Hàm bessel và một số ứng dụng trong vật lí

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
----------------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ
Đề tài:
HÀM BESSEL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ
Người hướng dẫn:
ThS. Đặng Văn Hậu
Người thực hiện:
Phan Thế Hiếu

Đà Nẵng, tháng 5/2013

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

MỤC LỤC
MỤC LỤC ..................................................................................................................1

A. MỞ ĐẦU ...............................................................................................................3
1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu ...........................................................................................3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...........................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................4
6. Những đóng góp của khóa luận ...........................................................................4
7. Cấu trúc và nội dung khóa luận ...........................................................................4
B. NỘI DUNG ............................................................................................................5
CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL ..................................................................................5
1.1 Hàm Gamma ...................................................................................................5
1.2. Phương trình và hàm Bessel ..........................................................................6
1.3. Các tính chất truy hồi của hàm Bessel ........................................................10
1.4. Nghiệm của hàm Bessel ..............................................................................12
1.5. Tính trực giao của hàm Bessel ....................................................................13
1.6. Khai triển một hàm bất kì thành hàm Bessel ..............................................15
1.7. Một số trường hợp riêng của hàm Bessel ....................................................16
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM BESSEL TRONG VẬT LÍ ...21
2.1. Bài tốn dao động nhỏ của sợi dây treo thẳng đứng ở một đầu ..................21
2.2 Bài tốn dao động của màng trịn tự do, biên gắn chặt ................................25
2.3. Bài toán truyền nhiệt ...................................................................................35
2.4. Điện tử trong dây lượng tử hình trụ ............................................................41
2.5. Truyền sóng trong sợi quang .......................................................................43
C. KẾT LUẬN .........................................................................................................50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................51

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy
luật, các mối quan hệ đó thể hiện ở các phương trình tốn học và việc giải các
phương trình đó giúp ta tìm được các quy luật của tự nhiên. Những phương pháp
tốn học dùng trong vật lí học rất phong phú, đa dạng mà một trong số đó là các
phương trình đạo hàm riêng. Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi
phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến trong các hệ tọa độ cong (tọa độ
cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu), ta thường gặp phương trình đặc biệt mang tên nhà tốn
học và thiên văn học người Đức Friedrich Wilhelm Bessel. Giải phương trình này
cần dùng phương pháp chuỗi và kết quả là sự xuất hiện của hàm Bessel. Phương
trình Bessel đã được nghiên cứu trước đó (thế kỉ 18) bởi Bernoulli trong các bài
tốn dao động của các sợi dây có khối lượng và sau đó là Euler với các bài tốn dao
động của màng mỏng. Sang thế kỉ 19, Bessel đã nghiên cứu một cách sâu rộng, hệ
thống, tổng qt hóa phương trình, kể từ đó tên ơng được đặt cho phương trình
(phương trình Bessel) và nghiệm của nó (hàm Bessel). Hàm Bessel là một cơng cụ
tốn học được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực vật lí từ cơ học, nhiệt học, điện
từ học, thiên văn học đến cơ học lượng tử. Do đó việc nghiên cứu và tìm hiểu các
ứng dụng của hàm Bessel là rất quan trọng. Để hiểu rõ nội dung cũng như những
ứng dụng hữu ích của hàm Bessel trong các bài tốn vật lí, em chọn đề tài: “HÀM
BESSEL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ”
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu lí thuyết về hàm Bessel, các tính chất của hàm Bessel
- Áp dụng hàm Bessel để giải quyết các bài tốn Vật lí
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Lí thuyết về phương trình và hàm Bessel
- Các bài tốn vật lí
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí thuyết về hàm Bessel

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

- Phân tích các bài tốn Vật lí đưa tới việc giải phương trình vi phân sử dụng hàm
Bessel
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí thuyết
- Lựa chọn, phân tích và giải cụ thể các bài tốn vật lí
6. Những đóng góp của khóa luận
- Trình bày tổng quát về hàm Bessel
- Đưa ra và giải được các bài toán về dao động, truyền nhiệt, truyền sóng và cơ
lượng tử
7. Cấu trúc và nội dung khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần chính
A. Mở đầu
B. Nội dung, gồm có 2 chương:
Chương 1: Hàm Bessel
Chương 2: Một số ứng dụng của Hàm Bessel trong Vật lí
C. Kết luận

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL
1.1 Hàm Gamma
Hàm Gamma được định nghĩa như sau


(s)   et t s 1dt

(1.1)

0

Mà ta có

1 s
t
s t

(1.2)


d s
t s 
s(s)   e
t dt  e t 0   et t s dt = ( s  1)
dt
0
0

(1.3)

t s 1 
Thay (1.2) vào (1.1) ta được


t





0

0

Ta có (1)   et t11dt   e  t dt =1
Suy ra (2)  1(1)  1
Áp dụng lần lượt công thức (1.3) ta được
( s  1)  s(s)  s(s  1)( s  1)  s( s  1)( s  2)( s  2)  ...  s( s  1)( s  2)....2.(1)  s !

Từ (1.3)  (s) 

(s  1)
s

1
lim (s)  lim  
s 0
s 0 s
Vậy hàm  ( s ) tiến dần tới vô cùng khi s dần tới 0
Với s nguyên dương

(s  1)

s
(s  2)
(s  3)
(0)

 ... 

s.(s  1) s(s  1)(s  2)
s(s  1)(s  2)....(1)

(s) 

Khi s gần tới không hoặc tới một số nguyên âm thì hàm  ( s ) tiến tới dần tới vô
cùng
Xét trường hợp s bán nguyên
GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

1
Ta có ( )  
2
Với n>0

(2n  1)!
1
1
1
1.3.5.....(2n  1)

(n  )  (n  1  )(n  1  )  .... 
 = 2n
n
2 .(n  1)!
2
2
2
2

(1.4)

1
(1)n 2n
(  n  ) 

2 (2n  1)!!
1.2. Phương trình và hàm Bessel
1.2.1. Hàm Bessel loại 1
Phương trình vi phân Bessel là phương trình có dạng

y ''

1
v2
y ' (1  2 ) y  0
x
x

(1.5)

Viết lại

x2 y '' xy ' ( x2  2 ) y  0

(1.6)

Với  là một số dương
Để giải phương trình này, ta cần có một hàm mới, gọi là hàm Bessel
Nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng chuỗi






n 0

n1

n2

y   cn x n , y '   ncn xn1 , y ''   n(n  1)cn xn2
Thay vào phương trình ta được






n2

n 1

n 0

 n(n 1)cn xn   ncn xn  ( x2  2 ) xncn  0

(1.7)

Với


 n(n 1)c x
n

n2



 nc x
n 1

n

n

n

 2.1.c1.x2  3.2.c2 .x3  ...  n.(n  1)cn x n

 1.c1 x  2c2 x2  ...  ncn x n


( x2  2 ) xncn = ( x2  2 )(c0  c1x  c2 x2  ..  cn xn )
n 0

  2c0  2c1x  (c0  2c2 ) x2  ...  (cn2  2cn ) xn
Thay vào (1.7) ta được

 2c0  (1  2 )c1x  [c0  (4  2 )c2 ]x2  ...  [cn2  (n2  2 )cn ]xn  ...  0

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Ta có phương trình (1.7) đúng với mọi x nên tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy
thừa của x phải bằng 0
Từ đó ta rút ra

 2c0 =0; (1  2 )c1  0 ; cn2  (n2  2 )cn  0 với n=2,3,4…

(1.8)

Nếu   0 thì c0 là một số bất kì, c1=0 và cn2  n2cn  0
Hay là c2  

c
c0
c
, c3=0, c4   22  2 0 2
2
4
24
2

Vậy tổng quát ta có

c2 m

(1)m c0
c
 2 2
 (1)m 2 m 0 2 ; c2m1  0
2
2 4 ...(2m)
2 (m!)

Vậy ta có nghiệm của phương trình Bessel ứng với   0 là


y  c0  (1)m
m 0

x2m
 c0 J 0 ( x)
22 m (m!)2

Trong đó
2m

 x
2m
 


x

m 2

(

1)
J 0 ( x) =  (1)m 2 m

2 (m!)2 m0
(m!)2
m 0

J0(x) Được gọi là hàm Bessel loại một cấp khơng
Nếu   1 , thì từ (1.8), ta rút ra c0=0, c1 là tùy ý và cn2  (n2 1)cn  0
Tổng quát c2m  0

c2 m1  (1)m

c1
c
 (1)m 2 m 1
2.4.4.6..2m.(2m  2)
2 m!(m  1)!

Ta có nghiệm của phương trình Bessel với   1 là


y  c1  (1)m
m 0

x 2 m1

 2c1 J1 ( x)
22 m m!(m  1)!
2 m 1

 x
2 m 1
 


x
2
  (1)m  
Với J1 ( x)   (1)m 2 m1
2 m!(m  1)! m0
m!(m  1)!
m 0
J1(x) được gọi là hàm Bessel loại một cấp một
Tổng quát

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

cv2 m  (1)m

Khoa Vật lí

 !cv

2 m!(m  v)!
2m

Nghiệm của phương trình Bessel với  bất kì

x 2 m
y   !c  (1) 2 m
= 2  !c J ( x)
x m!(m  )!
m 0


m

2 m 

 x
 

m 2
Trong đó J ( x)   (1)
m!(m  )!
m 0

J ( x) được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp 
Biểu diễn J ( x) qua hàm Gamma
2 m 

 x
 

2
J ( x)   (1)m
(m  1)(m   1)
m 0

(1.9)

Nếu ta lấy    ta được một nghiệm riêng của phương trình (1.5), nó suy ra từ
cơng thức (1.9) bằng cách thay  bởi  . Đó là nghiệm
2 m 

 x
 

m
2
J  ( x)   (1)
(m  1)(m   1)
m 0

(1.10)

Nếu  khơng ngun thì các nghiệm riêng J ( x) và J  ( x) là độc lập tuyến tính,
vậy nghiệm của phương trình (1.6) được viết lại là

y  C1J (x)  C2 J (x)

(1.11)

Trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý suy ra từ điều kiện biên
1.2.2. Hàm Bessel loại hai
Nếu  nguyên thì hàm J ( x) và J  ( x) là phụ thuộc tuyến tính
Thật vậy,  nguyên,   n thì với m chạy từ 0 tới n-1 thì m- +1 sẽ mang giá trị
âm hoặc bằng 0, vậy nghĩa là với n số hạng đầu của khai triển (1.9) sẽ bằng 0. Lúc
đó
2 m

 x
 

2
J  ( x)   (1)m
(m  1)(m   1)
m 

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Đặt m    l , ta được
2 l 

 x
 

n
l
2
J  ( x)  (1)  (1)
 (1)n J ( x)
(v  l  1)(l  1)
l 0
Người ta đưa vào hàm

N ( x) 

J ( x)cos  J  ( x)
sin x

Khi   n nguyên

Nn ( x)  lim
 n

J ( x)cos  J  ( x)
sin x

Hàm này gọi là Hàm Bessel loại hai hoặc là hàm Neumann
Ta có giới hạn trên có dạng

0
, áp dụng quy tắc L’Hospital người ta tính được dạng

0

tường minh của hàm Neumann là
n
m 1
n
 x
 x  (1) (hm  hmn ) 2 m x n1 (n  m  1)! 2 m
x
N n ( x)  J n ( x)  ln      2 mn
x 

 m0 22 mn m!

 2
  m0 2 m!(m  n)!

2

1
1
Với   0,57721566490... là hằng số Euler, hm  1   ... 
2
m

Ta có

lim Nn ( x)  

(1.12)

x0

Ta có J ( x) và N ( x) là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của phương trình
(1.6) khi  nguyên được viết lại là

y  C1J ( x)  C2 N ( x)

(1.13)

Với  nguyên dương hoặc bằng 0
1.2.3. Hàm Bessel cải tiến
Xét phương trình Bessel x2 y '' xy ' ( x2  2 ) y  0
Thay x bằng ix ta được





d2 y
dy
(ix)
 ix
 (ix)2  2 y  0
2
d(ix)
d(ix)
2

x2





d2 y
dy
 x  x2  2 y  0
2
dx
dx

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

(1.14)

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

(1.14) gọi là phương trình Bessel cải tiến
Ta có
2 m

2 m

 ix 

 x
i i 2 m  
2


 
 2
J (ix)   (1)m
 (1)m
(m  1)(m   1) m0
(m  1)(m   1)
m 0
2 m

2 m

 x
 x
(1) (1)  
2


2



 
 (i) 
(i) 
(i) I ( x)

m 0 (m  1)( m    1)
m 0 ( m  1)( m    1)
m

m

I ( x) gọi là hàm Bessel cải tiến loại 1 cấp 
Hàm I ( x) là nghiệm của phương trình (1.14), nếu  khơng là số nguyên thì I ( x)
và I  là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của (1.14) là

y  C1I ( x)  C2 J (x) . Nếu   n là một số nguyên thì hai hàm I ( x) và I  là
phụ thuộc tuyến tính, ta có hàm

