Bài 2 HAI đt VUÔNG góc chương III hình 11

LỚP

TỐN HÌNH HỌC

11

THPT

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

LỚP

11
HÌNH HỌC

Chương 3: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 2
HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
I

II

III

IV

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

 Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ và đều khác trong hình học phẳng.

Câu 1

Trả lời
 
Trong
mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì.

A

 

 

Góc giữa

O

hai vectơ
 

 

B


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

THPT

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

a) Nêu định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?

Câu 2

Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời
  a) Trong mặt phẳng, cho , ≠ .
 

Tích vơ hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu

 

 

= .cos()


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

a) Nêu định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?

Câu 2

Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời

 

 b) Cho và

Góc

= .cos()

cos

• ( Hai véc tơ cùng hướng)

 

1

• ( Hai véc tơ vng góc)

 

0

 

0

• ( Hai véc tơ ngược hướng)

 

-1

  

-

 Khi ta được
 Hay

 

 

 


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I
1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa

 Trong khơng gian, cho .
 

 

.

.

A

 ,

 Kí hiệu là góc giữa hai vectơ và

.

C

 
 

 

.

Ví
dụtứ1:
Cho
diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp
H

vectơ.
( AB , AC )

B

= BAC = 60

0

B

( CD , DA )

= ADE = 120

( CH , BC )

= HCF = 150

.

0

0

C

A

.

.

E

.

D

.
.

F


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

THPT

11
I
1

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho u , v ≠ 0.
Tích vơ hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu u . v

u . v = |u| . |v| .cos( u , v )

Tính chất

 

Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì:

u.v=0

LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I
1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong không gian
Nhận xét

* Nếu u và v cùng hướng thì

* Nếu u và v ngược hướng thì

* Nếu u và v vng góc thì

* Ta có u

2

2

=|u|

u . v =|u|.|v|

u . v = -|u|.|v|

u.v=0


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I
1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Bài tập :

2

Dạng 1:Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong không gian

1

Phương pháp:

- Áp dụng công thức:

 

- Sử dụng tính chất và các nhận xét.
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
1

Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong khơng gian.
Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất
 


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I

1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 1

 Cho góc giữa và bằng .
 Tính tích vơ hướng của hai véctơ và

Bài giải
 

 
 


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I
1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a,
 và tam giác ABC vng tại A. Khi đó
 

 

Bài giải

 
 

S

 
 

 
 
B

A

 
D

C


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I

Góc giữa hai vectơ trong khơng gian

1

Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 3
 

Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải
 

B'

A'

 
D'

C'

 
A

B

M

 
D

C


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I
1

Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 1

 Cho hình lập phương .

Hãy tính góc giữa cặp vectơ và?
 

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

F

E

 Ta có: (do là hình chữ nhật)
H

G

 .
A

B

(Vì là hình vng)

D

C

LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I
1

Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
 

Ví dụ 2
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc và . Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ và.

Bài giải
cos(OM , BC)

Mặt khác

=

OM . BC

=

OM . BC

C

= OM . BC

2
. 2
2
1
OM . BC = (OA + OB).(OC - OB)
2
12
= ( OA .OC - OA .OB + OB .OC - OB )
2
OM . BC

Vì OA, OB, OC đơi một vng góc và OB = 1 nên:
2

OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1

BC = 2

OM =

O

AB
2

=

2
2

B
M
A

Suy ra:
Vậy:

cos(OM , BC) = (OM , BC) = 120

0

1
2


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG

GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I
1

Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 3

 Cho hình chóp có , các cạnh cịn lại đều bằng .

Góc giữa hai vectơ và bằng
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải
 

Ta có

 

 

 
 Suy ra .


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
I
1

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 4

 Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

và ?
A.

B.

C.

D.

Bài giải

F

E

 

 
H

 

G

A

 

D

B

C


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

THPT

11
II

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa

Vectơ a khác vectơ - không được gọi là

(d)

a

vectơ chỉ phương của đường thẳng d

(d’)

b

nếu giá của vectơ song song hoặc trùng
với đường thẳng d

(d1)

a

k≠ 0

a

ka

(d)
a

(d)

A

(d2)
b

.
d1 // d2 ⇔ a , b cùng phương

LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
II

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 1

 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường

thẳng AC là

Bài giải

C'

B'

Vì A’C’//AC
A'

D'

B
C

A

D


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
III

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Định nghĩa
b

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong

a

khơng gian là góc giữa hai đường thẳng

.

a’

O

a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt

ϕ

b’

song song với a và b
0
0
thì 0 ≤ ϕ ≤ 90

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng
b

a

b

a

a

.

O

.

a’
b

u

0
0
0 ≤ ( u , v ) ≤ 90

v

.

u

v
Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

a và b bằng ( u , v )

0

a và b bằng 180 – ( u , v )

( u , v ) > 90

0


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

THPT

11
III

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian?
Phương pháp 1:

Bước 1:

Phương pháp dùng định nghĩa

Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường kia.

Bước 2:

Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó.

Phương pháp 2:

Phương pháp vectơ

Bước 1:

Dựa vào tích vơ hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng.

Bước 2:

Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng.


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

THPT

11
III

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC

HAI ĐƯỜNG

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Ví dụ 1

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a) AB và B’C’

b) AC và B’C’

Bài giải
B’

Góc giữa AB và B’C’ bằng góc

Góc giữa AC và B’C’ bằng góc

ABC = 90

ACB = 45

0

A’

.

.
B

0

A

.

.

C’

.

C

D’

.
.

.

D


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC

HAI ĐƯỜNG

THPT

11
III

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Ví dụ 2

 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC =

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài giải
 

 

 

Ta có:

2

2

2

Tam giác ABC có AB + AC = 2a = BC

nên tam giác ABC vuông tại A

.

2
 ⇒ = 0

 Tam giác SAB đều nên () = 1200

Vậy:

.

 ⇒ = 1200

.

a
a

 

a

a

A

 Do đó: = a.a.cos1200 =

S

.

a 2
C

B


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11
III

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

 

Ví dụ 3
Cho hình lập phương có , tương ứng là trung điểm của và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng:

o

A. 45 .

B. 60

o

o

C. 30 .

Bài giải
 Gọi là trung điểm của
 Vì là hình vng nên ,

suy ra góc giữa và bằng góc giữa và .
 Ta có ; ;
 Vì là hình lập phương nên:
 suy ra
 Suy ra tam giác là tam giác đều, suy ra .
 Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .

o

D. 120 .


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

III

Ví dụ 4
Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh là ; cạnh và vng góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Tính với là góc tạo bởi hai

 

đường thẳng và .
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải
 Gọi , lần lượt là trung điểm và .

 .

 Suy ra

 Xét có , , .

 Khi đó

 .


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

III

 

Ví dụ 5
Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là trung điểm của . Tính cơsin của góc giữa hai đường thẳng và ?

A. .

B. .

Bài giải
 Dễ dàng tính được

C. .

D. .

 nên

 Gọi là trung điểm . Khi đó

và .

 Trong , ta có:
 
 

 

 

 

 
 Vậy


LỚP

TỐN HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG
GĨC THẲNG VNG GĨC
HAI ĐƯỜNG

THPT

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

IV

Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

0

Hai đường thẳng a và b vng góc với nhau được kí hiệu là a ⊥ b

a

u

a

a

.

b

v

b

a ⊥ b ⇔ u.v = 0

.

I

b

a⊥ b
và a cắt b tại I

c
a

b / /c
⇒a⊥b


a ⊥ c

a⊥ b
b

và a, b chéo nhau