tích phân

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014

TÍCH PHÂN

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG












HÀ N
ỘI, 8/2013

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG



BÀI 1: NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )
=
F x f x
, ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

( ) ( )
= +
∫
f x dx F x C
, C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất
•
'( ) ( )
= +
∫
f x dx f x C
•
( ) ( ) ( ) ( )
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx

•
( ) ( ) ( 0)
= ≠
∫ ∫
kf x dx k f x dx k

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp


4. Phương pháp tính nguyên hàm
1) Phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )
= +
∫
f u du F u C

và
( )
=
u u x
có đạo hàm liên tục thì:

( ) . '( ) ( )
   
= +
   
∫
f u x u x dx F u x C

2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

= −
∫ ∫
udv uv vdu



•
0 =
∫
dx C

•
= +
∫

dx x C

•
1
, ( 1)
1
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x
x dx C

•
1
ln
= +
∫
dx x C
x

•
= +
∫
x x
e dx e C

•
(0 1)
ln
= + < ≠
∫
x
x
a
a dx C a
a

•
cos sin
= +
∫
xdx x C

•
sin cos
= − +
∫
xdx x C

•
2
1
tan
cos
= +

∫
dx x C
x

•
2
1
cot
sin
= − +
∫
dx x C
x

•
1
cos( ) sin( ) ( 0)
+ = + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a

•
1
sin( ) cos( ) ( 0)
+ = − + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a

•
1
, ( 0)
+ +
= + ≠
∫
ax b ax b
e dx e C a
a

•
1 1
ln
= + +
+
∫
dx ax b C
ax b a


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
2
1

( ) – 3
= +
f x x x
x
2)
4
2
2 3
( )
+
=
x
f x
x
3)
2
1
( )
−
=
x
f x
x

4)
2 2
2
( 1)
( )
−

=
x
f x
x
5)
2 2
1
( )
sin .cos
=f x
x x
6)
2 2
cos 2
( )
sin .cos
=
x
f x
x x

7)
2
( ) 2 sin
2
=
x
f x
8)
2

( ) tan
=
f x x
9)
2
( ) cos
=
f x x

10)
( ) 2 sin 3 cos 2
=
f x x x
11)
(
)

( ) – 1
=
x x
f x e e 12)
2
( ) 2
cos
−
 





= +






 
x
x
e
f x e
x

HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
1)
3
( ) 4 5; (1) 3
= − + =
f x x x F
2)
( ) 3 5 cos ; ( ) 2
π
= − =
f x x F

3)
2
3 5
( ) ; ( ) 1

−
= =
x
f x F e
x
4)
2
1 3
( ) ; (1)
2
+
= =
x
f x F
x

5)
( )=
3
2
1
; ( 2) 0
−
− =
x
f x F
x
6)
1
( ) ; (1) 2

= + = −
f x x x F
x

7)
( ) sin 2 .cos ; ' 0
3
π
 



= =




 
f x x x F
8)
4 3
2
3 2 5
( ) ; (1) 2
− +
= =
x x
f x F
x

9)
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
+ + −
= =
+
x x x
f x F
x
10)
2
( ) sin ;
2 2 4
π π
 



== =




 
x
f x F

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
( )
∫
f x dx
bằng phương pháp đổi biến số
•
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
( ) . '( )
 
 
g u x u x
thì ta đặt
( ) '( )
= ⇒ =
t u x dt u x dx
.
Khi đó:
( )
∫
f x dx
=
( )
∫
g t dt
, trong đó
( )
∫
g t dt

dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
( )
∫
g t dt
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
•
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:


HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
1)
10
(5 1)−
∫
x dx
2)
5
(3 2 )
−
∫
dx
x
3)
5 2−
∫
xdx

4)
2 7

(2 1)+
∫
x xdx
5)
3 4 2
( 5)+
∫
x x dx
6)
2
5
+
∫
x
dx
x

7)
2
1.
+
∫
x xdx
8)
2
3
3
5 2
+
∫

x
dx
x
9)
2
(1 )
+
∫
dx
x x

f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−
a x


sin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
x a t t

hoặc
cos , 0
π
= ≤ ≤
x a t t

2 2

+
a x


tan ,
2 2
π π
= − < <
x a t t

hoặc
cot , 0
π
= < <
x a t t


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3

10)
4
sin cos
∫
x xdx
11)
5
sin
cos

∫
x
dx
x
12)
2
tan
cos
∫
xdx
x

13)
3
−
∫
x
x
e dx
e
14)
2
1
.
+
∫
x
x e dx
15)
∫

x
e
dx
x

16)
3
ln
∫
x
dx
x
17)
1
+
∫
x
dx
e
18)
tan
2
cos
∫
x
e
dx
x

HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

1)
2 3
(1 )
−
∫
dx
x
2)
2 3
(1 )
+
∫
dx
x
3)
2
1 .
−
∫
x dx

4)
2
4
−
∫
dx
x
5)
2 2

1 .
−
∫
x x dx
6)
2
1
+
∫
dx
x

7)
2
2
1
−
∫
x dx
x
8)
2
1
+ +
∫
dx
x x
9)
3 2
1.

+
∫
x x dx



VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:



HT 5: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.sin
∫
x xdx
2)
cos
∫
x xdx
3)
2
( 5)sin+
∫
x xdx

4)
2
( 2 3)cos+ +
∫

x x xdx
5)
sin 2
∫
x xdx
6)
cos2
∫
x xdx

7)
.
∫
x
x e dx
8)
2
3
∫
x
x e dx
9)
ln
∫
xdx

10)
ln
∫
x xdx

11)
2
ln
∫
xdx
12)
2
ln( 1)
+
∫
x dx


HT 6: Tính các nguyên hàm sau:
1)
∫
x
e dx
2)
ln
∫
xdx
x
3)
sin
∫
x dx

4)
cos

∫
x dx
5)
.sin
∫
x x dx
6)
3
sin
∫
xdx

7)
ln(ln )
∫
x
dx
x
8)
sin(ln )
∫
x dx
9)
cos(ln )
∫
x dx

HT 7: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.cos

∫
x
e xdx
2)
2
(1 tan tan )
+ +
∫
x
e x x dx
3)
.sin 2
∫
x
e xdx

4)
2
ln(cos )
cos
∫
x
dx
x
5)
2
ln(1 )
+
∫
x

dx
x
6)
2
cos
∫
x
dx
x

7)
(
)
2
2
ln 1
1
+ +
+
∫
x x x
dx
x
8)
3
2
1
+
∫
x

dx
x
9)
2
ln
 







 
∫
x
dx
x




( ).
∫
x
P x e dx

( ).cos
∫
P x xdx

( ).sin
∫
P x xdx

( ).ln
∫
P x xdx

u

P(x)

