SKKN Rèn luyện kĩ năng sử dụng đồ thị hàm số thông qua một số chủ đề của Giải tích lớp 12

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ 8
của BCH TW Đảng khóa XI và trong Nghị quyết Đại hội Đảng khóa XII năm 2015
đã tiếp tục khẳng định và chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo để
nâng cao chất lượng giáo dục đã nêu rõ: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo
dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất
người học; học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, phát triển giáo dục đào
tạo phải gắn với nhu cầu phát triển kinh tế xã hội”. Nghị quyết 88/2014/QH13
ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình, sách giáo khoa
phổ thơng cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là “Đổi mới chương trình, sách
giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất
lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng
nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền
giáo dục phát triển cả về phẩm chất và năng lực , hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát
huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. Cách tiếp cận này đặt ra mục tiêu căn
bản trong giai đoạn hiện nay là giúp cho học sinh có thể làm gì sau khi học, chứ
khơng tập trung vào việc xác định học sinh cần học những gì để có được kiến thức
tồn diện về các lĩnh vực chuyên môn. Trong rất nhiều các giải pháp nhằm nâng
cao chất lượng đào tạo thì giải pháp đổi mới phương pháp dạy học được xem là
then chốt. Các thành tựu nghiên cứu giáo dục học và tâm lí học hiện đại đã cho
thấy người học thay vì chỉ nghe giáo viên thuyết giảng, cần phải có cơ hội tham gia
các hoạt động giáo dục có tính tương tác để phát triển các năng lực quan yếu. Đây
là xu hướng tất yếu, đáp ứng yêu cầu giáo dục và đào tạo con người trong bối cảnh
khoa học và công nghệ phát triển với tốc độ chưa từng có và nền kinh tế tri thức
đóng vai trị ngày càng quan trọng đối với mỗi quốc gia. Quá trình dạy học lấy
người học làm trung tâm nhất thiết phải xem xét người học tiếp cận vấn đề này như
thế nào, có ích gì trong đời sống?
Cụ thể hóa các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, Bộ Giáo dục và Đào tạo
đã xây dựng chương trình quốc gia bồi dưỡng, phát triển nhân tài giai đoạn 20082020 với các tiêu chí cụ thể như: Củng cố, xây dựng và phát triển các trường

THPT chuyên trong cả nước; Xây dựng, nâng cao chất lượng nhà giáo và cán bộ
quản lý giáo dục; Tạo chuyển biến cơ bản về chất lượng giáo dục; Mở rộng quy mô
liên kết đào tạo cử nhân tài năng, kỹ sư chất lượng cao giữa các trường THPT
chuyên và các trường Đại học trong nước, ở nước ngoài. Đối với mơn Tốn phổ
thơng, chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn ( được ban hành theo Thơng tư
số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho
học sinh năng lực Toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy
và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực phát hiện và giải
1


quyết các vấn đề toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ,
phương tiện tốn học”. Trong đó năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề tốn
học có vai trị hết sức quan trọng, nó góp phần giáo dục cho người học cách phát
hiện vấn đề, để từ đó đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách tối ưu nhất.
Cũng trong chương trình mơn Tốn của Giáo Dục Phổ Thơng , có nhiều điểm mới
đáng chú ý , trong đó có một điểm đáng chú ý là “ quán triệt tinh thần dạy học theo
hướng cá thể hóa người học trên cơ sở đảm bảo đa số học sinh đáp ứng được yêu
cầu cần đạt trong chương trình; đồng thời chú ý đến các đối tương chuyên biệt.
Đối với bậc THPT, mơn Tốn có hệ thống chun đề học tập chuyên sâu và các nội
dung học tập giúp học sinh nâng cao kiến thức , kĩ năng thực hành, phát hiện và
giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn”.
Ủy ban nhân dân tỉnh Nghệ An đã có kế hoạch số 306/KH-UBND ngày
23/5/2019 triển khai thí điểm xây dựng các trường trung học trọng điểm chất lượng
cao trên địa bàn tỉnh Nghệ An giai đoạn 2019-2023 nhằm các mục đích: xây dựng
mơ hình tiên tiến, hiện đại và hội nhập, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và
yêu cầu của xã hội, tiếp cận được với giáo dục các nước trong khu vực và quốc tế,
đảm bảo bản sắc dân tộc; tham gia đào tạo đội ngũ học sinh năng động, có năng
lực sáng tạo, thực hành, ngoại ngữ và tin học đáp ứng nhu cầu nhân lực, nhất là
nhân lực chất lượng cao phục vụ sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

và hội nhập quốc tế; tạo điều kiện để một số cơ sở giáo dục trở thành nhân tố tiên
phong, nòng cốt, đi đầu thực hiện chương trình giáo dục phổ thơng mới, tạo sức lan
tỏa, ảnh hưởng tích cực đến các trường trung học trên địa bàn, góp phần quan trọng
trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục của tỉnh nhà.
Bên cạnh đó, Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng đang trong quá trình xây
dưng để trở thành trường chuẩn tiên tiến chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu hội nhập
quốc tế và cung cấp nguồn nhân lực chất lượng cao cho các trường Đại học lớn
trong và ngồi nước. Trong q trình đổi mới, xây dựng nhà trường thành trường
tiên tiến chất lượng cao cấp quốc gia, ngang tầm khu vực và quốc tế , đáp ứng yêu
cầu giáo dục phổ thông toàn diện, tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, nhân tài cho
quê hương đất nước đã chọn nội dung công việc thiết yếu, đó là: Xây dựng đội ngũ
cán bộ quản lý, giáo viên, nhân viên đủ, cân đối, chất lượng cao; Xây dựng cơ sở
vật chất khang trang, đáp ứng đầy đủ nhu cầu học tập, rèn luyện của học sinh và
nhu cầu nghiên cứu giảng dạy, sinh hoạt của cán bộ, giáo viên và nhân viên nhà
trường; Xây dựng chương trình gồm chương trình chuẩn phổ thơng, chương trình
dạy học mơn năng khiếu, chương trình quốc tế, chương trình kỹ năng sống, trải
nghiệm… Trong đó, để đảm bảo tính bền vững của chất lượng giáo dục của nhà
trường trước hết, cần thiết phải nâng cao chất lượng giáo dục mà đổi mới phương
pháp giảng dạy ở đội ngũ giáo viên nhằm đáp ứng mục tiêu, yêu cầu của sự phát
triển nhà trường hiện nay giữ vai trò cốt yếu.
2


Để đáp ứng các yêu cầu trên, trên cơ sở trực tiếp giảng dạy mơn Tốn tại
Trường THPT Huỳnh Thúc kháng chúng tơi đã gặp khơng ít khó khăn. Nhằm khắc
phục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, chúng tôi lựa chọn và viết
sáng kiến kinh nghiệm với đề tài : “ Rèn luyện kĩ năng sử dụng đồ thị hàm số
thông qua một số chủ đề của Giải tích lớp 12 ”.
2. Mục đích và cơ sở nghiên cứu
- Trang bị thêm cho học sinh các kĩ năng mới để giải quyết nhanh các bài

toán trong một số chủ đề đại số và giải tích 12
- Khai thác, ứng dụng các kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số bậc nhất, bậc
hai đã được học ở các lớp dưới và đồ thị của hàm số ở lớp 12.
- Nâng cao năng lực tư duy, rèn luyện kỹ năng sáng tạo. Bước đầu hình
thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp
tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình mơn
Tốn bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống.
- Phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp ứng các yêu cầu trong
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số
29-NQ/TW) cũng như trong các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thơng năm
2018 về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công
nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ
nghĩa và hội nhập quốc tế.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Kiến thức về Giải tích THPT thuộc Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11,
Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản và nâng cao).
4. Phương pháp nghiên cứu
-Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản) chúng tôi xây
dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được tham
khảo từ đề thi THPTQG, đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo hàng năm, đề
thi thử của các trường, sở giáo dục trong cả nước để phân chia thành các dạng tốn
cụ thể( theo một tiêu chí cụ thể nào đó) theo các mức độ để phù hợp với từng nhu
cầu, năng lực của các em học sinh.
-Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp trong và ngoài nước ở các tạp chí
có nội dung liên quan đến đề tài.
-Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Tốn-Tin-Văn phịng ở Trường THPT
Huỳnh Thúc Kháng và một số đơn vị bạn trong và ngồi tỉnh có quan tâm đến vấn
đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài.
3

-Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh chúng tôi trực
tiếp giảng dạy ở Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng để kiểm nghiệm và rút kinh
nghiệm.
5. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
-Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp
11 và 12 (THPT) có nhu cầu, đam mê, năng khiếu về bộ mơn Tốn trong và ngồi
trường.
-Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ mơn
Tốn bậc THPT.
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên Cao học, Nghiên cứu
sinh chuyên nghành Phương pháp giảng dạy Tốn .
-Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo trong
lĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập cho
học sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục.
- Mặc dù đã rất cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn khơng tránh khỏi
thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của của các độc giả để bản thân tơi
ngày càng hồn thiện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảng
dạy môn Tốn THPT nói chung và giảng dạy phần Giải tích THPT nói riêng .
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn.

4


B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CHỦ ĐỀ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Kĩ năng 1: Hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng
Trước hết, chúng tơi xét ví dụ là một câu trong đề thi thử và lời giải thông thường
được các giáo viên và sinh viên giải như sau:
Ví dụ 1: (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Tất cả giá trị của tham số

thực m sao cho hàm số y  x3  2mx 2   m  1 x  1 nghịch biến trên khoảng

 0;2  là

A. m  2 .

B. m 

11
.
9

C. m 

11
. D. m  2 .
9

Lời giải tham khảo trên mạng
Chọn C
Cách 1: Ta có y  3 x 2  4mx   m  1 ; y '  0  3 x 2  4mx   m  1  0 .
2

3  39

 0, m   nên phương trình y  0
Do    2m   3  m  1   2m   
4  16

2

ln có 2 nghiệm phân biệt x1 

2m  4m2  3m  3
2m  4m 2  3m  3
, x2 
.
3
3

Bảng biến thiên:

 2m  4m 2  3m  3
 0 1

 x1  0

3
.
Để hàm số nghịch biến trên  0;2   I  : 

2
2

x
 2
 2m  4m  3m  3
 2  2

3

5


m  0
m  0


  m  0  m  R .
1  4m2  3m  3  2m  m  0
 4m2  3m  3  4m 2
 m  1


m  3
 6  2m  0

11

m3
2

6
2
0


m
 
m
 2   4m  3m  3  6  2m  

9

11
 4m 2  3m  3  36  24m  4m 2

m


9

.

m  R
11

Vậy  I   
11  m  .
9
m  9

Cách 2:
y  3 x 2  4mx   m  1 .

Hàm số nghịch biến trên  0;2   y  0, x   0;2  .
3x 2  1
y  0, x   0;2   3x  4mx  m  1  0, x   0;2   m 
, x   0;2 
4x  1
2

3x 2  1
, x   0;2 .
 m  max f  x  , trong đó f  x  
0; 2
4x  1
2

1  13

12  x   
2
12 x  6 x  4
4
4
 
 0, x   0;2
Ta có: f   x  
2
2
 4 x  1
 4 x  1
 f  x  đồng biến trên khoảng  0;2

3.22  1 11
 max f ( x)  f  2  

0; 2
4.2  1 9
Vậy m 

11
.
9

6


Bình luận: Cả hai lời giải trên đều là các cách cơ bản, nhưng chúng ta thấy đều rất
dài dòng và tính tốn khá phức tạp dẫn đến có thể dẫn đến nhiều sai sót cho học
sinh. Sau đây chúng ta tiếp cận cách dung đồ thị để suy ra được điều kiện yêu cầu
của bài toán.
Xét bài toán tổng quát
Với m  0 khi đó
f ( x )  mx 2  nx  p  0, x   a; b 

2

f(a)
b

Dựa vào đồ thị ta rút ra được kết quả sau:

5

a

5

2

+ Nếu m  0 thì
 f (a)  0
.
f ( x)  mx 2  nx  p  0, x  (a; b)  
f
b
(
)

0


4

f(b)
6

Với m  0 khi đó
f ( x )  mx 2  nx  p  0, x   a; b 

6

f(a)

4

Dựa vào đồ thị ta rút ra được kết quả sau:

2

+ Nếu m  0 thì

b

 f (a)  0
.
f ( x)  mx  nx  p  0, x  (a; b)  
 f (b)  0
2

a

5

f(b)2

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
Ta có y  3 x 2  4mx   m  1 .
Hàm số nghịch biến trên  0;2   y  0, x   0;2  .

m  1
 y '  0   0 m  1  0
11




11  m  .
9
 y '  2   0 12  8m  m  1  0 m  9

Ví dụ 2: (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số y   x 3  3  m  2  x 2  3  m 2  4m  x  1 đồng
biến trong khoảng  0;1 ?
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .
7


Lời giải tham khảo trên mạng
Ta có y   x 3  3  m  2  x 2  3  m 2  4m  x  1
 y   3 x 2  6  m  2  x  3  m 2  4m    3  x 2  2  m  2  x  m  m  4  

x  m
y  0  
x  m  4

Bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 thì

 m  0 1 m  4   3  m  0.

Vì m nguyên nên m 3;  2;  1;0 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
y   3 x 2  6  m  2  x  3  m 2  4 m 

Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1  y '  0, x   0;1
2
 y '  0   0 3  m  4m   0


 3  m  0
2
2
3.1
6
2
.1
3
4
0






m
m
m
 y ' 1  0







Vì m nguyên nên m 3;  2;  1;0 . Vậy có 4 giá trị ngun của m.
Ví dụ 3: (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số
y  x 3  3x 2  3mx  2019 nghịch biến trên khoảng 1;2  ?

A. 10 .

B. 20 .

C. 11 .

D. 21 .
8


Lời giải tham khảo trên mạng
Chọn C
Hàm số y  f  x   x 3  3 x 2  3mx  2019 .
Tập xác định: D   .
Ta có y  3  x 2  2 x  m  .
Xét phương trình x 2  2 x  m  0 có   1  m .
*Với m  1 ta có   0 nên f   x   0, x   do đó hàm số ln đồng biến
(khơng thỏa mãn)
*Với m  1 ta có   0 nên f   x   0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1  x2 ).Ta

có bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Hàm

số y  f  x 

nghịch

biến

1;2  khi

và

chỉ

khi

m  1  0
3. f  1  0
x1  1  2  x2  

m0
3. f   2   0 m  0
Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
Ta có y  3  x 2  2 x  m  .

 y ' 1  0
m  1  0

 m  0.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2   
 y '  2   0 m  0

Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  (m  1) x 2  mx
nghịch biến trên khoảng (1;3) là
9


1
A. 3  m   .
3

1
B. m   .
3

C. m  3 .

D. m  3 .

1
Câu 2: Tất cả các giá trị m để hàm số y   x3  2 x 2  mx  2 đồng biến trên
3
khoảng  0;3  là
A. m  3. B. m  1. C. m  4. D. m  0 .

Kĩ năng 2: Kĩ năng tia, đoạn.
Ví dụ 1: Cho hàm số y   2m  1 x   3m  2  cos x . Gọi

X

là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của tham số thực m sao cho hàm số đã cho nghịch biến trên
trị hai phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của X bằng
A.

B. 5 .

4 .

C. 3 .

.

Tổng giá

D. 0 .

Lời giải tham khảo trên mạng
Tập xác định D  
y  2m  1   3m  2  sin x . Hàm số đã cho nghịch biến trên



 y  0 , x    2m  1   3m  2  sin x  0 , x   (*)

Nếu m  

2
thì (*) khơng thỏa.

