Tài liệu Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 4 pdf

KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

BÀI 2 (tt)
MÔ HÌNH ĐỘNG
MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VÀ MÔ HÌNH CÓ TRỄ PHÂN PHỐI

3.Phương pháp biến đổi mô hình có trễ phân phối thành mô hình tự hồi quy.
3.1.Phương pháp Koyck ( Trễ hình học ).
Xét mô hình hồi quy có trễ phân phối vô hạn sau:
Y
t
= α + β
0
X
t
+ β
1
X
t-1
+ β
2
X
t-2
+ + u
t
(1)
Koyck giả thiết rằng mọi β
i
( i = 0,1, ) đều có cùng dấu và giảm dần theo cấp số
nhân:
β

k
= β
0
λ
k
k = 0,1,2, (2)
trong đó 0 < λ < 1
Biểu thức (2) có nghĩa là mỗi β kế tiếp sẽ nhỏ hơn β đứng trước đó tức là càng đi xa
về quá khứ thì ảnh hưởng của biến trễ lên biến Y
t
càng giảm dần.

Nhận xét:
+ Vì λ không âm nên phương pháp của Koyck loại bỏ được sự đổi dấu.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

+ Tổng β
k
là một số hữu hạn vì:
∑β
k
= ∑β
0
λ
k
= β
0
( 1/(1-λ)) (3)
Với giả thiết (2) thì mô hình (1) trở thành:
Y

t
= α + β
0
X
t
+ λβ
0
X
t-1
+ λ
2
β
0
X
t-2
+ +u
t
(4)
Mô hình (4) vẫn còn một số lớn các tham số cần ước lượng và tham số λ vẫn còn ở
dạng luỹ thừa nên chưa thể áp dụng được OLS.
Tuy nhiên có thể biến đổi (4) như sau:
Tại t-1 mô hình có dạng
Y
t-1
= α + β
0
X
t-1
+ λβ
0

X
t-2
+ + u
t-1
Nhân hai vế với λ
λY
t-1
= αλ + β
0
λX
t-1
+ λ
2
β
0
X
t-2
+ + λu
t-1
⇒ Y
t
- λY
t-1
= α( 1-λ) +β
0
X
t
+ (u
t
-λu

t-1
)
⇒ Y
t
= α( 1-λ) + β
0
X
t
+ λY
t-1
+ v
t
(5)
trong đó v
t
= u
t
- λu
t-1
Như vậy (4) tương đương với (5) trong đó chỉ còn phải ước lượng 3 tham số là α, λ và
β
0
.


KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Nhận xét: Việc ước lượng mô hình (5) nảy sinh một số vấn đề sau:
• Mô hình (4) ở dạng mô hình có trễ phân phối song mô hình (5) lại là mô hình
tự hồi quy.

• Sự xuất hiện của Y
t-1
ở vế phải của (5) sẽ gây ra một số vấn đề về thống kê, cụ
thể là Y
t-1
có thể tương quan với u
t
, tức là vi phạm giả thiết của OLS.
• Trong mô hình (4) sai số ngẫu nhiên là u
t
song trong mô hình (5) sai số ngẫu
nhiên lại là v
t
. Vì thế u
t
có thể thoả mãn mọi giả thiết của OLS song v
t
lại có
thể vi phạm, cụ thể là có thể có tương quan chuỗi.
• Sự có mặt của Y
t-1
làm cho kiểm định Durbin - Watson không thực hiện được.

Ví dụ 1: Tệp số liệu ch9bt2 gồm các số liệu về mức đầu tư cho doanh nghiệp cho thiết bị
mới (Y) và doanh thu của doanh nghiệp (X). Hãy ước lượng mô hình:
Y
t
= α + β
0
X

t
+ β
1
X
t-1
+ β
2
X
t-2
+ + u
t
Biến

đổi về dạng (5) cho ta mô hình:
Y
t
= α( 1-λ) + β
0
X
t
+ λY
t-1
+ v
t
Dùng OLS hồi quy thu được kết quả sau:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Date: 11/22/08 Time: 09:19

Sample(adjusted): 2 22
Included observations: 21 after adjusting endpoints
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C -
22.93243
4.367183 -5.251081 0.0001
X 0.837749 0.052992 15.80895 0.0000
Y(-1) 0.036201 0.060438 0.598985 0.5566
R-squared 0.985634 Mean dependent
var
115.585
2
Adjusted R-
squared
0.984038 S.D. dependent var 56.8789
9
S.E. of regression 7.186239 Akaike info 6.91377
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

criterion 7
Sum squared resid 929.5567 Schwarz criterion 7.06299
4
Log likelihood -
69.59466
F-statistic 617.470
1
Durbin-Watson
stat