P(x)

P(x)

lnx

dv

x
e dx

cos
xdx

sin
xdx

P(x)


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x

– Nếu bậc của P(x)
≥
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
1
( )( )
= +
− − − −
A B
x a x b x a x b

2 2
1
,
( )( )
+
= +
−
− + + + +
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
2
4 0
∆ = − <
vôùi b ac


2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
− −
− − − −
A B C D
x a x b
x a x b x a x b

2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) =

,
 

+








 
+
m
ax b
R x
cx d

→
đặt
+
=
+
m
ax b
t
cx d

+ f(x) =

1
( )( )
 










+ +
 
R
x a x b

→
đặt
= + + +
t x a x b


•
••
•
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+

sin ( ) ( )
1 1
.
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
 
−



=





−
 
a b
söû duïng

a b

+
sin ( ) ( )
1 1
.
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
 
−



=





−

 
a b
söû duïng
a b

+
cos ( ) ( )
1 1
.
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
cos( )
1
cos( )
 
−



=






−
 
a b
söû duïng
a b

+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
− = −
R x x R x x
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin , cos ) (sin , cos )
− = −
R x x R x x
thì đặt t = sinx
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
− − = −
R x x R x x
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):
1)
( 1)
+
∫
dx

x x
2)
( 1)(2 3)
+ −
∫
dx
x x
3)
2
2
1
1
+
−
∫
x
dx
x

4)
2
7 10
− +
∫
dx
x x
5)
2
6 9
− +

∫
dx
x x
6)
2
4
−
∫
dx
x

7)
( 1)(2 1)
+ +
∫
x
dx
x x
8)
2
2 3 2
− −
∫
x
dx
x x
9)
3
2
3 2

− +
∫
x
dx
x x

10)
2
( 1)
+
∫
dx
x x
11)
3
1
+
∫
dx
x
12)
3
1
−
∫
x
dx
x

HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):

1)
1
1 1
+ +
∫
dx
x
2)
1
2
+
−
∫
x
dx
x x
3)
3
1
1 1
+ +
∫
dx
x

4)
4
1
+
∫

dx
x x
5)
3
−
∫
x
dx
x x
6)
( 1)
+
∫
x
dx
x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5

7)
3 4
2
+ +
∫
dx
x x x
8)
1

1
−
+
∫
x dx
x x
9)
3
1
1
−
+
∫
x dx
x x

10)
2
3
(2 1) 2 1
+ − +
∫
dx
x x
11)
2
5 6
− +
∫
dx

x x
12)
2
6 8
+ +
∫
dx
x x

HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác):
1)
sin 2 sin 5
∫
x xdx
2)
cos sin 3
∫
x xdx
3)
2 4
(tan tan )
+
∫
x x dx

4)
cos 2
1 sin cos
+
∫

x
dx
x x
5)
2 sin 1
+
∫
dx
x
6)
cos
∫
dx
x

7)
1 sin
cos
−
∫
x
dx
x
8)
3
sin
cos
∫
x
dx

x
9)
cos cos
4
dx
x x
 
+
 
 
∫
π

10)
cos cos2 cos 3
∫
x x xdx
11)
3
cos
∫
xdx
12)
4
sin
∫
xdx

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6

BÀI 2: TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
( )
∫
b
a
f x dx
.

( ) ( ) ( )
= −
∫
b
a
f x dx F b F a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = = = −
∫ ∫ ∫
b b b

a a a
f x dx f t dt f u du F b F a

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
( )
=
∫
b
a
S f x dx

2. Tính chất của tích phân
•
0
0
( ) 0
=
∫
f x dx
•
( ) ( )
= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
•
( ) ( )
=

∫ ∫
b b
a a
kf x dx k f x dx
(k: const)
•
( ) ( ) ( ) ( )
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
•
( ) ( ) ( )
= +
∫ ∫ ∫
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

• Nếu f(x)
≥
0 trên [a; b] thì
( ) 0
≥
∫
b
a

f x dx

• Nếu f(x)
≥
g(x) trên [a; b] thì
( ) ( )
≥
∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx

3. Phương pháp tính tích phân
1) Phương pháp đổi biến số:
( )
( )
( ) . '( ) ( )
 
=
 
∫ ∫
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u)
liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K.
2) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b
∈

K thì:

= −
∫ ∫
b b
b
a
a a
udv uv vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
∫
b
a
vdu
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

HT 11: Tính các tích phân sau:
1)

2
3
1
( 2 1)
+ +
∫
x x dx
2)
2
2 3 1
1
3
( )
+
+ +
∫
x
x e dx
x
3)
2
2
1
1
−
∫
x
dx
x

4)
2
1
2
2
−
+
∫
x
dx
x
5)
(
)
2
4
1
2
2
4
−
−
+
∫
x
dx
x
6)
2
2

1
1 1
( )
+ + +
∫
e
x x dx
x
x

7)
2
1
( 1)( 1)
+ − +
∫
x x x dx
8)
2
3
2
1
( )
+ +
∫
x x x x dx
9)
( )
4
3 4

1
2 4+ −
∫
x x x dx

10)
2
2
3
1
2−
∫
x x
dx
x
11)
2
1
2 5 7+ −
∫
e
x x
dx
x
12)
8
3
2
1
1

4
3
 





−






 
∫
x dx
x

HT 12: Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
+
∫
x dx
2)
5

2
2 2
+ + −
∫
dx
x x
3)
2
3
2
1
( )
+ +
∫
x x x x dx

4)
1
2
0
2
1
−
∫
xdx
dx
x
5)
2
2

3
0 3
3
1
+
∫
x
dx
x
6)
4
2
0
9
+
∫
x x dx

HT 13: Tính các tích phân sau:
1)
0
sin(2 )
6
π
π
+
∫
x dx
2)
2

3
(2 sin 3 )
π
π
+ +
∫
x cosx x dx
3)
( )
6
0
sin 3 cos2
π
+
∫
x x dx

4)
4
2
0
tan .
cos
π
∫
x dx
x
5)
3
2

4
3 tan
π
π
∫
x dx
6)
4
2
6
(2 cot 5)
π
π
+
∫
x dx

7)
2
0
1 sin
π
+
∫
dx
x
8)
2
0
1 cos

1 cos
π
−
+
∫
x
dx
x
9)
2
2 2
0
sin .cos
π
∫
x xdx

HT 14: Tính các tích phân sau:
1)
dx
1
0
−
−
−
+
∫
x x
x x
e e

e e
2)
2
2
1
( 1).
ln
+
+
∫
x dx
x x x
3)
2
1
0
4
2
−
+
∫
x
x
e
dx
e

4)
ln 2
0

1
+
∫
x
x
e
dx
e
5)
2
1
(1 )
−
−
∫
x
x
e
e dx
x
6)
1
0
2
∫
x
x
e
dx

7)
cos
2
0
sin
π
∫
x
e xdx
8)
4
1
∫
x
e
dx
x
9)
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x

