Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 12

BÀI 5 (tiếp theo)
CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG
4. CHUỖI KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH HỒI QUY CỔ ĐIỂN
Một trong các giả thiết của OLS là các biến giải thích là phi ngẫu nhiên, chúng
có giá trị xác định. Nếu trong mô hình chuỗi thời gian mà biến giải thích lại không
dừng thì giả thiết của OLS bị vi phạm. Nói cách khác OLS không áp dụng được với
các chuỗi không dừng.
Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng là là vấn đề tương quan giả tạo (
Spurious correlation). Nếu như mô hình có ít nhất một biến giải thích không dừng
và chứa đựng một xu thế tăng ( hoặc giảm) đồng thời biến phụ thuộc cũng chứa
đựng một xu thế như vậy thì khi uoc lượng có thể thu được các uoc lượng có ý
nghĩa thống kê cao và R
2
cao song đó chỉ là giả tạo vì cả hai biến đều có cùng xu
thế.
Xét mô hình:
Y
t
= β
1
+ β
2
X
t
+ u
t
Trong đó cả Y
t
và X
t
đều không dừng. Nếu ∆Y

t
và ∆X
t
là dừng và ta ước lượng mô
hình:
∆Y
t
= Y
t
- Y
t-1
= β
1
+ β
2
X
t
+ u
t
- β
1
- β
2
X
t-1
- u
t-1
∆Y
t
= β

2
∆X
t
+ v
t
(*)
Lúc đó mô hình trên có thể nảy sinh hai vấn đề:
+ v
t
có tự tương quan,
+ Mô hình chỉ đánh giá được ảnh hưởng trực tiếp trong ngắn hạn giữa Y và X
mà bỏ qua thông tin dài hạn.
Vì: Với mỗi X giá trị cân bằng của Y là β
1
+ β
2
X. ở cuối kỳ t-1 có thể xảy ra ba
trường hợp:
a. Y
t-1
= β
1
+ β
2
X
t-1
b. Y
t-1
< β
1

+ β
2
X
t-1
c. Y
t-1
> β
1
+ β
2
X
t-1
Như vậy mô hình (*) chỉ đúng khi cả ở kỳ t và t-1 đều có quan hệ cân bằng ( mô
hình đúng với cả t và t-1).
Nếu xảy ra các trường hợp b và c thì thay đổi của Y ở thời kỳ t sẽ lớn hơn ( nhỏ
hơn) ∆Y.
Như vậy sự thay đổi của Y ở thời kỳ t không chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi của
X ở thời kỳ đó mà còn phụ thuộc vào quan hệ của Y và X ở thời kỳ t-1, đặc biệt
là mức độ cân bằng của X và Y ở thời kỳ t-1.
Như vậy phương trình sai phân chỉ phản ánh quan hệ ngắn hạn mà bỏ qua
quan hệ dài hạn giữa Y và X.
5.KIỂM ĐỊNH TÍNH DỪNG DỰA TRÊN LƯỢC ĐỒ TỰ TƯƠNG QUAN
( CORRELOGRAM)
Một trong những đặc trưng rất cơ bản đối với một chuỗi dừng, như đã nói ở trên, là
tương quan theo k thời gian không đổi.
Xét chuỗi thời gian Y
t.
Để kiểm định đặc trưng này, một trong các kiểm định
đơn giản là kiểm định dựa trên hàm tự tương quan ρ
k

(autocorrelation function).
AFC(k) = ρ
k
=
o
k
γ
γ
Nếu k = 0, ta có ρ
0
= 1; ∀k ta đều có -1 ≤ ρ
k
≤ 1. Nếu chúng ta vẽ đồ thị của ρ
k

đối với k, đồ thị gọi được lược đồ tương quan tổng thể. Tuy nhiên, trên thực tế,
chúng ta chưa có tổng thể, mà chỉ có một mẫu mà thôi. Vì vậy, chúng ta có thể dựa
vào hàm tự tương quan mẫu
0
k
ˆ
ˆ

ˆ
γ
γ
ρ
=
k
trong đó: Cov(Y

t
,Y
t+k
) =
n
YYY
kt
k
∑
−−
=
+
))((Y

ˆ
t
γ

Var(Y
t
) =
n
Y
∑
−
=
2
0
)(Y

ˆ
t
γ

Trong trường hợp kích thước của mẫu nhỏ thì mẫu số của
k
γ
ˆ
và
0
γ
ˆ
là n-1.
Chúng ta dễ thấy
k-
ˆ

ˆ
ρρ
=
k

Bartlett đã chỉ ra rằng, nếu chuỗi là ngẫu nhiên và dừng thì các hệ số tương
quan mẫu

ˆ
k
ρ
sẽ có phân bố xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng bằng không và phương sai
bằng

1/ n (với n khá lớn).
Cặp giả thiết cần kiểm định là:
H
0
:

k
ρ
= 0 ( Chuỗi Y
t
là dừng)
H
1
:

k
ρ
≠ 0 ( Chuỗi Y
t
là không dừng)
Nếu như:

ˆ
k
ρ
∉
) ;(
22
n
Z

n
Z
αα
−
thì H
0
bị bác bỏ.
Các hệ số tự tương quan bậc cao

k
ρ
, k ≥ 2 phản ánh mức độ kết hợp tuyến tính của
Y
t
và Y
t-k
. Tuy nhiên, mức độ kết hợp giữa hai biến có thể còn do một số biến khác
gây ra, trong trường hợp này các biến Y
t-1
, Y
t-2
, Y
t-k+1
ảnh hưởng đến mức độ kết
hợp Y
t
và Y
t-k
. Do đó, để đo mức độ kết hợp riêng rẽ giữa Y
t

và Y
t-k
, người ta còn
đưa ra hệ số tự tương quan riêng ρ
kk
là hệ số tương quan riêng của Y
t
và Y
t-k
, ρ
kk

được tính theo công thức đệ quy của
Durbin:
∑
∑
−
=
−
−
=
−
−
−
=
1
1
j 1
1
1

j-kj 1
ˆ

ˆ
1
ˆ

ˆˆ

ˆ
k
j
jk
k
j
kk
kk
ρρ
ρρρ
ρ

jkkj 1kkj 1-k
ˆ

ˆ
-
ˆ

ˆ
−

=
ρρρρ
; j = 1, 2, k-1
1
ρρ
ˆˆ
11
=
Bảng sau là kết quả tính hàm tự tương quan và hàm tự tương quan riêng cho
chuỗi CPI89 của Việt Nam trong thời kỳ từ quý I/91 - IV/97. Trên bảng cũng trình
bày khoảng tin cậy 95% cho các hệ số tương ứng. Đối với hệ số tự tương quan, từ
trễ thứ 7 trở đi. Chúng mới xấp xỉ không, còn với hệ số tự tương quan riêng điều
này nhận ra từ thành phần thứ hai.
 
Khoảng tin cậy Khoảng tin cậy
95% 95%
Đối với các hệ số tương quan riêng, nếu chuỗi là dừng thì các
kk
ρ
ˆ
sẽ có phân bố
chuẩn N(0, 1/n). Do vậy, chúng ta có thể kiểm định giả thiết đối với các
kk
ρ
ˆ
tương
tự như kiểm định giả thiết đối với các

k
ρ

.
Các kiểm định trên đây, mới đưa ra kết luận về từng hệ số tương quan.
Box - Pierce đã đưa ra kiểm định về sự bằng không đồng thời đối với tất cả các
hệ số tự tương quan:
H
0
: ρ
1
= ρ
2
= =

m
ρ
= 0
H
1
:
∑
=
m
k
k
1
2
ρ
≠ 0
Giả thiết H
0
được kiểm định bằng thống kê:

Q= n
∑
=
m
k
k
1
2
ρ
ˆ
Trong đó: n là kích thước mẫu, m độ dài của trễ Q có phân bố xấp xỉ χ
2
(m). H
0

bị bác bỏ nếu Q nhận được từ mẫu lớn hơn χ
2
α
(m).
Một dạng khác của Q là thống kê Ljung-Box(LB):
LB= n(n+2)
∑
=
−
m
k
k
kn
1
2

ρ
≈ χ
2
(m)
Bảng trên còn cho giá trị của LB với các độ dài khác nhau của trễ và xác suất
nhỏ nhất để giả thiết H
0
bị bác bỏ.
Khi kích thước mẫu n khá lớn, cả hai tiêu chuẩn Q và LB đều cho kết quả
như nhau, song nếu mẫu nhỏ thì thống kê LB cho kết quả tốt hơn Q.
Ví dụ: Kiểm định tính dừng của chuỗi GDP của Mỹ trong ví dụ trên bằng lược
đồ tự tương quan.
6. QUÁ TRÌNH DỪNG SAI PHÂN VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG XU THẾ
Hình 5: Bước ngẫu nhiên “lệch” và chuỗi số có xu thế dừng
RWD
TS
Hình 5 biểu diễn 2 chuỗi số liệu đều có 2 đường xu hướng thẳng. Đường
RWD tạo bởi Bước ngẫu nhiên "lệch" như đã mô tả trong mục trước. Đồ thị TS
tạo bởi đường thẳng có xu thế xác định kết hợp với phần tử nhiễu trắng. Chúng
ta sẽ xem xét theo thứ tự từng trường hợp.
RWD là chuỗi không dừng - nhưng sai phân cấp 1 của chuỗi sẽ là chuỗi dừng.
Chuỗi phải thực hiện phép lấy sai phân cấp 1 để tạo ra chuỗi dừng được gọi là chuỗi
liên kết bậc 1, ký hiệu là I(1). Xu hướng sẽ được loại bỏ bằng cách lấy sai phân. Một
chuỗi I(1) gọi là dừng sai phân và nói rằng được tạo ra bởi một phép dừng sai phân
(DSP). Như vậy chuỗi dừng sai phân có dạng:
∆X
t
= X
t
- X

t-1
= a
0
+ ε
t
Một cách tổng quát, một chuỗi không dừng cần phải thực hiện phép lấy sai phân d
lần để tạo ra một chuỗi dừng gọi là chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu là I(d). Và rõ ràng một
chuỗi dừng là chuỗi I(0).
Chuỗi dừng xu thế có dạng sau :
X
t
= a
0
+
γ
t +
ε
1