TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 5

1
Chương 4
NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ

4.1. Khái niệm
• Nếu trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có một hay một nhóm vật
thể mà các kích thước của chúng cỡ bước sóng của sóng điện từ thì tại đó
có thể xảy ra hiện tượng sóng phản xạ lại môi trường, sóng khúc xạ truyền
vào các vật thể và sự đi vòng của sóng tới qua các vật thể làm cho c
ấu
trúc của trường sóng tới thay đổi. Hiện tượng trên gọi là sự nhiễu xạ sóng
điện từ tại các vị trí bất đồng nhất của môi trường. Các vật thể này gọi là
vật chướng ngại, sóng tới gọi là sóng sơ cấp, sóng phản xạ gọi là sóng thứ
cấp. Trường điện từ nhiễu xạ toàn phần là trường tổng hợp của các sóng
sơ cấ
p, sóng thứ cấp và sóng khúc xạ
• Mục tiêu: xác định trường thứ cấp hoặc trường toàn phần tại một điểm bất
kì trong không gian môi trường đồng nhất và đẳng hướng tại thời điểm t
bất kì khi đã biết các tham số điện và dạng hình học của vật chướng ngại,
và cấu trúc của trường sóng sơ cấp.
• Vì vật chướng ngại có dạ
ng hhọc rất phức tạp và ở những vị trí khác nhau
so với nguồn sơ cấp, do đó bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể giải
gần đúng. Trong thực tế người ta thường dùng các đại lượng vật lí như tiết
diện phản xạ tương đương, tiết diện hấp thụ toàn phần ... đặc trưng cho sự
nhiễu xạ sóng điện t
ừ.
• Việc giải chính xác bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể thực hiện đối
với vật chướng ngại có dạng hhọc đơn giản như htrụ tròn nhỏ dài vô hạn,

hcầu đặt rất xa nguồn sóng sơ cấp, có nghĩa là cấu trúc của nguồn và
trường sóng sơ cấp không phụ thuộc vào vật chướng ngại.
4.2. Nhiễu xạ của sóng phẳng trên v
ật dẫn trụ tròn dài vô hạn
4.2.1. Bài toán


2
- Giả sử có một vật dẫn điện tốt dạng trụ tròn bán kính a dài vô hạn đặt
trong kk và có sóng phẳng điều hoà truyền tới vuông góc với trục của vật dẫn.
Xác định trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn.
- Chọn hệ toạ độ trụ có trục z trùng với trục của vật dẫn và sóng phẳng điều
hoà truyền dọc theo trục Ox và vuông góc v
ới trục của vật dẫn. Khi đó sự phân
cực của sóng tới có thể xảy ra 2 trường hợp:
t
E
r
// Oz và
t
E
r
⊥ Oz. Nếu sóng tới là
sóng phân cực thẳng bất kì của
t
E
r
thì nó được xem như là tổng hợp của 2 trường
hợp trên. Do đó việc giải bài toán nhiễu xạ sóng điện từ phẳng chỉ cần xét đối
với dạng sóng phẳng phân cực đã nêu.

- Vì sóng tới vuông góc với z nên đối với trường sóng phản xạ ta có:
()
0H,E
z
=
∂
∂
và các phương trình Maxwell có dạng:
mz
0
mr
m
m
0
mz
mr
0
mz
Ei
H
Hr
rr
1
Hi
r
E
Hri
E
•

•
ϕ
•
ϕ
•
•
•
•
ωεε=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ωμμ=
∂

∂
ωμμ−=
ϕ∂
∂

(4.1)
t
E
r
t
H
r
t
E
r
t
Π
r
t
Π
r
t
H
r
Oz//E
t
r
OzE
t
⊥

r
z
x
a2


3
và:
mz
00
mr
m
m
0
mz
mr
0
mz
Hi
E
Er
rr
1
Ei
r
H
Eri
H
•
•

ϕ
•
ϕ
•
•
•
•
μμωεε−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ωεε−=
∂
∂

ωεε=
ϕ∂
∂

(4.2)
Nhận xét:
- Hệ phương trình (4.1) chỉ gồm các thành phần
mz
E
•
,
mr
H
•
,
ϕ
•
m
H
và
mr
E
•
= 0
(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp điện ngang hay từ dọc,
kí hiệu là TE hoặc H, ứng với trường hợp sóng tới phân cực
mt
E
•
// Oz.

- Hệ phương trình (4.2) chỉ gồm các thành phần
mz
H
•
,
mr
E
•
,
ϕ
•
m
E
và
mr
H
•
= 0
(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp từ ngang hay điện dọc,
kí hiệu là TH hoặc E, ứng với trường hợp sóng tới phân cực
mt
E
•
⊥ Oz.
- Hai hệ phương trình (4.1) và (4.2) có dạng tương tự nhau nên chỉ cần xét
một trong 2 hệ phương trình trên là được, cụ thể là hệ phương trình (4.1). Vì vật
dẫn điện tốt có σ rất lớn nên trường sóng khúc xạ hầu như không tồn tại trong
vật dẫn. Để đơn giản, xem vật dẫn có σ → ∞. Đối với sóng tới phân cực có
mt
E

•
//
Oz thì điều kiện biên của phương trình (4.1) như sau:
0EE
zzt
=+
••

(4.3)
tại:
r = a ; 0
≤ ϕ ≤ 2π ; -∞ < z < ∞
- Sóng phản xạ từ bề mặt vật dẫn truyền ra xa vô hạn theo phương r phải có
đặc trưng sóng tại vô cùng, có nghĩa là phải thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô
cùng:


4
0Hik
r
H
lim
0Eik
r
E
lim
r
r
=
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
∞→
∞→
r
r
r
r

(4.4)

Vậy: bài toán nhiễu xạ sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui về
việc xác định nghiệm của phương trình (4.1) và các điều kiện (4.3) và (4.4).
4.2.2. Trường thứ cấp
Để tìm nghiệm của phương trình (4.1) với các điều kiện (4.3) và (4.4), ta
chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng. Đặt các giá trị của
mr
H
•
,
ϕ
•
m
H
từ 2
phương trình đầu vào phương trình cuối của hệ (4.1) ta có:
0Ek
E
r
1
r
E
r
1
r
E
mz
2
2
mz
2

2
mz
2
mz
2
=+
ϕ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•
•••

(4.5)
Nghiệm của (4.5) có dạng:
()
( )
()
()
()
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
∑
∑
∑
∞
−∞=
ϕ
•
ϕ
•
∞
−∞=
ϕ
•
•
∞
−∞=
ϕ
••
∂
∂
−
ωμμ
−=

−
ωμμ
=
−−=
m
im
2
m
2
m
m
m
0
mzt
m
m
im2
m
2
m
m
m
0
mzt
mr
m
im2
m
2
m

m
m
mztmz
e
r
krH
kaH
kaJ
i
r
E
H
ekrH
kaH
kamJ
i
r
E
H
ekrH
kaH
kaJ
iEE

(4.6)
Trong đó:
J
m
(kr) là hàm Bessel cấp m
()

()
krH
2
m
là hàm Hanken cấp m loại 2
4.2.3. Giản đồ hướng
Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thể biểu diễn trực
quan bằng giản đồ hướng như sau:


5
- Tìm cường độ trường thứ cấp ở vùng xa thoả mãn kr >> 1. Áp dụng dạng
tiệm cận của hàm Hanken cấp m loại 2 khi kr → ∞ và bỏ qua số hạng nhỏ bậc
cao
2/3
r
1
so với
2/1
r
1
của (4.6) ta có:
( )
()
()
()
()
()
0H
e

kaH
kaJ
e
kr
2E
H
e
kaH
kaJ
e
kr
2
EE
mr
m
im
2
m
m
4
kri
0
0
mzt
m
m
im
2
m
m

4
kri
mztmz
≈
π
εε
μμ
≈
π
−≈
•
∞
−∞=
ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−−
•
ϕ
•
∞
−∞=
ϕ
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
π
−−
••
∑
∑

(4.7)
Nhận xét:
- Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn chỉ có 2 thành phần
mz
E
•
,
ϕ
•
m
H
vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r.
- Theo (4.7) giản đồ hướng của trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn
dài vô hạn như hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với các tham số ka
khác nhau.
- Từ giản đồ hướng nhận thấy rằng khi ka ≈ 1, a << λ thì trường thứ cấp có
cường độ gần đều theo mọi phương, do đó nó làm méo đều trường sơ cấp theo
m
ọi phương. Khi ka >> 1, a >> λ thì trường thứ cấp bắt đầu xh các cực đại ở
phía đối diện với nguồn sóng tới và làm méo trường sóng tới ở phía này mạnh

hơn. Khi ka → ∞, a → ∞ thì trường thứ cấp có cực đại quay về phía sóng tới và
có một vùng tối ở phía đối diện, cường độ trường ở vùng này bằng 0.
Để đánh giá tính chất của trường bức xạ th
ứ cấp khi trường sơ cấp truyền
qua vật chướng ngại, người ta đưa ra đại lượng diện tích phản xạ tương đương.
Đối với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn thì diện tích phản xạ tương đương tính theo 1
đơn vị chiều dài của htrụ là σ
0
được xác định theo công thức:
tbt0bx
P Πσ=
(4.8)
Trong đó:


6
P
bx
là công suất bức xạ của trường thứ cấp tính theo 1 đơn vị chiều dài
Π
tbt
là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới
2
mzt
0
0
tbt
E
2
1

•
εε
μμ
=Π

(4.9)
∫∫
π
ϕΠ=Π=
2
0
tb
S
tbbx
rddSP

(4.10)
2
mz
0
0
2
m
0
0
mmz
tb
E
1
2

1
H
2
1
H.Ere
2
1
•
ϕ
•
ϕ
•
∗
•
εε
μμ
=
εε
μμ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Π

(4.11)
Từ các biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương σ

0
được tính
theo:
()
()
()
2
m
2
m
m
0
kaH
kaJ
ka4
a4
∑
∞
−∞=
=σ

(4.12)
4.3. Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff
Tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với hàm vô hướng ψ sau
đây:
0k
22
=ψ−ψ∇

(4.13)

tại điểm P bất kì trong thể tích V được giới hạn bởi mặt kín S. Giả thiết rằng
hàm ψ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó liên tục trong V và trên S.
Áp dụng định lí Green ta có:
()
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
φ−
∂
φ∂
ψ=ψ∇φ−φ∇ψ
SV
22
dS
nn
dV

(4.14)
Trong đó hàm φ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó cũng liên tục trong V và
trên S. Chọn hàm φ có dạng:
r
e
ikr−
=φ

(4.15)
Trong đó: r là khoảng cách từ điểm P đến một điểm bất kì trong thể tích V.