Tài liệu Đề thi học sinh giỏi toàn quốc 2002 doc

Năm 2002
Ngày thi thứ nhất
Câu 1: Cho n là một số nguyên dương. Gọi T là tập hợp tất cả các điểm (x,
y) trong mặt phẳng, với x, y là các số nguyên không âm, và x+y < n. Mỗi
điểm của T được tô màu đỏ hoặc xanh. Nếu một điểm (x,y) là màu đỏ, thì
mọi điểm (x', y') của T cũng là màu đỏ, với x' ≤ x và y' ≤ y. Ta định nghĩa
một kiểu tập hợp thứ nhất, gồm n điểm màu xanh, có toạ độ x khác nhau,
và một kiểu tập hợp thứ hai gồm n điểm màu xanh có toạ độ y khác nhau.
Chứng minh rằng số lượng hai kiểu tập hợp trên là bằng nhau.
Câu 2: Gọi BC là đường kính của một đường tròn Γ tâm O. Gọi A là một
điểm trên Γ sao cho . Gọi D là điểm giữa của cung AB (
cung không chứa C). Đường thẳng qua O, song song với DA, cắt đường
thẳng AC tại J. Đường trung trực của OA cắt Γ tại E và F. Chứng minh
rằng J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác CEF.
(hình dưới đây được tôi vẽ thêm để minh hoạ)

Câu 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên m ≥ 3, n ≥ 3 sao cho tồn tại vô số các
số nguyên a để
là một số nguyên.

Ngày thi thứ hai
Câu 4: Cho n là một số nguyên lớn hơn 1, d
1 ,
d
2
, , d
n
là các ước số của n
sao cho
Đặt

a) Chứng minh rằng D< n
2
.
b) Xác định tất cả các số n sao cho D là một ước của n
2
.
Câu 5: Tìm tất cả các hàm số f từ tập hợp các số thực R vào chính nó sao
cho

với mọi x, y, z, t thuộc R.
Câu 6: Cho là các đường tròn bán kính bằng 1 trong mặt
phẳng, với n ≥ 3, có tâm tương ứng là . Giả sử rằng trong các
đường tròn trên, không có đường tròn nào cắt nhiều hơn hai đường tròn
khác. Chứng minh rằng

(Hết)

Năm 2003
Ngày thi thứ nhất ( Tokyo, 13/07/2003)
Câu 1: Cho A là một tập hợp con của tập hợp S= {1,2,3, , 1 000 000} gồm
101 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại 100 phần tử t
i
(i=1,2, 100) của S
sao cho các tập hợp
A
i
= {t
i
+ x | x thuộc A}, i=1,2, 100, là đôi một rời nhau.

Câu 2: Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho

là một số nguyên dương.
Câu 3: Cho một hình lục giác lồi có tính chất sau: Với bất kỳ cặp cạnh đối
diện nào, khoảng cách giữa hai trung điểm của chúng đều bằng tổng
độ dài hai cạnh đó. Chứng minh rằng tất cả các góc của lục giác đó bằng
nhau.
Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.

Ngày thi thứ hai (Tokyo, 14/07/2003)
Câu 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q , R lần lượt là chân của
các đường vuông góc hạ từ đỉnh D xuống các đường thẳng BC, CA và AB.
Chứng minh rằng PQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của hai góc
ABC và ADC gặp nhau trên cạnh AC
Câu 5: Cho n là một số nguyên dương và là các số thực thoả
mãn
a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là một cấp
số cộng
Câu 6: Cho p là một số nguyên tố, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên
tố q, sao cho với mọi số nguyên n, không chia hết cho q.
Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.




Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1994

Dịch sang tiếng Anh

A1. Find all real solutions to:
x
3
+ 3x - 3 + ln(x
2
- x + 1) = y
y
3
+ 3y - 3 + ln(y
2
- y + 1) = z
z
3
+ 3z - 3 + ln(z
2
- z + 1) = x.
A2. ABC is a triangle. Reflect each vertex in the opposite side to get the
triangle A'B'C'. Find a necessary and sufficient condition on ABC for
A'B'C' to be equilateral.
A3. Define the sequence x
0
, x
1
, x
2
, by x
0
= a, where 0 < a < 1, x
n+1
= 4/π

2

(cos
-1
x
n
+ π/2) sin
-1
x
n
. Show that the sequence converges and find its limit.
B1. There are n+1 containers arranged in a circle. One container has n
stones, the others are empty. A move is to choose two containers A and B,
take a stone from A and put it in one of the containers adjacent to B, and to
take a stone from B and put it in one of the containers adjacent to A. We
can take A = B. For which n is it possible by series of moves to end up with
one stone in each container except that which originally held n stones.
B2. S is a sphere center O. G and G' are two perpendicular great circles on
S. Take A, B, C on G and D on G' such that the altitudes of the tetrahedron
ABCD intersect at a point. Find the locus of the intersection.
B3. Do there exist polynomials p(x), q(x), r(x) whose coefficients are
positive integers such that p(x) = (x
2
- 3x + 3) q(x) and q(x) = (x
2
/20 - x/15
+ 1/12) r(x)?


Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1993

Dịch sang tiếng Anh
A1. ABCD is a tetrahedron. The three face angles at A sum to 180
o
, and the
three face angles at B sum to 180
o
. Two of the face angles at C, ∠ACD and
∠BCD, sum to 180
o
. Find the sum of the areas of the four faces in terms of
AC + CB = k and ∠ACB = x.
A2. For any positive integer n, let f(n) be the number of positive divisors of
n which equal ±1 mod 10, and let g(n) be the number of positive divisors of
n which equal ±3 mod 10. Show that f(n) ≥ g(n).
A3. Given a > 0, b > 0, c > 0, define the sequences a, b
n
, c
n
by a
0
= a, b
0
=
b, c
0
= c, a
n+1
= a
n

+ 2/(b
n
+ c
n
), b
n+1
= 2/(c
n
+ a
n
), c
n+1
= c
n
+ 2/(a
n
+ b
n
).
Show that a
n
tends to infinity.
B1. Label the squares of a 1991 x 1992 rectangle (m, n) with 1 ≤ m ≤ 1991
and 1 ≤ n ≤ 1992. We wish to color all the squares red. The first move is to
color red the squares (m, n), (m+1, n+1), (m+2, n+1) for some m < 1990, n
< 1992. Subsequent moves are to color any three (uncolored) squares in the
same row, or to color any three (uncolored) squares in the same column.
Can we color all the squares in this way?
B2. ABCD is a rectangle with center O and angle AOB ≤ 45
o

. Rotate the
rectangle about O through an angle 0 < x < 360
o
. Find x such that the
intersection of the old and new rectangles has the smallest possible area.
B3. Let p(x) be a polynomial with constant term 1 and every coefficient 0
or 1. Show that p(x) does not have any real roots > (1 - √5)/2.