Dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ
ở trường trung học phổ thông theo hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề
Đỗ Thị Bích
Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS. ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh
Năm bảo vệ: 2012
Abstract. Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về
phương pháp dạy học (phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề) PH&GQVĐ và
thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ ở trường (trung học
phổ thông) THPT. Nghiên cứu vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số
phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về
dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ theo hướng
QH&GQVĐ. Tiến hành thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã
được đề xuất.
Keywords. Phương pháp giảng dạy; Giải phương trình; Tốn học; Bất phương trình
vơ tỉ

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển ngày càng nhanh và toàn diện trên tất cả các mặt khoa học,
kinh tế, xã hội… con người đứng trước thách thức là phải làm sao có đủ năng lực để nhận
thức và giải quyết các vấn đề này sinh trong thực tiễn một cách nhanh nhạy và linh hoạt. Để
làm được điều đó thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề (PH&GQVĐ) cần phải được
hình thành và rèn luyện từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.
Trong đường lối xây dựng và phát triển đất nước, Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm
đến sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách hàng đầu. Nghị quyết Hội nghị
lần thứ hai của BCH Trung ương Đảng khoá VIII đã chỉ rõ con đường đổi mới giáo dục và

đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ các phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một
chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học, tự
đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên”.
Tuy đạt được được nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo trong thời kỳ
đổi mới vừa qua, như hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học trong cả nước, nhưng việc đổi
mới phương pháp giáo dục vẫn còn nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trị
chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ một cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét


“dạy kiểu luyện thi” vẫn thường xảy ra. Vì vậy xảy ra tình trạng học trị chỉ tiếp thu kiến thức
do thầy giáo cung cấp một cách thụ động. Trước tình hình đó, trong định hướng phát triển
giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp
tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn
diện trong phát triển giáo dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục Định hình qui mơ giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học,
ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ phát
triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên các cấp”, “Tiếp tục đổi mới
chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có
chất lượng cao, đặc biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”.
Thực hiện theo đường lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành Giáo dục
và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó dạy học PH&GQVĐ
được đề cập và quan tâm như một biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích
cực, độc lập và sáng tạo trong q trình học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp
ứng nhu cầu ngày càng cao của sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước.
Phát huy tính tích cực của học sinh là hướng đổi mới đã được nhiều nhà sư phạm
nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả. Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 của thế kỷ XX
phương pháp này đã được Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong việc dạy học mơn Tốn. Đặc
biệt gần đây, đã có nhiều cơng trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học này theo
những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối tượng học sinh khác nhau. Điển hình là cơng
trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác.
Tuy nhiên ở trường trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phương pháp dạy học

hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng vừa kể trên vào
thực tiễn dạy học mơn Tốn cịn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một
cách cụ thể.
Mặt khác mơn tốn là mơn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng
lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư duy trìu tượng, rèn luyện cho học sinh năng lực
PH&GQVĐ.
Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh cịn rất khó khăn khi giải
các bài tốn về phương trình, bất phương trình vơ tỉ chẳng hạn như: tìm điều kiện để phương
trình có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó…
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải phương trình,
bất phương trình vơ tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề ” cho bản luận văn thạc sĩ chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học (bộ mơn
Tốn) của mình.
2.Mục đích nghiên cứu
Nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất lượng dạy học
một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trong chương trình tốn THPT.
3. Nhiệm nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ.
- Thiết kế các bài toán nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH& GQVĐ giúp học sinh
phát hiện và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ cho học sinh ở trường
THPT.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thịnh Long.
6. Vấn đề nghiên cứu


Làm thế nào để áp dụng được phương pháp dạy học PH&GQVĐ vào dạy một số

phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trong chương trình tốn THPT
7. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy phương trình,
bất phương trình vơ tỉ ở trường THPT nếu khai thác và vận dụng được quy trình dạy học
PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ thì sẽ
phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ mơn Tốn
ở trường THPT.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp và hẹ thống hố các vấn đề lý luận, nghiên
cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu và các cơng trình nghiên cứu khoa học có liên quan
đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung phương trình, bất
phương trình vơ tỉ ở trường THPT hiện nay.
- Thực nghiệm sư phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong 3 chương:
Chương 1, cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về phương
pháp dạy học PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vơ
tỉ ở trường THPT.
Chương 2, vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải
phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về dạy một số phương pháp
giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng QH&GQVĐ.
Chương 3, thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã được đề xuất.
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1. Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học PH&GQVĐ ra đời cách đây hàng trăm năm nhưng dưới nhiều tên gọi khác
nhau.

Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà
khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác
nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thơng. Đặc biệt cơng trình nghiên cứu của Ơkơn,
Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]). “Ở Việt Nam, trong
thời kỳ này phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng kể tới quá
trình đổi mới phương pháp dạy và học ở nhà trường phổ thơng, bởi những cơng trình nghiên
cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([4], [5], [10], [20]).
1.1.2. Những khái niệm cơ bản
a) Vấn đề
Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu
hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:
- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động cịn chưa
được thực
hiện).
- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật tốn để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện
u cầu đặt ra ([19]) đồng thời, theo Ơkơn ([36]), trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết, cái
đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên hệ giữa các yếu tố chưa biết và đã biết đó.
b) Tình huống gợi vấn đề


Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình huống gợi ra
cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng
vượt qua, nhưng khơng phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn, mà
phải trải qua một q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động, điều
chỉnh kiến thức sẵn có.
Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề
- Gợi nhu cầu nhận thức
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân
c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ được hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra
tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh,
lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực tự mình thơng
hiểu và lĩnh hội thơng tin khoa học mới ([18], [31]).
Như vậy theo Ơkơn q trình dạy học này có thể bao gồm các hành động sau:
- Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để giải quyết vấn
đề.
- Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề.
- Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố những
kiến thức đã tiếp thu được.
Tương ứng với các bước hành động đó của giáo viên, hành động học tập cơ bản của
học sinh là: phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống có vấn đề, học sinh độc lập giải
quyết vấn đề dưới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên tưởng nhớ lại liên kết chúng
với nhau để củng cố các kiến thức đã học. Mục đích cuối cùng là học sinh nắm vững được tri
thức và học được cách thức “tự khám phá” tri thức.
d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học PH&GQVĐ có các đặc trưng cơ bản sau:
- Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri
thức dưới dạng có sẵn.
- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức và khả năng
của mình để PH&GQVĐ chứ khơng phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động.
- Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội được kết quả của q trình
giải quyết vấn đề mà cịn ở chỗ học sinh còn được học bản thân việc học.
e, Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Nguyễn Bá Kim [17] đưa ra ba hình thức của dạy học PH&GQVĐ là:
- Tự nghiên cứu vấn đề
- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá trình dạy
học PH&GQVĐ thành 4 bước như sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra, có thể liên
tưởng những cách suy nghĩ tìm tịi, dự đốn.
- Giải thích và chính xác hố tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt
ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp


Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ dưới đây:
Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp
S

Đ
Kết thúc

Bước 3: Trình bày giải pháp
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái qt hố, lật ngược
vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề
Để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề.
Một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập. Chẳng hạn, có thể tạo ra
những tình huống gợi vấn đề theo các cách thơng dụng như sau:
(i) Dự đốn nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính tốn, đo đạc…).
(ii) Lật ngược vấn đề.
(iii) Xem xét sự tương tự.
(iv) Khái quát hóa.
(v) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải.
(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải.
(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.
c) Những ưu, nhược điểm của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề
Ưu điểm
Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học tích cực. Nó phát huy
tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Phương pháp dạy học này phù hợp với tư
tưởng hiện đại về đổi mới mục tiêu và phương pháp dạy học cũng rất phù hợp với yêu cầu
đổi mới của thực tiễn, là xây dựng những con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc
sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển
bền vững và nhanh chóng của đất nước.


Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp với nhiều hình thức tổ chức lớp học
một cách đa dạng và phong phú lôi cuốn học sinh tham gia cùng tập thể, động não, tranh
luận, dưới sự dẫn dắt gợi mở của giáo viên như thảo luận nhóm, báo cáo và trình bày.
Nhược điểm
Phương pháp dạy học PH&GQVĐ cịn nhiều hạn chế về mặt khách quan về thời gian,
giáo viên và học sinh.
- Thời gian: Dạy học PH&GQVĐ tốn nhiều thời gian ở trên lớp và ở nhà, đòi hỏi giáo

