Bài giảng về nguyên hàm tích phân 2014

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 1



LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG


BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
TÍCH PHÂN






Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 2



I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx



Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1
2 2 2
2
d x dx dx d x
= ⇒ =

( ) ( )
1
3 3 3
3
d x dx dx d x
= ⇒ =

( ) ( ) ( )
2

2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
x
xdx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



( ) ( ) ( )
3
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3 3
x
x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)

( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +



( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2
2
b dx b d b d b xdx d c x
a a
+ = + + = − + → = −


( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1

cos cos sin cos2 sin2
2
ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x
a a
+ = + + = + → =


( )
(
)
(
)
ax 2 2
1 1 1
ax
2
b ax b ax b x x
e dx e d b d e e dx d e
a a
+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax

1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =  +  → =
 
+ +



( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot cot2
2
sin sin sin 2
d b
dx dx
d ax b d x

a a
ax b ax b x
+
= = −  +  → = −
 
+ +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên m
ộ
t kho
ả
ng (a; b). Hàm F(x)
đượ
c g
ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) =
f(x) và
đượ
c vi

ế
t là
( )
f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ
n xét:
V
ớ
i C là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
nào
đ
ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t
ổ

ng quát hóa ta vi
ế
t ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
,
khi
đ
ó F(x) + C
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t h
ọ
nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th

ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t
nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ
:

Hàm s
ố
f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x
2
+ C, vì (x
2
+ C)’ = 2x

Hàm s
ố
f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm s
ố
f(x) và g(x) liên t
ụ
c và t
ồ
n t
ạ
i các nguyên hàm t
ươ
ng
ứ
ng F(x) và G(x), khi
đ
ó ta có các tính
ch
ấ
t sau:
a) Tính ch
ấ
t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Chứng minh:

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′
′
= = ⇒
∫
đpcm.
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 3

b) Tính chất 2:
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x
′ ′ ′
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).
Từ đó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫

Chứng minh:
Tương tự như tính chất 2, ta xét
( )
( ) . ( ) . ( ) ( )
k f x dx k f x k f x dx k f x dx
′

= → = ⇒
∫ ∫ ∫
đpcm.
d) Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f u du
= =
∫ ∫ ∫

Tính ch
ấ
t trên
đượ
c g
ọ
i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t
ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph

ụ
thu
ộ
c vào
hàm, mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM


 Công thức 1:
dx x C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
1
x C dx x C

′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:

1
1
+
= +
+
∫
n
n
x
x dx C
n

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
1 1
1 1
n n
n n
x x
C x x dx C
n n
+ +
′
 

+ = ⇒ = +
 
+ +
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
1
1
n
n
u

u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2
2
dx dx du
n x C u C
x x u
= − ⇒ = = + ←→ = +
∫ ∫ ∫

+ V
ớ
i
2 2
1 1
2
dx du
n C C
x x u u
= − ⇒ = − + ←→ = − +

∫ ∫

Ví dụ:
a)
3
2
3
x
x dx C
= +
∫

b)
( )
5
4 4 2
2 2
5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3

3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( ) ( )
( )
5
4 4
2 1
1
2 1 2 1 2 1
2 5
n
u du
x
I x dx x d x I C
+
= + = + + → = +
∫ ∫

e)
( ) ( ) ( )
( )
2011
2010 2010
1 3
1
1 3 1 3 1 3
3 2011
n
u du
x
I x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 4

f)
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 1

1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+
= = → = − + = − +
+ +
+ +
∫ ∫

g)
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 1 2 3
4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5
4 4 3 8
I x dx x d x I x C x C
= + = + + ⇒ = + + = + +
∫ ∫




 Công thức 3: ln
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
1
ln ln
dx
x C x C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta đượ
c ln
du
u C
u

= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2
2 2
dx
x k C
d ax b
dx
k
b C
dx
b a b a
k x C
k x

= + +

+

+

= = + + →

+ +

= − − +

−

∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
4
3 3
1 1 1
2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)

(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+
= = → = + +
+ +
∫ ∫

c)
(
)
2
2 2
2 1
2 3 3 3 3
2 2 3 ln 2 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
d x
x x dx
dx x dx xdx x x x C
x x x x

+
+ +
 
= + = + = + = + + +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 4:
sinx cos
dx x C
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +

∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c sinu cos
du u C
= − +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
sin sin cos sin 2 cos2
2