K ( x) 

 I  ( x)  I ( x)
2
sin

K ( x) gọi là hàm Bessel cải tiến loại 2
Lúc này nghiệm của (1.14) được viết lại y  C1I ( x)  C2 K ( x)
Ta có lim I ( x)   và lim K ( x)  0
x 

x 

1.3. Các tính chất truy hồi của hàm Bessel




 ,
N, ( x)  N 1 ( x)  N ( x)
 J ( x)  J 1 ( x)  x J ( x);
x



 ,
,
 J ( x)   J 1 ( x)  J ( x); N ( x)   N 1 ( x)  N ( x)
x
x

2
2

 J 1 ( x)  x J ( x)  J 1 ( x); N 1 ( x)  x N ( x)  N 1 ( x)



 ,
K, ( x)   K 1 ( x)  K ( x)
 I ( x)  I 1 ( x)  x I ( x);
x



 ,
K, ( x)   K 1 ( x)  K ( x)
 I ( x)  I 1 ( x)  I ( x);

x
x

2
2

 I 1 ( x)   x I ( x)  I 1 ( x); K 1 ( x)  x K ( x)  K 1 ( x)


GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

(a)
(b)

(1.15)

(c)

( a)
(b)

(1.16)

( c)

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Ta chứng minh tính chất 1.15a

d 
d 
(1)m
x2 2m   (1)m (2  2m) x 2 2 m1
 x J ( x)  
=
dx
dx m0 m!(m   1) 2 2m  m0 m!(m   1)2  2 m
(1)m 2(  m) x 2 2 m1

 2m
m 0 m!(m  v))(m   )2


=

  2 m1

(1)m  x 
=x 
 
m0 m!(m  )  2 




= x J 1

Mà ta có

d 
 x J ( x)   x 1 J ( x)  x J ' ( x)
dx

 x J 1   x 1J ( x)  x J, ( x)
 J 1 ( x) 





J ( x)  J ' ( x)  J ' ( x)  J 1 ( x)  J ( x) (*)
x
x

Thay  bởi  ta được



J ' ( x)  J  1 ( x)  J  ( x)
x



1
1

1 
J ' ( x) 
J  1 ( x) 
J  ( x)
sin( )
sin( )
sin( ) x

(*) 

cos( )
cos( )
cos( ) 
J ( x) 
J 1 ( x) 
J ( x)
sin( )
sin( )
sin( ) x

Trừ theo vế ta được

J ' ( x) cos( )J ' ( x)  J  1 ( x) cos( )J 1 ( x)    cos( )J ( x) J  ( x) 



  x  sin( )  sin( ) 
sin( )
sin( )
sin(


)
sin(

)




Đổi dấu hai vế và lấy giới hạn   n ta được



N, ( x)  N 1 ( x)  N ( x) (**)
x
Từ (*) và (**) ta có đpcm
Ta chứng minh tính chất 1.15b

  (1)m .2m.x2m1
d  J ( x)  d  
(1)m x2m
=


dx  x  dx m0  2 2m m!(  m  1)  m1 2  2m m!(  m  1)
GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Thay m=m+1 ta được

d  J ( x)  
(1)m1.2(m  1).x2m1
(1)m x2m1

   2m1
dx  x  m0 2 2m2 (m  1)!(  m  2)
m!(  m  2)
m 0 2

2 m  1

 x
(1)  

J ( x)
1
2
  
   1
x m0 m!(  m  1  1)
x
m

Mà ta có

J 1 ( x)
d  J ( x)  J' ( x) x  x 1 J ( x) J'




J
(
x
)




2




1
dx  x 
x
x
x
x



 J, ( x)   J 1 ( x)  J ( x)

x
Tương tự ta có N, ( x)   N 1 ( x) 



N ( x)

x

Trừ a và b theo vế ta được tính chất c
1.4. Nghiệm của hàm Bessel
Đặt u ( x)  xJ ( x)
Thay vào phương trình (1.5) ta được

u
2
u '' 2  (1  2 )u  0
4x
x
1 1

 u"  1  ( 2  ) 2   0
4 x 

Khi x   thì hàm u ( x) dẫn tới một nghiệm nào đó của phương trình u”+u=0,
tức là một hàm lượng giác nào đó. Một cách chính xác người ta chứng minh được
rằng khi x   thì
J ( x) 