1.365573 Prob(F-statistic) 0.00000
0
Từ kết quả trên hãy tìm lại các hệ số hồi quy ước lượng của mô hình gốc.
TÍNH α Căn cứ vào -22,93243=α(1-λ) . β
k
= β
0
λ
k

Ví dụ 2: Có số liệu sau về tiêu dùng cá nhân theo đầu người và thu nhập khả dụng theo
đầu người của Mỹ ( Đơn vị: USD) giai đoạn 1970 - 1991.
Năm TD TN NĂM TD TN
1970 8842 9875 1981 10770 12156
1971 9022 10111 1982 10782 12146
1972 9425 10414 1983 11179 12349
1973 9752 11013 1984 11617 13029
1974 9602 10832 1985 12015 13258
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

1975 9711 10906 1986 12336 13552
1976 10121 11192 1987 12568 13545
1977 10425 11406 1988 12903 13890
1978 10744 11851 1989 13029 14005
1979 10876 12039 1990 13044 14068
1980 10746 12005 1991 12824 13886
hãy hồi quy mô hình (5) và phân tích kết quả nhận được.

3.2. Một vài dạng khác của phép biến đổi Koyck.

.
1. Mô hình kỳ vọng thích nghi.
Sử dụng cách tiếp cận của Koyck, Cagan và Friedman đã xây dựng mô hình sau:
Y
t
= β
0
+ β
1
X
t
* + u
t
(6)
trong đó: Y
t
là lượng cầu về tiền
X
t
* là lãi suất cân bằng, hoặc tối ưu, hoặc kỳ vọng dài hạn.
Như vậy mô hình (6) phát biểu rằng lượng cầu về tiền là hàm số của lãi suất kỳ vọng.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Vì X
t
* không quan sát trực tiếp được nên nó được tính toán dựa trên giả thiết là mức
độ điều chỉnh của lãi suất kỳ vọng từ năm t-1 đến năm t tỷ lệ với mức chênh lệch giữa lãi
suất quan sát được ở năm t và lãi suất kỳ vọng ở năm trước đó, tức là:
X
t

* - X
t-1
* = γ (X
t
- X
t-1
*) (7)
trong đó: 0 < γ ≤ 1 và gọi là hệ số kỳ vọng.
lúc đó:
X
t
* = γX
t
+ ( 1 - γ )X
t-1
* (8)
Tức là X
t
* là trung bình có trọng số của X
t
và X
t-1
* với các trọng số tương ứng là γ và 1 -
γ.
Thay (8) vào (6) ta có :
Y
t
= β
0
+ β

1
( γX
t
+ ( 1 - γ )X
t-1
*) + u
t
= β
0
+ β
1
γX
t
+ β
1
( 1 - γ )X
t-1
* + u
t
(9)

Cho (6) trễ đi một kỳ và nhân với ( 1 - γ) sau đó thế vào (9) ta thu được mô hình sau:
Y
t
= β
0
+ β
1
γX
t

+ ( 1 - γ )Y
t-1
+ u
t
- ( 1 - γ )u
t-1
⇒ Y
t
= β
0
+ β
1
γX
t
+ ( 1 - γ )Y
t-1
+ v
t
(10)
trong đó v
t
= u
t
- ( 1 - γ )u
t-1
Dễ thấy (10) cũng có dạng tương tự như (5).
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước như mô hình kỳ vọng thích nghi, từ đó tìm giá trị của γ.
Theo mô hình kỳ vọng thích nghi, ta có:

Y
t
= β
0
+ β
1
X
t
* + u
t
Trong đó Y là mức đầu tư của doanh nghiệp
X
*
là doanh thu kỳ vọng
Biến đổi về dạng (10):
Y
t
= β
0
+ β
1
γX
t
+ ( 1 - γ )Y
t-1
+ v
t
Dùng OLS hồi quy ta cũng thu được kết quả như ở trên,
Từ đó suy ra γ.

.
Mô 2. Mô hình hiệu chỉnh bộ phận.
Marc Nerlov xây dựng mô hình sau:
Y
t
*
= β
0
+ β
1
X
t
+ u
t
(11)
Trong đó Y
t
*
là lượng vốn mong muốn hay lượng vốn cân bằng dài hạn,
X
t
là sản lượng.
Vì Y
t
*
không quan sát được trực tiếp nên Nerlov giả thiết rằng:
Y
t
- Y
t - 1

= δ ( Y
t
*
- Y
t - 1
) (12)
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Trong đó 0 < δ ≤ 1 được gọi là hệ số hiệu chỉnh.
Y
t
- Y
t - 1
là thay đổi thực tế.

