Tài liệu TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 1 pptx

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector
{}
zyxzyx
akajaia,a,aa
r
rr
r
++==

{}
zyxzyx
bkbjbib,b,bb
r
rrr
++==

{}
zyxzyx
ckcjcic,c,cc
r
rr
r
++==

•
zzyyxx
bababab.a ++=

r
r

•
()
()
()
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
ba −+−+−==×
rrr
rrr
r
r

•
()
b,acosbab.a
r
r
r
r
r
r
=

•
cba
r
r
r
=×
Phương:
(
)
b,ac
r
r
r
⊥

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:
()
b,asinbac
r
r
r
r
r
=
•
(
)
()
(

)
b.a.cc.a.bcba
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−=××

2. Toán tử nabla
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
z
,
y

,
x

3. Gradient
z
U
k
y
U
j
x
U
iU.gradU
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
r
rr

4. Divergence
z
a
y
a

x
a
a.adiv
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
rr

5. Rotary
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂

∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂

∂
∂
∂
∂
=×∇=
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aarot
x
y
zx
y
z
zyx

rrr
rrr
rr

Số phức
Hàm mũ
()
ysiniycoseee
xiyxz
+==
+

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có
1k2sinik2cose
ik2
=π+π=
π

Suy ra
zik2zik2z
ee.ee ==
ππ+

Công thức Euler
e
iy
= cosy +isiny
Khi đó số phức z = r e
iϕ
= r(cosϕ +isinϕ)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm
chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=
+
′
+
′′
(1)
Trong đó:
a
1
, a
2
và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a
1
, a
2
≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0yayay
21
=
+

′
+
′′
(2)
a
1
, a
2
là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y
1
= y
1
(x) và y
2
= y
2
(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2

(trong đó C
1
, C
2

là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y
1
(x) và y
2
(x) là độc lập tuyến tính khi
(
)
()
const
xy
xy
2
1
≠
, ngược lại là phụ
thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
(x) và y
2
(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2

(trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng
số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y
1
(x) của phương trình vi phân từ trường
cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y
2
(x) của phương trình
đó, độc lập tuyến tính với y
1
(x) bằng cách đặt y
2
(x) = y
1
(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm
chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=
+
′
+
′′
(3)

Trong đó:
a
1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó
của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay
2121
+
=
+
′
+
′′
(4)
Nếu y
1
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
121
=
+
′
+
′′
(5)

và y
2
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
221
=
+
′
+
′′
(6)
thì y(x) = y
1
(x) + y
2
(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0qyypy
=
+
′
+
′′

(7)
p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey =

(8)
Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key =
′
,
kx2
eky =
′′

(9)
Thay (8) và (9) vào (7) ta có
()
0qpkke
2kx
=++

(10)
Vì e
kx
≠ 0 nên
0qpkk
2
=++

(11)
Nếu k thoả mãn (11) thì y = e
kx

là một nghiệm riêng của phương trình vi phân
(7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k
1
và
k
2
như sau
- k
1
và k
2
là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi
phân (7) là
xk
1
1
ey = ,
xk
2
2
ey =
(12)
Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
()
conste
y
y
xkk
2

1
21
≠=
−

(13)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21
eCeCyyy +=+=
(14)
- k
1
và k
2
là 2 số thực trùng nhau: k
1
= k
2

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:
xk
1
1
ey = ,
xk
2

1
xey =
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
(
)
xk
21
xk
2
xk
1
111
exCCxeCeCy +=+=
(15)
- k
1
và k
2
là 2 số phức liên hợp: k
1
= α + iβ và k
2
= α - iβ
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
()
()
xixxi
2
xixxi
1

eeey
eeey
β−αβ−α
•
βαβ+α
•
==
==

(16)
Theo công thức Euler ta có
xsinixcose
xsinixcose
xi
xi
β−β=
β+β=
β−
β

(17)
Suy ra
()
()
xsinixcoseeey
xsinixcoseeey
xxix
2
xxix
1

β−β==
β+β==
αβ−α
•
αβα
•

(18)
Nếu
•
1
y và
•
2
y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
xsine
i2
yy
y
xcose
2
yy
y
x
21
2
x
21
1
β=

+
=
β=
+
=
α
••
α
••

(19)
cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
constxtg
y
y
2
1
≠β=
(20)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
(
)
xsinCxcosCexsineCxcoseCy
21
xx
2
x
1
β+β=β+β=
ααα

(21)