Cấp số cộngCấp số nhân

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng:
+Định nghĩa: un+1= un + d, với d là công sai
+Số hạng tổng quát: un=u1 + (n-1)d
+Tổng n số hạng đầu tiên: Sn==
+Tính chất các số hạng của CSC: Uk=
+Định lí: Cho các số nguyên dương m và k với m ≥ k thì: um=uk+(m-k)d.
+Định lí: Nếu a+b=c+d thì ua+ub=uc+ud ; ví dụ: có 2 + 4= 5+1 thì u2+u4=u5+u1.
2. Cấp số nhân:
+Định nghĩa: un+1=un.q , với q là công bội của CSN
+ Số hạng tổng quát: un=u1.qn-1 với n ≥ 2
+Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=
+Tính chất các số hạng của CSN: u2k= uk-1.uk+1
+ Định lí: Cho các số nguyên dương m và k với m ≥ k thì um=uk.qm-k
+Định lí:Cho CSN với q ≠ 0 và u1 ≠ 0 thì um+k=um.qk ; ví dụ: ta có 6=4+2 thì u6= u4.q2 .
*Bất đẳng thức Cô-si: Với a và b là 2 số khơng âm thì ta có: ≥ 2 ab
Bài tập:
Câu 1: Cho các cấp số cộng có các số hạng lần lượt là -4,1,6,x. Giá trị của x là bao
nhiêu
Câu 2: Cho các cấp cộng có các số hạng lần lượt là -7,x,11,y. Giá trị của tổng x+y là bao
nhiêu
Câu 3: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2,8,x,128. Giá trị của x là bao nhiêu
Câu 4: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x,12,y,192. Giá trị của x và y là bao
nhiêu
Câu 5: Trong các số hạng lần lượt là 5,9,13,…. Vậy un được viết theo biểu thức nào
Câu 6: Cho CSN có các số hạng lần lượt là 3,9,27,81,… Vậy un được viết theo biểu thức
nào
Câu 7: Một CSC có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng 13 số hạng đầu là 260. Vậy u13
có giá trị là bao nhiêu.
Câu 8: Một CSC có 6 số hạng, biết rằng tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17, tổng
u2+u4=14. Cơng sai d có giá trị là bao nhiêu

Câu 9: Một CSN có 6 số hạng, với u1=2 và u6=486. Vậy cơng sai có giá trị là bao nhiêu
Câu 10: Cho CSN có 15 số hạng, đẳng thức sau đây là đúng hay sai: u1.u15=u2.u14.
Câu 11: Cho CSN có 10 số hạng, đẳng thức sau đây là đúng hay sai: u7=u4.q3.
Câu 12: Một CSN có u2=4 và u6=64. Số hạng tổng quát của CSN đó là gì
Câu 13: Xác định 4 góc của 1 tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành 1 CSC và góc
lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm các góc đó.
Câu 14: Tính tổng của n số hạng: Tn=105+110+115+…+995.
Câu 15: Tìm phân số sinh ra số a=0,2323232323….
A.
B.
C.
D.
Câu 16: Một CSC có 7 số hạng. Biết rằng tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 30,
tổng số hạng thứ ba và thứ sáu bằng 35. Số hạng thứ bảy của CSC là bao nhiêu.
Câu 17: Một CSC có 12 số hạng. Biết rằng tổng 12 số hạng là 144, số hạng thứ 12 bằng
23. Công sai của CSC là bao nhiêu


Câu 18: Một CSC có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó bằng 225 và số hạng
thứ 15 bằng 29. Tìm u1
Câu 19: Một CSC có 10 số hạng. Biết tổng của 10 số hạng là 175 và cơng sai d=3. Số
hạng đầu tiên có giá trị là bao nhiêu.
Câu 20: Cho 1 CSN có 6 số hạng, với số hạng đầu là 2 và số hạng thứ 6 là 486. Cơng
sai q có giá trị là bao nhiêu.
Câu 21: Một CSN có 5 số hạng, cơng bội q= ¼ số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu
bằng 24. Tìm CSN đó.
Câu 22: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự nào đó, vừa lập thành CSC vừa lập thành CSN thì
khi và chỉ khi
A. a=1, b=2, c=3.
B. a=d,b=2d, c=3d.