+ = + + = − + + → = − +
∫ ∫ ∫
ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C
a a

Ví dụ:
a)
(
)
3
2
2 1
1 1
sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d x
dx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1

cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d x
dx
x dx xdx xd x c x x C
x x x
−
 
+ = + = + = − + − +
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) sin sinx sin3
2
x
x dx

 
+ +
 
 
∫

Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 ; 2 2 2 ; 3 3 3
2 2 2 2 3
x x
d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x
   
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
   
   

Từ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 5



 Công thức 5:
cos sin
xdx x C
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
sin cos cos sin
′
+ = ⇒ = +
∫
x C x xdx x C



Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được cosu sin
du u C
= +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
cos cos sin cos2 sin 2
2
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫
ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C
a a

Ví dụ:
a)
4 1 5
cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x
x x dx xdx dx dx x x x C
x x
−
   

− + = − + − = + + − + +
   
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
2
1
cos2 sin cos2 sin sin 2 cos
2 2
+ − = + − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫
x
x x x dx xdx xdx xdx x x C

c)
( )
2
1 cos2 1 1 1 1 1 1
sin cos2 cos2 2 sin2
2 2 2 2 4 2 4
−
 
= = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
x

xdx dx x dx x xd x x x C



 Công thức 6:
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tanx
cos cos
dx
x C C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
2
tanu
os
du
C
c u
= +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
tan tan2
cos cos cos 2 2
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +

+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 1 5 4
1 2 1 2
2
cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4

d x d x
dx dx
I dx
x x x x x x
 
− −
= + = + = −
 
 
− − − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


( )
2
os
1 1
tan 2 1 ln 5 4
2 2
du
c u
x x C
→ = − − − +

c)
( )
(
)
( )

( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2
cot x
sin
dx
C
x
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
2 2
1
cot cot x
sin
dx
x C C
sin x x
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s

ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
cot cot2
sin sin sin 2 2
+

= = − + + → = − +
+ +
∫ ∫ ∫
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x

Ví dụ:

a)
6
5 5
2 2
1 1
cos2 2 cos2 2 sin 2 cot
sin sin 2 3
dx x
x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 6

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3
1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 
− −
∫ ∫

c)
2
sin
2 2
2

2 2cot
2
sin sin
2 2
du
u
x
d
dx x
I I C
x x
 
 
 
 
= = → = − +
 
   
 
   
   
∫ ∫



 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
u u
e du e C
= +
∫

+
( )
2 2
2 2
1
1 1
2
1

2
+ +
+ + +
− −

= +


= + = + →


= − +


∫
∫ ∫
∫
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d ax b e C
a a
e dx e C

Ví dụ:
a)
( )
(
)

2 1 2 1 2 1
2 2 2
3
1 4 4 1 1
2 1 4.2
sin 3 sin 3 2 3 sin 3
x x x
d x
dx
e dx e dx dx e d x x
x x x
x x
− + − + − +
 
− + = − + = − − + − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2 1
1 1
cot3 8
2 3
x
e x x C
− +
= − + + +

b)

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2
4 1
4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3
3 3
x x x
e c x dx e dx c x dx e d x c x d x
+ + +
+ − = + − = + − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 2
4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a

a dx C
a
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
ln
ln ln ln
x x x
x x
a a a a
C a a dx C
a a a
′
 
+ = = ⇒ = +
 
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s

ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
u u
a du a C
= +
∫

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2

3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3ln2 2ln3
u
x x
a dux x x x x x
I dx dx dx d x d x I C
= + = + = + → = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
( ) ( )
1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3
1 3 2 3
2 2 3 2 1 2 4 3
2 4 2ln2 4
x
x x x x x x x
e dx dx e dx d x e d x e C
−
− + − + − + +
− = − = − − − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)

(
)
5
1
2
I x x dx
= +
∫
2)
3
5
2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx

= − +
∫

4)
3
4
2
5
1 2
4
x
I x dx
x
x
 
= − +
 
 
 
∫
5)
5
1
x+ dx
x
I
 
=
 
 

∫
6)
4
6
2
2 3
x
I dx
x
+
=
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 7

7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫
8)
(

)
2
3
8
2 1
I x dx
= −
∫

9)
(
)
2
2
9
2
4x
I dx
x
+
=
∫

10)
4 3 2
10
2
3 2 1
x x x
I dx

x
+ − +
=
∫
11)
2
11
x x x x
I dx
x
− −
=
∫
12)
12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

13)
3
13
1
I x dx

x
 
= −
 
 
∫

14)
2
14
3
1
I x dx
x
 
= +
 
 
∫

15)
(
)
2
3
15
2 3x x
I dx
x
−

=
∫

16)
(
)
(
)
4
16
2
I x x x x dx
= − −
∫
17)
17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x

I dx
x
+
=
−
∫

19)
19
π
sin
2 7
x
I dx
 
= +
 
 
∫
20)
20
sin2 sin
3
x
I x dx
 
= +
 
 
∫

21)
21
sin
2
x
I x dx
 
= +
 
 
∫

22)
22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2

23
cos
2
x
I dx
=
∫
24)
2
24
sin
2
x
I dx
=
∫


26)
26
2
cos 4
dx
I
x
=
∫
27)
( )
27

2
cos 2 1
dx
I
x
=
−
∫
28)
(
)
2
28
tan 2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx

=
∫
31)
( )
31
2
sin 2 3
dx
I
x
=
+
∫


32)
32
1 cos6
dx
I
x
=
−
∫
33)
2 2
33
2
1
cot dx

I x x
x
 
= + +
 
 
∫
34)
2
34
1
dx
3 2
I x
x
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x

 
= −
 
−
 
∫
36)
36
2
dx
3
x
I
x
+
=
−
∫
37)
37
2 1
4 3
x
I dx
x
−
=
+
∫

38)
38
6 5
x
I dx
x
=
−
∫
39)
2
39
11
3
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x

− +
=
−
∫

41)
3 2
41
3 2 1
2
x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫
42)
3 2
42
4 4 1
2 1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
43)

2
43
4 6 1
2 1
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫

44)
2x 3
44
I e dx
− +
=
∫
45)
3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫

46)
2
1
46
.
x
I x e dx
− +
=
∫

47)
47
2
2
sin (3 1)
x
I e dx
x
−
 
= +
 
+
 
∫
48)
48
2
2

cos
x
x
e
I e dx
x
−
 
= +
 
 
∫
49)
(
)
1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

50)
50
1
2
x
I dx

=
∫

51)
51
2
7
x
x
I dx
=
∫
52)
2 1
52
3
x
I dx
+
=
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 8




CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
xdx d x d x a d a x
= = ± = − − 6.
( ) ( ) ( )
2
cot cot cot
sin
dx
d x d x a d a x
x
= − = − ± = −
2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

3.
sin (cos ) (cos ) ( cos )
xdx d x d x a d a x
= − = − ± = −

8.
(
)
(
)
(
)
x x x x
e dx d e d e a d a e
= = ± = − −

4.
cos (sin ) (sin ) ( sin )
xdx d x d x a d a x
= = ± = − −

9.
( ) ( ) ( )
ln ln ln
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

5.

( ) ( ) ( )
2
tan tan tan
cos
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −
10.
( ) ( )
1 1
dx d ax b d b ax
a a
= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫


b)

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫

c)
2
3
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )

( )
2
2 2
1 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du
d u
u

 
= = = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
( )

2 2
(ln ) ln
2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
ln 1 .
2 2 2
1 1 1
du
d u u C
u
d x d x
x
I dx I x C
x x x
= = +
+
= = = ←→ = + +
+ + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th

ứ
c vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+

 
= = = ±

 
  

 

=
 

+

 


Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
11
2
10 10
2 2 2
2
1
1
1 1 1 .
2 22
x
I x x dx x d x C
+
= + = + + = +
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân

( )
( )
3
2 3
1
3 3
2
x
x dx d d x a
du
d u
u

 
= = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)

3 3
2 3
3
3 3 3
1 1
1 2 2 1
.
3 3 3
1 1 2 1
d x d x
x dx x
I C
x x x
+ +
+
= = = = +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
4
1
I x x dx
= −
∫
b)
5
2 1

dx
I
x
=
−
∫
c)
6
5 2
I x dx
= −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 9

a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
2
2 2

1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d a x
u
u du d
n
+

 
= = = − −

 
  

 

=
 

+
 


Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
1 1
2 2 2 2 2
2 2
4
1
1 1
1 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
1 1
ax ax

2
dx d b d b
a a
du
d u
u

= + = − −




=



Ta có
(
)
(
)
( )
2
5 5
2 1 2 1
1
2 1 .
2
2 1 2 1 2 2 1
du

d u
u
d x d x
dx
I I x C
x x x
=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −




 

=
 

+
 


( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3
1
2
2
6
5 2
2 5 2
1 1 1
5 2 5 2 2 5 2 5 2 . .
2 2 2 3 3
x
x
I x dx x d x x d x C C
−
−
⇒ = − = − = − − − = − + = − +

∫ ∫ ∫

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
7
5
4
2
5
x
I dx
x
=
−
∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
c)
3
9
ln

x
I dx
x
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
4
3 4 4
1
1 1
4 4 4
1
n
n
x
x dx d d x a d a x
du u
d
n
u
− +

 
= = ± = − −

 
  


 

=
 

− +
 


( ) ( )
( )
( )
4
4
4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5
4 4
5 5
5 5
4

2 1 1
2 5 5 . .
2 2 4 8
5 5
x
d
x
x
x
I dx x d x C C
x x
−
 
 
−
−
 
⇒ = = = − − = + = +
− −
∫ ∫ ∫

b)
Ta có

( ) ( )
( )
6
5
8
5

3 2
1
3 2 3 2 .
(3 2 ) 2 12
x
dx
I x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x
= ta được
( )
3 4
3

9
ln ln
ln ln .
4
x x
I dx xd x C
x
= = = +
∫ ∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
10
2010
3
4 2
dx
I
x
=
−
∫
b)
11
cos
x
I dx
x
=

∫
c)
12
cos sin
I x xdx
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009
4 2
3 3 3 3
4 2 4 2 .
2 2 2009

4 2 4018 4 2
x
dx
I x d x C C
x x
−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
cos sin
2
udu d u
dx
d x
x

 =


=



Ta có
( )
11
cos cos
2 2 os 2sin .
2
x x
I dx dx c x d x x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 10

c) Sử dụng các công thức vi phân
(
)
( )
cos sin
sin x cos
udu d u

dx d x

=


= −



Ta có
( ) ( )
( )
3
3
1
2
2
12
2 cos
2 cos
cos sin cos cos .
3 3
x
x
I x xdx x d x C
= = − = − = − +
∫ ∫

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

3
13
sin cos
I x xdx
=
∫
b)
14
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
4
15
sin cos
I x xdx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a)
S
ử
d
ụ

ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
sin cos
cos sin
udu d u
xdx d x

= −


=



Ta có
( ) ( )
( )
1 4
3 3
4
3
3
4
1
3
4

3
3
3 13
3 sinx
3 sin
sin cos sinx sin
4 4
u du d u
x
I x xdx d x I C C
 
 
=
 
 
= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4
cos
sin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
x

x d x
I dx C C
x x x
−
= = − = − + = +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
1
cos sin
1
n
n
xdx d x
u
u du d
n
+
 =


 

=
 

+
 


Khi
đ
ó ta
đượ
c
( )
5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d
x
I x xdx xd x I C
 
=

 
 
 
= = ←→ = +
∫ ∫

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
16
tanx
I dx
=
∫
b)
17
sin 4 cos4
I x xdx
=
∫
c)
18
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C
u
= −



= +


∫

Ta có
(
)
16
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
xdx
I xdx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫

b)
Ta có
( ) ( )
17
1 1
sin 4 cos4 sin 4 cos4 4 sin4 sin4
4 4
I x xdx x xd x x d x
= = =
∫ ∫ ∫

( )
3
3
2

2 sin 4
1 sin 4
. .
4 3 6
x
x
C C
= + = +

c)
Ta có

(
)
(
)
18
cos 3cos 1
sin 1 1
ln 1 3cos .
1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
19
2
2cos
2 5sin
xdx
I
x
=
−
∫
b)
20
cos
4sin x 3
xdx
I =
−
∫
c)
(
)
21
tan .ln cos
I x x dx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
cos (sin x)
1
xdx d
du
d
u
u
=



 
= −
 

 


( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
19

2 2 2
2 sin 2 5sin
2cos 2 2
.
5 5 2 5sin
2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d x
xdx
I C
x
x x x
−
⇒
= = = − = +
−
− − −
∫ ∫ ∫

b) Sử dụng công thức vi phân
( )
cos (sin x)
2
xdx d
du
d u
u
=




=



Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 11

Ta được
(
)
(
)
(
)
20
sin 4sin 4sin 3
cos 1 1 1
4sinx 3 .
4 2 2
4sinx 3 4sinx 3 4sin x 3 2 4sinx 3
d x d x d x
xdx
I C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c nguyên hàm c
ơ
b
ả
n
(
)
2
cos
sin
tan ln cos
cos cos
2
d x
xdx
xdx x C
x x
u
udu C

= = − = − +





= +


∫ ∫ ∫
∫

Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
21
cos
sin
tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d x
x
I x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.