10)
1
ln
∫

e
x
dx
x
11)
2
1
0
∫
x
xe dx
12)
1
0
1
1 +
∫
x
dx
e


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính
( )

∫
b
a
g x dx
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
( ) ( ) . '( )
 
=
 
g x f u x u x
thì
( )
( )
( ) ( )
=
∫ ∫
u b
b
a u a
g x dx f u du

Dạng 2: Giả sử ta cần tính
( )
β
α
∫
f x dx
.
Đặt x = x(t) (t

∈
10) và a, b
∈
K thoả mãn
α
= x(1),
β
= x(2)
thì
( ) ( ) '( ) ( )
β
α
 
= =
 
∫ ∫ ∫
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt

(
)
( ) ( ) . '( )
 
=
 
g t f x t x t

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1)
1
19
0
(1 )−
∫
x x dx
2)
1
3
2 3
0
(1 )+
∫
x
dx
x
3)
1
5
2
0
1
+
∫
x
dx
x

4)
1
0
2 1
+
∫
xdx
x
5)
1
2
0
1−
∫
x x dx
6)
1
3 2
0
1−
∫
x x dx

7)
2 3
2
5
4
+
∫

dx
x x
8)
3
5 3
2
0
2
1
+
+
∫
x x
dx
x
9)
ln 2
0
1 +
∫
x
x
e
dx
e

10)
(
)
ln 3

3
0
1
+
∫
x
x
e dx
e
11)
1
2 ln
2
+
∫
e
xdx
x
12)
1
1 3 ln ln+
∫
e
x x
dx
x

13)
2
2 2

0
sin 2
cos 4 sin
π
+
∫
x
dx
x x
14)
2
3
2
0
cos .sin
1 sin
π
+
∫
x x
dx
x
15)
6
2 2
0
sin 2
2 sin cos
π
+

∫
x
dx
x x

HT 16: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
1)
1
2
2
0
1−
∫
dx
x
2)
1
2
2
0
4 −
∫
x dx
x
3)
2
2 2
1
4 −
∫

x x dx

f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−
a x


sin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
x a t t

ho
ặ
c
cos , 0
π
= ≤ ≤
x a t t

2 2
+
a x


tan ,
2 2
π π

= − < <
x a t t

ho
ặ
c
cot , 0
π
= < <
x a t t

2 2
−
x a


{ }
, ; \ 0
sin 2 2
π π
 
 
= ∈ −
 
 
a
x t
t

ho

ặ
c
, 0; \
cos 2
π
π
 
 
 
 
 
= ∈
 
 
 
 
a
x t
t


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9

4)
3
2
0
3

+
∫
dx
x
5)
1
2 2
0
( 1)( 2)
+ +
∫
dx
x x
6)
1
4 2
0
1
+ +
∫
xdx
x x

7)
0
2
1
2 2
−
+ +

∫
dx
x x
8)
2
2
3
1
1
−
∫
x
dx
x
9)
(
)
1
5
2
0
1 +
∫
dx
x

10)
2
3
2

2
1
−
∫
dx
x x
11)
2
2
2
2
0
1 −
∫
x
dx
x
12)
2
2
0
2 −
∫
x x x dx



VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

HT 17: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2
π
∫
x xdx
2)
2
2
0
( sin )cos
π
+
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
π
∫
x xdx

4)
2

4
0
cos
π
∫
x xdx
5)
3
2
4
tan
π
π
∫
x xdx
6)
1
2
0
( 2)−
∫
x
x e dx

7)
ln 2
0
∫
x
xe dx

8)
1
ln
∫
e
x xdx
9)
3
2
2
ln( )
−
∫
x x dx

10)
2
3
0
sin 5
π
∫
x
e xdx
11)
2
cos
0
sin 2
π

∫
x
e xdx
12)
3
1
ln
∫
e
xdx

13)
3 2
1
ln
∫
e
x xdx
14)
2
1
ln
∫
e
e
x
dx
x
15)
0

2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

HT 18: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
2−
∫
x dx
2)
2
2
0
−
∫
x x dx
3)
2
2
0

2 3
+ −
∫
x x dx

4)
3
2
3
1
−
−
∫
x dx
5)
5
2
( 2 2 )
−
+ − −
∫
x x dx
6)
3
0
2 4−
∫
x
dx

( ).
∫
b
x
a
P x e dx

( ).cos
∫
b
a
P x xdx

( ).sin
∫
b
a
P x xdx

( ). n
∫
b
a
P x l xdx

u

P(x)

P(x)

P(x)

lnx

dv

x
e dx

cos
xdx

sin
xdx

P(x)


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10

7)
4
2
1
6 9
− +

∫
x x dx
8)
3
3 2
0
4 4− +
∫
x x xdx
9)
1
1
4
−
−
∫
x dx

HT 19: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
1 cos 2
π
−
∫
xdx
2)
0
1 sin 2 .

π
−
∫
x dx
3)
2
2
sin
π
π
−
∫
x dx

4)
1 sin
π
π
−
−
∫
xdx
5)
2
0
1 cos
π
+
∫
xdx

6)
0
1 cos2
π
+
∫
xdx

7)
3
2 2
6
tan cot 2
π
π
+ −
∫
x x dx
8)
3
3
2
cos cos cos
π
π
−
−
∫
x x xdx
9)

2
0
1 sin
π
+
∫
xdx


VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

HT 20: Tính các tích phân sau:
1)
3
3
1
+
∫
dx
x x
2)
1
2
0
5 6
− +
∫
dx
x x
3)

3
3
2
0
2 1
+ +
∫
x dx
x x

4)
(
)
1
3
0
1 2+
∫
x
dx
x
5)
(
)
3
2
9
2
1−
∫

x dx
x
6)
4
2
1
(1 )
+
∫
dx
x x

7)
4
2
( 1)
−
∫
dx
x x
8)
(
)
1
2
0
4 11
5 6
+
+ +

∫
x dx
x x
9)
1
3
0
1
1
+ +
+
∫
x x
dx
x

10)
0
3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
−
− + +
− +
∫
x x x
dx
x x