viên và học sinh phải kiên trì và nỗ lực khơng ngừng.
- Giáo viên phải có trình độ cũng như xử lý các tình huống sư phạm linh hoạt.
- Học sinh: Phải có trình độ tư duy nhất định.
d, Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Khi vận dụng phương pháp PH&GQVĐ cần chú ý những điểm sau:
- Yêu cầu
giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức cơng phu (bởi vì, để đạt được kết quả cao của
phương pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài tốn, nhiều tình
huống có vấn đề… cho nhiều đối tượng học sinh).
- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đơng, tạo tình huống có vấn đề
một cách thật khéo léo; nếu khơng thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi một số lượng lớn học sinh.
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong mơn Tốn và định hướng đổi mới
phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường THPT hiện nay
a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong mơn Tốn
Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong mơn Tốn, theo Phạm Văn Hồn, Trần Thúc
Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa là phải tổ chức việc dạy học tốn sao cho các em ln
đứng trước những tình huống có vấn đề mang tính chất tốn học phải giải quyết, phải ln
ln tìm tịi và phát hiện ra vấn đề sáng tạo và những con đường để giải quyết những vấn đề
đó (tự rút ra cơng thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến
thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật tốn giải bài tốn điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn
những bài tốn lí thuyết hay thực hành…). Kết quả là học sinh lĩnh hội được kiến thức, kỹ
năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá.
Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong mơn Tốn cần phải chú ý hình thành và rèn
luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hoá, đặc biệt
hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá.
Khi dạy theo phương pháp PH&GQVĐ cũng cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học
toán là dạy các hoạt động toán học”.
b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Như đã trình bày ở trên với tư tưởng chủ đạo và cũng là mục đích của q trình dạy học
là tích cực hoá hoạt động học tập của người học, khi tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự tìm

hiểu, tự PH&GQVĐ trên cơ sở là họ phải tự giác và được tự do, được tạo khả năng và được
tạo điều kiện chủ động trong hoạt động đó.
Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học cần phải tham khảo các chọn lọc
kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các hướng đổi mới của họ. Chẳng hạn như
thực hiện các phương pháp đổi mới dạy học sau:
- Dạy học PH&GQVĐ.
- Dạy học hợp tác.
- Dạy học sử dụng phiếu học tập.
- Dạy học theo tư tưởng của lý thuyết kiến tạo.
- Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành tựu của
cơng nghề tin học nói chung.
Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp
dạy học theo hướng kể trên. Sử dụng phương pháp dạy học này khơng địi hỏi phải có sự
thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay.


Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể
trong dạy học tốn.
Vì vậy, có thể coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những hướng quan
trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay.
1.2. Dạy học nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng THPT
Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình vơ tỉ trong chương trình tốn
THPT
- Ở THCS học sinh đã được biết đến khái niệm căn thức, một số phương trình vơ tỉ
đơn giản.
- Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh được học các phương trình, bất phương
trình vơ tỉ dạng

f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  và các

phương trình, bất phương trình chứa căn quy về bậc hai. Nhưng ở lớp 10 học sinh chỉ giải
được các phương trình, bất phương trình đó bằng phương pháp biến đổi tương đương, biến
đổi hệ quả, điều kiện cần và đủ. Đến lớp 11 và 12, nhờ có có cơng cụ lượng giác, đạo hàm,
hình học, tính liên tục, đơn điệu của hàm số, sử dụng các định lý Roll, Lagrange,…làm cho
các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ đa dạng và phong phú hơn.
CHƢƠNG 2
DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT HIỆN VÀ
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 . Định hƣớng chung
Chương này trình bày một số phương pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình
vơ tỉ theo hướng PH&GQVĐ. Trong từng chủ đề việc PH&GQVĐ được gợi mở nảy sinh, bổ
sung theo trình tự phát triển của các tình huống khai thác bài tốn. Trong mỗi chủ đề, phương
pháp dạy học được xây dựng theo các bước:
- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề: trước hết chúng tơi lựa chọn và đưa ra tình huống có vấn
đề, sau đó hướng dẫn học sinh từng bước giải quyết vấn đề.
- Đề xuất và trình bày giải pháp: Từ những tình huống đã nêu giáo viên hướng dẫn học
sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu sâu giải pháp: gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng cách: từ mồt số ví
dụ, một số dạng tốn liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá đề xuất phương pháp giải
quyết từng dạng tốn đó cũng có khi là củng cố cách giải quyết vấn đề đã nêu.
- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng: các bài tập ở đây giúp học sinh tự
luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn đề đã có ở trên đồng thời PH&GQVĐ mới nảy
sinh.
Trong quá trình xây dựng và lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu tham
khảo, một số vấn đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây theo mức độ từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp nhưng phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, rèn cho
học sinh kĩ năng phát hiện vận dụng phương pháp giải quyết vấn đề. Qua đó học sinh dần
hình thành và phát triển kĩ năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, củng cố kiến thức rèn
luyện kĩ năng giải toán

2.2. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Phương pháp biến đổi tương đương nhằm đưa các phương trình, bất phương trình về
các dạng tương tự, nhưng đơn giản hơn và dễ giải được. Khi sử dụng phương pháp này học
sinh cần phải được rèn luyện kĩ năng nhận dạng và thực hiện được các phép biến đổi tương
đương, đồng thời củng cố kiến thức về các tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức tương
đương, điều kiện để hai phương trình, bất phương trình tương đương và cách giải phương
trình tương đương.


