dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ THỊ BÍCH

DẠY GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINH

HÀ NỘI – 2012

1


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ..................................................................................................... i
Danh mục viết tắt ...........................................................................................ii
Mục lục ...........................................................................................................
iii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................5
1.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.............................5

1.1.1. Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề ....................5
1.1.2. Những khái niệm cơ bản ......................................................................7
1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ...............................
11
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong mơn Tốn và định
hướng đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường THPT hiện nay

15

1.2. Dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT

17

Chƣơng 2: DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT
18
HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .............................................................
2.1 . Định hướng chung ..................................................................................
18
2.2. Phương pháp biến đổi tương đương ........................................................
19
2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ ..........................................................................
30
2.3.1. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình
bậc hai một ẩn ................................................................................................
30
2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để ...............................................
40
2.3.3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình ......................................................
42

2.4. Phương pháp lượng giác hoá...................................................................
48
2.5. Phương pháp hàm số ...............................................................................
56
2.6. Phương pháp đánh giá ..........................................................................
63
2.7. Phương pháp hình học ............................................................................
70

iii


Kết luận chương 2 ..........................................................................................
75
76
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm..............................................
76
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ....................................................
76
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...........................................................
76
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...........................................................
76
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm............................................................................
76
3.2.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................
76
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................................
87

Kết luận chương 3

.....................................................................................
91

92
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..............................................................
1. Kết luận ......................................................................................................
92
2. Khuyến nghị ...............................................................................................
92
93
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PPDH

Phương pháp dạy học

PPPH&GQVĐ

Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

THPT

Trung học phổ thông

tmdk

Thoả mãn điều kiện

ktmdk

Không thoả mãn điều kiện

PT

Phươg trình

BPT

Bất phương trình

PTVN

Phương trình vơ nghiệm

ii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển ngày càng nhanh và toàn diện trên tất cả các mặt
khoa học, kinh tế, xã hội… con ngƣời đứng trƣớc thách thức là phải làm sao
có đủ năng lực để nhận thức và giải quyết các vấn đề này sinh trong thực tiễn
một cách nhanh nhạy và linh hoạt. Để làm đƣợc điều đó thì năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề (PH&GQVĐ) cần phải đƣợc hình thành và rèn luyện từ
khi còn ngồi trên ghế nhà trƣờng.
Trong đƣờng lối xây dựng và phát triển đất nƣớc, Đảng và Nhà nƣớc ta
rất quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách
hàng đầu. Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai của BCH Trung ƣơng Đảng khoá
VIII đã chỉ rõ con đƣờng đổi mới giáo dục và đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ
các phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học,
tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên”.
Tuy đạt đƣợc đƣợc nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo
trong thời kỳ đổi mới vừa qua, nhƣ hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học
trong cả nƣớc, nhƣng việc đổi mới phƣơng pháp giáo dục vẫn cịn nhiều bất
cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp
nhận, ghi nhớ một cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện
thi” vẫn thƣờng xảy ra. Vì vậy xảy ra tình trạng học trị chỉ tiếp thu kiến thức
do thầy giáo cung cấp một cách thụ động. Trƣớc tình hình đó, trong định
hƣớng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc
lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc
sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển giáo
dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui
mơ giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học,
ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân

1


lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên
các cấp”, “Tiếp tục đổi mới chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy
và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt trong
ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”.
Thực hiện theo đƣờng lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây
ngành Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phƣơng pháp dạy
học, trong đó dạy học PH&GQVĐ đƣợc đề cập và quan tâm nhƣ một biện
pháp hữu hiệu để ngƣời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo
trong q trình học tập, góp phần nâng cao chất lƣợng giáo dục, đáp ứng nhu
cầu ngày càng cao của sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Phát huy tính tích cực của học sinh là hƣớng đổi mới đã đƣợc nhiều nhà
sƣ phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả. Ở Việt Nam, từ cuối
thập kỷ 60 của thế kỷ XX phƣơng pháp này đã đƣợc Phạm Văn Hoàn rất quan
tâm trong việc dạy học mơn Tốn. Đặc biệt gần đây, đã có nhiều cơng trình
nghiên cứu áp dụng phƣơng pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề
nội dung cho những đối tƣợng học sinh khác nhau. Điển hình là cơng trình
nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác
giả khác. Tuy nhiên ở trƣờng trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các
phƣơng pháp dạy học hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phƣơng pháp
dạy học theo hƣớng vừa kể trên vào thực tiễn dạy học mơn Tốn cịn nhiều
hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách cụ thể.
Mặt khác mơn tốn là mơn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát
triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tƣ duy trìu tƣợng, rèn
luyện cho học sinh năng lực PH&GQVĐ.
Thực tế dạy và học Toán ở trƣờng THPT cho thấy học sinh cịn rất khó
khăn khi giải các bài tốn về phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ chẳng hạn

nhƣ: tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thoả mãn
một điều kiện nào đó…

2


Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải
phương trình, bất phương trình vơ tỉ ở trường trung học phổ thông theo
hướng phát hiện và giải quyết vấn đề ” cho bản luận văn thạc sĩ chuyên
ngành Lí luận và phƣơng pháp dạy học (bộ mơn Tốn) của mình.
2.Mục đích nghiên cứu
Nhằm vận dụng phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất
lƣợng dạy học một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ
trong chƣơng trình tốn THPT.
3. Nhiệm nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ.
- Thiết kế các bài toán nhằm vận dụng phƣơng pháp dạy học PH& GQVĐ
giúp học sinh phát hiện và đƣa ra phƣơng pháp giải cho từng dạng toán.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài
trong dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ cho học
sinh ở trƣờng THPT.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A1, 12A2 trƣờng THPT Thịnh Long.
6. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để áp dụng đƣợc phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ vào
dạy một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ trong
chƣơng trình tốn THPT
7. Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận của phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT nếu khai thác và vận
dụng đƣợc quy trình dạy học PH&GQVĐ trong dạy một số phƣơng pháp giải

3


phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ thì sẽ phát huy tối đa tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ mơn Tốn ở trƣờng THPT.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp và hẹ thống hố các vấn đề lý
luận, nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu và các cơng trình
nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung
phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng THPT hiện nay.
- Thực nghiệm sƣ phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1, cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan
về phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phƣơng
trình, bất phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng THPT.
Chƣơng 2, vận dụng phƣơng pháp PH&GQVĐ trong dạy một số
phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, trình bày nghiên cứu và đề
xuất về dạy một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ
theo hƣớng QH&GQVĐ.
Chƣơng 3, thực nghiệm sƣ phạm kiểm chứng các phƣơng pháp đã đƣợc
đề xuất.

4

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1. Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Về mặt thuật ngữ: Trong hệ thống các phƣơng pháp dạy học không
truyền thống (tức là những phƣơng pháp dạy học hiện đại) có một phƣơng
pháp dạy học, có tác giả gọi là “dạy học nêu vấn đề”; có tài liệu viết là “dạy
học giải quyết vấn đề”. Vì vậy cần có sự giải thích về khái niệm này. Theo
Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” có nhƣợc điểm:
Một là, nó có thể dẫn tới suy nghĩ lầm rằng vấn đề thầy giáo nêu theo ý
mình chứ không phải nảy sinh từ lôgic bên trong của tình huống.
Hai là, nó có thể hiểu là kiểu dạy học này chỉ dừng nêu ra vấn đề chứ
khơng nói rõ vai trò của học sinh trong việc giải quyết vấn đề.
Thuật ngữ “dạy học giải quyết vấn đề” khắc phục đƣợc nhƣợc điểm
thứ hai nhƣng vẫn còn mắc nhƣợc điểm thứ nhất. Thuật ngữ “Phát hiện và
giải quyết vấn đề” khắc phục cả hai nhƣợc điểm trên nhằm nêu rõ hàm ý giúp
học sinh PH&GQVĐ. Thuật ngữ “Phát hiện và giải quyết vấn đề” nói lên bản
chất của phƣơng pháp dạy học này rõ hơn so với những thuật ngữ khác. Vì
vậy chúng tơi đồng ý với thuật ngữ này nhƣ Nguyễn Bá Kim, đó là “Phƣơng
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề”.
- Theo Lerner thì thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chƣa đƣợc bao
năm, việc nghiên cứu tƣ tƣởng dạy học nêu vấn đề thật rầm rộ đƣợc bắt đầu
chƣa lâu lắm, nhƣng các tƣ tƣởng đó, dƣới những tên gọi khác nhau, đã tồn
tại trong giáo dục học hàng trăm năm nay rồi. Sớm hơn nữa, các hiện tƣợng
“nêu vấn đề” đã đƣợc Xôcrat (46- 399 trƣớc công nguyên) thực hiện trong các
cuộc tọa đàm. Trong khi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trƣớc mà để
mọi ngƣời tìm ra cánh giải quyết.

5


Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phƣơng pháp dạy học này
đƣợc nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm
rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thơng.
Đặc biệt cơng trình nghiên cứu của Ơkơn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein,
Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]). “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này
phƣơng pháp dạy học cũng có những ảnh hƣởng và tác động đáng kể tới quá
trình đổi mới phƣơng pháp dạy và học ở nhà trƣờng phổ thơng, bởi những
cơng trình nghiên cứu của Phạm Văn Hồn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu
Châu”([4], [5], [10], [20]). Đặc biệt trong những năm gần đây, trƣớc những
thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối cảnh của cuộc cách
mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà trƣờng là phải đào
tạo cho ngƣời học sinh, lực lƣợng lao động nòng cốt trong tƣơng lai, có năng
lực PH&GQVĐ mới một cách độc lập. Nhƣ vậy, PH&GQVĐ không chỉ phụ
thuộc phạm trù phƣơng pháp dạy học, mà cịn trở thành một mục đích của q
trình dạy học ở trƣờng, đƣợc cụ thể hoá thành một thành tố của mục tiêu là
năng lực giải quyết vấn đề, giúp con ngƣời thích ứng đƣợc với sự phát triển
của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học tập của học sinh.
Định hƣớng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung ƣơng Đảng
khoá IX ([6]), đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung, phương
pháp giảng dạy, phương thức đào tạo,… nâng cao trình độ giáo viên các cấp ”.
Những điểm nói trên chính là nhấn mạnh đến năng lực giải quyết vấn đề, phù
hợp với xu thế hiện đại về cải cách phƣơng pháp dạy học của thế giới.
- Tóm lại: PH&GQVĐ là một phƣơng pháp dạy học có hiệu quả và
đƣợc coi nhƣ là một trong những hƣớng ƣu tiên trong định hƣớng về đổi mới
phƣơng pháp dạy học.
- Năng lực phát hiện và giải quyết vần đề là một trong những năng lực
then chốt, cần thiết cho mọi học sinh, đó là mục tiêu của q trình dạy học.

6


1.1.2. Những khái niệm cơ bản
a) Vấn đề
Một vấn đề (đối với ngƣời học) đƣợc biểu thị bởi một hệ thống những
mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:
- Câu hỏi còn chƣa đƣợc giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chƣa
đƣợc thực hiện).
- Chƣa có một phƣơng pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi
hoặc thực hiện u cầu đặt ra ([19]) đồng thời, theo Ơkơn ([36]), trong mỗi
vấn đề phải có cái chƣa biết, cái đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi
mối liên hệ giữa các yếu tố chƣa biết và đã biết đó.
Ví dụ: Giải các phƣơng trình
1)

x  3  3x  1  2 x  2 x  2.

2) 3 12x-12  3 2 x  3  3 x .

đƣợc đƣa ra ngay sau khi học sinh mới học xong định nghĩa PT vô tỉ là một
vấn đề, nhƣng nếu bài tốn đó đƣợc cho sau khi học sinh đã đƣợc biết các
phƣơng pháp giải PT, BPT vô tỉ rồi thì nó khơng cịn là một vấn đề nữa.
b) Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình
huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ
thấy cần thiết và có khả năng vƣợt qua, nhƣng không phải là ngay tức khắc
nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn, mà phải trải qua một q trình tích
cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tƣợng hoạt động, điều chỉnh kiến thức

sẵn có.
Nhƣ vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề
Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận
thức, chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong tƣ duy hoặc hành động mà
vốn hiểu biết sẵn có chƣa đủ để vƣợt qua. Nói cách khác phải tồn tại một vấn

7


đề, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chƣa biết và cũng
chƣa có trong tay thuật giải để tìm phần tử đó.
- Gợi nhu cầu nhận thức
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhƣng nếu
học sinh khơng thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết thì họ cũng không sẵn
sàng giải quyết vấn đề. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chƣa có ngay lời
giải, nhƣng có sẵn một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra, và
nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề.
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân
Hay nói cách khác, trong tình huống gợi vấn đề chỉ nên chứa đựng khó
khăn đúng mức; học sinh sẽ sẵn sàng vƣợt khó và tự giải quyết vấn đề “nếu
khó khăn đúng mức” đƣợc thể hiện ở hai mặt sau:
- Một mặt, không để cho học sinh phát hiện ngay ra lời giải mà không
cần tới sự nỗ lực của tƣ duy.
- Mặt khác, tình huống gợi vấn đề phải cho trƣớc những dữ kiện nào đó
để làm tiền đề xuất phát cho sự tìm tịi của học sinh.
c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học PH&GQVĐ đƣợc hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao
gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh
nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức

tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực
của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực tự mình thơng hiểu và lĩnh hội
thơng tin khoa học mới ([18], [31]).
Nhƣ vậy theo Ơkơn q trình dạy học này có thể bao gồm các hành động
sau:
- Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để
giải quyết vấn đề.
- Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề.

8


- Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá,
củng cố những kiến thức đã tiếp thu đƣợc.
Tƣơng ứng với các bƣớc hành động đó của giáo viên, hành động học
tập cơ bản của học sinh là: phát hiện đƣợc vấn đề nảy sinh trong tình huống
có vấn đề, học sinh độc lập giải quyết vấn đề dƣới sự điều khiển của giáo
viên, thực hiện sự liên tƣởng nhớ lại liên kết chúng với nhau để củng cố các
kiến thức đã học. Mục đích cuối cùng là học sinh nắm vững đƣợc tri thức và
học đƣợc cách thức “tự khám phá” tri thức.
d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học PH&GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống vấn đề,
điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực để giải quyết
vấn đề và thơng qua đó mà lĩnh hội đƣợc tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt
đƣợc những mục đích học tập khác. Dạy học PH&GQVĐ có các đặc trƣng cơ
bản sau:
- Học sinh đƣợc đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là đƣợc
thông báo tri thức dƣới dạng có sẵn.
- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức
và khả năng của mình để PH&GQVĐ chứ khơng phải chỉ nghe thầy giảng

một cách thụ động.
- Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội đƣợc kết quả
của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh cịn đƣợc học bản thân
việc học.
e, Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Tùy theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình PH&GQVĐ,
ngƣời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức
khác nhau của dạy học PH&GQVĐ. Nguyễn Bá Kim [17] đƣa ra ba hình thức
của dạy học PH&GQVĐ là:

9


- Tự nghiên cứu vấn đề
Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của học sinh đƣợc phát huy
cao độ. Giáo viên chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, ngƣời học tự PH&GQVĐ
đó. Nhƣ vậy trong hình thức này học sinh độc lập nghiên cứu vấn đề và thực
hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu.
- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong vấn đáp PH&GQVĐ, học sinh làm việc khơng hồn tồn độc lập
mà có sự gợi ý, dẫn dắt của giáo viên khi cần thiết. Phƣơng tiện để thực hiện
hình thức này là những câu hỏi của giáo viên và những câu trả lời hoặc hành
động đáp lại của học sinh. Nhƣ vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của
giáo viên và học sinh dƣới hình thức vấn đáp.
Với hình thức này, ta thấy dạy học PH&GQVĐ có phần giống với
phƣơng pháp vấn đáp. Nét quan trọng của phƣơng pháp PH&GQVĐ không
phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong một giờ học nào đó,
giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi nhƣng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện
tri thức đã học thì vẫn khơng phải là dạy học PH&GQVĐ. Ngƣợc lại, trong một
số trƣờng hợp, việc PH&GQVĐ của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình

huống gợi vấn đề chứ không phải nhờ những câu hỏi giáo viên đặt ra.
- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn hai hình thức
trên. Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân giáo viên
phát hiện vấn đề và trình bày q trình suy nghĩ giải quyết (chứ khơng phải
chỉ đơn thuần nêu lời giải). Trong qua trình đó có việc tìm tịi dự đốn, có lúc
thành cơng, có khi thất bại, phải điều chỉnh phƣơng hƣớng mới đi đến kết
quả. Nhƣ vậy, tri thức đƣợc trình bày khơng phải dƣới dạng có sẵn mà trong
q trình ngƣời ta khám phá ra chúng, q trình này là một sự mơ phỏng và
rút gọn quá trình khám phá thật sự. Cấp độ này đƣợc dùng nhiều hơn ở bậc
THPT và Đại học.

10


1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hồ nhập vào q trình
nghiên cứu vấn đề là điều quan trọng nhất của phƣơng pháp dạy học
PH&GQVĐ. Q trình này có thể chia thành các bƣớc dƣới đây, trong đó
bƣớc nào, khâu nào do học trị tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo
dõi thầy trình bày là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp.
Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia
q trình dạy học PH&GQVĐ thành 4 bƣớc nhƣ sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thƣờng là do thầy tạo
ra, có thể liên tƣởng những cách suy nghĩ tìm tịi, dự đốn.
- Giải thích và chính xác hố tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng
vấn đề đƣợc đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.

Bước 2: Tìm giải pháp
-Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thƣờng đƣợc thực hiện theo
sơ đồ dƣới đây:

Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết
Hình thành giải pháp

Giải pháp
S

Đ
Kết thúc

11


Giải thích sơ đồ:
Khi phân tích vấn đề, cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và
cái phải tìm. Trong mơn Tốn, ta thƣờng dựa vào những tri thức toán đã học,
liên tƣởng tới những định nghĩa và những định lí thích hợp.
Khi đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu
nhập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức, thƣờng hay sử dụng những phƣơng
pháp, kỹ thuật nhận thức, tìm đốn, suy luận nhƣ: hƣớng đích, quy lạ về quen,
đặc biệt hóa, chuyển qua những trƣờng hợp suy biến, tƣơng tự hoá, khái quát
hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngƣợc tiến, suy
ngƣợc lùi... Phƣơng hƣớng đƣợc đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể
phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hƣớng khi cần thiết. Khâu này có
thể đƣợc làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hƣớng đi hợp lý.

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề là hình
thành đƣợc một giải pháp.
Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay khơng.
Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu khơng đúng thì lặp lại từ
khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm đƣợc giải pháp đúng.
- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải
pháp khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp
lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra, ngƣời học trình bày lại toàn bộ từ
việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì
có thể khơng cần phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các
chuẩn mực đề ra trong nhà trƣờng nhƣ ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài
toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện
luận đối với bài tốn dựng hình,...

12


Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tƣơng tự, khái qt
hố, lật ngƣợc vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
Về dạy học PH&GQVĐ, nhiều tài liệu hiện nay chỉ nói tới việc nêu vấn
đề. Nhƣ vậy là chƣa đầy đủ. Học trị cịn phải tham gia vào q trình giải
quyết vấn đề nữa.
b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề
Để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất là tạo ra tình huống gợi
vấn đề. Một số giáo viên nghĩ rằng dạy học PH&GQVĐ tuy hay nhƣng có vẻ
ít cơ hội thực hiện do khó tạo đƣợc nhiều tình huống gợi vấn đề. Để xố bỏ ấn

tƣợng khơng đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ
biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập. Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi
vấn đề theo các cách thông dụng nhƣ sau:
(i) Dự đốn nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo
đạc…).
(ii) Lật ngƣợc vấn đề.
(iii) Xem xét sự tƣơng tự.
Xuất phát từ kiến thức đã biết để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng
cách tƣơng tự hóa.
(iv) Khái quát hóa.
(v) Giải bài tập mà ngƣời học chƣa biết thuật giải.
Ngƣời học có thể đứng trƣớc một tình huống gợi vấn đề nếu đƣợc yêu
cầu giải một bài tập mà ngƣời đó chƣa biết thuật giải bài tốn.
(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải.
Giáo viên đƣa ra một lời giải (có thật hay hƣ cấu) để học sinh phát hiện
sai lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề.
(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.

13


Sau khi thấy đƣợc một sai lầm khi giải toán, học sinh cũng đƣợc đặt vào
một tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sữa
chữa sai lầm.
c)Những ưu, nhược điểm của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề
Ưu điểm
Phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ là một phƣơng pháp dạy học tích
cực. Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Phƣơng pháp
dạy học này phù hợp với tƣ tƣởng hiện đại về đổi mới mục tiêu và phƣơng
pháp dạy học cũng rất phù hợp với yêu cầu đổi mới của thực tiễn, là xây dựng

những con ngƣời biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống phù hợp với hệ
giá trị chuẩn mực, những con ngƣời thực sự là động lực của phát triển bền
vững và nhanh chóng của đất nƣớc.
Phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp với nhiều hình thức tổ
chức lớp học một cách đa dạng và phong phú lôi cuốn học sinh tham gia cùng
tập thể, động não, tranh luận, dƣới sự dẫn dắt gợi mở của giáo viên nhƣ thảo
luận nhóm, báo cáo và trình bày.
Nhược điểm
Phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ cịn nhiều hạn chế về mặt khách
quan về thời gian, giáo viên và học sinh.
- Thời gian: Dạy học PH&GQVĐ tốn nhiều thời gian ở trên lớp và ở
nhà, đòi hỏi giáo viên và học sinh phải kiên trì và nỗ lực khơng ngừng.
- Giáo viên phải có trình độ cũng nhƣ xử lý các tình huống sƣ phạm
linh hoạt.
- Học sinh: Phải có trình độ tƣ duy nhất định.
d, Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết
vấn đề
Dạy học PH&GQVĐ là điều kiện là phƣơng tiện tốt để đạt đƣợc mục
đích quan trọng của nhà trƣờng trong quá trình đào tạo nguồn nhân lực trẻ.

14


Nhƣng thật là khơng đúng nếu vì thế mà kết luận rằng tất cả mọi phƣơng pháp
dạy và học đều phải trở thành phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ.
Một điều rõ ràng là khơng có một phƣơng pháp dạy học nào là vạn
năng. Dạy học PH&GQVĐ là một trong những phƣơng pháp dạy và học hiện
đại, nó địi hỏi phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy
học, nội dung dạy học, đối tƣợng dạy học và môi trƣờng sƣ phạm cụ thể.
Khi vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học

cần chú ý:
- Yêu cầu giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức cơng phu (bởi
vì, để đạt đƣợc kết quả cao của phƣơng pháp dạy học này, giáo viên phải
chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho
nhiều đối tƣợng học sinh).
- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đơng, tạo tình
huống có vấn đề một cách thật khéo léo; nếu khơng thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi
một số lƣợng lớn học sinh.
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Tốn và định
hướng đổi mới phương pháp dạy học mơn Toán ở trường THPT hiện nay
a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong mơn Tốn
Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong mơn Tốn, theo Phạm Văn
Hồn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa là phải tổ chức việc
dạy học toán sao cho các em ln đứng trƣớc những tình huống có vấn đề
mang tính chất tốn học phải giải quyết, phải ln ln tìm tịi và phát hiện
ra vấn đề sáng tạo và những con đƣờng để giải quyết những vấn đề đó (tự rút
ra cơng thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần
kiến thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật tốn giải bài tốn điển hình, tự tìm ra
cách giải hay và gọn những bài tốn lí thuyết hay thực hành…). Kết quả là
học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự
khám phá.

15


Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong mơn Tốn cần phải chú ý hình
thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy cơ bản, đặc biệt là các
thao tác tƣơng tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá.
Khi dạy theo phƣơng pháp PH&GQVĐ cũng cần chú ý vận dụng quan
điểm “dạy học toán là dạy các hoạt động toán học”.

b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Nhƣ đã trình bày ở trên với tƣ tƣởng chủ đạo và cũng là mục đích của
quá trình dạy học là tích cực hố hoạt động học tập của ngƣời học, khi tổ
chức, hƣớng dẫn cho học sinh tự tìm hiểu, tự PH&GQVĐ trên cơ sở là họ
phải tự giác và đƣợc tự do, đƣợc tạo khả năng và đƣợc tạo điều kiện chủ động
trong hoạt động đó.
Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phƣơng pháp dạy học cần phải tham
khảo các chọn lọc kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các
hƣớng đổi mới của họ. Chẳng hạn nhƣ thực hiện các phƣơng pháp đổi mới
dạy học sau:
- Dạy học PH&GQVĐ.
- Dạy học hợp tác.
- Dạy học sử dụng phiếu học tập.
- Dạy học theo tƣ tƣởng của lý thuyết kiến tạo.
- Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng
các thành tựu của cơng nghề tin học nói chung.
Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới
phƣơng pháp dạy học theo hƣớng kể trên. Sử dụng phƣơng pháp dạy học này
khơng địi hỏi phải có sự thay đổi lớn về cơ chế trƣờng lớp, bài học, cơ sở vật
chất hay trình độ giáo viên hiện nay. Phƣơng pháp dạy học này cũng tỏ ra phù
hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học tốn.
Vì vậy, có thể coi phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những
hƣớng quan trọng để đổi mới phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta hiện nay.

16


Luận văn của chúng tôi thực hiện theo hƣớng này, với việc áp dụng tinh
thần của phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ để dạy học nội dung phƣơng trình
vơ tỉ ở trƣờng THPT.

1.2. Dạy học nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng
THPT
Vị trí, nội dung phần phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ trong chƣơng
trình tốn THPT
- Ở THCS học sinh đã đƣợc biết đến khái niệm căn thức, một số
phƣơng trình vơ tỉ đơn giản.
- Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh đƣợc học các phƣơng trình, bất phƣơng
trình vơ tỉ dạng

f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  và các

phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa căn quy về bậc hai. Nhƣng ở lớp 10 học
sinh chỉ giải đƣợc các phƣơng trình, bất phƣơng trình đó bằng phƣơng pháp
biến đổi tƣơng đƣơng, biến đổi hệ quả, điều kiện cần và đủ. Đến lớp 11 và 12,
nhờ có có cơng cụ lƣợng giác, đạo hàm, hình học, tính liên tục, đơn điệu của
hàm số, sử dụng các định lý Roll, Lagrange,…làm cho các phƣơng pháp giải
phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ đa dạng và phong phú hơn.

17


CHƢƠNG 2
DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT HIỆN VÀ
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 . Định hƣớng chung
Chƣơng này trình bày một số phƣơng pháp dạy học giải phƣơng trình, bất
phƣơng trình vơ tỉ theo hƣớng PH&GQVĐ. Trong từng chủ đề việc
PH&GQVĐ đƣợc gợi mở nảy sinh, bổ sung theo trình tự phát triển của các
tình huống khai thác bài tốn. Trong mỗi chủ đề, phƣơng pháp dạy học đƣợc

xây dựng theo các bƣớc:
- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề: trƣớc hết chúng tơi lựa chọn và đƣa ra
tình huống có vấn đề, sau đó hƣớng dẫn học sinh từng bƣớc giải quyết vấn đề.
- Đề xuất và trình bày giải pháp: Từ những tình huống đã nêu giáo viên
hƣớng dẫn học sinh phát hiện và đƣa ra phƣơng pháp giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu sâu giải pháp: gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng
cách: từ mồt số ví dụ, một số dạng tốn liên quan u cầu học sinh khái quát
hoá đề xuất phƣơng pháp giải quyết từng dạng tốn đó cũng có khi là củng cố
cách giải quyết vấn đề đã nêu.
- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng: các bài tập ở đây giúp
học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn đề đã có ở trên đồng
thời PH&GQVĐ mới nảy sinh.
Trong quá trình xây dựng và lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào
tài liệu tham khảo, một số vấn đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần
đây theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhƣng phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh, rèn cho học sinh kĩ năng phát hiện vận dụng
phƣơng pháp giải quyết vấn đề. Qua đó học sinh dần hình thành và phát triển
kĩ năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, củng cố kiến thức rèn luyện kĩ
năng giải toán

