2  1  4n
1 2  4
2
n  1  4n
1 4 5
n
n
lim
lim
lim


3n  2
2
3n  2
3
3
3

n
n
2.
3.

lim




n  2n  3  n  lim
2

lim

2n  3
n 2  2n  3  n

n2  2n  3  n

lim



n 2  2n  3  n

n2  2n  3  n




2 3
n  1   2  1
n n



4.

n 2  2n  3  n

n 2  2n  3  n

1
2
 ... 
 .
 1 3
1   
 2
Tổng của cấp số nhân lùi vô

1
2 và số hạng đầu u1=1.
hạn có cơng bội
n3  2n  1
2 1
1

 3
3

3
2
n  2n  1
n
n
n 
lim 2
lim 2
lim
1 1
3
2n  n  3
2n  n  3
 2 3
3
n n
n
n
5.
.
2
3
n  2  3 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2 


lim 3 n  2  3 n lim
q 



6.







3

2

3
2
n
lim

1
1 1
2 3
1   2 1
n n

n2  2n  3  n là biểu thức liên hợp của
 n  1

2

2

2n  3

 1 1  1
 1
1   -        ...    
 2 4  8
 2

 lim n  2n  3  n

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n 2




lim

3

3

n 2

 n  2

2

3

  


3

n

3

 3 n  2. 3 n  3 n2
2

lim

3

 n  2

2

 n  2. n  n
3

3

3

2

lim

n2 n
3

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n 2

0

D. BÀI TẬP
1. Tìm các giới hạn:

7n 2  n
lim 2
5n  2
a)
2n  1
lim
n2
b)
3n2  1
lim 2
n 4
c)

6n3  3n  1
lim
7n 3  2 n
d)
e)

lim

n 2  2n  4
7n3  2n  9
n2  2

lim

4n 2  2

f)

8n3  1
lim
2n  5
g)
3

h)



lim



n2  2n  3  n

lim



n 1 

lim

1  2  3  4  ...  n
n2  3

n



i)
2. Tìm các giới hạn sau:
a)
3. Tìm các giới hạn sau:

3n2  1 
lim
n
a)
b)

lim



3

n2  1

n3  2n 2  n



b)

c)
d)

lim

5sin  n   7cos  n 
2n  1

lim



lim

n2  1 

n2  2



1  a  a2  a3  a 4  ...  a n
1  b  b2  b3  b 4  ...  b n

a  1, b  1


2 n3
lim 4
n  3n2  2
e)
n
n    1
lim
 n 1
2n2    1

2n

lim

g)



lim

n 4  3n  1



1 
1 
1 
1

lim  1  2   1  2   1  2  ... 1  2 
2  3 
4  
n 




k)

n2  3 1  n6

n 1  n
h)
4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
4

n 3

 n  1  n  2 

i)
j)

f)

lim 1  n2 



n 1

2

2n3  11n  1
lim
n2  2
a)

 1
1
1 
lim 

 ... 

2
n2  2
n2  n 
 n 1
lim

b)

1
n2  2 

lim  n

c)



3

n2  4



n3  n 2  n 


_________________________________________________________________________________
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là
*

L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn  K và xn a , n   mà lim(xn)=a đều có

lim  f  x   L


lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: x  a 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
lim  f  x   L , lim  g  x   M
x a
thì:
lim  f  x  g  x   lim  f  x   lim  g  x   L M
x a
x a
x a

b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: x  a 

lim  f  x  .g  x   lim  f  x   .lim  g  x   L .M
x a

lim
x a

x a

x a

 f  x   L
f  x  lim
 x a
 , M 0
g  x  lim  g  x   M

x a

lim f  x   lim  f  x    L ; f  x  0, L 0
x a
x a
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a),

lim  g  x   lim  h  x   L  lim  f  x   L
x a
x a
.

g(x) f(x) h(x) x  K , x a và x  a 
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:


a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]=

lim  f  x   
 thì ta nói f(x) dần tới vơ cực khi x dần tới a, kí hiệu: x  a 
.
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L
lim  f  x   L
khi x dần tới vơ cực, kí hiệu: x  

.