2
3
C. a=q,b=q ,c=q .
D. a=b=c.
Câu 23: Cho CSC (un) thỏa mãn: u2 – u3 + u5=10 và u4+u6=26. Tìm cơng sai và số hạng
tổng qt của CSC
Câu 24: Cho CSN (un) thỏa mãn: u4= và u3= 243u8. Số là số hạng thứ mấy của CSN.
Câu 25: Cho dãy số (un) với un= 3+2 . Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho.
Câu 26: Cho CSN có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần
số hạng thứ hai. Viết SHTQ của CSN đó.
*Câu 27 : Tính tổng của n số hạng: Sn=3+33+333+…
*Câu 28 : Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,… Hiệu của 2 số hạng
liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21,…7n. Số 35351 là số hạng
thứ mấy của cấp số đã cho???
*Câu 29 : Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số: 5x+1 +51-x; ;
25x + 25-x lập thành một cấp số cộng.
*Câu 30 (p207): Cho một cấp số cộng (un) có u1=1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850
Tính S= + + … + .
*Câu 31 : Xác định m để phương trình
x4 -2(m+1)2 +2m+1=0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
**Câu 32 (Toán ứng dụng): Một lọ thủy tinh có dung tích là 1000 (ml) chứa đầy một
dung dịch chất độc nồng độ 10% đã được chuyển sang bình chứa khác, nhưng dung dịch
chất độc sau khi đổ sang bình chứa khác thì vẫn cịn dính lại lọ cũ là 0,1%. Để chất độc
còn trong lọ ≤ 0,001 μ gam (microgam) thì người ta dùng 1000ml nước cất để rửa lọ
bao nhiêu lần?
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cách 1: Ta thấy công sai d= 4-(-1)=5 => x=6+5=11 ; Cách 2: Áp dụng tính chất
CSC: 2.6=1+x => x=2.6-1=11.
Câu 2: Áp dụng tính chất CSC: 2.x=-7+11 => x=2 ; 2.11=2+y => y=20. Vậy tổng
x+y=2+20=22

Câu 3: Cách 1: Áp dụng tính chất CSN: x2=8.128 ó x=±32. Ta thấy 2 số hạng đầu
dương nên x=32 ; Cách 2: Có cơng bội q= 8/2 = 4 => x=8.4=32
Câu 4: Ta tìm y trước: áp dụng tính chất CSN ta có y2=12.192 =>y= ± 48 => y=48; Ta
có q=48/12=4 => x=12/4=3
Câu 5: Đây là CSC, có d=4 và u1=5 Vậy SHTQ: un= 5 +(n-1)4 = 1+4n.
Câu 6: Ta có q=9/3=3 và u1=3. Vậy SHTQ; un= 3.3n-1= 3n


Câu 7: Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng của CSC: Sn= ó S13==260 => u13=38
Câu 8: Theo đề, u1+u6=17 ó 2u1+5d=17(1)
U2+ u4=14 ó 2u1+4d=14 (2). Từ (1) và (2) suy ra u1=1 và d=3
Câu 9: Áp dụng SHTQ của CSN cho u6= u1.q5=2.q5=486 ó q=3 *Chú ý để tìm nhanh q
ta dùng chức năng Table của máy tính cầm tay, cụ thể như sau: Mode 7 sau đó nhập
hàm vào(nhớ chuyển vế nhé) cho giá trị là 20 => tìm q*
Câu 10: Đẳng thức đã cho là đúng vì ta có nếu a+b=c+d thì uaub=ucud
Câu 11 : Áp dụng định lí với q ≠ 0 và u1 ≠ 0 thì um+k=um.qk ; ta có 4+3=7 và 4>3 => u7=
u4.q3.
Câu 12: Ta có u2= u1q=4(1) và u6=u1q5=64 => =q4=16 => q=2 thay q=2 vào (1) => u1=2.
Vậy SHTQ: un= 2.2n-1=2n
Câu 13: Gọi A,B,C,D là số đo các góc của tứ giác lồi, với ATheo đề, A+B+C+D=360(vì tổng 4 góc của 1 tứ giác=180 độ) và đây là 1 dãy CSC với
cơng sai là d ta có: A+A+d+A+2d+A+3d=4A+6d=360(1)(ta xem A,B,C,D là các số
hạng của CSC được xếp theo thứ tự đó, áp dụng cơng thức tổng qt ta được biểu thức
trên nghĩa là u2=B=u1+d(vì B là số hạng thứ hai) tương tự ta cũng biến đổi C và D theo
A và d.
D=5A ó A+3d=5A ó 4A-3d=0(2) Từ (1) và (2) suy ra A=30 và d=40
B=A+d=30+40=70; C=A+2d=30+2.40=110; D=A+3d=30+3.40=150.
Vậy A=30, B=70, C=110, D=150
Câu 14: Dãy số đã cho có: +1=179 (số hạng), có u1=105 và u179=995
Tổng cần tính: S179==98450

Câu 15: Bằng cách thử lần lượt từng đáp án ta chọn câu B
Câu 16: Theo đề, u1+u7=2u1+6d=30 (1)
U3+u6=2u1+7d=35 (2)
Từ (1) và (2) suy ra u1=0 và d=5
U7=u1+6d=0+6.5=30
Câu 17: Áp dụng công thức tính tổng:
S12==144 => u1=1
S12==> d=2
Câu 18: Ta có: S15==225 => u1=1
Câu 19: Ta có: S10= =175 => u1=4
Câu 20: Ta có u1=2
và u6=u1q5=486 ó u6=2.q5=486 => q=3
Câu 21: Theo đề, q=1/4 u1
U1+u2=24 ó u1 + u1q=u1+1/4 u21=24 ó 1/4u21+ u1-24=0 ó u1=8 hoặc u1=-12
Với u1=8 => q=2 (q=1/4u1)
U2=16
U3=32
U4=64
U5=128
Với u1=-12 => q=-3
U2=36
U3=-108
U4=324