2

   
cos  x    [1  1 ( x)]
x 
2 4

Trong đó 1 ( x)  0 khi x 
Từ cơng thức trên ta thấy hàm J ( x) có vơ số nghiệm, hơn nữa khi x  thì

   
 
nghiệm của J ( x) xấp xỉ các nghiệm của hàm cos  x 
2 4


GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Kí hiệu các nghiệm là i
2 m 

 x
 

m

2
Từ công thức J ( x)   (1)
(m  1)(m   1)
m 0
ta thấy nếu i là nghiệm thì i cũng là nghiệm, hàm J ( x) có các cặp nghiệm
giống nhau về giá trị tuyệt đối nên ta chỉ xét các nghiệm dương
1.5. Tính trực giao của hàm Bessel
Xét phương trình x2 y"  xy'  (k 2 x2  2 ) y  0

(1.17)

Trong đó k là hằng số nào đó khác khơng
Đặt t  kx , khi đó phương trình (1.17) trở về dạng

d2 y dy
t
 t  (t 2  2 ) y  0
2
dt
dt
2

(1.18)

(1.18) là phương trình Bessel với biến số là t, vậy nghiệm có dạng

y  J (t )  J (kx)
Vậy có

d2 J (kx)

dJ (kx)
x
x 
 (k 2 x 2  2 ) J (kx)  0
2
dx
dx
2

d 2 J (kx) dJ (kx)
2
2
x

 (k x  ) J (kx)  0
dx2
dx
x


d  dJ (kx) 
2
2
x

(
k
x

) J (kx)  0

dx 
dx 
x

Lấy hai giá trị khác nhau của k và viết hai phương trình tương ứng

d  dJ (k1 x) 
2
2
x
 (k x  ) J (k1 x)  0
dx 
dx 
x

(1.19)

d  dJ (k2 x) 
2
2
x

(
k
x

) J (k2 x)  0
2
dx 
dx 

x

(1.20)

1

Nhân (1.19) với J (k2 x) và (1.20) với J (k1x) rồi cộng theo vế ta được

dJ (k x)
d  dJ (k1 x)

x
J (k2 x)  x  2 J (k1 x)   (k 2  k22 ) xJ (k1x) J (k2 x)  0

dx 
dx
dx

1

Lấy tích phân 0  L ta được

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

L

L
dJ (k2 x)
 dJ (k1 x)

2
2
x
J
(
k
x
)

x
J
(
k
x
)

(
k

k
)

2


1
2  xJ (k1 x) J (k2 x)dx  0


dx
dx
0
0
1

L
dJ (k1L)
dJ (k2 L)
2
2
L
J (k2 L)  x
J (k1L)  (k  k2 )  xJ (k1x) J (k2 x)dx  0 (1.21)
dx
dx
0
1

Nếu k1L  i , k2 L   j là nghiệm của hàm J ( x) với i   j thì ta có

j

i

L

 xJ ( L x) J ( L

x) dx  0

0

Xét trường hợp k1  k2 ( k1L  i )
Xem (1.21) là một hàm biến số k2 , ta có

L

Ta có

dJ (k1L)
J (k2 L) L
dx
  xJ (k1 x) J (k2 x)dx
(k22  k12 )
0

dJ (k1 x) dJ (k1 x)

k1
dx
d(k1 x)

Ta tìm giới hạn khi k2  k1

L
lim

k2 k1

dJ (k1L)
J (k2 L)
L
L
2
dx

lim
xJ
(
k
x
)
J
(
k
x
)d
x

x  J (k1x) dx

1

2



2
2
k k
(k2  k1 )
0
0

Vế trái có dạng vơ định

L
lim

k2 k1

2

1

0
nên áp dụng quy tắc L’hospital ta được
0

dJ (k x)
d
dJ (k1L)
L k1  1
 J (k2 x)
J (k2 L)

d(
k
x
)
d
k
1
2
dx
xL
xL
 lim
2
2
k

k
(k2  k1 )
2k2
2

1

L k1
 lim

k2 k1

L k1


GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

dJ (k1 x)
dJ (k x)
x  2
d(k1 x) x L d(k2 x) xL
2k2

dJ (k1 x)
dJ (k x)
x  1
2
d(k1 x) x L d(k1 x) x L L2  dJ (k1 x) 
 

2k1
2  d(k1 x) x L 

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí


L2  dJ (t )
  


2  d(t ) t k L 

2

1

Áp dụng công thức truy hồi (1.15)c ta được

dJ (t )

  J 1 (k1L) 
J (k1L)   J 1 (k1L)   J 1 ( i )
d(t ) t k L
k1L
1

Vậy

 
0 x  J  Li
L

2

2
L2

x  dx   J 1 (i )
2


Nếu 1 ,  2 ,…,  2 … là các nghiệm dương của hàm J ( x) , 1 <  2 <…< n … thì



L

0

0
i j

 2
 x  x
xJ  i  J   j  dx   L
2
 L  L
 2 [ J 1 (i )] i  j

(1.22)

 x
Ta nói các hàm J  i  lập thành một họ trực giao trên đoạn [0,L]
 L
1.6. Khai triển một hàm bất kì thành hàm Bessel
Một hàm bất kì có thể khai triển thành một chuỗi các hàm Bessel

 x
f ( x)   ai J  i  với   1, 0  x  L
i 1

 L

x
Nhân hai vế với xJ   j  ta được
 L

 x
 x
 x
xJ   j  f ( x)   ai J  i  xJ   j 
i 1
 L
 L
 L

Lấy tích phân 0  L
L

 x
 x
 x
ai  J  i  xJ   j  dx
0 xJ   j L  f (x) dx  
 L
 L
i 1
0
L

Theo tính chất trực giao ta có



L2 2
 x
 x
ai  J  i  xJ   j  dx  ai J 1 (i )

2
 L
 L
i 1
0
L

Suy ra hệ số

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

ai 

Khoa Vật lí

L
2
 x

xJ  i  f ( x) dx

2 2
L J 1 (i ) 0
 L

(1.23)

Vậy một hàm bất kì có thể được khải triển thành tổng vô hạn của các hàm Bessel
với hệ số khai triển được tính theo (1.23)
1.7. Một số trường hợp riêng của hàm Bessel
1.7.1. Hàm Bessel cấp nguyên
Các hàm Bessel thường gặp trong Vật lí là các hàm J 0 ( x) , J1 ( x)

x2
x4
x6
J 0 ( x)  1  2  2 2  2 2 2  ...
2 2 .4 2 .4 .6


x
x2
x4
x6
J1 ( x)  1 
 2  2 2  ... 
2  2.4 2.4 .6 2.4 .6 .8

Sử dụng các công thức truy hồi (1.15) có thể tìm được các hàm J 2 ( x) , J3 ( x) …

Nghiệm của hàm J ( x) được cho trong bảng sau
nghiệm

J0 ( x)

J1 ( x)

J2 ( x)

J3 ( x)

J4 ( x)

J5 ( x)

1

2,4048

3,8317

5,1336

6,3802

7,5883

8,7715

2

5,5201

7,0156

8,4172

9,7610

11,0647 12,3386

3

8,6537

10,1735 11,6198 13,0152 14,3725 15,7002

4

11,7915 13,3237 14,7960 16,2235 17,6160 18,9801

5

14,9309 16,4706 17,9598 19,4094 20,8269 22,2178

Với n>0 thì Jn(x)=0 có x=0 là một nghiệm

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Hình 1.1: Đồ thị các hàm Bessel loại 1

Hình 1.2: Đồ thị các hàm Bessel loại 2

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

Hình 1.3: Đồ thị các hàm Bessel cải tiến loại 1

Hình 1.4. Đồ thị các hàm Bessel cải tiến loại 2

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

1.7.2. Hàm Bessel cấp bán nguyên
Ta có các hàm Bessel cấp bán nguyên là nghiệm của phương trình

x2 y '' xy ' ( x2  2 ) y  0 với   n 

 x
2
 



Ta có J

1
n
2

( x)   (1)m
m 0

1
và n nguyên
2

2 m n 

1
2

1
(m  1)(m  n  1  )
2

Xét trường hợp n=0, ta được
2 m

1

2 m

1

 x 2
2

 
J 1 ( x)   (1)m
1

m 0
2
(m  1)  m  1  
2

Từ công thức (1.4) ta được
2 m

1

 x 2
 x 2
 
 


2
 2
J 1 ( x)   (1)m
  (1)m
(2m  1)!
1

m 0
2
m! 2( m1)

(m  1)  m  1   m0
2
.m!
2

2 m 1

 x
22 m1




2
2 
x 2 m1
2
m 2
m

(1)

(1)

sinx


 x m 0
(2m  1)!
 x m 0
(2m  1)!  x
Áp dụng các công thức truy hồi (1.15) ta có
J 1' ( x)  J 1 ( x) 
2