Y
t
*
- Y
t - 1
là thay đổi kỳ vọng.
Từ đó Y
t
= δ Y
t
*
+ ( 1 - δ ) Y
t - 1
(13)
Tức là Y

t
là trung bình có trọng số của Y
t
*
và Y
t - 1
.


Thay (11) vào (13) ta được:

Y
t
= δ [β
0
+ β
1
X
t
+ u
t
] + ( 1 - δ)Y
t-1
= δβ
0
+ δβ
1
X
t
+ ( 1 -δ) Y

t-1
+ δu
t
(14)
Mô hình (14) gọi là mô hình hiệu chỉnh bộ phận và có thể gọi là hàm cầu ngắn hạn
về vốn.
Khi đã ước lượng được (14) và thu được ước lượng của δ thì có thể rút ra hàm cầu dài
hạn về vốn bằng cách chia δβ
0
và δβ
1
cho δ và bỏ đi số hạng trễ Y
t-1
.
Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước như mô hình hiệu chỉnh bộ phận và tìm δ với Y
*
là
mức đầu tư mong đợi và X là doanh thu của doanh nghiệp.

.
Kế 3. Kết hợp các mô hình kỳ vọng thích nghi và mô hình hiệu chỉ chỉnh bộ phận.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Xét mô hình:
Y
t
*
= β
0
+β

1
X
t
*
+ u
t
(15)
Trong đó: Y
t
*
là lượng vốn mong muốn,
X
t
*
là sản lượng kỳ vọng.
Vì cả Y
t
*
và X
t
*
đều không thể quan sát trực tiếp, ta sử dụng cơ chế hiệu chỉnh bộ
phận đối với Y
t
*
và mô hình kỳ vọng thích nghi đối với X
t
*
sẽ thu được mô hình sau:
Y

t
= β
0
δγ + β
1
δγX
t
+ [ (1 -γ) + ( 1 -δ)]Y
t-1

- (1 - δ)(1 - γ)Y
t-2
+ [δu
t
- δ(1 -γ)u
t-1
]
= α
0
+ α
1
X
t
+ α
2
Y
t-1
+ α
3
Y

t-2
+ v
t
(16)
T
ro trong đó v
t
= δ[ u
t
- (1 - γ)u
t-1
]

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước với các biến:
Y
*
là vốn đầu tư mong đợi
X
*
là doanh thu mong đợi của doanh nghiệp



KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

4. Ví dụ: Mô hình cầu tiền.
Giả sử nhu cầu tiền mặt được cho bởi hàm:

t
ttt

eYRM
21
α
=
u
*
ββ
*
M
uYRM +++=
*
lnlnln
ββα

Trong đó là nhu cầu tiền cân bằng thực tế, R
t
t
là lãi suất tiền gửi dài hạn và Y
t
là thu
nhập quốc dân. Lấy loga ta có:

tttt 21
Giả thiết hiệu chỉnh bộ phận có thể mô tả như sau:

δ
*
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
=
−− 11 t
t
t
t
M
M
M
M

[
]
11 −− tttt
Lấy loga ta có:
*
lnlnlnln −=− MMMM
δ
*
ln M
uMYRM

Thay ở trên vào, ta có:
t

ttttt
δ
α

δβ
δβ
+
−
δ
+
δ
++= ln)1(lnlnlnln
ln74900.0ln68864.0ln28108.02565.2ln
−121

Với số liệu của UK thời kỳ 1964-1967 thu được kết quả sau:

1−
+
+
−−= MYRM
tttt

Từ kết quả trên suy ra hệ số hiệu chỉnh δ = 0,251 tức là có sự khác biệt giữa mong muốn
và thực tế về nhu cầu tiền mặt trong mỗi kỳ hạn. Kết quả ước lượng cũng cho ước lượng
ngắn hạn của nhu cầu tiền theo các nhân tố. Hệ số co dãn ngắn hạn về cầu tiền theo lã
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

suất tiền gửi là -0,281 và theo thu nhập là 0,689. Từ kết quả trên có thể suy ra hàm cầu
tiền dài hạn.

.
Mở 5. Mở rộng mô hình của Koyck.
P Phương pháp của Koyck có thể mở rộng theo hai hướng:

a.Thay vì giả thiết các hệ số giảm ngay lập tức có thể giả thiết rằng các hệ số hồi quy chỉ bắt
đ
giảm theo cấp số nhân bắt đầu từ trễ thứ k. Lúc đó mô hình có dạng:
Y
t
= β
0
+ ∑β
i+1
X
t-i
+ λβ
k
X
t-k
+ λ
2
β
k
X
t-k-1
+ + u
t
(17)
Sử dụng phương pháp như đã làm với (4) thu được mô hình sau:
Y
t
= β
0
(1-λ) + β