11)
3
2
3
2
3 3 3
3 2
+ +
− +
∫
x x
dx
x x
12)
1
2
3
0
(3 1)+
∫
x
dx
x

HT 21: Tính các tích phân sau:
1)
2
2
0
2 2

− +
∫
dx
x x
2)
(
)
2
3
2
0
3 2
1
+
+
∫
x
dx
x
3)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+
∫
x x x

dx
x

4)
1
2 2
0
1
( 2) ( 3)+ +
∫
dx
x x
5)
1
3
2
0
1
1
+ +
+
∫
x x
dx
x
6)
1
4
0
1 +

∫
x
dx
x

7)
2
4
1
1
(1 )
+
∫
dx
x x
8)
2
2008
2008
1
1
(1 )
−
+
∫
x
dx
x x
9)
3

4
2 2
2
( 1)−
∫
x
dx
x

10)
2
2
0
1
4 +
∫
dx
x
11)
2
2
4
1
1
1
−
+
∫
x
dx

x
12)
1
4
2
0
2
1
−
+
∫
x
dx
x

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

HT 22: Tính các tích phân sau:
1)
2 2
2
0
1
+
∫
x x dx
2)
1
3
2

0
1
+ +
∫
x
dx
x x
3)
1
0
1+ +
∫
dx
x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11

4)
2
1
1 1
+ −
∫
x
dx
x
5)
6

2
2 1 4 1
+ + +
∫
dx
x x
6)
2
4
5
0
1
+
∫
x
dx
x

7)
10
5
2 1
− −
∫
dx
x x
8)
1
3 2
0

1
+
∫
x x dx
9)
1
0
4 3
2 3 1
−
+ +
∫
x
dx
x

10)
7
3
3
0
1
3 1
+
+
∫
x
dx
x
11)

2 3
2
5
4
+
∫
dx
x x
12)
3
5 3
2
0
1
+
+
∫
x x
dx
x

13)
2
2
0
1
1
+
−
∫

x
dx
x
14)
2
3
2
2
1
−
∫
dx
x x
15)
2
3
1
1
+
∫
dx
x x

HT 23: Tính các tích phân sau:
1)
1
2 2
0
1 +
∫

x x dx
2)
3
2
2 2
1
1
1
+
+
∫
x
dx
x x
3)
1
2 3
0
(1 )
+
∫
dx
x

4)
2
2
1
2008
+

∫
x dx
5)
3
3 2
0
10 −
∫
x x dx
6)
1
2
0
1 +
∫
x dx

7)
1
2
1
1 1
−
+ + +
∫
dx
x x
8)
2
2

1
2008
+
∫
dx
x
9)
1
3
2
0
1
+ +
∫
x dx
x x

10)
2
2
2 3
0
(1 )
−
∫
dx
x
11)
2
2

2
2
0
1 −
∫
x dx
x
12)
5
4
2
1
12 4 8
− −
∫
x x dx

HT 24: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
cos
7 cos 2
π
+
∫
xdx
x
2)
2

2
0
sin cos cos
π
−
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
2 cos
π
+
∫
xdx
x

4)
2
6
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
5)

2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫
x x
dx
x
6)
3
0
cos
2 cos2
π
+
∫
xdx
x

7)
2
2
0
cos
1 cos
π
+

∫
xdx
x
8)
3
2
4
tan
cos 1 cos
π
π
+
∫
x
dx
x x
9)
2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫
x x
dx
x

HT 25: Tính các tích phân sau:

1)
ln 3
0
1
+
∫
x
dx
e
2)
ln 2
2
0
1
+
∫
x
x
e dx
e
3)
1
1 3 ln ln+
∫
e
x x
dx
x

4)

ln 3
2
ln 2
ln
ln 1
+
∫
x
dx
x x
5)
0
2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx
6)
ln 2
3
0
( 1)
+
∫
x
x

e dx
e

7)
ln 3
0
( 1) 1
+ −
∫
x
x x
e
dx
e e
8)
1
0
−
+
∫
x
x x
e
dx
e e
9)
ln 2
0
1
−

∫
x
e dx


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

HT 26: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2 .cos
π
∫
x xdx
2)
4
0
tan
π
∫
xdx
3)
2
0
sin

1 3 cos
π
+
∫
x
dx
x

4)
2
3
0
sin
π
∫
xdx
5)
2
0
sin
π
∫
xdx
6)
2
0
cos 3
π
∫
x

7)
2
2 4
0
sin cos
π
∫
x xdx
8)
2
2 3
0
sin cos
π
∫
x xdx
9)
2
4 5
0
sin cos
π
∫
x xdx

10)
2
3 3
0

(sin cos )
π
+
∫
x x dx
11)
2
3
0
cos
cos 1
π
+
∫
x
dx
x
12)
2
0
sin 2 cos
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

13)

4
3
0
tan
π
∫
xdx
14)
3
4
4
tan
π
π
∫
xdx
15)
3
3
4
sin . cos
π
π
∫
dx
x x

16)
2
3

2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
17)
2
3
0
cos
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
18)
/3
4
/6
sin .cos
π
π
∫

dx
x x

HT 27: Tính các tích phân sau:
1)
2
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
2)
2
6
1 sin 2 cos2
sin cos
π
π
+ +
+
∫
x x
dx
x x
3)
3
2
4

tan
cos 1 cos
π
π
+
∫
x
dx
x x

4)
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
π
+
∫
x x x dx
5)
sin
4
0
(tan cos )
π
+
∫
x
x e x dx
6)

( )
2
3
2
0
1 sin sin2
π
+
∫
x xdx

7)
3
0
sin .ln(cos )
π
∫
x x dx
8)
4
3
2 2 5
0
sin
(tan 1) .cos
π
+
∫
x
dx

x x
9)
3
2 2
3
1
sin 9 cos
π
π
−
+
∫
dx
x x

HT 28: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
sin
π
π
∫
dx
x
2)
2
4
0

(1 cos )
π
+
∫
dx
x
3)
(
)
2
4
0
1
1 sin
π
+
∫
dx
x

4)
2
0
cos
1 cos
π
+
∫
x
dx

x
5)
4
0
cos cos( )
4
π
π
+
∫
dx
x x
6)
2
2
0
(1 sin ) cos
(1 sin )(2 cos )
π
−
+ −
∫
x x
dx
x x

HT 29: Tính các tích phân sau:
1)
2
0

(2 1)cos
π
−
∫
x xdx
2)
4
0
1 cos2
π
+
∫
xdx
x
3)
3
2
0
cos
π
∫
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13

4)

2
3
0
sin
π
∫
xdx
5)
2
2
0
cos
π
∫
x xdx
6)
2
2 1
0
sin 2 .
π
+
∫
x
x e dx

7)
2
1
cos(ln )

∫
x dx
8)
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π
∫
x
dx
x
9)
2
2
0
(2 1)cos
π
−
∫
x xdx

10)
2 2
0
sin
π
∫

x
e xdx
11)
4
2
0
tan
π
∫
x xdx
12)
2
0
sin cos
π
∫
x x xdx

13)
2
2
sin 3
0
sin cos
π
∫
x
e x xdx
14)
4

0
ln(1 tan )
π
+
∫
x dx
15)
4
4
0
cos
π
∫
dx
x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

HT 30: Tính các tích phân sau:
1)
1
0
1 +
∫
x
x
e dx
e
2)
ln 2

0
5
+
∫
x
dx
e
3)
1
0
1
4
+
∫
x
dx
e

4)
ln 8
ln 3
1
+
∫
x
x
e
dx
e
5)

ln 8
2
ln 3
1.+
∫
x x
e e dx
6)
ln 2
0
1
1
−
+
∫
x
x
e
dx
e

7)
2
1
1
1
−
−
∫
x

dx
e
8)
2
2
0
1
+
∫
x
x
e
dx
e
9)
1
0
1
−
−
+
∫
x
x
e
dx
e

10)
2

1
ln
(ln 1)
+
∫
e
x
dx
x x
11)
1
2
0
1
−
−
+
∫
x
x
e
dx
e
12)
ln 3
0
1
1
+
∫

x
dx
e

HT 31: Tính các tích phân sau:
1)
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π
∫
x
dx
x
2)
1
0
ln( 1)
1
+
+
∫
x
dx
x
3)
1

0
−
∫
x
xe dx

4)
2
0
( cos )cos
π
+
∫
x
e x xdx
5)
( )
1
0
ln 1 +
∫
x x dx
6)
2
1
1 ln+
∫
e
x
dx

x

7)
2
ln ln(ln )
+
∫
e
e
x x
dx
x
8)
2
1
ln
ln
ln 1
 




+







 
+
∫
e
x
x dx
x x
9)
3
2
ln(ln )
∫
e
e
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14

VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

•
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
( ) 0
−

=
∫
a
a
f x dx


•
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
0
( ) 2 ( )
−
=
∫ ∫
a a
a
f x dx f x dx

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng
minh như sau:
Bước 1: Phân tích
0
0
( ) ( ) ( )
− −
= = +
∫ ∫ ∫
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx

0
0
( ) ; ( )
−
 






= =








 
∫ ∫
a
a
J f x dx K f x dx

Bước 2: Tính tích phân
0
( )

−
=
∫
a
J f x dx
bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
⇒
I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K
⇒
I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0
( )
( )
1
α α
α
−
=
+
∫ ∫
x
f x
dx f x dx
a
(với
α

∈
R
+
và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.

0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
α α
α α
− −
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a

0
0
( ) ( )
;
1 1
α
α
−

 






= =







+ +

 
∫ ∫
x x
f x f x
J dx K dx
a a

Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên
0;
2
π
 

 
 
 
thì
2 2
0 0
(sin ) (cos )
π π
=
∫ ∫
f x dx f x dx

Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
π
= −
t x

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và
( ) ( )
+ − =
f a b x f x
hoặc
( ) ( )
+ − = −
f a b x f x

thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b =
π

thì đặt t =
π
– x
nếu a + b = 2
π
thì đặt t = 2
π
– x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x) dễ
xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:

1
2
( ) ( ) ( )
(*)
( ) ( ) ( )


+ = +





− = +



F x G x A x C
F x G x B x C

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
1
( ) ( ) ( )
2
 
= + +
 
F x A x B x C
là nguyên hàm của f(x).

HT 32: Tính các tích phân sau (dạng 1):
1)
4
7 5 3
4
4
1
cos
π
π
−
− + − +
∫

x x x x
dx
x
2)
2
2
2
cos ln( 1 )
π
π
−
+ +
∫
x x x dx
3)
1
2
1
2
1
cos .ln
1
−
 
−








 
+
∫
x
x dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15

4)
( )
1
2
1
ln 1
−
+ +
∫
x x dx
5)
1
4 2
1
1
−
− +

∫
x dx
x x
6)
1
4
2
1
sin
1
−
+
+
∫
x x
dx
x

7)
2
5
2
sin
1 cos
π
π
−
+
∫
x

dx
x
8)
2
2
2
4 sin
π
π
−
−
∫
xdx
x
9)
2
2
2
cos
4 sin
π
π
−
+
−
∫
x x
dx
x

HT 33: Tính các tích phân sau (dạng 2):
1)
1
4
1
2 1
−
+
∫
x
x
dx
2)
1
2
1
1
1 2
−
−
+
∫
x
x
dx
3)
1
2
1
( 1)( 1)

−
+ +
∫
x
dx
e x

4)
2
sin
3 1
π
π
−
+
∫
x
x
dx
5)
3
2
3
1
1 2
−
+
+
∫
x

x
dx
6)
1
2
1
(4 1)( 1)
−
+ +
∫
x
dx
x

7)
2
2
sin sin 3 cos 5
1
π
π
−
+
∫
x
x x x
dx
e
8)
4

6 6
4
sin cos
6 1
π
π
−
+
+
∫
x
x x
dx
9)
2
2 2
2
sin
1 2
π
π
−
+
∫
x
x x
dx

HT 34: Tính các tích phân sau (dạng 3):
1)

2
0
cos
cos sin
π
+
∫
n
n n
x
dx
x x
(n
∈
N
*
) 2)
2
7
7 7
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
3)

2
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x

4)
2
2009
2009 2009
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
5)
2
4
4 4
0
cos

cos sin
π
+
∫
x
dx
x x
6)
2
4
4 4
0
sin
cos sin
π
+
∫
x
dx
x x

HT 35: Tính các tích phân sau (dạng 4):
1)
2
0
.sin
4 cos
π
−
∫

x x
dx
x
2)
2
0
cos
4 sin
π
+
−
∫
x x
dx
x
3)
2
0
1 sin
ln
1 cos
π
 
+








 
+
∫
x
dx
x

4)
4
0
ln(1 tan )
π
+
∫
x dx
5)
2
3
0
.cos
π
∫
x xdx
6)
3
0
.sin
π
∫

x xdx

7)
0
1 sin
π
+
∫
x
dx
x
8)
0
sin
2 cos
π
+
∫
x x
dx
x
9)
2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x x

dx
x

10)
4
0
sin 4 ln(1 tan )
π
+
∫
x x dx
11)
2
0
sin
9 4 cos
π
+
∫
x x
dx
x
12)
4
0
sin cos
π
∫
x x xdx