Cách giải một số dạng phương trình, bất phương trình bằng phương pháp biến đổi tương
đương:

 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
 f ( x)  g 2 ( x)
2, f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
1,

 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  g ( x).
  f ( x)  0

  g ( x)  0
4, f ( x)  g ( x), 
  g ( x)  0

  f ( x)  g 2 ( x).


 f ( x)  0

5, f ( x)  g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x).

6, 3 f ( x)  3 g ( x)  3 h( x)
3,

 f ( x)  g ( x)  3 3 f ( x).g ( x)( 3 f ( x)  3 g ( x))  h( x)
Thay 3 f ( x)  3 g ( x) 
Ta được phương trình

3

h( x )

f ( x)  g ( x)  3 3 f ( x).g ( x).h( x)  h( x) (*).
Chú ý:
- Phương trình (*) là phương trình hệ quả giải xong (*) nhớ kiểm tra lại xem có thoả
mãn hay khơng.
- Học sinh áp dụng tương tự cho trường hợp dấu ,  đối với bất phương trình.
2.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Có nhiều trường hợp khi giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà biến đổi tương
đương ta sẽ ra một phương trình, bất phương trình phức tạp, có thể là bậc q cao,…Khi đó
ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ nhằm đưa các phương trình, bất phương trình về
phương trình, bất phương trình đơn giản và dễ dàng giải quyết hơn. Có 3 bước cơ bản trong
phương pháp này:
Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ.
Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải phương

trình vừa tạo ra, đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm. Phương
pháp dạy học PH&GQVĐ có thể được áp dụng một cách hiệu quả trong nội dung dạy học
này.
2.3.1.Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai một ẩn


Dạng 1: Phương trình dạng Af ( x)+B

f ( x)  C  0 , đặt

f ( x)  t (t  0) (điều

kiện tối thiểu của t ) đưa phương trình về dạng At  Bt  C  0 .
2

f ( x)  g ( x), f ( x). g ( x)

Dạng 2: Nếu phương trình có chứa

f ( x)  g ( x)  t 

ta đặt

f ( x) . g ( x) = t 2  k  h( x) (trong đó k  const) rồi

đưa phương trình về dạng At  Bt  C  0 .
Dạng 3: Nếu phương trình có chứa dạng
2

ax 2  bx  c1 ; ax 2  bx  c2 ; ax 2  bx  c3
đặt ax  bx  t (hoặc ax  bx  c1  t ) được phương trình
2

2

t  c1 ; t  c2 ; t  c3 .

Dạng 4: Phương trình dạng a n f ( x)  b n g ( x)  c n f ( x).g ( x)
2

2

xét f ( x)  0 ,
nếu f ( x)  0 chia cả hai vế cho n f ( x) rồi đặt
2

n

g ( x)
 t đưa phương trình về dạng
f ( x)

At 2  Bt  C  0 .
Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình căn chứa tham số khi đặt ẩn phụ nhất
thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ có thể sử dụng
định lí, đạo hàm, bất đẳng thức, dấu tam thức bậc hai…
2.3.2.Phương pháp đặt ẩn phụ khơng triệt để
Cách giải phương trình dạng af ( x)  g ( x)

f ( x)  h( x)  0

f ( x)  t đưa phương trình về ẩn t : at 2  g ( x)t  h( x)  0
Giải phương trình ẩn t xem x như là tham số (phương trình chứa cả x và t nên gọi dạng
Đặt

này là đặt ẩn phụ không triệt để).
2.3.3.Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
- Dạng 1: Cách giải phương trình dạng F ( f ( x), n f ( x)  a , m b  f ( x))  c

f ( x)  a  u và m b  f ( x)  v
 f (u, v)  c
Ta đựơc hệ phương trình  n
m
u  v  a  b
Giải hệ được u, v từ đó tìm được x .
Chú ý: Chỉ cần tìm x bằng cách giải một trong hai phương trình
n f ( x)  a  u hoặc m b  f ( x)  v .
Đặt

n

- Dạng 2: Cách giải phương trình dạng ( f ( x))  b  a
n

n

af ( x)  b

t n  b  ay


Đặt t  f ( x), y  af ( x)  b ta được hệ 
n
 y  b  at.

n

2.4. Phƣơng pháp lƣợng giác hoá
Đối với một số phương trình chứa căn thức, ta có thể chuyển chúng sang bài toán
lượng giác mà ta gọi là phương pháp lượng giác hoá. Việc lượng giác hoá một bài toán làm
cho việc giải bài tốn đó trở nên đơn giản hơn.