3

Nếu m  

2
1  2m
1  2m
2
1
1    m   .
thì (*)  sin x 
, x   
3m  2
3
3
5
3m  2
2
3

Nếu m   thì (*)  sin x 

1  2m
1  2m
2
 1  3  m   .
, x   
3m  2
3m  2
3

Ta có X  3; 2; 1 .
Vậy 3  1  4 .
Bình luận: Ta có thể xử lí bài toán như sau
Điều kiện (*) trở thành 2m  1   3m  2  t  0, t   1;1
 đồ thị hàm số

y  f  t   2m  1   3m  2  t trên  1;1 nằm hồn tồn phía

dưới trục hoành
10


 f  1  0 m  3  0


 m  3 .


5
1
0
m

1
0
f

  
Tổng quát

Hình ảnh đồ thị

Kết quả rút ra

1) y  f  t   mx  n  0, x   a; b 

y

 f  a   0

 f  b   0

y

f(b)
f(a)

f(a)
b
1
f(b)

a

1 a

x

b

2) y  f  t   mx  n  0, x   a; b 
 f  a   0

 f  b   0
3) y  f  t   mx  n  0, x   a;  

y

m  0

 f a  0
4) y  f  t   mx  n  0, x   a;  

f(a)
1 a

x

m  0

 f a  0
3) y  f  t   mx  n  0, x   ; a 
m  0

 f a  0
4) y  f  t   mx  n  0, x   ; a 
m  0

 f a  0

11


Ví dụ 2. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số y  x 4  mx 2 đồng biến trên khoảng  2;   .
A. 4.

B. 8.

C. 9.

D. 7.

Lời giải tham khảo trên mạng
+ TXĐ: D   . Ta có: y  4 x 3  2mx .
Hàm số đồng biến trên  2;    y  0 , x   2;    .
 4 x3  2mx  0 , x   2;     2 x  2 x 2  m   0 , x   2;   
 2 x 2  m  0 , x   2;    ( Vì 2 x  0 x   2;    )  m  2 x 2 , x   2;   

 *

Xét g  x   2 x 2 , ta có g   x   4 x  0 , x   2;    .
g x   0  x  0 .

Bảng biến thiên g  x   2 x 2 trên  2;   :

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m  8 .
Vì m nguyên dương nên m  1;2;3;4;5;6;7;8 .
Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn YCBT: 8.
Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị

+ TXĐ: D   . Ta có: y  4 x 3  2mx .
Hàm số đồng biến trên  2;    4 x3  2mx  0 , x   2;   

12


 2 x  2 x 2  m   0 , x   2;   

 2 x 2  m  0 , x   2;   
 2t  m  0, t   4;    8  m  0  m  8. (với t  x 2 )

Ví dụ 3: (CHUN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Có bao nhiêu giá
trị nguyên của m   10;10  để hàm số y  m 2 x 4  2  4m  1 x 2  1 đồng biến trên
khoảng 1;  .
A. 7 .

B. 16 .

C. 15 .

D. 6 .

Lời giải tham khảo trên mạng
Ta có: y  m 2 x 4  2(4m  1) x 2  1  y '  4m 2 x3  4(4m  1) x .
+) TH1: Nếu m  0 thì y '  4 x , do vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(0; ) .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) . Vậy m  0 thỏa mãn

 x0
+) TH2: Nếu m  0 thì y '  0  [m x  (4m  1)]x  0   2 4m  1 .

x 
m2

2 2

1
ta có dấu của y ' phụ thuộc dấu của x và do vậy hàm
4
số đã cho đồng biến trên khoảng (0; ) . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
(1; ) .

*) Nếu 4m  1  0  m 

Kết hợp với m  (10;10) ta có 10  m 
*) Nếu 4m  1  0  m 
x

1
, m ngun nên có 10 giá trị của m .
4

1
thì y '  0 có ba nghiệm phân biệt là x  0 và
4

4m  1
.
m2

13

Yêu cầu bài toán:

m  2  3
4m  1
1



m2
 m  2  3

 10  m  2  3
Kết hợp với m  (10;10) ta được 
 do m nguyên nên có 16
m



2
3
10

giá trị m thỏa mãn. Kết hợp cả hai trường hợp ta có 16 giá trị m thỏa mãn yêu cầu
đầu bài.