HT 36: Tính các tích phân sau (dạng 5):
1)
2
0
sin
sin cos
π
−
∫
x
dx
x x
2)
2
0
cos
sin cos
π
−
∫
x
dx
x x
3)
2
0
sin
sin cos
π
+

∫
x
dx
x x

4)
2
0
cos
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
5)
2
4
4 4
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
6)

2
4
4 4
0
cos
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x

7)
2
6
6 6
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
8)
2
6
6 6

0
cos
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
9)
2
2
0
2 sin .sin 2
π
∫
x xdx

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16

10)
2
2
0
2 cos .sin2
π
∫
x xdx

11)
1
1
−
−
−
∫
x
x x
e
dx
e e
12)
1
1
−
−
−
−
∫
x
x x
e
dx
e e

13)
1
1
−

−
+
∫
x
x x
e
dx
e e
14)
1
1
−
−
−
+
∫
x
x x
e
dx
e e


BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình phẳng
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b. là:

( )
=
∫
b
a
S f x dx
(1)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b .là:
( ) ( )
= −
∫
b
a
S f x g x dx
(2)
Chú ý:

•
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
( ) ( )
=
∫ ∫
b b
a a
f x dx f x dx


•

Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể
làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c,
d (c < 4).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

( ) ( ) ( ) ( )
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx

=
( ) ( ) ( )
+ +
∫ ∫ ∫
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

•
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

( ) ( )
= −

∫
d
c
S g y h y dy

2. Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a
≤
x
≤
2).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
( )
=
∫
b
a
V S x dx

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17

2
( )
π=
∫
b
a
V f x dx

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
2
( )
π=
∫
d
c
V g y dy


VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
HT 37: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
2
4 6, 0, 2, 4
= − − = = − =
y x x y x x
2)
ln 1
, 0, ,

= = = =
x
y y x x e
x e

3)
1 ln
, 0, 1,
+
= = = =
x
y y x x e
x
4)
ln
, 0, , 1
2
= = = =
x
y y x e x
x

5)
1
ln , 0, ,
= = = =
y x y x x e
e
6)
3

, 0, 2, 1
= = = − =
y x y x x

7)
4
1
, 0, 0,
2
1
= = = =
−
x
y y x x
x
8)
1
lg , 0, , 10
10
= = = =y x y x x

HT 38: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
3 1
, 0, 0
1
− −
= = =
−
x

y y x
x
2)
, 2 , 0
= = − =
y x y x y

3)
, 2, 1
= = =
x
y e y x
4)
, 2 0, 0
= + − = =
y x x y y

5)
2 2
2 , 2 1, 2
= = − − =
y x y x x y
6)
2
4 5, 2 4, 4 11
= − + = − + = −y x x y x y x

7)
2
2

27
, ,
27
= = =
x
y x y y
x
8)
2 2
2 , 4 4, 8
= = − − =
y x y x x y

HT 39: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
2 2
4 , 2
= − = −
y x y x x
2)
2
4 3 , 3
= − + = +
y x x y x

3)
2 2
1 1
, 3
4 2

= = − +
y x y x
4)
2
2
1
,
2
1
= =
+
x
y y
x

5)
2
, 2= = −
y x y x
6)
2 2
2 , 4
= − = − +
y x x y x x

7)
2
2
1
,

2
1
= =
+
x
y y
x
8)
2
3 , 0
= + + =
y x y
x

9)
2
2 , 2
= + = +
y x x y x
10)
2
2, 4
= + = −
y x y x

HT 40: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
2 2
,
= = −

y x x y
2)
2
5 0, 3 0
+ − = + − =
y x x y

3)
2
2 0, 0
− + = + =
y y x x y
4)
2
2 1, 1
= + = −
y x y x

5)
2
2 , , 0, 3
= = = =
y x y x y y
6)
2
( 1) , sin
π
= + =
y x x y

HT 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
. ; 0; 1; 2.
= = = − =
x
y x e y x x
2)
2
.ln ; 0; 1; .
= = = =
y x x y x x e

3)
; ; 1.
−
= = =
x x
y e y e x
4)
2
5 ; 0; 0; 3 .
−
= = = = −
x
y y x y x

5)
5
( 1) ; ; 1.
= + = =

x
y x y e x
6)
1
ln , 0, ,
= = = =
y x y x x e
e

7)
2
sin cos , 0, 0,
π
= + = = =
y x x y x x
8)
sin ; ; 0; 2 .
π
= + = = =
y x x y x x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18

9)
2
sin ; ; 0; .
π π
= + = = =y x x y x x

10)
2
sin sin 1, 0, 0,
2
π
= + + = = =y x x y x x

HT 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
3 2
( ) : 2 4 3, 0
= − + − =
C y x x x y
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
2)
3
( ) : 3 2, 1
= − + = −
C y x x x
và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
3)
2
( ) : 2
= −
C y x x
và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
HT 43: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành (Ox)
1)

sin , 0, 0,
4
π
= = = =y x y x x
2)
3 2
1
, 0, 0, 3
3
= − = = =
y x x y x x

3)
6 6
sin cos , 0, 0,
2
π
= + = = =
y x x y x x
4)
, 4
= =
y x x

5)
3
1, 0, 1, 1
= − = = − =
y x y x x
6)

2
,= =
y x y x

7)
2 3
,
4 8
= =
x x
y y
8)
2
4 , 2
= − + = +
y x x y x

0)
sin , cos , ,
4 2
π π
= = = =
y x y x x x
10)
2 2
( 2) 9, 0
− + = =
x y y

11)

2 2
4 6, 2 6
= − + = − − +
y x x y x x
12)
ln , 0, 2
= = =
y x y x

HT 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung (Oy):
1)
2
, 1, 4
= = =
x y y
y
2)
2
, 4
= =
y x y

3)
, 0,
= = =
x
y e x y e
4)
2
, 1, 2

= = =
y x y y


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19

BÀI 4: ÔN TẬP

HT 45: Tính các tích phân sau:
1)
2
2
0
−
∫
x x dx
2)
3
7
8 4
2
1 2+ −
∫
x
dx
x x
3)
3

2
1
2 1− +
∫
x x dx

4)
2
2
1
1
2
−
 
−








+
 
∫
x
dx
x
5)