- Dạng 1: Nếu phương trình, bất phương trình chứa

a 2  x 2 , x   a; a 

   
; .
 2 2


Thì ta có thể đặt x  acost (0  t   ) hoặc x  a sin t , t  
- Dạng 1: Nếu bài tốn có chứa

x 2  a 2 thì có thể đặt

a
   
, t   ;  \ 0

sin t
 2 2
a
 
hoặc x 
, t  0;  \   .
cost
2
x

- Dạng 1: Tuỳ vào mỗi phương trình có chứa các biểu thức:

1
1
2
(hoặc 1  cot t 
)
2
cos t
sin 2 t
4 x3  3x tương ứng với công thức 4cos3t  3cost = cos3t
2x x  y
2 x 2  1;
;
mà chọn các biến đặt sao cho thích hợp .
1  x 2 1  xy

1  x 2 tương ứng với 1  tan 2 t 

Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hố gồm:

B1: Tìm điều kiện của x  D (nếu cần).
B2: Đặt x   (t ) chuyển điều kiện của x về điều kiện tương ứng của t  D1 .
B3: Chuyển phương trình, bất phương trình về phương trình bất trình lượng giác mới.
B4: Giải phương trình bất phương trình lưọng giác mới thu được.
B5: Quay về bài toán đại số ban đầu.
2.5. Phƣơng pháp hàm số
Để giải một số phương trình, bất phương trình vơ tỉ ta có thể khảo sát sự biến thiên của
hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số làm cho cách giải bài toán trở
nên đơn giản hơn.
Một số cách giải phương trình, bất phương trình dựa vào tính chất của hàm số:
- Dạng 1: Hàm số y  f ( x) xác định trên D  R và đơn điệu trên D
Giả sử x0  D : f ( x0 )  m thì phương trình f ( x0 )  m có nghiệm duy nhất x  x0 .

- Dạng 2: Nếu y  f ( x) xác định, liên tục và đơn điệu trên D  R thì phương trình
f ( x)  f (t )  x  t .
- Dạng 3: Cho y  f ( x) và y  g ( x) là hai hàm số xác định trên D  R và biến thiên
ngược nhau trên đó
Giả sử x0  D : f ( x0 )  g ( x0 ), thì phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm duy nhất

x  x0 .

- Dạng 4: Nếu f đồng biến trên D  D f ( D f là tập xác định của f ) thì trên D ta có

f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ;    D,

f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ;  )  D,
f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0 )  D,
f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0   D.

- Dạng 5: Nếu hàm số nghịch biến trên D  D f thì trên D ta có

f ( x)  f ( x0 )  x   ; x0   D,
f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0   D,
f ( x)  f ( x0 )  x  ( x0 ; )  D,

f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ; )  D.
Chú ý: Sử dụng nhận xét (4,5 ) vào để giải bất phương trình
2.6. Phƣơng pháp đánh giá
Trong khi giải một số phương trình vơ tỉ ta có thể sử dụng việc đánh giá hai vế của
phương trình với cùng một số để dẫn đến điều kiện xảy ra của phương trình đó và tìm ra
nghiệm của chúng. Các cơng cụ thường sử dụng trong quá trình đánh giá mỗi vế thường là
các bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopski, các hằng đẳng thức đáng nhớ,…Trong khi đánh giá
cần chú ý đến trường hợp dấu bằng xảy ra khi sử dụng bất đẳng thức.
Phương pháp đánh giá này học sinh cần phải được củng cố kiến thức đồng thời rèn
khả năng nhận dạng và sử dụng bất đẳng thức hay hằng đẳng thức thích hợp vào mỗi bài
tốn.
2
2
- Dạng 1: : Ta có f ( x)  g ( x)  0 (1)

 g ( x)  0
 f ( x)  0.

(1)  

VT  K
VT  K
 PT  
VP  K

VP  K .