2

1

1
J 1 ( x)
2x 2

 J 1 ( x)  J 1' ( x) 


2

2

1
2
1 1 1
1
2
2
J 1 ( x) 
cos x 
sin x 
sinx 
cos x
3
2x 2
x
2  2
2x  x
x
x

Tương tự ta tính được
J 3 ( x) 
2

2
x

1


cos x  x sinx 

J ' 1 ( x)  J 3 ( x) 


2



2

1
J 1 ( x)
2x  2

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

J 3 ( x)  J ' 1 ( x) 


2



2

1
2
1
J 1 ( x)  
sin x  3
2x  2
x
x2

Khoa Vật lí

2



cos x

Lần lượt thực hiện các phép tính truy hồi, ta thấy rằng các hàm J

 1
 n  
 2

đều tiến

tới vô cùng khi x  0

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

CHƯƠNG 2: MỘT SỚ ỨNG DỤNG CỦA HÀM BESSEL TRONG VẬT LÍ
2.1. Bài tốn dao động nhỏ của sợi dây treo thẳng đứng ở một đầu
Xét một sợi dây nhỏ, đồng chất, dễ uốn với mật độ khối lượng dài là  . Lực căng
dây T tại mỗi điểm đều nằm theo phương tiếp tuyến với sợi dây. Sợi dây buộc chặt
tại một đầu, một đầu tự do, dao động dưới tác

x

dụng của trọng lực. Chọn hệ trục tọa độ như

B

hình vẽ. Giả sử khi nằm yên, sợi dây nằm trên
đoạn AB thuộc trục Ox và trong suốt q
trình dao động sợi dây ln nằm trong một
M

mặt phẳng.
Đặt u  u ( x, t ) là độ dịch của sợi dây ra khỏi

N
u

vị trí cân bằng tại thời điểm t.
Ta có

A

u
cho ta biết hệ số góc tiếp tuyến của
x

sợi dây tại điểm có hồnh độ x vào thời điểm t. Vì ta chỉ xét những dao động nhỏ

 u 
của sợi dây nên có thể xem tan      0
 x 
2

2

 1+ tan 2  1 , sin 

u
x

Trên sợi dây lấy hai điểm có tọa độ M, N

2

 du 
dl  du  dx  1    dx  dx
 dx 
2

2

Vậy khi sợi dây dao động nhỏ, sợi dây co dãn không đáng kể, chiều dài của mỗi
đoạn dây là không đổi, lực căng tại mỗi điểm trên sợi dây được xem như khơng đổi
theo thời gian
Vì sợi dây treo thẳng đứng nên lực căng dây T tại điểm M có độ lớn bằng trọng
lượng của phần dây nằm dưới M. Ta có TM   gxM
Chiếu tất cả các lực tác dụng lên đoạn MN lên phương thẳng đứng, ta có

TM cos1  TN cos2   g( xM  xN )
Chiếu tất cả các lực tác dụng lên đoạn MN lên phương ngang ta có
GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

  2u 
TM sin1  TN sin2   ( x1  x2 )  2 
 t 

  gxM

  2u 
u
u
  gxN
  ( xM  xN )  2 
x x x
x x x
 t 
1

N

  2u  x
  u 
  g   x dx    2   dx
x 
x x 
 t  x
xM

M

N

N

   u    2u 
   g  x    2 dx  0

x   t 
x  x 
xM

N

  u  1  2u 
 x   2  0
x  x  g  t 

(2.1)

Ta có (2.1) là phương trình vi phân cho dao động nhỏ của sợi dây treo thẳng đứng ở
một đầu
Điểu kiện biên u ( L)  0

(2.2)

Điều kiện ban đầu u( x, t ) t 0  f ( x) ,

u( x, t )
 F ( x)
t t 0

(2.3)

Đặt   x   2  x , dx  2 d



  u 
  2 u  1   u 
x 




x  x  2  2  4    

Phương trình (2.1) trở thành

1   u  1  2u


4     g t 2

(2.4)

Sử dụng phương pháp tách biến, đặt u  q( )T (t ) , thay vào (2.4) ta được

T (t )   q( )  4q( )  2T (t )


    
g
t 2
Để bài tốn khơng có nghiệm tầm thường, chia hai vế cho  ( )T ( x) ta được

1   q( ) 
4  2T (t )



 q( )     gT (t ) t 2
Ta thấy vế phải chỉ phụ thuộc t, vế trái chỉ phụ thuộc  nên hai vế bằng nhau thì
phải bằng một hằng số a nào đó, vậy ta được hệ sau