*
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a n   , thì ta

lim  f  x  

nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : x  a

. Nếu chỉ địi hỏi với mọi dãy số

*

(xn), xn < a n   thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu:
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

lim
x a

lim  f  x  

x  a

f  x  0 
g  x   0 

1. Giới hạn của hàm số dạng:
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a) 2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

f  x   
 
x  g  x 
 

2. Giới hạn của hàm số dạng:
lim

o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu
x    thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:

lim  f  x  .g  x  
x 

4. Giới hạn của hàm số dạng:

lim

x 

o Đưa về dạng:
C. CÁC VÍ DỤ

1.

lim  f  x  
x  

 0.
g x  


 
 

. Ta biến đổi về dạng:   

 -

f  x   g x 
f  x  g x
2

x 2  3x  2   2   3  2   2
12
lim


 3
x  2
x 2
4
  2  2

 x  2   x  1 lim x  1 2  1 1
x 2  3x  2
lim
lim


x 2
x 2
x 2
x 2
2. x  2

.Chia tử và mẫu cho (x-2).
x 1  2
x 1  2
3x  3
 x  1  4  3x  3
x 1  2
lim
lim
lim
x 3
x 3
x 3
3x  3
3x  3
x  1  2 3x  3
3x  32
x 1  2



3.























 x  3 
lim
x 3
3  x  3 


lim
x  1  2
3
3x  3





x  1  2  3

3x  3

x 3



3.3  3



6 1
 
3  1  2 12 2




x 2  3x  1

 xlim
 3
x 3

x 2  3x  1
x 2  3x  1

lim
 
lim


 
x 3
x 3
4. x  3
(vì tử dần về 1 cịn mẫu dần về 0).Cụ thể:  x  3
2x 2  x  1
 x  1 2 x 2  x  1
2x3  x 2  1
lim 3
lim
lim

2
x 1 x  4 x 2  5x  2
x 1
x  1  x  1  x  2 
x

1
x

2

 

5.
.









2x2  x  3
1 3
2  2
2
2
2x  x  3
x
x x  2 2
lim
lim
lim
2
2
x 
x 
x 
1
x 1
x 1
1
1

2
x

x2
6.
lim x  1 0
7.

8.

9.

x 1

lim

x 1
 lim
x  
x

lim

x 1
 lim
x  
x

x  

x  

2

2

1
x 2  lim 1  1 1
x  
x
x2

x 1

1
1
 x 1 2
2
x  lim
x  lim   1  1   1

2 

x  
x   
x
x
x


.

x 1

x2  x  3

f  x   x+a

 x
10. Cho hàm số :

 x 1
 x>1

. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và

tìm giới hạn đó.
Giải

lim  f  x   lim  x  x  3 3
2

Ta có :

x 1

x 1

.

x a
a  1
x 1

x 1
x
lim  f  x   3  a  1 3  a 2
Vậy x  1 
 x  2 x2  2x  4
 0
x3  8
lim
lim
lim x 2  2 x  4 12
 
x 2
x 2
11. x  2 x  2 x  2
. Dạng  0  .
lim  f  x   lim










x3  2 x  1
2
1
1 2  3

3
3
x  2x  1
x
x
x 1
lim
lim
lim
3
3
x 
x 
x 
1
 
2x 1
2x 1
2
2

 
3
x
x3
12.
. Dạng    .
2  3 x 2  x  1
2  3x 2  x  1



2
2
x2
lim 
3
x

x

1

lim

lim



3 3
x 
x 
x 
x. 3 x 3  1
x. 3 x 3  1
 x. x  1 
x2
a.
1 1 

2 3   2 

x x  6
lim 
 6
x 
1
1
3 1
3
x


lim  x  x  3  x   lim
13.
2

x  

x  

x 3

 lim

x2  x  3  x

x  

 lim

x  

x2  x  3  x



x2  x  3  x

x2  x  3  x

  lim x
x  

D. BÀI TẬP.
1. Tìm các giới hạn sau:
a)
b)


lim  5 x
x 0

x 3

2

 7x





x2  5
lim
x  1 x  5
c)
x 2  2 x  15
lim
x 3
d) x  3

2 x 2  3x  1
lim
x  1
x2  1
e)
x3  x2  x  1
lim
x 1
f) x  1
x 4  a4
lim
g) x  a x  a
x 2  3x  3
lim
x 2
h) x  7

2. Tìm các giới hạn :
a)

lim
x 0

x 1 

x2  x 1
x

 x  3  x2

x2  x  3  x

x 3
3
1
1
x
x
 lim

x 2  x  3  x x   1  1  3  1 2
x x2
x
. Dạng

    .
lim x 3  4 x 2  10

2

lim
b)

x 2

x  x 2
4x 1  3


c)

lim
x 0

lim

d)

x  1

lim
e)

1

x 2

2 x 2  3x  1
lim 3
2

f) x  1 x  x  x  1
x2  4x  3
lim
x 3
g) x  3

x 1
3x

3

3

x 1

x2  3  2
x 2  3x  2

 x  2

4 x 6  5x 5  x

lim

2

h)
i)

1  x

x 1

3

lim
x 2

2

8 x  11  x  7
x 2  3x  2

3. Tìm các giới hạn sau:

3x 2  5x  1
2
a) x   x  2
2
2
x  1 . 7 x  2 

lim
4
x 
 2 x  1

 2 x  1  5x  3
lim
 2 x  1  x  1

2

lim

c)
d)

b)