- Dạng 2: Dùng bất đẳng thức ta chứng minh được 
- Dạng 3: Dùng bất đẳng thức ta chứng minh được

VT  VP(VT  VP)

chỉ ra dấu “=” xảy ra khi sử dụng bất đẳng thức
 PT  VT  VP .
- Dạng 4: f ( x)  A, f ( x) xác định trên D , x0  D : f ( x0 )  A
chứng minh

x  D : x  x0  f ( x)  A( f ( x)  A),

x  D : x  x0  f ( x)  A( f ( x)  A)
Phương trình có nghiệm duy nhất x  x0 .
2.7. Phƣơng pháp hình học
Trong thực tế, khi giải một số phương trình vơ tỉ ta không thể sử dụng được các
phương pháp giải đại số hoặc việc sử dụng các phương pháp đó làm cho bài tốn phức tạp
hơn khi đó ta có thể sử dụng phương pháp hình học để giải chúng làm cho việc giải bài toán
trở nên đơn giản hơn. Ta sử dụng các kiến thức về vecto, tính chất, các phép toán vecto được
vận dụng vào để giải các phương trình đó





 

- Dạng 1: Sử dụng v  u  v  u (1)

Trong đó:



u   x1 , y1  , v   x2 , y2 


u  x12  y12 ; v  x2 2  y2 2


 
uv 

 x1  x2    y1  y2 
2

 

dấu “=” xảy ra khi u ; v cùng hướng 





 

2

x1 y1


 0.
x2 y2

- Dạng 2: Sử dụng u  v  u  v

 

dấu “=” xảy ra khi u ; v cùng hướng 



 

x1 y1

 k  0.
x2 y2

- Dạng 3: u.v  u . v

 

dấu “=” xảy ra khi u ; v cùng hướng.

2

- Dạng 4: u  0





dấu “=” xảy ra khi u  0 .
2.8. Kết luận chƣơng 2
Trong chương 2 của luận văn, tác giả đã trình bày một số phương pháp giải phương
trình, bất phương trình vơ tỉ theo hướng PH&GQVĐ. Thông qua việc vận dụng phương pháp
PH&GQVĐ vào dạy các nội dung này, cùng các bài tập vận dụng giúp học sinh nhớ kỹ hơn
và sâu sắc hơn các phương pháp giải, đồng thời giúp học sinh bước đầu có thể nhận dạng
được các dạng bài toán cụ thể và cách giải chúng.
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm tra tính thực tiễn của đề tài qua thực tế
giảng dạy và học tập ở trường phổ. Đồng thời thực nghiệm sư phạm minh hoạ và kiểm tra
bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc vận dụng phương pháp PH &GQVĐ vào dạy
một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ.
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
Nội dung thực nghiệm là dạy giáo án đã soạn.
Sau khi dạy, cho HS ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng làm bài kiểm tra tự
luận trong thời gian 60 phúp.
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
- Chuẩn bị giáo án thực nghiệm.
- Giáo viên dạy thực nghiệm: Đỗ Thị Bích.
- Tiến hành thực nghiệm: Dạy thực nghiệm một số phương pháp đã trình bày trong
chương 2 tại lớp 12A1 (nội dung tiết dạy được trình bày cụ thể trong giáo án). Sau đó cho HS
làm bài kiểm tra dưói dạng tự luận ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá kết quả.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
Thời gian thực nghiệm: 15/03/2012 đến 14/04/2012.

3.2.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm
Chúng tôi thiết kế giáo án thực nghiệm dạy giải phương trình, bất phương trình bằng
đặt ẩn phụ theo hướng PH&GQVĐ.
3.3. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm


Để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm, tác giả soạn một đề kiểm tra với thời gian
làm bài 45 phút, cho hai lớp cùng làm trong cùng một điều kiện tổ chức lớp như nhau, và
đánh giá kết quả của cả hai lớp.
Bài
Lớp