5
3
( 2 2 )
−
+ − −
∫
x x dx
6)
1
2
0
2 5 2
+ +
∫
dx
x x

7)
1
2
0
( 1)
+
∫
xdx
x
8)
0
2
1

2 4
−
+ +
∫
dx
x x
9)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+
∫
x x x
dx
x

10)
1
3
2
0
1
+
∫
x
dx

x
11)
1
2
0
1 +
∫
xdx
x
12)
1
3
0
( 1)
+
∫
xdx
x

HT 46: Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1 1
+ −
∫
x
dx
x
2)

3
3 2
0
1 +
∫
x x dx
3)
9
3
1
1−
∫
x x dx

4)
3
5 3
2
0
2
1
+
+
∫
x x
dx
x
5)
4
1

2
5 4
−
+ +
∫
dx
x
6)
2
4
5
0
1
+
∫
x
dx
x

7)
2
2 2
0
4 −
∫
x x dx
8)
2
1
2 2

+ + −
∫
xdx
x x
9)
0
1
1
−
+
∫
x x dx

10)
3
2 3
0
1 .+
∫
x x dx
11)
1
3 2
0
3+
∫
x x dx
12)
3
1

3
3 1 3
−
−
+ + +
∫
x
dx
x x

13)
1
5 2
0
1−
∫
x x dx
14)
3
3 3
0
1 .
+
∫
x x dx
15)
7/3
3
0
1

3 1
+
+
∫
x
dx
x

16)
1
2
2
3
0
( 1)
+
+
∫
x x
dx
x
17)
10
5
2 1
− −
∫
dx
x x
18)

1
3 2
0
1−
∫
x x dx

HT 47: Tính các tích phân sau:
1)
/4
2
0
1 2 sin
1 sin 2
π
−
+
∫
x
dx
x
2)
/2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫

x x
dx
x
3)
/2
0
sin 2 cos
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

4)
/2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
π
+
∫
x
dx
x x
5)
/2
0

sin sin 2 sin 3
π
∫
x x x dx
6)
/2
5
0
cos
π
∫
xdx

7)
/2
4 4
0
cos2 (sin cos )
π
+
∫
x x x dx
8)
/3
2
/4
tan
cos 1 cos
π
π

+
∫
x
dx
x x
9)
2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

10)
/4
2
0
tan
π
∫
x x dx
11)
/2
0
sin 2
cos 1

π
+
∫
x
dx
x
12)
/2
0
sin
1 3 cos
π
+
∫
x
dx
x

13)
/2
2012
2012 2012
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx

x x
14)
/2
3
0
4 sin
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
15)
/4
2
0
1 2 sin
1 sin 2
π
−
+
∫
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20

16)
/2
0
cos 3
sin 1
π
+
∫
x
dx
x
17)
/2
2 2
0
sin
sin 2 cos cos
2
π
+
∫
xdx
x
x x
18)
/3
2
2
0

sin
sin 2 cos
π
∫
x xdx
x x

HT 48: Tính các tích phân sau:
1)
3
2
0
ln( 5)
+
∫
x x dx
2)
3
2
2
ln( )
−
∫
x x dx
3)
1
2
0
( 2)−
∫

x
x e dx

4)
/2
sin
0
( cos )cos
π
+
∫
x
e x x dx
5)
ln 5
ln 3
2 3
−
+ −
∫
x x
dx
e e
6)
2 2
1
ln
∫
e
x x dx

7)
3
1
1
ln
+
∫
e
x
xdx
x
8)
1
2
0
( 1)+
∫
x
x e dx
9)
1
0
1 +
∫
x
dx
e

10)

2
2
2
0
( 2)+
∫
x
x e
dx
x
11)
1
2 2
0
(4 2 1)− −
∫
x
x x e dx
12)
2
2
1
ln(1 )
+
∫
x
dx
x

13)

/2
3
0
sin 5
π
∫
x
e x dx
14)
2
1
ln
∫
e
x
dx
x
15)
1
2
0
ln(1 )
+
∫
x x dx

16)
1
3 2 ln
1 2 ln

−
+
∫
e
x
dx
x x
17)
1
1 3 ln .ln+
∫
e
x x
dx
x
18)
3
2
1
ln
ln 1
+
∫
e
x
dx
x x

HT 49: Tính các tích phân sau:
1)

2
2
0
2 cos
1 sin 2
π
+
=
+
∫
x x
I dx
x
2) 2)
2
2
0
( sin 1) cos
1 sin
π
+ + +
=
+
∫
x x x x x
I dx
x x
3)
0
cos2

2 cos 3
π
=
+
∫
x
I dx
x

4)
2
2
0
3
2 cos cos 3
2 2
1 sin
π
−
=
+
∫
x x
I dx
x
5)
2
1
( 2)(1 2 ) 1
(1 )

+ + +
=
+
∫
x
x
x xe
I dx
x xe
6)
2
3
2 sin
1 cos
π
π
+
=
+
∫
x
I dx
x

7)
2 2
1
( 1)ln ln 1
1 ln
+ + +

=
+
∫
e
x x x x
I dx
x x
8)
1
2 2
0
( 1) 1
+ + +
=
+
∫
x x
x
x e xe
I dx
x e
9)
2
4
3
2 sin
(1 cos )
π
π
+

=
+
∫
x
I dx
x

10)
2
1
2 1
0
(2 1)
+ +
+ +
∫
x x
x x e dx
11)
2
1
ln(1 ln )
+
=
∫
e
x
I dx
x
12)

2
3
2
2
ln(sin )
sin
π
π
=
∫
x
I dx
x

13)
4
0
(2 cos 2 1)
cos 1 sin 2
π
+
=
+
∫
x dx
I
x x
14)
2
4

sin
4
2 sin .cos 3
π
π
π
 



+





 
=
−
∫
x
I dx
x x
15)
1
2 2
2
0
−
=

+
∫
x
x x
x e
I dx
xe e

16)
2
3
(1 cos )
( sin )sin
π
π
+
=
+
∫
x x
I dx
x x x
17)
3
2
6
ln(sin ) cos 2
cos
π
π

+
=
∫
x x
I dx
x
18)
2
2 2
2
sin cos
3 cos 4 sin
π
π
−
+
=
+
∫
x x
I dx
x x
19)
2
0
1 sin
1 cos
π
 