1
X
t
+ ∑(β
i+1
- λβ
i
)X
t-i
λY
t-1
+ (u
t
-λu
t-1
) (18)
Tuy nhiên (18) có thể có đa cộng tuyến vì có chứa k giá trị trễ kế tiếp nhau của X.

a. b. Mô hình có thể có nhiều biến giải thích mà chúng đều có trễ phân phối.
b. Y
t
= β
0
+ βX
1t
+ λβ
1
X
1t-1
+ λ

2
β
1
X
1t-2
+
+ β
2
X
2t
+ λβ
2
X
2t-1
+ λ
2
β
2
X
2t-2
+ + u
t
(19)
Sử dụng phép biến đổi Koyck cho (19) thu được mô hình sau:
Y
t
= (1-λ)β
0
+ β
1

X
1t
+ β
2
X
2t
+ λY
t-1
+ (u
t
- λu
t-1
) (20)
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Tức là (20) tương tự như (5)
.
ước 6. Ước lượng mô hình tự hồi quy.
.

.
5.1. 6.1. Phép biến đổi Koyck và các giả thiết của OLS.
.
Từ phép biến đổi Koyck ta thu được các mô hình (5) (10) và (14) . Về thực chất đó
là các mô hình tự hồi quy và có thể ký hiệu
chu chung là:
Y
t
= α
0

+ α
1
X
t
+ α
2
Y
t-1
+ v
t
(21)
Đặc điểm chung của các mô hình này là một số giả thiết của OLS có thể bị vi phạm do
đó không thể áp dụng trực tiếp phương pháp OLS.
Thật vậy, giả sử u
t
thoả mãn mọi giả thiết của OLS, tức là
E(u
t
) = 0 ∀t
Var(u
t
) = σ
2
∀t
Cov(u
t
, u
t+s
) = 0 ∀ s ≠ 0
song ở mô hình (21) các v

t
không thừa kế được các tính chất này.
* Trong mô hình (5) thì v
t
= u
t
- λu
t-1
do đó E(v
t
, v
t-1
) = - λσ
2
≠ 0
Mặt khác biến giải thích Y
t-1
tương quan với v
t
thông qua u
t-1
vì có thể chứng minh
được rằng:
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Cov(Y
t-1
, u
t
-λu

t-1
) = -λσ
2
* Mô hình (10) cũng tương tự.
Vì vậy nếu áp dụng phương pháp OLS cho các mô hình (5) và (10) thì các ước lượng
thu được sẽ là các ước lượng chệch và không vững.
* Đối với mô hình (14) thì do v
t
= δu
t
(0 < δ ≤ 1) nên nếu u
t
thoả mãn mọi giả thiết của
OLS thì v
t
cũng thoả mãn. Vì thế các ước lượng OLS vãn là vững
( mặc dù có xu hướng chệch nếu mẫu nhỏ).

6.2. Phương pháp biến công cụ.
Xét mô hình tự hồi quy:
Y
t
= α
0
+ α
1
X
t
+ α
2

Y
t-1
+ v
t
(21)
Do Y
t-1
có tương quan với v
t
nên nếu loại trừ được sự tương quan này thì có thể áp dụng
phương pháp OLS để thu được các ước lượng vững.

Liviatan đã đề xuất phương pháp biến công cụ như sau:
Giả sử tìm được một xấp xỉ Z
t-1
nào đó cho Y
t-1
thoả mãn các điều kiện sau:
Tư + tương quan chặt chẽ với Y
t-1

* K + không tương quan với v
t

KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2

Z Z
t-1
được gọi là biến công cụ. Liviatan đề nghị dùng X
t-1

làm biến biến công cụ
cho Y
t-1
. Lúc đó dùng OLS trực tiếp cho (21) thu
đượ được hệ phương trình chuẩn sau:
α
0
n + α
1
∑X
t
+ α
2
∑Y
t-1
= ∑Y
t

α
0
∑X
t
+ α
1
∑X
t
2
+ α
2
∑X

t
Y
t-1
= ∑X
t
Y
t
α
0
∑Y
t-1
+ α
1
∑X
t
Y
t-1
+ α
2
∑Y
t-1
2
= ∑Y
t
Y
t-1
sẽ được thay bằng:
α
0
n + α

1
∑X
t
+ α
2
∑Y
t-1
= ∑Y
t
α
0
∑X
t
+ α
1
∑X
t
2
+ α
2
∑X
t
Y
t-1
= ∑X
t
Y
t
(22)
α

0
∑X
t-1
+ α
1
∑X
t
X
t-1
+ α
2
∑X
t-1
Y
t-1
= ∑Y
t
X
t-1
Liviatan đã chứng minh được rằng các ước lương thu được từ (22) là các ước lượng
vững.
Hạn chế: Có thể dẫn đến đa cộng tuyến.