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

4  2T (t )

gT (t ) t 2

(2.5)

1   q( ) 


 q( )    

(2.6)

Xét phương trình (2.5)
Ta có (2.5)  Ttt  T

Nếu   0 thì T=At+B
Nếu   0 thì T  Ae

t

 Be

t

Trong cả hai trường hợp trên đều không thỏa mãn điều kiện hữu hạn của hàm li độ
khi t   thì T  
Xét trường hợp   0 , đặt    2
Ta được (2.5)  Ttt 
(2.6) 

 2g
4

T 0

(2.7)

 2 q( ) 1 q( )
1   q( ) 
2


  2 q( )  0







2

 
 q( )    

(2.8)

Ta có (2.8) là phương trình Bessel cấp 0, nó có nghiệm là

q( )  C1J0 ( )  C2 N0 ( )
Vì lim N0 ( )   nên C2  0
 0

Sử dụng điều kiện biên (2.2) ta có q( L )  0  C1 J 0 ( L )  0
L là nghiệm của hàm Bessel loại 1 cấp 0. Gọi i là các nghiệm của hàm J0 ( x) .

Ta có

L i  i  i 

i
L


x
Suy ra qi ( x)  C1 J o  i


L


(2.9)

Giải phương trình (2.7), nghiệm có dạng
 g
Ti (t )  Ccos  i
 2



 g
t   Dsin  i

 2




t



(2.10)

Vậy ta có nghiệm tổng quát là

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lí

 
 g
 g  
x
u( x, t )    Ai cos i
t  Bi sin i
t J 0  i

L
2
L
2
L
i 1


 

Các hằng số Ai , Bi được xác định từ điều kiện ban đầu (2.3)


x

u( x, t ) t 0  f ( x)   Ai J 0  i
  f ( x)
L
i 0




Ta có f ( x)   ai J  i
i 1


2
Với ai 
L J21 (i )
Vậy hệ số Ai 

L


0

x

L


xJ  i


L

x
1
J
 f ( x) d( x ) 
 i

L J21 (i ) 0 
L

L

1
J 0  i

2
L J1 (i ) 0 

 g
u( x, t )
 F ( x)  i
t t 0
2 L

x
 f ( x) dx
L



B J
i 1

i

x
 f ( x) dx
L

0


x
 i

L


Tương tự ta có

Bi 

L

2 L
J 0  i

2
L J1 (i )i g 0 

L

x
2
F
(
x
)
d
x

J 0  i


2
L
LJ1 (i )i g 0 

x
 F ( x) dx
L

Dao động của sợi dây treo thẳng đứng tạo thành sóng dừng, với chu kì là

T

2





2

i
2

g
L



4

i

L
g

Có vơ số dao động với chu kì phụ thuộc vào chiều dài dây, gia tốc trọng trường và
nghiệm của hàm J 0 ( x)
Ta tìm các vị trí nút tức là biên độ dao động bằng 0


 
x
x
J 0  i
 k  x   k  L

  0  i
L
L
 i 

2

Xét sợi dây dài 0,1m được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g=10m/s2, ta có các
mode dao động của sợi dây là
T1=

4

1

L 4.3,14 0,1

 0,5223 s, có nút tại x=L
g 2,4048 10

GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

T2=

4

2

Khoa Vật lí

L 4.3,14 0,1

 0,2275 s,
g 5,5201 10
2

 
 2, 4048 
có hai nút tại x=L, x   1  L  
 L  0,19L
 5,5201 
 2 
T3=

4

3

2

L 4.3,14 0,1

 0,145 s
g 8,6537 10
2

 
 2,4048 
Có ba nút tại x=L, x   1  L  
 L  0,077 L ,
 8,6537 
 3 
2

2

 
 5,5201 
x 2  L
 L  0,4L
 8,6537 
 3 
2

Ta có hình ảnh dao động ứng với ba mode trên như sau

2.2 Bài tốn dao động của màng trịn tự do, biên gắn chặt
2.2.1 Bài tốn:
Viết phương trình dao động tự do của một màng trịn, bán kính L, biên gắn chặt với
các điều kiện ban đầu u (r , ,0)  f (r , ) ,

u
 F (r, )
t t 0

Ta có phương trình dao động tự do của một màng mỏng là

 2u
 a 2 u
2
t
GVHD: Ths. Đặng Văn Hậu

Trang 25