Bài giảng Chương 45 Sản phẩm phái sinh Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Chương 4-5
Mơ hình nhị phân và BlackScholes-Merton


Mơ hình định giá quyền chọn
• Là một cơng thức toán học sử dụng các yếu tố quyết
định giá quyền chọn làm nhập liệu để cho ra giá trị
hợp lý về mặt lý thuyết của quyền chọn


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Điều kiện và giả định:
▪ Một thời kỳ, hai kết quả
▪ S = giá cổ phiếu hiện tại
▪ u = 1 + tỉ suất sinh lợi khi giá cổ phiếu tăng
▪ d = 1 + tỉ suất sinh lợi khi giá cổ phiếu giảm
▪ r = lãi suất phi rủi ro
• Giá trị quyền chọn mua kiểu Âu khi đáo hạn một thời
kỳ sau:
▪ Cu = Max(0,Su - X) hoặc
▪ Cd = Max(0,Sd - X)
• Chú ý: d < 1 + r < u để ngăn arbitrage.


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Lập danh mục phòng ngừa gồm số cổ phiếu h và bán
một quyền chọn mua. Giá trị hiện tại của danh mục:
▪ V = hS - C

• Giá trị của danh mục khi đáo hạn:
▪ Vu = hSu - Cu
▪ Vd = hSd - Cd
▪ Nếu danh mục khơng có rủi ro, hai biểu thức trên
phải bằng nhau, tức Vu = Vd. Từ đó giá trị của h (tỉ
số phịng ngừa) là:


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ

C u − Cd
h=
Su − Sd

• Danh mục này phi rủi ro nên tỉ suất sinh lợi phải bằng
lãi suất phi rủi ro. Do đó:
▪ V(1+r) = Vu (hay Vd)
• Thế V & Vu:
▪ (hS - C)(1+r) = hSu - Cu


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Giá trị trên lý thuyết của quyền chọn:
pC u + (1 − p)C d
C=
1+ r
trong đó :
p = (1 + r - d)/(u - d)

Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Ví dụ:
▪ S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = 0.07
▪ Tìm giá trị của Cu, Cd, h và p:
o Cu = Max[0, 100(1.25) - 100]
= Max[0, 125 - 100] = 25
o Cd = Max[0, 100(0.80) - 100] = Max(0, 80 - 100) = 0
o h = (25 - 0)/(125 - 80) = 0.556
o p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = 0.6

▪ Tính C:
C=

(0.6)25 + (0.4)0
= 14.02
1.07


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Danh mục phịng ngừa:


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Khi quyền chọn mua bị định giá cao:
▪ Giả sử quyền chọn mua được bán với giá $15.
▪ Số tiền đầu tư là 556($100) - 1000($15)
= $40600
▪ Tiền thu về được vẫn là $44500, tức tỉ suất sinh lợi
là 9.6%.
▪ Mọi người đều tìm cách tận dụng điều này, hạ giá

quyền chọn mua xuống còn $14.02.


Mơ hình nhị phân 1 thời kỳ
• Khi quyền chọn mua bị định giá thấp:
▪ Giá sử quyền chọn mua được bán với giá $13.
▪ Bán khống 556 cổ phiếu với giá $100 và mua 1000
quyền chọn mua với giá $13. Từ đó thu được $42600.
▪ Khi đáo hạn, ta phải trả $44500.
▪ Cái này tương tự như khi bạn vay $42600 và trả
$44500, tức lãi suất 4.46%, thấp hơn lãi suất phi rủi
ro.
▪ Các nhà đầu tư tìm cách tận dụng điều này, từ đó làm
tăng giá quyền chọn mua lên đến $14.02


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ
• Ta thêm vào một thời kỳ giá cổ phiếu nữa. Từ đó giá
cổ phiếu có thể là Su2, Sud hoặc Sd2
• Quyền chọn đáo hạn sau hai thời kỳ có thể có một
trong ba giá trị sau đây:
C u 2 = Max[0, Su 2 − X]
C ud = Max[0, Sud − X]
C d 2 = Max[0, Sd 2 − X]