Lớp thực nghiệm
Lớp đối chứng

1

43/45
95,5%
38/45
84,%

2

45/45
100%
40/45
87,7%

3

42/45
93,3%
9/45
20%

*) Ý kiến đánh giá của giáo viên dự giờ và phản hồi của học sinh qua tiết dạy thực
nghiệm.
Chúng tôi đã biên soạn các phiếu đánh giá và phiếu hỏi để lấy ý kiến của giáo viên và
học sinh. Kết quả được thống kê như dưới đây:
- Kết quả đánh giá của các giáo viên dự giờ thực nghiệm sư phạm:
+ Chất lượng bài soạn: tốt: 98%; khá: 2%; trung bình: 0%; không tốt: 0%.
+ Về đổi mới PPDH: rất đổi mới: 98%; tương đối đổi mới: 2%; có đổi mới:0%; bình
thường: 0%.
+ Về tính khả thi: rất khả thi:98%; tương đối khả thi: 2%; bình thường: 0%; khơng
khả thi: 0%.
+ Hiệu quả của giờ dạy thực nghiệm: rất hiệu quả:99%; khá hiệu quả: 1%; bình
thường: 0%; khơng hiệu quả: 0%.
- Ý kiến của học sinh về giờ dạy thực nghiệm:
Giờ dạy đã tạo được khơng khí học tập sơi nổi, HS rất hứng thú, tích cực, thi đua tìm
hướng giải cho bài toán. Hiệu quả rất rõ là các em rất chắc chắn trong việc giải các dạng toán
mà các em đã tìm ra phương pháp giải. Biết cách vận dụng thích hợp các phương pháp vào
từng bài tốn cụ thể.
3.4. Kết luận chƣơng 3
Thực nghiệm sư phạm tuy chỉ được tiến hành trên phạm vi chưa rộng, song kết quả
thu được cho thấy: ở lớp thực nghiệm, hầu hết các HS đều nắm chắc các phương pháp giải và
nhanh chóng vận dụng được các phương pháp giải thích hợp vào mỗi bài toán cụ thể. Biết
phân dạng các bài tập có cung phương pháp giải vào một nhóm và kết quả bài kiểm tra ở lớp
thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Ở lớp đối chứng, việc HS lựa chọn được phương pháp
thích hợp để giải từng bài tập cụ thể thì khó khăn hơn, rất lâu các em mới có thể xác định

được phuơng pháp giải cho một bài toán.
Theo đánh giá của các giáo viên dự giờ và ý kiến phản hồi của HS: các giờ dạy này đã
thể hiện được tinh thần đổi mới PPDH, các giáo án thực nghiệm sư phạm có tính khả thi và
hiệu quả.


KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài: “Dạy một số phương pháp giải phương
trình, bất phương trình vơ tỉ ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải
quyết vấn đề”, một số kết quả chính đã thu được như sau:
1. Luận văn đã trình bày tổng quan những vấn đề cơ bản về cơ sở lý luận của phương
pháp dạy học PH&GQVĐ, bao gồm: khái niệm về vấn đề, tình huống gợi vấn đề, phương
pháp dạy học PH&GQVĐ, các bước thực hiện dạy học PH&GQVĐ, và kỹ thuật tạo tình
huống gợi vấn đề…
2. Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và tổng kết kinh nghiệm của các nhà sư phạm, dựa vào
nghiên cứu thực tiễn của quá trình dạy nội dung phương tình, bất phương trình vơ tỉ, luận văn đã
trình bày một số phương pháp cụ thể dạy học giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trên cơ sở
các bước dạy học theo phương pháp PH &GQVĐ. 7 phương pháp đã được trình bày với những
phân tích cụ thể, bài tốn áp dụng và gợi ý dẫn dắt lời giải trong quá trình dạy học.
3. Kết quả của thực nghiệm sư phạm đã phản ánh việc vận dụng phương pháp
PH&GQVĐ vào thực tiễn quá trình dạy học là có tính khả thi và hiệu quả.
2. Khuyến nghị
Qua nghiên cứu đề tài và quá trình thực nghiệm, để việc vận dụng phương pháp
PH&GQVĐ vào dạy học môn Toán ở trương THPT, rèn luyện năng lực phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề cho học sinh một cách hiệu quả, chúng tơi xin có một số khuyến nghị sau:
Một là, vận dụng phương pháp PH &GQVĐ để xây dựng nội dung các chủ đề cho
việc giảng dạy bộ mơn Tốn THPT.
Hai là, các trường THPT nên thường xuyên tổ chức các hội thảo về giảng dạy, học tập
và trao đổi kinh nghiệm biên soạn tài liệu giảng dạy theo hướng đổi mới phương pháp dạy

học, trong đó có phương pháp dạy học PH &GQVĐ.

