SKKN định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN
VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH
CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHƠNG GIAN

LĨNH VỰC: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 3
--------***-------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN
VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH
CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHƠNG GIAN


MỤC LỤC
Trang

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ..........................................................................................0
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI......................................................................................0
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI................................................................................0
III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI................................................................................0
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU..................................................................0
I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI.........................................................................................0
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................0
2. Cơ sở thực tiễn................................................................................................0

II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI..........................................................................0
III. NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI.................................................................0
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.....................................................................................0
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG......................................................0
1. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng...................0
2. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng......................0
3. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.................0
4. Một số bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.......0
5. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song....................0
6. Một số bài tập đề nghị.....................................................................................0
IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG...................................................................................0
PHẦN III. KẾT LUẬN...........................................................................................0
1. Quá trình thực hiện đề tài...................................................................................0
2. Ý nghĩa của đề tài..............................................................................................0
3. Khả năng ứng dụng, triển khai...........................................................................0
4. Hướng phát triển................................................................................................0
5. Kiến nghị............................................................................................................0
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................0


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học THPT thì bài toán khoảnh cách là một trong
những dạng toán tương đối khó với mọi đối tượng học sinh. Đặc biệt trong các kỳ
thi học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp THPT trong các năm gần đây thì các bài tập
về khoảng cách luôn xuất hiện nhiều và khiến đại bộ phận học sinh cảm thấy bế tắc
trong quá trình định hướng đi tìm lời giải đối với lớp bài toán này.
Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài tốn tính khoảng
cách được trình bày rất là ít và hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa,

giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm. Hơn
nữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá
trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng
để hình thành kỹ năng giải cho học sinh
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì
với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng
mất nhiều thời gian và cơng sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở đến
quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt động
giảng dạy.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Quỳ Hợp 3 tôi nhận thấy nhiều
học sinh chưa có phương pháp giải quyết lớp bài toán này, hoặc còn lúng túng
nhầm lẫn trong quá trình làm bài. Vì vậy nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có
tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin hơn khi
giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính
tích cực, sáng tạo cho các em.
Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài: ”Định hướng tư duy, phân tích bài
toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách
trong không gian” nhằm cải thiện chất lượng dạy học tại trường THPT nói chung
và chất lượng dạy học tại trường THPT Quỳ Hợp 3 nói riêng.
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.
1. Mục tiêu chung
- Rèn luyện cho học sinh cách tư duy, cách phân tích và kĩ năng giải toán và
tạo ra các bài toán mới.
1


- Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồng
thời hình thành cho các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu.
- Hình thành cho các em một thói quen biết khai thác các vấn đề đơn giản
của Toán học.

2. Mục tiêu cụ thể
Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thơng qua đó
để phát huy tính tích cực, định hướng tư duy, cách phân tích bài tốn, rèn kỹ năng
tính khỏng cách cho học sinh.
III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
1. Về đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy, trao đổi với đồng
nghiệp, tìm hiểu tài liệu, các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, tốt nghiệpTHPT
trong các năm qua.Thực hành thông qua các tiết dạy trên lớp, dạy ơn học sinh giỏi,
ơn thi tốt nghiệpTHPT mơn Tốn của nhà trường.
2. Về không gian
Đang áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 11 và lớp 12 của trường THPT
Quỳ Hợp 3.

2


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn
luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy
việc dạy học mơn Tốn là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp
học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào
cuộc sống. Dạy học mơn Tốn người thầy khơng chỉ dạy cho học sinh kiến thức
tốn học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy còn
phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong
học tập và sau này.
Với phương pháp dạy học hiện đại như hiện nay ngoài việc giúp học sinh

lĩnh hội kiến thức, hình thành và phát triển kỹ năng cơ bản cần thiết cho học sinh,
thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng suy luận logic, biết tổng
hợp, khái quát hóa các kiến thức đã học một cách hệ thống để học sinh có khả
năng vận dụng các kiến thức đã học để tự giải quyết vấn đề một cách năng động
sáng tạo.
2. Cơ sở thực tiễn
Bài tốn tính khoảng cách trong mơn hình học khơng gian là bài tốn khó
đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên
quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi học
sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm.
Việc giải quyết một bài tốn tính khoảng cách khơng hề đơn giản, yêu cầu
người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều.
Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập
nhật tri thức. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay
đổi nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong các năm
học thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn. Đối với hình thức thi này,
người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên tục rèn
luyện thì mới đạt được những kết quả cao