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ

• Giá quyền chọn mua thời kỳ thứ nhất:
Cu =
Cd =

pC u 2 + (1 − p)C ud
1+ r
pC du + (1 − p)C d 2
1+ r


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ
• Giá trị quyền chọn mua hiện tại:
C=

pC u + (1 − p)C d
1+ r

hay
C=

p 2 C u 2 + 2p(1 − p)C ud + (1 − p) 2 C d 2
(1 + r) 2

• Chỉ số phịng ngừa:
C u 2 − C ud
C ud − Cd 2
C u − Cd
h=
, hu = 2
, hd=

Su − Sd
Su − Sud
Sud − Sd 2


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ
• Ví dụ:
▪ Su2 = 100(1.25)2 = 156.25
▪ Sud = 100(1.25)(0.80) = 100
▪ Sd2 = 100(0.80)2 = 64
▪ Các giá quyền chọn mua được tính như sau:
C u 2 = Max[0, Su 2 − X] = Max[0,156.25 − 100] = 56.25
C ud = Max[0, Sud − X] = Max[0,100 − 100] = 0.0
C d 2 = Max[0, Sd 2 − X] = Max[0,64 − 100] = 0.0


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ

Cu =
Cd =

pC u 2 + (1 − p)C ud
1+ r
pCdu + (1 − p)Cd2
1+ r

(0.6)56.25+(0.4)0.0
= 31.54
1.07
(0.6)0.0 + (0.4)0.0

=
= 0.0
1.07

=

pC u + (1 − p)C d
C=
1+ r
(0.6)31.54 + (0.4)0.0
=
= 17.69
1.07


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ
• Danh mục phịng ngừa:


Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ
• Quyền chọn mua bị định giá sai trong trường hợp hai
thời kỳ:
▪ Nếu quyền chọn bị định giá thấp, ta mua nó và bán
khống cổ phiếu, giữ mức phịng ngừa chính xác qua cả
hai thời kỳ. Từ đó ta vay với lãi suất thấp hơn lãi suất
phi rủi ro.
▪ Nếu quyền chọn bị định giá cao, ta bán nó và mua cổ
phiếu, giữ mức phịng ngừa chính xác qua cả hai thời
kỳ. Từ đó ta hưởng lãi suất cao hơn lãi suất phi rủi ro.
▪ Xem tóm tắt kết quả arbitrage 2 thời kỳ ở Hình 4.1.

Mơ hình nhị phân 2 thời kỳ


Mở rộng mơ hình nhị phân
• Tính giá quyền chọn bán (thơng tin như ví dụ quyền
chọn mua 2 thời kỳ):
Pu 2 = Max(0, X − Su 2 ) = Max(0,100 − 156.25) = 0.0
Pud = Max(0, X − Sud) = Max(0,100 − 100) = 0.0
Pd 2 = Max(0, X − Sd 2 ) = Max(0,100 − 64) = 36.0
pPu 2 + (1 − p)Pud

(0.6)0 + (0.4)0
Pu =
=
=0
1+ r
1.07
pPdu + (1 − p)Pd 2 (0.6)0.0 + (0.4)36
Pd =
=
= 13.46
1+ r
1.07


Mở rộng mơ hình nhị phân
• Giá trị quyền chọn bán hiện tại:
pPu + (1 − p)Pd

P=
1+ r
(0.6)0 + (0.4)13.46
=
= 5.03
1.07


Mở rộng mơ hình nhị phân
• Quyền chọn bán kiểu Mỹ và thực hiện sớm:
▪ Trong ví dụ vừa rồi, khi giá cổ phiếu là 80, quyền
chọn bán cao giá $20 (>$13.46) nên ta thực hiện
sớm và thế $20 vào Pd:
(0.6)0.0 + (0.4)20
P=
= 7.48
1.07


Mở rộng mơ hình nhị phân
• Cổ phiếu chia cổ tức theo tỉ lệ  cho mỗi thời kỳ:


Mở rộng mơ hình nhị phân
• Cổ tức là một khoản tiền cố định: