Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 11

BÀI 5
CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Từ đầu những năm 1980, một số trào lưu phát triển kinh tế lượng đã có ảnh
hưởng sâu sắc đến vấn đề ứng dụng kinh tế lượng trong thực tiễn. Những phương
pháp mới được các nhà kinh tế lượng quan tâm nhiều nhất đã tạo nên một cuộc cách
mạng trong lĩnh vực mô hình hoá, đặc biệt trong các lớp mô hình cân bằng và mô
hình động. Bài này sẽ trình bày những phương pháp đó. Ta sẽ bắt đầu bằng việc
phân tích kỹ hơn các đặc tính thống kê của các chuỗi số liệu sử dụng trong các mô
hình kinh tế lượng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ý nghĩa quan trọng trong việc
mô hình hóa mối quan hệ cân bằng.
Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết các sai số ngẫu nhiên thoả
mãn các điều kiện sau:
+ Có kỳ vọng toán bằng không,
+ phương sai đồng đều,
+ Không tương quan với nhau.
Đây là trường hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực tế đối với khá nhiều chuỗi
thời gian các giả thiết trên có thể bị vi phạm.
2. CHUỖI THỐNG KÊ 'DỪNG' VÀ 'KHÔNG DỪNG'
Chuỗi thời gian ( time series) có thể coi như được tạo bởi tập hợp các biến ngẫu
nhiên sắp xếp theo trình tự thời gian (được gọi là một quá trình ngẫu nhiên -
Stochastic or Random process). Chuỗi quan sát X
t
, t = 1, 2 ... N, trong đó, mỗi
quan sát ứng với một thời điểm có thể coi là 1 điểm ghi nhận của quá trình ngẫu
nhiên tạo nên cơ sở số liệu đó. Chuỗi thời gian X
t
được coi là ‘dừng yếu' nếu thoả
mãn 3 điều kiện sau đây:
- Kỳ vọng toán không đổi theo thời gian E[X
t

] = µ ;
- Phương sai không đổi theo thời gian,var (X
t
) = E[X
t
- µ]
2
= σ
2
; - Tương quan giữa các
số liệu chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà không phụ
thuộc vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là:
cov (X
t
,X
t+k
) = E[(X
t
-
µ
)( X
t+k
-
µ
)] =
γ
k
Ví dụ: cov (X
1
, X

3
) = cov (X
11
, X
13
) = cov (X
26
, X
27
); nghĩa là tương quan chỉ phụ
thuộc và k mà không vào t.
Nếu một trong 3 tiêu chuẩn trên bị vi phạm thì chuỗi X
t
được gọi là ‘không
dừng'.
Như vậy γ
k
là hiệp phương sai của X giữa hai thời điểm t và t+k. Nếu k=0 thì γ
0

chính là phương sai Var(X
t
). Vì vậy
γ
k

ρ
k
= -------
γ

0
chính là hệ số tự tương quan giữa X
t
và X
t+k
.
Nếu xét các hệ số tự tương quan ρ
k
theo độ dài của trễ k ta sẽ thu được một hàm
gọi là hàm tự tương quan
( Autocorrelation function- ACF). Như vậy tại điểm trễ k ta có:
ACF(k) = ρ
k
= γ
k
/γ
0
= Cov(X
t
, X
t+k
)/ Var(X
t
)
Chú ý rằng nếu k = 0 thì ρ
0
= 1.
ρ
k
không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện:

-1 ≤ ρ
k
≤ 1.
Ví dụ: Tệp số liệu ch12bt20 gồm các biến GDP, PDI
( thu nhập sau thuế), PCE ( tiêu dùng cá nhân), PROFIT (lãi sau thuế) và
DIVIDENT ( lợi tức ròng) của Mỹ từ quý 1-1970 – quý 4-1991 quy đổi theo giá
1987.
Hãy vẽ đồ thị của các biến trên theo thời gian và nhận xét về tính dừng của
chúng.
Các đồ thị đều cho thấy là các chuỗi thời gian trên đều là không dừng.
3. MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GIẢN ĐƠN
3.1. Nhiễu trắng ( White noise).
Khái niệm nhiễu trắng được dùng để mô tả một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên. Xét
chuỗi:
X
t
= U
t
~ iid (0, σ
2
)
Điều đó có nghĩa: chuỗi của ta là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng
phân phối với:
- Kỳ vọng toán bằng 0, không phụ thuộc vào thờì gian t .
- Phương sai σ
2
cũng có giá trị không đổi
- Hiệp phương sai cov (X
t
, X

t+k
) = 0
∀
k
≠
0
Cả 3 tính chất trên đều được thoả mãn do đó chuỗi này ‘dừng'.
Hình 1: "Nhiễu trắng" - Đồ thị phần dư trong phương trình hồi quy cổ điển
-2
-1
0
1
2
3
60 65 70 75 80 85
Y Residuals

3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR).
Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây :
X
t
=
β
X
t-1
+
ε
t
Trong đó -1 <β < 1 và
ε

t
là nhiễu trắng, tức là

ε
t
~ iid (0, σ
2
).
Ví dụ: nếu
β
=0.6 thì giá trị X
t
sẽ bằng 0.6 nhân với giá trị X tại thời điểm
trước đó cộng với phần dư ngẫu nhiên,
ε
t
.
Trong mục trước ta đã biết hiện tượng nhiễu trắng là ‘dừng'. Để xác nhận X
t
có
dừng hay không ta hãy biểu diễn X
t
dưới dạng
ε
t
và xem xét kết quả. Có thể chứng
minh được rằng:
E(X
t
) = β

t
E(X
0
)
Var(X
t
) =
ρ
2
(
β
2(t-1)
+
β
2(t-2)
+ . . . +
β
2
+ 1)
Cov(X
t
, X
t-k
) = β
k
Var(X
t
)
Do đó, AR(1) là một quá trình dừng nếu -1 < β < 1.
Trường hợp chung, quá trình tự hồi quy bậc p - AR(p) có dạng:

X
t
= β
0
+ β
1
X
t-1
+ β
2
X
t-2
+ . . . + β
p
X
t-p
+ u
t
Sẽ là dừng nếu -1 < β
j
< 1 ∀j.
Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) X
t
= 0,6X
t-1
+
ε
t
trong đó X nhận
các giá trị bắt đầu từ quan sát X

0
= 1.
HÌNH 2: DỪNG AR(1)
3. 3: Bước ngẫu nhiên ( Random walk).