18


2.2. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng nhằm đƣa các phƣơng trình, bất
phƣơng trình về các dạng tƣơng tự, nhƣng đơn giản hơn và dễ giải đƣợc. Khi
sử dụng phƣơng pháp này học sinh cần phải đƣợc rèn luyện kĩ năng nhận
dạng và thực hiện đƣợc các phép biến đổi tƣơng đƣơng, đồng thời củng cố
kiến thức về các tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức tƣơng đƣơng, điều
kiện để hai phƣơng trình, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng và cách giải phƣơng

trình tƣơng đƣơng. Phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ có thể đƣợc áp dụng
một cách hiệu quả trong nội dung dạy học này.
Theo các bƣớc của dạy học PH&GQVĐ, trong các phần dƣới đây
chúng tơi sẽ thiết kế các hoạt động với các ví dụ để thực hiện áp dụng dạy học
PH&GQVĐ đối với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng.
HOẠT ĐỘNG 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Dƣới đây là các bài tốn giải phƣơng trình, bất phƣơng trình có thể
đƣợc sử dụng cho hoạt động gợi vấn đề và phát hiện vấn đề:
1. 2 x  1  3 x  1 (1)
2. 2 x 2  6 x  1  x  2 (2)
3.

x 2  1  x  2  3

4.

x  3  3x  1  2 x  2 x  2  4 

5. 12 x  12  3 2 x  3  3 x  5 

Bài toán 1. Giải phƣơng trình sau:
1. 2 x  1  3x  1 (1)

Dẫn dắt lời giải:
(?) Có nhận xét gì vế trái vế, phải của phƣơng trình (1)?
(!) Vế trái ln khơng âm, vế phải có thể âm, có thể khơng âm.
(?) Muốn giải đƣợc phƣơng trình ta phải làm gì?

19

(!) Phải khử đƣợc dấu căn bậc hai
(?) Làm thế nào để khử căn bậc hai?
(!) Bình phƣơng: ( A )2  A
(?) Vậy ta có thể làm thế nào để khử căn bậc hai của phƣơng trình?
(!) Bình phƣơng hai vế
(?) Nếu vế phải của phƣơng trình mà âm thì phƣơng trình thế nào
(!) Phƣơng trình vơ nghiệm
(?) Vế phải khơng âm ta có nhận xét gì về phƣơng trình?
(!) Hai vế đều khơng âm
(?) Nêu các tính chất của đẳng thức tƣơng đƣơng
(!) a  b  a 2n  b2n (n  N * ) ; a, b cùng dấu
a  b  a 2n1  b2n1 (a, b)

(?)

A  B?

A  0 mà

(!) vì

A  B nên ta có cách biến đổi phƣơng trình trên nhƣ sau

B  0

AB
2
2
( A )  B



 Từ đây giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách giải phƣơng trình:

f ( x)  g ( x)?

(!)

2 x  1  3x  1

Ta thấy vế trái luôn không âm do đó nếu vế phải âm thì phƣơng trình vơ
nghiệm
Vậy ta chỉ cần giải phƣơng trình khi 3x  1  0  x  

1
3

Khi đó hai vế đều khơng âm ta bình phƣơng hai vế ta đƣợc phƣơng trình
tƣơng đƣơng 2 x  1  (3x  1)2 nếu x 

1
là nghiệm của phƣơng trình này thì
3

20


2 x  1  (3x  1)2  2 x  1  0 do vậy ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức

dƣới dấu căn

3x  1  0
2 x  1  3x  1  
2
2 x  1  (3 x  1)
1

x   3
vậy phƣơng trình
1


4
4
x  


  x    x  0, x 
3
9
9
9 x 2  4 x  0 

x  0



Bài toán 2. Giải bất phƣơng trình sau:
2. 2 x 2  6 x  1  x  2 (2)

Dẫn dắt lời giải:

(?) Có nhận xét gì về vế trái vế phải của bất phƣơng trình (2)?
(!) Vế trái ln khơng âm, vế phải có thể âm, có thể khơng âm
(?) Nếu vế phải nhỏ hơn hoặc bằng khơng thì bất phƣơng trình thế nào?
(!) Vô nghiệm
(?) Để xảy ra bất đẳng thức A  B phải có điều kiện gì?
(!)

B  0 vì

A 0

(?) Để giải bất phƣơng trình đã cho làm nhƣ thế nào?
(!) Phải làm mất căn, sử dụng bất đẳng thức a  b  0  a 2n  b2n
từ bài toán trên giáo viên yêu cầu học sinh nêu phƣơng pháp giải bất
phƣơng trình

f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0

(!) f ( x)  g ( x)   g ( x)  0

2
2
( f ( x))  g ( x)

(?) Tại sao phải có điều kiện f ( x)  0 ?

21