+




=





+
 
∫
x
x
I e dx
x
20)
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
− +
=
−
∫
e
e
x x x x
I dx

x x
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21

21)
4
0
( sin ) sin
1
π
+ −
=
−
∫
x x x x x
I dx
x

22)
3
4
2
2
cot cot
π
π
+
=
∫

x
x x
I dx
e
23)
2
2
6
( 1)cos sin2
sin
1 sin
π
π
+ +
= +
+
∫
x x x
x
I dx
x x

24)
1
2
0
( )
−
+
=

+
∫
x
x
x x e
I dx
x e
25)
6
2
0
tan tan 2
cos 2
π
+
=
∫
x x x
I dx
x




HT 50: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
3
3 1, 0, 0, 1
= − + = = = −
y x x y x x

2)
4
, 0, 2, 1
2
= = = − =
−
y y x x
x

3)
4 2
1 9
2 , 0
4 4
= − + + =
y x x y
4)
, 2, 1
= = =
x
y e y x

5)
1 1
1 , 0, 2, 4
2 1
= − + = = =
−
y x y x x
x

6)
2 2
2 , 4
= − = − +
y x x y x x

7)
2 1
, 0, 0
1
+
= = =
+
x
y y x
x
8)
2
, 0
1
− +
= =
+
x x
y y
x


HT 51: Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:
1)

, 0, 3;= = =
y x y x Ox
2)
ln , 0, 1, ;= = = =
y x x y x x e Ox

3)
, 0, 1;
= = =
x
y xe y x Ox
4)
2 2
4 , 2;= − = +
y x y x Ox

5)
2
4 , 0;= − =
y x x Oy
6)
, 0, 1;
= = =
y
x ye x y Oy



GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011
HT 52: (A,A1 – 2012)
3
2
1
1 ln( 1)
+ +
=
∫
x
I dx
x
Đ/s:
2 2
ln 3 ln 2
3 3
= + −I

HT 53: (B – 2012)
1
3
4 2
0
3 2
=
+ +
∫
x

I dx
x x
Đ/s:
3
ln 3 ln 2
2
= −I

HT 54: (D – 2012)
4
0
(1 sin 2 )
π
= +
∫
I x x dx
Đ/s:
2
1
32 4
π
= +
I

HT 55: (A – 2011)
4
0
sin ( 1)cos
2
: ln 1

sin cos 4 2 4
π
π π
 
 

+ +






= = + +






 


+

 

 
∫
x x x x

I dx KQ I
x x x

HT 56: (B – 2011)
os
3
2
0
1 sin 2
: 3 ln(2 3)
3
π
π+
= = + + −
∫
x x
I dx KQ I
c x

HT 57: (D – 2011)
4
0
4 1 34 3
: 10 ln
3 5
2 1 2
−
= = +
+ +
∫

x
I dx KQ I
x

HT 58: (A – 2010)
1
2 2
0
2 1 1 1 2
: ln
3 2 3
1 2
 
+ + +



= = +





 
+
∫
x x
x
x e x e e
I dx KQ I

e

HT 59: (B – 2010)
2
1
ln 3 1
: ln
2 3
(2 ln )
= = −
+
∫
e
x
I dx KQ I
x x

HT 60: (D – 2010)
2
1
3 2
2 ln . :
2
 
−



= − =






 
∫
e
e
I x x dx KQ I
x

HT 61: (A – 2009)
2
3 2
0
8
(cos 1)cos . :
15 4
π
π
= − = −
∫
I x x dx KQ I

HT 62: (B – 2009)
3
2
1
3 ln 1 27
: 3 ln

4 16
( 1)
 
+



= = +





 
+
∫
x
I dx KQ I
x

HT 63: (D – 2009)
3
2
1
: ln( 1) 2
1
= + + −
+
∫
x

dx
I KQ e e
e

HT 64: (A – 2008)
6
4
0
tan 1 10
: ln(2 3)
cos2 2
9 3
π
= + −
∫
x
I dx KQ
x

HT 65: (B – 2008)
4
0
sin
4
4 3 2
:
sin 2 2(1 sin cos ) 4
π
π
 




−





 
−
=
+ + +
∫
x dx
I KQ
x x x

HT 66: (D – 2008)
2
3
1
ln 3 2 ln 2
:
16
−
=
∫
x
I dx KQ

x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23

HT 67: (A – 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( 1) , (1 ) : 1 ( )
2
= + = + = −
x
e
y e x y e x KQ S dvdt

HT 68: (B – 2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
ln . 0,
= = =
y x x y x e
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi H quay quanh
Ox

3
(5 2)
: ( )
27
π −
=
e
KQ V dvtt

HT 69:
(D – 2007)
4
3 2
1
5 1
ln :
32
−
=
∫
e
e
I x xdx KQ

HT 70:
(A – 2006)
os
2
2 2
0
sin 2 2
:
3
4 sin
π
= =
+
∫

x
I dx KQ I
c x x

HT 71:
(B – 2006)
ln 5
ln 3
3
: ln
2
2 3
−
= =
+ −
∫
x x
dx
I KQ I
e e

HT 72:
(D – 2006)
1
2
2
0
5 3
( 2) :
4

−
= −
∫
x
e
I x e dx KQ

HT 73:
(A – 2005)
2
0
sin 2 sin 34
:
27
1 3 cos
π
+
= =
+
∫
x x
I dx KQ I
x

HT 74:
(B – 2005)
2
0
sin 2 cos
: 2 ln 2 1

1 cos
π
= = −
+
∫
x x
I dx KQ I
x

HT 75:
(D – 2005)
2
sin
0
( cos )cos : 1
4
π
π
= + = + −
∫
x
I e x xdx KQ I e

HT 76:
(A – 2004)
2
1
11
: 4 ln 2
3

1 1)
= = −
+ −
∫
x
I dx KQ I
x

HT 77:
(B – 2004)
1
1 3 ln ln 116
:
135
+
= =
∫
e
x x
I dx KQ I
x

HT 78:
(D – 2004)
3
2
2
ln( ) : 3 ln 3 2
= − = −
∫

I x x dx KQ I

HT 79:
(A – 2003)
2 3
2
5
1 5
: ln
4 3
4
=
+
∫
dx
I KQ
x x

HT 80:
(B – 2003)
4
2
0
1 2 sin 1
: ln 2
1 sin 2 2
π
−
= =
+

∫
x
I dx KQ I
x

HT 81:
(D – 2003)
2
2
0
: 1
= − =
∫
I x x dx KQ I

HT 82:
(A – 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24

2
109
4 3 , 3 : ( )
6
= − + = + =
y x x y x KQ S dvdt

HT 83: (B – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường

2 2
4
4 , : 2 ( )
4 3
4 2
π= − = = +
x x
y y KQ S dvdt

HT 84: (D – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường
3 1
1
− −
=
−
x
y
x
với các trục tọa độ.
4
: 1 4 ln ( )
3
= − +
KQ S dvdt