3


II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trong
không gian cũng nằm trong cái chung đó. Do vậy, trước khi học khoảng cách
trong không gian học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó
trong hình học phẳng.Ngồi ra cịn phải nắm vững các kiến thức về quan hệ song
song,quan hệ vuông góc và mối quan hệ giữa chúng trong không gian. Một vấn
đề hết sức quan trọng trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ

các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng, hình
chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều khó khăn
cho hoc sinh.
Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệ
khăng khít nhau. Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,
khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyển
sang hình học khơng gian. Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng trong
không gian như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song, hai đường thẳng chéo nhau làm học sinh rất khó hình dung,hầu hết các em
cảm thấy mơ hồ khơng xác định được hướng làm cho bài tốn,dẫn đến tâm lý chán
nán khi làm bài tập về vấn đề này.
Tiến hành cho các em làm bài kiểm tra 45 phút cho 2 lớp thì kết quả thu
được là:
Lớp

Điểm < 3.5

3.5 Điểm < 5.0

5,0  Điểm

11A2

15%

55%

30%

11A1

5%

45%

50%

Đối với giáo viên, nếu dạy Khoảng cách mà đơn thuần chỉ truyền thụ cho
học sinh kiến thức trong sách giáo khoa thì sẽ gây ra nhiều khó khăn cho việc tiếp
thu của các em không mang lại hiệu quả cần đạt được trong giáo dục. Tuy nhiên
nếu ta biết sắp xếp, xâu chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực của học sinh,
tạo được hứng thú cho học sinh khi giải quyết các bài toán về khoảng cách thì tình
trạng trên sẽ được khắc phục một cách đáng kể.
Vì vậy đề tài này chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc định hướng tư
duy, cách phân tích bài tốn và rèn kỹ nắng tính khoảng cách cho học sinh. tạo cơ
hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.
4


III. NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a
d (M, ) = MH,, trong đó H là hình chiếu của M trên 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()
d(O, ())  OH , trong đó H là hình chiếu của O trên ()

Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()
- Tìm giao tuyến  của (P) và ()
- Kẻ OH   ( H   ). Khi đó d(O, ())  OH .
Cách 2. Sử dụng cơng thức thể tích
1
3

Thể tích của khối chóp V  S.h  h 

3V
. Theo cách này, để tính khoảng
S

cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Kết quả 1. Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N  
thì d(M;())  d(N;())
Kết quả 2. Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N  
(M, N không trùng với I) thì
d(M;()) MI

d(N;()) NI

Đặc biệt:

1
2

+ nếu M là trung điểm của NI thì d(M;())  d(N;())
+ nếu I là trung điểm của MN thì d(M;())  d(N;())

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vng
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại
O ( OA  OB, OB  OC, OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).
1
1
1
1



2
2
2
OH
OA OB OC 2

5


Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử
dụng các cơng thức sau:
+ d(M;()) 

Ax 0  By 0  Cz 0  D

với M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) , () : Ax  By  Cz  D  0
A 2  B2  C2
 

MA  u


+ d(M, ) 
với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u
u
  
u  u '.AA '

+ d(,  ')    với  ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u '
u u'

Chú ý: Để giải một bài tốn hình học không gian bằng phương pháp sử
dụng tọa độ Đê -các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:
Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa
độ các điểm cần thiết.
Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong khơng gian bằng
cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị, quỹ tích…
Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học
đã cho ra ngôn ngữ “véc tơ”.
Bước 2: Thực hiện các u cầu của bài tốn thơng qua việc tiến hành biến
đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt
phẳng song song với nó
+ d (, ()) = d (M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên .
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về

việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ d ( (), () ) = d (M, () ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()
+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc
6


tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông
góc chung của a, b.
+ Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song
với nó.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
* Đặc biệt
+ Nếu a  b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta
tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp (P), hạ đường cao IH. Khi đó d(a, b)  IH
+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung
điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA =
3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2,BC = a. Tính khoảng cách từ S đến BC.
Nhận xét: Đây là bài toán tính khoảng cách cơ bản nên học sinh có khả
năng giải quyết được.

7


Hướng
dẫn
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Local\\Temp\\
giải: Kẻ AH vuông góc
FineReader11.00\\media\\image1.jpeg" \* MERGEFORMATINET
với BC:

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông ASAH ta có

Bài 2: Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, sc vuông góc với nhau từng đôi
một và SA = 3a, SB = a,sc = 2a. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC

Hướng dẫn giải:

8


+ Dựng

INCLUDEPICTURE "C:\\
Users\\admin\\AppData\\Local\\
Temp\\FineReader11.00\\media\\
image5.jpeg"
\*
MERGEFORMATINET

+
Và AH cắt AS nằm trong (SAH).

Xét trong ASBC vuông tại s có SH
là đường cao có:

+ Mặt khác ta dễ chứng minh được

vuông tại S. Áp dụng hệ thức lượng trong AASH vuông tại S ta có:

2. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
9


Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến
mặt phẳng (AMN).
Phân tích, định hướng: Theo giả
thiết, việc tính thể tích các khối chóp
S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ
dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc
tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng
(AMN) về việc tính thể tích của các khối
chóp nói trên, khoảng cách từ P đến
(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C
đến (SAB).

S

M

N

D

P
C
O

A
B

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO  (ABCD).
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên
S AMN

1
1
a2 7
 S ANS  S ABS 
2
4
16

PC / /( AMN )
 d  ( P,( AMN ))   d  (C ,( AMN )) 

.

Vậy:

1
1 1
VP. AMN  S AMN .d  ( P,( AMN ))   . S ABS .d  (C ,( AMN )) 
3
3 4
1
1
1 1
 VC . ABS  VS . ABC  . S ABC .SO . S ABC  1 a 2 , SO  SA2  AO 2  a 6 .
4
4
4 3
2
2
Vậy VAMNP

3V
6
1 1 2 a 6 a3 6
 d  ( P,( AMN ))   PAMN  a
 . a.

S AMN
7
12 2
2
48

Bài 4: . (K-D 2007).
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang.

ABC  BAD

 900 , BA  BC  a , AD  2a .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vng
góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) .
Phân tích, định hướng: Trong bài tốn này, việc tìm chân đường vuông
10


góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của
AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng
cách từ A đến (SCD)
S

N
E

H
K

A

D

Q

P
B

C

M

11


Hướng dẫn giải:
Cách1: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có:
BH 1
 .
BS 3
Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
Từ đó ta có:
d  H ,  SCD  
d  A,  SCD  



KH 1

KA 3

Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:
d2
Vậy

1
1
1

1
1




 d  A,  SCD    a
A,  SCD   AS 2 AD 2 AM 2 a 2

d  H ,  SCD   

a
3

Cách 2: Sử dụng phương pháp tổng hợp
Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp (SCD), ta có:
d1 SH 2
2
2 3V
2V

  d1  d 2   BSCD  BSCD
d 2 SB 3
S SCD
3
3 S SCD
a3
1
1
1

1
 SA  S BCD  SA  S BID  SA  AB  ID 
3
3
3
2
3 2

Trong đó

VBSCD

Ta có:

CD  AC
 CD  SC


CD
SA


a
1
1
 SSCD  SC  CD 
SA2  AB 2  BC 2  CE 2  ED 2  a 2 2  d1 
3
2
2

Cách3: Sử dụng phương pháp véc tơ.
     
Đặt
AB  a; AD  b; AS  c
 
 
 
Ta có:
a  c  0; b  c  0; a  b  0
     1     
SB  a  c; SC  a  b  c; SD  b  c
2
12


Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD)
 d ( H ;( SCD))  HN Dễ dàng tính được
Khi đó:

SH 2

SB 3

  


2 
HN  HS  SN   SB  xSC  ySD
3
2  x


  x  a   
3

2

  2

y b    x  y c
 3


Ta có:
2  2 1  x

 2  2
 2
 






x
a
y
b
x
y

c  0 x  5







 HN  SC  0 
3
2 2

3


6










y  1
 HN  SD  0  x  y  b 2   2  x  y  c 2  0






3

3

 2
2
 1  1  1 
1   1   a
 HN  a  b  c  HN 
a  b  c 
6
12
6
6 
2
3


* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một
bài toán bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải
thoả mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những u cầu của bài
tốn thành ngơn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của
a

2
.Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (SBD).
đoạn AO. Biết rằng SC = 3a và OH =

Phân tích, định hướng: Ta cần
xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng
(SBD), do đó phải chọn mặt phẳng đi
qua A và vuông góc với mặt phẳng
(SBD).
13


Hướng dẫn giải:
Cách1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp
Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt phẳng (SBD) theo giao
tuyến SO. Khi đó trong mặt phẳng (SAO), kẻ AE  SO (E  SO) thì AE  (SBD)
hay d (A, (SBD)) = AE.Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a
∆SCH vuông tại H, nên ta có SH  SC 2  HC 2  3a 3
2
Tam giác SHO vuông tại H nên SO  SH 2  OH 2  a 7 .
Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra d(A, (SBD))  AE  SH .AO  3a 21
14
SO
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức
thể tích
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2
Tam giác SHO vuông tại H nên SO  SH 2  OH 2  a 7 .
1
1

a3 3
SH.S∆ABD =
và S∆SBD = SO. BD = a2 7
3
2
2

Ta có

VS.ABD =

Vậy

d (A, (SBD)) =

3VS.ABD 3a 21
=
SSBD
14

Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Oxyz với O (0; 0; 0), A (0; -a; 0),

a 3a 3 
B (a; 0; 0), C (0; a; 0), D (-a; 0; 0), S  0;  ;
.
2 2 

Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d (A, (SBD)) =
3a 21 .

14
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a.
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc
bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính theo a khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng (AMN).
14


Phân tích, định hướng: Ta cần tìm hình chiếu của S lên mặt phẳng (AMN),
việc xác định là không khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S đến hình chiếu
thì gặp khó khăn.Do đó ta khơng thực hiện tính trực tiếp từ S mà thực hiện chuyển
đổi khoảng cách để việc tính
toán thuận lợi hơn. Ta thực
hiện tính từ điểm O. Tuy
vậy,việc xác định hình chiếu
của O lên mặt phẳng (AMN)
là đơn giản nhưng khi tính
khoảng cách từ O đến hình
chiếu của nó trên mặt phẳng
(AMN) cũng khơng đơn giản,
do đó ta chuyển đến việc tính
khoảng từ trung điểm E của
AO đến mặt phẳng (AMN).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp
Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểm
của SO.
Vậy

d  S,  AMN  

d  O,  AMN  

=

SI
= 1  d  S,  AMN   = d  O,  AMN  
OI

Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE  (ABCD).
Kẻ EF  AI (F  AI) và do MN  (SAC) nên MN  EF
Vậy EF  (AMN) và d (E, (AMN)) = EF =

Mà

d  O,  AMN  
d  E,  AMN  

=

a 21
14

OA
a 21
= 2  d  O,  AMN   = 2d  E,  AMN   
EA
7

Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể

; MN =
tích Từ giả thiết ta tìm được AM  AN  1 SB  1 SD  a;
SA  a 3
2
2
7
a 2
1
1
a 14
Trong tam giác SAO ta có SO  a ; AI = SO 
BD 
2
4
2
2
2

15


Diện tích của tam giác AMN là SAMN =

1
a 7
AI.MN 
2
8

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD =

1
a3 3
SA.SABCD 
3
3

1
1
a3 3
Thể tích khối chóp S.AMN là VS.AMN = VS.ABD  VS.ABCD 
4
8
24

Do đó d (S, (AMN)) =

3VS.AMN a 21

.
SAMN
7

Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài tốn ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vng góc Oxyz với A
 a a 3 a a 3
(0; 0; 0), D (a; 0; 0), B (0; a; 0), S (0; 0; a 3 ), M  0; ;
 , N  ;0;
.
2 

 2 2  2
Ta có phương trình mặt phẳng (AMN):
Do đó d (S, (AMN)) =

3 x + 3 y - z = 0.

a 3 a 21
=
.
7
7

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC
a 5
. Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên
2
(ABC) là trung điểm H của BC. Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB).

= a, SA =

Phân tích, định hướng: Ta cần tìm
hình chiếu của I lên mặt phẳng (SAB), việc
xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi qua
I và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tuy
nhiên nếu ta chú ý đến giải thiết của bài tốn
thì dễ thấy do IH // (SAB)đó thay vì tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) ta thực
hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp

Ta có IH // SB và IH  (SAB) do đó IH // (SAB).
Vậy d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))
16


Kẻ HM  AB (M  AB) thì AB  (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) 
(SHM) và (SAB)  (SHM) = SM.
Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK  SM (KSM) thì HK  (SAB). Khi đó K
là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SAB) hay d (H, (SAB)) = HK
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH =
Tam giác AHB vuông cân tại H suy ra HM =
Trong tam giác SHM ta tính được HK =

1
a 2
a 3
BC =
, SH =
2
2
2
a
.
2

a 3
.
4

Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp công thức thể tích

Ta có IH // SB và IH  (SAB) do đó IH // (SAB).
Vậy d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH =

1
a 2
a 3
BC =
, SH =
2
2
2

1
1
1
1
a3 3
Do đó VS.AHB = SH. S∆AHB =
và S∆SAB = SM. AB = a. a = a2
3
2
2
2
24
Vậy d (H, (SAB)) =

3VS.AHB
a 3
=

.
SSAB
4

Cách 3: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
Từ giả thiết của bài tốn ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A
 a a a 3   a 3a a 3 
(0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (0; a; 0), S  ; ;
 , I ; ;
.
2
2
2

 4 4 4 
Ta có phương trình mặt phẳng (SAB):
Do đó d (I, (SAB)) =

a 3
.
4

3 y - z = 0.
S

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA
vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến Kmặt phẳng (AHK).
Phân tích, định hướng: Khối

D

H

17

A
O
C
B


chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh,
đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên
ta có thể tính được thể tích khối chóp
OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân
nên ta tính được diện tích của nó.

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp
1
VOAHK  S AHK .d  O;  AHK  
3

Ta có:
Trong đó:



1

1
1
3
a 6
;


 2  AH 
2
2
2
AH
AB
AS
2a
3

SAD  SAB  AK  AH 

a 6
3

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên
HK SG 2
2
2 2a
.

  HK  BD 

BD SO 3
3
3
Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG  HK và
AG 

2
2 1
1
2a
AI  . SC  .2a 
3
3 2
3
3
S AHK

1
1 2 a 2 2a 2 2 a 2
 AG.HK  . .

2
2 3
3
9

1
1
1
 VOAHK  VAOHK  d  A;  OHK   .SOHK  d  A;  SBD   .S OHK  h.S OHK

3
3
3
Tứ diện ASBD vuông tại A nên:
1
1
1
1
5
a 10



 2 h
2
2
2
2
2a
5
h
AS
AB
AD
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng
18


1
1 a 10 2 2a

5a 2
1
2a 3
S  OG.HK  .
.

 VOAHK  Sh 
2
2 6
3
9
3
27
 d  O;  AHK   

3VOAHK
S AHK

2a 3
3
27  a

2
2 2a 2
9

Cách 2: Phương pháp thể tích:
2
Ta chứng minh VOAHK  VSABD
9

2
1
1
1 2
2
Ta có: HK  BD; OG  SO  SOHK  HK  OG   BD  SO  S SBD
3
3
2
2 9
9
 VAOHK

a3 2
2
2 1
1
 VSABD   SA  AB  AD 
9
9 3
2
27

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B (a; 0; 0), D (0; a; 0), S (0; 0; a 2 ).
 2a a 2   2a a 2   a a 
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H  0; ;
 , K  ;0;
 , O  ; ;0 
3