3

x 

lim

x 



x2  4x  x



sin  2 x   2 cos  x 
x2  x 1
e) x  
.
lim  f  x  
lim

4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem
tại không trong các trường hợp sau:

a)

 2x  1

f  x   x
5 x  3


b)

x  x  2

f  x   x  1
x2  x 1


c)

4  x

f  x   x  2
1  2 x


x  x0

có tồn

 x>1
 x 1

2

tại x0 = 1

 x>1
 x 1

2

tại x0 = 1

 x<2 
 x 2 

tại x0 = 2

x 3  3x  2
f  x  2
x  5 x  4 tại x0 = 1
d)
5. Tìm các giới hạn:

lim  x
a) x   





x2  5  x 


lim

x  



x2  x  3  x



b)
_____________________________________________


cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên
một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng

(a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại
điểm x0  (a;b) nếu:

lim  f  x    f  x0 

o

x  x0

.Điểm x0 tại đó
f(x) khơng liên tục gọi là điểm gián
đoạn của hàm số.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b)
liên tục tại điểm x0  (a;b)

 g  x 
f  x  
a
lim  g  x  

Tìm

x  x0

 x x 0 
 x=x0 
.Hàm số liên tục tại

 lim  g  x   a
x  x0

x0
.
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

g  x 
 x
f  x  a
 x=x 0 

 x>x 0 
h  x 
 lim  f  x    lim  g  x  
x  x0
 x  x0

 f  x    lim  g  x  
 xlim
 x0 
x  x0

 f  x0 
o Tìm : 
.

 lim  f  x    lim  f  x   lim  f  x    f  x 0 
x  x0
x  x0
x  x0

.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được
gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó
liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được
gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó
liên tục trên khoảng (a;b) và

 lim  f  x    f  a 
 x a

 f  x    f  b 
 xlim
 b 

Hàm số liên tục tại x = x0

 lim  f  x    lim  f  x    f  x0  a
x  x0
x  x0

.
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có
nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
f  x
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
f  x  g  x  , f  x  .g  x  ,
g  x  0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

g x 
thuộc (a;b).
cũng liên tục tại x0 .
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu
giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng
tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác
minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta
định của chúng.
tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.
thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị
C. CÁC VÍ DỤ.
trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn
đó.
 Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên
đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn
tại ít nhất một điểm c (a;b) sao
2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0
thì:






1. Cho hàm số:

x  1

f  x   x  1
a

2

tính liên tục của hàm số trên tồn
trục số.
Giải
x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên

 x 1
 x=1

a là
hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.

tục.
Khi x = 1:
Ta có f(1) = a+2

Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.

 x  1  x  1 lim x  1 2
x 1
lim

lim


x 1 x  1
x 1
x 1
x 1

lim  f  x   lim  ax  2  a  2
x 1

lim  f  x   lim x 2  x  1 1
x 1

2

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn tại x0 =
1.
2. Cho hàm số:

 x 2  1
f  x  
x

 x  0
 x 0  . Xét tính

liên tục của hàm số tại x0 = 0.
Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0

lim  f  x    lim x 0

x 0





.
Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a
x 1

= -1.
Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu
a  -1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số
nếu a = -1.Hàm số liên tục trên

  ;1   1; 

nếu a  -1.

D. BÀI TẬP
1. Xét xem các hàm số sau có liên tục
tại mọi x khơng, nếu chúng khơng
liên tục thì chỉ ra các điểm gián
đoạn.

a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1
b)

x 0

x 1

f  x 

2x 1
x 2  3x  2

x 2  5x  6
f  x  2
x 0
x  2x
c)
 x 2  16

f  x   x  4
8


lim  f  x    lim x  1 1  0= lim  f  x    lim x

x 0

x 0



2



x 0

.
Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.
3. Cho hàm số:

ax  2
f  x   2
x +x-1

 x 1
 x  1

ax
f  x  
3
2. Cho hàm số:
3.
a)
b)
c)

2

d)

 x 4 
 x=4 

. Xét

 x 2 
 x>2 

a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,

khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.
Chứng minh rằng phương trình:
3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm
4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.


d) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
e) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
4. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:

 3 3x  2

f  x   x  2
ax  1

4
a)

1
f  x  
 x  a
b)

 x>2 
 x 2 

 x<0 
 x 0 

5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau:

a)

1  2 x  3

f  x   2  x
1


b)

 x -x +2x-2

f  x  
x 1
4

3

 x 2 

2

 x -x-6
x x  3

 

f  x  a

b

c)
2

 x 2 
tại x0 = 2

 x 1
 x 1

x

2

tại x0 = 1.

 3 x 0 

 x 0 
 x=3
tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.