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
Ta có: y  m 2 x 4  2(4m  1) x 2  1  y '  4m 2 x3  4(4m  1) x .
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;    y '  4m 2 x 3  4(4m  1) x  0, x  1;   .

 m 2 x 2   4m  1  0, x  1;    m 2t   4m  1  0, x  1;  
2
m  2  3
m  0
 2

m   4m  1  0
 m  2  3

 10  m  2  3
Kết hợp với m  (10;10) ta được 
 do m nguyên nên có 16
 2  3  m  10
giá trị m thỏa mãn.

Một số bài vận dụng
Câu 1: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  mx   2m  3 cos x
đồng biến trên  là:
A.  0;1.

B.  3; 1.

C.  1;1.

D. 1;3.

Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y  mx   m  1 x  2 nghịch biến trên D   2;   là
A. 2  m  1 .
B. m  1 . C. m  0 . D. m  1 .

Câu 3: Tất cả giá trị m để hàm số y  x  m x 2  4 x  5 đồng biến trên  là
A. 1  m  1 .

B. m  1 . C. 1  m  0 .

D. 1  m  2 .

14


Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y 

2x  m
đồng
(m  1) x  1

biến trên khoảng (1;2) . Chọn khẳng định đúng


3 
A. S   (1;0]   ;2   .
4 


1  
C. S   (1;0]   ;2  .
2 


B. S   (; 1]  [0; ) 

 4
D. S   1;  .
 3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y  x 4  2  m  1 x 2  m  2 đồng biến
trên khoảng 1;3  là
A. m   ; 5  . B. m   2;   .

C. m   5;2  .

D. m   ;2 .

Câu 6: Cho hàm số y  mx 4  4 x 2  2m  1 . Tất cả giá trị m để hàm số đồng biến
trên khoảng  3;0  và nghịch biến trên khoảng  0;3  là
2
4
2
A. 0  m 
B. m  9
C. m 
D. m 
9
9
9
Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   m 2  1 x 4  2mx 2 đồng
biến trên 1; 
A. m  1 hoặc m  1 .
C. m  1 hoặc m 

1 5
.
2

B. m  1 hoặc m 

1 5
.
2

D. m  1 .

Câu 10. Cho hàm số y   x3  3mx 2  (6m  9) x  1 . Tập tất cả các giá trị của tham
 3

số m để hàm số đồng biến trên   ; 1 và  0;2  là đoạn  a; b  . Giá trị 6 a  4b
 2

bằng
A. 3.
B. 2.
C.  4.
D. 4.

15


Kĩ năng 3. Hàm chứa trị tuyệt đối f ( x, m) .
Bài tốn 1: Tìm m để hàm số y  f  x  đồng biến trên  ;  
Hình ảnh đồ thị

Kết quả rút ra

 y  f '  x   0, x   ;  
+ TH1: 
 f    0
 y  f '  x   0, x   ;  
+ TH2: 
 f    0

Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y  f  x  đồng biến trên  ;  

 y  f '  x   0, x   ;  
+ TH1: 
 f    0
 y  f '  x   0, x   ;  
+ TH2: 
 f    0

Bài toán với giả thiết nghịch biến hoàn toàn tương tự
16


Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị ngun dương m để hàm số y  2 x 3  mx  1 đồng
biến trên khoảng 1;  ?
A. 2 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải tham khảo trên mạng

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
6 x 2  m  0, x  1;   6  m  0


m3
+ TH1: 
3
0


m
3
0


m


2
6 x  m  0, x  1;  
+ TH2: 
không xảy ra
3  m  0

Vậy các giá trị m cần tìm là 1;2;3.
17


Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị ngun thuộc đoạn  2019;2019 của tham số thực
m để hàm số y  x 3  3  m  2  x 2  3m  m  4  x đồng biến trên khoảng  0;4  ?

A. 4039 .

B. 4033 .

C. 2019 .

D. 2016 .

Lời giải tham khảo trên mạng

18


19


Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị
Xét hàm số y  x 3  3  m  2  x 2  3m  m  4  x
Ta có y '  3 x 2  6  m  2  x  3m  m  4   3  x  m  x  m  4 

 f '  x   0, x   0;4 
 3x 2  6  m  2  x  3m  m  4   0, x   0;4 
+ TH1: 
 f  0   0

4  m
4  m
  0;4    ; m   m  4;    

 m  4  0  m  4
 y  f '  x   0, x   0;4 
 3 x 2  6  m  2  x  3m  m  4   0, x   0;4 

+ TH2: 
 f  0   0

0  m
0  m
  0;4    m; m  4  

m0
4
4
0



m
m


Vậy có 4033 số nguyên.
Một số bài vận dụng
Câu 1. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
y   x 3  6 x 2   4m  2  x  2m  6 nghịch biến trên khoảng  ;0  là
1

A.  ;   .
2


5


B.  3;   .
2


 1

C.   ;   .
 2


D.  ; 3 .

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  2019;2019 của tham số thực m
để hàm số y  x 3  3  m  2  x 2  3m  m  4  x đồng biến trên khoảng  0;2  ?
A. 4039 .

B. 4037 .

C. 2019 .

D. 2016 .

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số thực m để hàm số
y  x 5  mx  4 đồng biến trên khoảng 1;  ?
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 7 .

20


Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  9;9 của tham số m để hàm số
1
1
2
y   x3   2m  3 x 2   m 2  3m  x  nghịch biến trên khoảng 1;2  ?
3
2
3

A. 3 .

B. 2 .

C. 16 .

D. 9 .

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  20;20  của tham số thực m để
hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m nghịch biến trên khoảng 1;  ?
A. 4 .

B. 15 .

C. 8 .

D. 30 .

Kĩ năng 4. Hàm số chứa căn
Bài toán 1: Hàm số y 

f  x  đồng biến trên  ;  

(yêu cầu nghịch biến ta rút ra kết quả tương tự )
Hình ảnh đồ thị

Kết quả rút ra

 f  x   0, x   ;  

 ;  
 y  f  x  Đồng biến
Hay

 f  0   0, x   ;  

 f '  x   0, x  ;  
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y  x3  mx  2 đồng biến
trên khoảng 1;  .
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Yêu cầu bài toán tương đương với
 f  0   0, x  1;  

 2  0


 2
3 x  m  0, x 1;  
 f '  x   0, x 1;  
 m  3 x 2 , x 1;    m  3
Vậy có 3 giá trị nguyên âm.

21


Ví dụ 2: Có bao nhiêu số ngun m   2020;2020  để hàm số
1
y
đồng biến trên khoảng  2;0  .
3
2 2
2 x  m x  mx  16
A. 2020 .
B. 2021 .
C. 2025 .
D. 2018 .
Lời giải
 y  2 x 3  m 2 x 2  mx  16 Nghịch biến
 2;0 
YCBT   3
2 2
 2 x  m x  mx  16  0, x   2;0 
m  0

6 x 2  2m 2 x  m  0, x   2;0  

 24  4m2  8m  0
3
2 2
 2
2.2  m 2  m.2  16  0
 2m  m  0



m  0
  m  1  7

 
 m  1  7
  m  1  7

m  0

  m  2

Vậy có 2018 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một số bài vận dụng
Câu 1: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y  x 2  4mx  12 nghịch biến trên
khoảng  ;2  .
A. m  2
B. m  1
C. 2  m  1
D. m  1

1
Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y 
nghịch biến
3
x  mx  2
trên khoảng 1;  .
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1 .
Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m sao cho hàm số
1
y
đồng biến trên khoảng  0;2  là
3
2
x  2mx   m  1 x  14
A. 4 .

B. 3 .

C.1 .

D. 2 .

22


II. CHỦ ĐỀ VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ
Tính chất 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là trung điểm của hai điểm cực trị

chính là điểm uốn của đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m 2 x  m (1). Để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm
cực trị A, B sao cho trung điểm I của AB nằm trên trục hồnh thì các giá trị của m
là:
A. m  1, m  2

B. m  1

C. m  1, m  2

D. m  1, m  2

Lời giải
y '  3x2  6 x  m2
y ''  6 x  6

Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là  '  9  3m 2  0   3  m  3
Điểm uốn của đồ thị hàm số là I  1; m 2  m  2 

m  1
Yêu cầu bài toán  I  Ox  m2  m  2  0  
m  2
Đối chiếu điều kiện ta có giá trị cần tìm là m  1 .
Bình luận: Nếu chúng ta giải theo cách thơng thường là xác định tọa độ các điểm
cực trị và cho trung điểm thuộc trục hồnh thì khối lượng tính tốn nhiều, mất thời
gian và học sinh dễ tính sai.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   x 3  ax 2  bx  c có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa

f  x1   f  x2   0 và x2  x1  4 . Giá trị f ( x1 ) bằng
A. 16 .

B. 14 .

C. 18 .

D. 12 .

Lời giải

23


y

Nhận xét: Khi tịnh tiến sang trái hay sang
phải đi m đơn vị thì giá trị hàm số tại các
điểm cực trị không thay đổi, hệ số của bậc
cao nhất của hàm số khơng thay đổi.
Vì vậy ta xét hàm số
y  f  x   x 3  ax 2  bx  c có hai điểm
cực trị x1  2, x2  2 thỏa

f(x1)

x1

x

x2

f  x1   f  x2   0 .

Khi đó y '  3x2  2ax  b, y "  6 x  2a

f(x2)

12  4a  b  0 a  0


12  4a  b  0 b  12
Điểm uốn của đồ thị hàm số là

I  0; c   Ox  c  0
Do đó f  2    2   12. 2   16
3

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c, a  0 . Chứng minh rằng đồ thị hàm số
cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi  27c  2a 3  9ab  2

a

2

 3b 

3

Lời giải.
Nhận xét. Từ hình dáng đồ thị hàm số bậc ba ta có x 3  ax 2  bx  c  0 *

1) (*) có ba nghiệm phân biệt   C  : y  x 3  ax 2  bx  c có hai cực trị trai dấu.

1) (*) có ba nghiệm phân biệt dương   C  : y  x 3  ax 2  bx  c có hai cực trị

trai dấu và y  0  0 .

Phương trình hồnh độ giao điểm : x3  ax2  bx  c  0 (1)
a
Đặt x  y  , khi đó (1) trở thành : y3  py  q  0 (2)
3
a2
2a 3  9ab  27c
.
Trong đó: p 
 b; q 
3
27
Xét hàm số f ( y)  y3  p. y  q .

24


u cầu bài tốn  (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có ba nghiệm phân biệt 
hàm số f ( y) có hai cực trị trái dấu.
Ta có: f '( y)  3 y 2  p , suy ra f '( y )  0  y 2 

p
p
 y
với p  0

3
3

 p 
p 
với   27q2  4 p3
Khi đó fCD . f CT  f 
. f  

3  27
 3 
2
Do đó : f cd . f ct  0    0  q 
p 3  27c  2a 3  9ab  2
3 3
Từ đó, ta có đpcm.
Một số bài vận dụng

a

2

 3b 

3

Câu 1. Cho hàm số y  x3  3x2  mx (1). Đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại
và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5  0 . Giá trị nào
của m gần nhất với giá trị nhào sau đây?
1

3
B.
C. 2
D.1
2
2
Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m để đồ thị của hàm số
1
y  x3  mx 2  m 2  1 x có hai điểm cực trị là A và B sao cho A , B nằm khác
3
phía và cách đều đường thẳng d : y  5x  9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A.





A. 0.

B. 6.

C.  6.

D. 3.

III. CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN
TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Kĩ năng 1: Sử dụng tâm đối xứng, trục đối xứng
Tính chất 3 điểm thẳng hàng thuộc đồ thị hàm số bậc 3 sao cho 1 điểm cách

đều hai điểm cịn lại thì điểm nằm giữa là điểm uốn của đồ thị hàm số
Tính chất của đồ thị hàm số bậc nhất là nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối
xứng và phân giác của hai đường tiệm cận làm trục đối xứng.
a) Trong đồ thị, tương giao
3x  2
có đồ thị  C  , A 2;4  . Biết hai điểm B, C thuộc
2x  1
đồ thị  C  sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . Tính độ dài BC .

Ví dụ 1: Cho hàm số y 

25