3
3
3

 
 2 2 
Áp dụng công thức V 

1     
AH , AK  . AO
6

Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có
thể xác định được theo phương SC.
* AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC
Tương tự AK  SC. Vậy SC  (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
 OJ  (AHK).
SA = AC = a 2  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC.
Vậy OJ 

a
1
1
1
IC  SC  .2a 
2
4
4
2

Bài 9. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại A, AB = a, AC = a 3 , AA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt
19


phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách từ
điểm C đến mặt phẳng (ABBA).
Phân tích, định hướng:
Ta cần xác định hình chiếu của
C lên mặt phẳng (ABBA), do
đó phải chọn mặt phẳng đi qua
C và vuông góc với mặt phẳng
(ABBA).Tuy nhiên việc xác
định là không khó nhưng khi
tính khoảng cách từ C đến hình
chiếu thì gặp phức tạp, do đó
ta thực hiện đởi tính khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng
(ABBA).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp
Ta có CH  (ABBA) = B
d C,  ABBA    CB

 2  d C,  ABBA     2d H,  ABBA   
Do đó
d H,  ABBA    HB
Gọi I là trung điểm của AB thì mặt phẳng (AHI) vuông góc và cắt mặt
phẳng (ABBA) theo giao tuyến AI. Trong mặt phẳng (A’HI), kẻ HK  AI (K 

AI) thì HK  (ABBA) hay d (H, (ABBA)) = HK
Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI =

1
a 3
AC =
.
2
2

Trong tam giác AHA ta có AH = a 3
Trong tam giác AHI ta có

1
1
1
5
a 15



2
2
2
2  HK =
3a
HK
A H
HI
5

2a 15
Vậy d C,  ABBA     2d H,  ABBA    = 2HK =
.
5
Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp cơng thức thể tích
Từ giả thiết ta tính được
20


Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI =

1
a 3
AC =
.
2
2

Trong tam giác AHA ta có AH = a 3
Trong tam giác AHI ta có AI =
Mà VA .ABH

a 15
2

3
1
1
1

a
 A H.SABH = A H. HI.AB =
3
2
3
4

1
a2 15

S

A
I
AB
.
=
.
và AAB
2
4
Do đó d H,  ABA    

3VA .ABH
a 15
=
SAAB
5

2a 15

Vậy d C,  ABBA     2d H,  ABBA    = 2HK =
.
5
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với
a a 3

;a 3  .
A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (0; a 3 ; 0), A  ;
2 2

Ta có phương trình mặt phẳng (AAB): 2y - z = 0, do đó d (C, (ABBA)) =
2a 15
.
5
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA   ABCD  , SA  a . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M
để khoảng cách từ điểm S đến BM
lớn nhất, nhỏ nhất.
Phân tích, định hướng: Khối
chóp có đáy là hình vng và cạnh
bên SA vng góc với đáy diều này
rất thuận lợi cho việc chọn hệ tọa độ
có gốc tọa độ trùng với điểm A. Từ
đó đưa về giải bài tốn tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất trong giải tích 1
cách dễ dàng.

z
S

C

A

y

M

K
B
D
x

21


Hướng dẫn giải: Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho
O  A  0;0;0  , B  1; 0; 0  , C  1;1;0  , D  0;1; 0  ,
S  0;0;1 .
M là điểm di động trên CD nên M  t ;1;0  với 0  t  1 .

BM   t  1;1;0 
 
 SB, BM 
t 2  2t  3


d  S , BM  
 2


t  2t  2
BM
2  t  1
t 2  2t  3
2
Xét hàm số f  t   2
trên [0; 1] => f '  t   2
t  2t  2
 t  2t  2 
Ta có bảng biến thiên:

t
f’(t)



0



1

-

+

2

f(t)

3
2
3
f
t

Từ bảng biến thiên ta có min
, đạt được khi t = 0


 0;1
2
max f  t   2 , đạt được khi t = 1
 0;1
Do đó d  S , MB  lớn nhất khi M  C & d  S , BM   2
d  S , MB  nhỏ nhất khi M  D & d  S , BM   3
2
3. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 11: Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN
Phân tích, định hướng: Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN ta tìm một
mặt phẳng chứa CN và song song với B ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để
quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng
cách trong tứ diện vuông.
22