U5=-972
Câu 22: Chọn câu D, vì với a=b=c thì ta có CSC với d=0 và CSN với q=1.
Câu 23: Theo đề, u2-u3+u5=10 ó u1+d –u1-2d +u1+4d=u1+3d=10 (1)
U4+u6=26 ó 2u1+8d= 26 (2)
Từ (1) và (2) suy ra u1=1 và d=3; SHTQ: un=u1+(n-1)d ó un=1+3n-3=3n-2

Câu 24: Theo đề, u4=u1q3=(1)
U3=243u8 ó u1q2=243q7u1 ó q5= ó q=
Thay q= vào (1) ta được: u1()3= => u1=2
Ta có un=u1qn-1 ó =2.( )n-1 => n=9
Vậy số là số hạng thứ 9 của CSN.
Câu 25: un=3+2
Xét un+1=3+2
=> = => (u
n) là cấp số nhân có q=
Ta có: u
+2
n=19683 ó 3 = 19863 => n=14
Vậy số 19683 là số hạng thứ 14.
Câu 26: Theo đề, u4=6 ó u1q3=6 (1)
U7=243u2=u1q6=243u1q óq5=243 => q=3
Thay q=3 vào (1) ta được u133=6 => u1=
SHTQ: un=u1qn-1= 3n-1
*Câu 27: Ta có:
Sn= 3 + 33 + 333+…
= 3(1+11+111+…) *đặt số 3 làm nhân tử chung*
=3(+ + +…+ ) *Biến đổi các số trong ngoặc sau đó khái quát lên dạng tổng quát)
=(10 + 102 + 103 + … + 10n – n) *đặt trong ngoặc làm nhân tử chung*
*Dừng một chút nhé, nó hơi khó hiểu phải không? Ta thấy này ta lấy 2 số đầu để từ đó
nâng lên tổng quát nhé: += -+ - =( 10-1 +102-1)=( 10+102-2) ta nhận ra rằng nếu có 2
số hạng thì có 10 + 102 -2 nếu có 3 số hạng thì có 10 + 102 + 103-3 vậy nếu có n số hạng
thì ta có 10 + 102 + 103 + … + 10n – n.*
=(-n) *Ta tính tổng 10 + 102 + 103 + … + 10n có u1=10 và q==10 bằng cách áp dụng
cơng thức tính Sn= =
=() *Ta quy đồng*
=-(-10n+1+9n +10) *Đặt -trong ngoặc làm nhân tử chung)

Vậy Sn=-(-10n+1+9n +10).
Câu 28: Theo đầu bài ta có
• u2-u1=7
• u3-u2=14
• u4-u3=21
• ….
• Un-un-1=7(n-1) *Chỗ này được chứ?*
Cộng 2 vế ta được: un-u1=7+14+21+…+7(n-1)
Ta tính tổng 7+14+21+…+7(n-1)
Dãy số đó có n-1 (số hạng)
Sn= = =un-u1 (1)
Đặt un=35351 và u1=1 thay vào (1)


35351-1=ó 7n2-7n-70700 ó n=101(nhận) hoặc n=-100(loại)
Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của Cấp số.
Câu 29: Để 3 số hạng lập thành cấp số cộng, ta có:
(5x+1+ 51-x) + (25x+25-x)=2()
ó 5(5x + ) +(52x + )
Theo bất đẳng thức Cô-si: + ≥ 2 và 52x+ ≥2 => a≥ 5.2 + 2=12
Vậy a≥12
Câu 30: Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho
Ta có: S100= =24850 => d=5
5S= + + … +
= + +…. +
= -+ -+…+ =-=- ==> S=:5 =
Vậy S=
Câu 31: Cái này Tường làm được mà phải khơng? Khơng cần Đạt giải há?
Ta có: t2=9t1
Theo định lí Vi-ét: 10t1=2(m+1) và t19t1=2m+1

 9m2 -32m -16=0 ó m=4 hoặc m=
Câu 32: *Bài này theo đánh giá của Đạt thì rất hay ấy hihi*


Trong 1000ml dung dịch gồm nước và chất độc, nồng độ của chất độc là 10% =>
Lượng chất độc trong bình khi chưa chuyển sang bình khác là 100g ta phải chia cho
dung tích của bình nữa nghĩa là 100g:1000= gam
Lượng chất độc mà đề yêu cầu là ≤ 0,001 μ gam = 10-9 gam. Mỗi lần rửa với 1000ml
nước cất thì vẫn cịn dính ở lọ là 0,1%(1ml) => chất độc giảm đi 10-3 lần hay Lần
Bảng Lượng chất độc tồn đọng sau các lần rửa:

Vậy khi rửa với 1000ml nước cất thì cần rửa 3 lần.
Lần Lần 1
Lần 2
đầu
gam .
..
Nhận xét: Đây là 1 dãy CSN với công sai q=.
HẾT.

Lần 3
. ..≤10-9