References
1. Bộ giáo dục và đào tạo (2005), Tài liệu bồi dưỡng: "Nâng cao năng lực cho giáo viên THPT
về
đổi
mới
PPDH
Toán
học".
Viện
Nghiên
cứu
Sư
phạm
ĐHSP Hà Nội.
2. Nguyễn Hữu Châu, Phương pháp dạy học mơn Tốn, tập bài giảng dành cho học viên cao
học, Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
3. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và
quá trình dạy học. Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải quyết vấn đề trong mơn Tốn. NCGD
số 9 - 1995.
5. Nguyễn Hữu Châu, Giải quyết vấn đề và một cách phân loại vấn đề trong mơn Tốn ở
Trường phổ thơng. TCKHGD số 54 - 1996.
6. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu tồn quốc lần thứ IX. Nxb Chính trị
quốc gia, Hà Nội, 2001.
7. Lê Hồng Đức (Chủ biên) (2005), Các phương pháp giải phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ. Nxb Hà Nội.
8. Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc - Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán
dại số. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010.

9. Nguyễn Sơn Hà, Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện vàGQVĐ trong dạy học bất
đẳng thức cho HS khá giỏi. ĐHSP HN, 2007.
10. Phạm Văn Hoàn (Chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình,
Giáo dục học mơn Tốn. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1981.


11. Trần Cẩm Huyền (2010), Vận dụng PPDH phát hiện vàGQVĐ vào dạy học Hệ thức lượng
trong tam giác, luận văn Thạc sĩ K16. ĐHSP ĐH Thái Nguyên..
12. Nguyễn Thị Phƣơng Hoa, Lý luận dạy học hiện đại, tập bài giảng dành cho học viên cao
học. Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010.
13. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy mơn Tốn. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2003.
14. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phương pháp dạy học đại cương mơn tốn.
Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2006.
15. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thuỵ, Phương pháp dạy học mơn Tốn. Nxb Giáo dục, Hà
Nội, 1992.
16. Nguyễn Bá Kim, Quy trình phát hiện vàGQVĐ trong mơn Tốn. Tạp chí Giáo dục số 38,
tháng 9/2002.
17. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội,
2008.
18. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn (Phần
một - Phần đại cương). NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001.
19. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Đinh Nho Chƣơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dƣơng
Thụy, Nguyễn Văn Thƣờng, Phương pháp dạy học mơn Tốn (Phần hai - Dạy học những
nội dung cơ bản). NXB Giáo dục, Hà Nội, 1994.
20. Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Nguyễn Sỹ Đức, Tính giải quyết vấn đề trong
tồn bộ q trình dạy học. TCKHGD số 65 – 1998.
21. Nguyễn Văn Mậu ( Chủ biên) (2009), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi
THPT. Nxb Giáo dục.
22. Hoàng Lê Minh (2007), “Dạy học mơn Tốn trong trường THPT đáp ứng mục tiêu giáo
dục trong thế kỷ XXI”, Tạp chí Khoa học trường ĐHSP Hà Nội, số 3, tr 9 – 14.

23. Phan Thị Kim Ngân (2011), Vận dụng phương pháp dạy học Đàm thoại phát hiện vào
dạy học Dãy số và Giới hạn của Dãy số lớp 11 THPT, luận văn Thạc sĩ, K19. ĐHSP Hà Nội..
24. Nguyễn Thị Kim Nhung, Vận dung phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
kết hợp sử dung phần mềm GSP trong dạy học một só chủ đề của Hình học khơng gian lớp
11. ĐHSP HN, 2004.
25. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn ở trường phổ thông. Nhà
xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội.
26. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể mơn Tốn. Nhà xuất
bản Đại học sư phạm, Hà Nội.
27. Bùi Văn Nghị, Nguyễn Thị Thanh Bình, 2008, Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
bài "định lí Ta lét trong tam giác"(HH 8). Tạp chí Giáo dục số 199, tháng 10/2008, trang 31.
28. Bùi Văn Nghị, Khamkhong Sibuarkham (2010), Hệ thống câu hỏi trong phương pháp
đàm thoại phát hiện. Tạp chí Giáo dục số 230, tháng 1/2010, trang 35.
29. Nguyễn Quý Sửu, Dạy học "Tọa độ trong không gian" bằng phương pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề. K3 ĐHGD ĐHQGHN, 2009.
30. Nguyễn Thị Trà, Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông theo hướng sử dụng
phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. ĐH Huế, 2007.
31. I. F. Kharlamơp, Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào?. NXB Giáo dục, Hà
Nội, 1978.
32. I. Ia.Lerner, Dạy học nêu vấn đề. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997.
33. G.Polya (1997), Giải bài Toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
34. G.Polya: Toán học và những suy luận có lý. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1995.
35. G.Polya: Sáng tạo toán học. NXB Giáo dục, Hà nội, 1997.
36. V. Ơkơn, Những cơ sở của việc dạy học nêu vấn đề (sách bồi dưỡng giáo viên). NXB
Giáo dục, Hà Nội, 19