2 2
x x
C I C
= − + → = − +

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
22
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
b)
3
23
4
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
24
2

tan2 1
cos 2
x
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
tan
cos
2
dx
d x
x
u
u du C

=




= +



∫

Ta có
( )
2 2
22 22
2 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2
cos cos
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
2
2

tan
cos
1
1 tan
cos
dx
d x
x
x
x

=




= +



Ta có
( ) ( )
3
3 3 2 5 3
23
4 2 2
tan 1
tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )
cos cos cos
x dx

I dx x x x d x x x d x
x x x
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x x
C I C
= + + → = + +

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2 2
2
1 ( ) 1
tan( )
cos cos
2
dx d ax

d ax
ax a ax a
u
udu C

= =




= +


∫

Ta có
24
2 2 2 2 2
tan2 1 tan2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )
2 2
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x
I dx
x x x x x
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
24

1 1 tan 2 tan2 tan 2 tan 2
tan2 (tan2 ) (tan2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
xd x d x C I C
= + = + + → = + +
∫ ∫

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
25
2
cot
sin
x
I dx
x
=
∫
b)
26
3
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)

27
cot
π
cos
2
x
I dx
x
=
 
+
 
 
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
cot
sin
2
dx
d x
x
u
udu C

= −





= +


∫

Ta có
( )
2 2
25 25
2 2
cot cot cot
cot . cot cot .
2 2
sin sin
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 12

b) Sử dụng các công thức
(

)
1
sin x cos
1
n
n
dx d x
du u
C
u n
− +
 = −


= +

− +

∫

Ta có
( ) ( )
3
26 26
3 4 4 3 3
cos cos
tan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x x

x xdx
I dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
cos sin
π
cos sin
2
1
xdx d x
x x
du
C
u u



=


 
+ = −

 
 


= − +


∫

Ta có
( )
27 27
2 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.
π
sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x xdx d x
I dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +

−
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
28
3
x
e
I dx
x
=
∫
b)
tan 2
29
2
cos
x
e dx
I
x
+
=
∫
c)

2
1
30
.
x
I xe dx
−
=
∫


d)
cos
31
sin
x
I e xdx
=
∫
e)
2ln 3
32
x
e
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
u u
dx
d x
x
e du e C

=



= +

∫

Ta có
( )
28 28
3
3.2 6 6 6 .
2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e C I e C
x x
= = = = + → = +

∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2
tan tan
cos
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±



= +

∫

Ta có
( )

tan 2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 29
2 2
tan 2 .
cos cos
x
x x x x
e dx dx
I e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2 2
1 1
1
2 2
u u

xdx d x d x
e du e C

= = − −



= +

∫

Ta có
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
30 30
1 1 1
. 1 .
2 2 2
x x x x x
I x e dx e xdx e d x e C I e C
− − − − −
= = = − − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức
(
)
sin cos
u u

xdx d x
e du e C

= −


= +


∫

Ta có
(
)
cos cos cos cos
31 31
sin cos .
x x x x
I e xdx e d x e C I e C
= = − = − + → = − +
∫ ∫

e) Sử dụng các công thức
( ) ( )
ln ln
u u
dx
d x d x k
x
e du e C


= = ±



= +

∫

Ta có
( ) ( )
2ln 3
2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3
32
1 1
ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e d x e C
x x
+
+ + + +
= = = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Vậy
2ln 3
2ln 3

32
1
.
2
x
x
e
I dx e C
x
+
+
= = +
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 13

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫
2)

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫
3)
3
cos
x
I dx
x
=
∫

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫
5)
5
3
sin
cos
x
I dx
x
=

∫
6)
3
6
sin cos
I x xdx
=
∫

7)
7
2
5
x
I dx
x
=
+
∫
4)
8
2 1
dx
I
x
=
−
∫
3)
9

5 2
I xdx
= −
∫

10)
3
10
ln
x
I dx
x
=
∫
11)
2
1
11
.
x
I xe dx
+
=
∫
12)
4
12
sin cos
I x xdx
=

∫

13)
13
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
14)
14
cot
I xdx
=
∫
15)
15
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫

16)

tan
16
2
cos
x
e
I dx
x
=
∫
17)
17
x
e
I dx
x
=
∫
18)
2
18
1
I x x dx
= +
∫

19)
19
5
(3 2 )

dx
I
x
=
−
∫
20)
2 3
20
5
I x x dx
= +
∫
21)
2
21
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

22)
2
22
1
I x x dx

= −
∫
23)
23
cos 1 4sin
I x x dx
= +
∫
24)
2
24
1
I x x dx
= +
∫

25)
cos
25
sin
x
I e xdx
=
∫
26)
2
2
26
.
x

I x e dx
+
=
∫
27)
27
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫

28)
2
1
28
.
x
I x e dx
−
=
∫
29)
(
)
sinx
29

cos cos
I e x xdx
= +
∫
30)
2ln 1
30
x
e
I dx
x
+
=
∫


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 14



DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
 Nếu hàm f(x) có chứa
2 2
a x
−
thì đặt
2 2 2 2 2
(asin ) cos

asin
sin cos
dx d t a t dt
x t
a x a a t a t
= =


= →

− = − =



 Nếu hàm
f
(
x
) có chứa
2 2
a x
+
thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

adt
dx d a t
t
x a t
a
a x a a t
t

= =


= →


+ = + =




N
ế
u hàm f(x) có ch
ứ
a
2 2
x a
−
thì
đặ
t

2
2
2 2 2
2
cos
sin sin
sin
sin cot
a a t dt
dx d
t t
a
x
t
a
a
x a a
t t
 −
 
= =
 

 

= →


− = − =




Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
1
2
; 2
4
= =
−
∫
dx
I a
x
b)
( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2
3
2
; 1
1

= =
−
∫
x dx
I a
x
d)
( )
2 2
4
9 ; 3
= − =
∫
I x x dx a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t
1
2 2
2
(2sin ) 2cos
2cos
2sin
2cos

4 4 4sin 2cos
4
dx d t tdt
dx tdt
x t I dt t C
t
x t t
x
= =


= → → = = = = +

− = − =
−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   

= ⇔ = → = +
   
   

b) Đặ
t
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi
đ
ó
2
2
1 cos2 1 1 1
1 cos .cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4

t t
I x dx t t dt dt dt tdt t C
+
= − = = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2
arcsin 1
1
2 2
x

I x x C
→ = + − +

c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi đó,
2 2
2
3
2
sin .cos 1 os2 1 1
sin sin2
cos 2 2 4
1
x dx t tdt c t

I t dt dt t t C
t
x
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
3
arcsin 1
1

2 2
x
I x x C
→ = − − +

d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi đó,
2 2 2 2 2 2
4
81 81 1 os4
9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c t
I x x dx t t t dt t t dt t dt dt

−
= − = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

03. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 15

81 1 1 81 1
os4 sin4
4 2 2 4 2 8
t
dt c tdt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫

Từ
2
2
2
cos 1 sin 1
2
9

3sin sin2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x
x t t
x
t

= − = −


= ⇒ → = −

 

=
 

 


M
ặt khác,
2
2 2 2
2
2 2 2

os2 1 2sin 1 2 1 sin4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
 
 
= − = − = − → = = − −
 
 
 
 

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin
81 2
3
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
 

 
 
 
 
 
 
= − − − +
 
 
 
 
 

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

( )
1
2
; 1
1
dx
I a
x
= =
+
∫


b)

2
2
2 5
I x x dx
= + +
∫


c)

( )
2
3
2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặ
t
2
2
2

1
2
2 2
(tan ) (1 tan )
(1 tan )
tan
cos
1 tan
1 1 tan
dt
dx d t t dt
t dt
x t I dt t C
t
t
x t

= = = +
+

= → → = = = +

+

+ = +

∫ ∫

T
ừ

gi
ả
thi
ế
t
đặ
t
1
tan arctan arctan .
x t t x I x C
= ⇔ = → = +

b)
Ta có

1
2 2 2
2
2 5 ( 1) 4 ( 1) 4
t x
I x x dx x d x I t dt
= +
= + + = + + + → = +
∫ ∫ ∫


Đặ
t
2
2

2
2
2 2
2
(2tan )
2 cos
cos
2tan
2
2
cos cos
.cos
4 4 4tan
cos
cos
du
dt d u
du du u du
u
t u I
u u
u
t u
u
u

= =


= → → = = =



+ = + =


∫ ∫ ∫

2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u u
d u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2 2
2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4

t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 sin 1 1
4 2 5
ln ln ln .
1
2 1 sin 2 2
1 1
4 2 5
t x
u
t x x
I C C C
t x

u
t x x
+
+ +
+
+ + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +

c) Đặ
t
2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c t
x t
x t

= = = +


= →


+ = +


( )
2 2 2 2 2
2 2
3
2
3 4
2
2
4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )
4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos
2 1 tan
1 sin
t t dt t t tdt t d t
I t t dt dt
t t
t
t
+
→ = = + = = =
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
( )
2
2
2
3
2 2
2
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )
1
u u u u
u t I du du du
u u u
u
 
+ − −
 
= → = = =
 
 
− + −
 
 
−
∫ ∫ ∫

2

2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u du
du
u u u u u u u u u u
− + − + +
 
= − = + − = − + −
 
− + − + − + − + − +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du du
du u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − +
 
− + + − − + + − − +
 
∫ ∫ ∫


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 16

3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +

Từ giả thiết
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +

2
3
2
2 2 2

1
1 1
4
sin ln .
4
1 1 1
4 4 4
x
x
x
t I C
x x x
x
x x x
−
+
⇔ = → = − + +
+
− + +
+ + +

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
dx
I
x

=
−
∫


b)

2
2 2
4
dx
I
x x
=
−
∫


c)

3
2
2 2
dx
I
x x
=
− −
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặ
t
2
2
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin sin
1 cos
sin
sin sin .cot
1
1
1 cot
1 1
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
dx t dt
t
x I

t t t
x
x t
x
t
 −
 
−
= =

 

=
−
 
 
= → ←→ → = =
 
−
 
− =
− = −



∫ ∫

2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .

sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2
2
2 2
1
2
2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2
1
1
x
x
x

x c t t t I C
t x x
x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−

b)

Đặ
t
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2cos
2cos
sin sin
2
sin
8cot
sin
4
4 2cot 4

4 4
sin
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
t
x
t
t
x t x x
x
t
t

−
 
−

= =
=
 


 
 
= → ←→
 

 
− =
⇒
− =
− = −





Khi
đ
ó,
2
2 2
2
2
2cos 1 1
sin cos .
8cot
4 4
4
sin .
sin
dx t dt
I t dt t C
t
x x
t
t

−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫

T
ừ

2 2
2 2
2
2
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4
x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)
2 2 ( 1) 3 3

3
t x
dx d x dt dt
I I
x x x t
t
= −
−
= = → = =
− − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
2
2
2
2
2
3 3cos
3cos
sin sin
3
sin
sin
3
3 3cot
3 3
sin

udu
dt d
udu
dt
u u
t
u
u
t u
t
u

 
−

= =
 −
 
 
=


 
= → ←→
 
 
− =
− = −





3
2 2
2
2
3cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
sin . 3cot
3
dt udu u du d u d u
I
u u u u
u u
t
−
→ = = = − = =
− − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u u
d u C
u u u
− + + +
= = +
− + −

∫

T
ừ
2 2
2
2
3
2
2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1
1
os 1 cos ln ln .
sin 2 2
3 2 2
1 1
1
t x x
t
t x
t c u t I C C
u t t
t x x
t x
− − −
+ +
−
−

=
⇒
= − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 17


2 2
1
arctan .
dx x
C
x a a a
 
= +
 
+
 
∫


2 2
1
ln .

2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C
a x a x a
−
= +
− +
∫


2
2
ln .
dx
x x a C
x a
= + ± +

±
∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1
2
4
x dx
I
x
=
+
∫
2)
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
9)
2
3
2
4

x dx
I
x
=
−
∫

4)
4
2
1
3 2
I dx
x x
=
−
∫
5)
2
5
2 1
I x dx
= +
∫
6)
6
2
2 5
dx
I

x
=
−
∫

DẠNG 2: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỶ
Phương pháp giải:
N
ế
u hàm
f
(
x
) có ch
ứ
a
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =
Khi

đ
ó,
( ) ( )
I f x dx h t dt
= =
∫ ∫
, vi
ệ
c tính nguyên hàm
( )
h t dt
∫

đơ
n gi
ả
n h
ơ
n so v
ớ
i vi
ệ
c tính
( ) .
f x dx
∫

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
4 1
xdx
I
x
=
+
∫


b)

3 2
2
2
I x x dx
= +
∫


c)

2
3
1
x dx
I
x
=
−

∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

Đặ
t
2
2 2
2
1
1
2 4
.
1
4 2
4 1 4 1 ( 1)
1
8
4 1
4
t tdt
tdt dx
xdx

t x t x I t dt
t
t
x
x
−
=


= + ⇔ = + → → = = = −

−
+
=


∫ ∫ ∫

3
3
(4 1)
1 1
4 1 .
8 3 8 3
x
t
t C x C
 
+ 
 

= − + = − + +
 
 
 
 

b) Đặ
t
2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 . ( 2).
t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt
= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2.
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C

+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
( )
(
)
2
2
2
2 2
2
3
2 2
2
1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt
t tdt
x dx
t x t x x t I
t
x t x
= −

−


= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −

= − −


∫ ∫

( ) ( )
5 3
5 3
2
2 4 2
(1 ) 2 (1 )
2
2 1 2 2 1 2 2 1
5 3 5 3
x x
t t
t dt t t dt t C x C
 
 
− −
 
= − − = − − + = − − + + = − − + − +
 
 
 
 
∫ ∫

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

4
ln
1 ln
xdx
I
x x

=
+
∫


b)

2
5
3
ln
2 ln
xdx
I
x x
=
−
∫


c)

6
ln 3 2ln
x x dx
I
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 18

a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1
1 .2
ln
1 ln 1 ln
1 ln
2
x t
t tdt
x dx
t x t x I
dx
x t
x
tdt
x

= −
−


= + ⇔ = + → → = =

+
=


∫ ∫

( )
3 3
3
2
4
(1 ln ) 2 (1 ln )
2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .
3 3 3
x x
t
t dt t C x C I x C
 
+ + 
 
= − = − + = − + + → = − + +
 
 
 
 
∫

b) Đặ
t
3
2 3 2 2
3
3
5
2
3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .
2 ln
3
x t
x dx t t dt
t x t x I
dx
x t
x
t dt
x

= −
−

= − ⇔ = − → → = =

−
=



∫ ∫

( )
8 5
8 5
3 3
7 4 2 2
3
(2 ln ) 4 (2 ln )
4
3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )
8 5 8 5
x x
t t
t t t dt t C x C
 
− − 
 
= − + = − + + = − + − +
 
 
 
 
∫

c)

Đặ

t
2
2
3
ln
2
3 2ln 3 2ln
2
2
t
x
t x t x
dx
tdt
x

−
=


= + ⇔ = + →


=



T
ừ

đ
ó ta có
( )
2
4 2
6
ln 3 2ln 3 1
ln 3 2ln . . . 3
2 2
x x dx dx t
I x x t tdt t t dt
x x
 
+ −
= = + = = −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln
1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x x
t t t

t C C C I C
+ + + +
 
= − + = − + = − + → = − +
 
 

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

7
1
x
dx
I
e
=
−
∫
b)
( )
2
8
3
1
x
x
e dx
I
e

=
+
∫
c)
9
2
4
dx
I
x x
=
+
∫
d)
10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
2
2

1
1
1 1
2
2
1
x
x
x x
x
e t
e t
t e t e
tdt
dx
e dx tdt
t

= −

= −
 
= − ⇔ = − → ←→
 
=
=



−



Khi đó
7
2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1
.( 1) 1
1
x
dx tdt dt dt t t dt dt
I dt
t t t t t t
t t t
e
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1
1 1 1 1
x x
x x
t e e

t t C C C I C
t
e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+
− + − +

b) Đặt
( ) ( )
(
)
2
2
2
2
8
3
3 3
1 .2
1
.
1 1
2
1 1
x
x x x
x x
x
x x

t tdt
e t
e dx e e dx
t e t e I
t
e dx tdt
e e
−

= −

= + ⇔ = + → → = = =

=


+ +
∫ ∫ ∫

(
)
2
2
3 2 2
1 .2
1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x

t tdt
t dt
dt dt t C e C
t
t t t
e
−
 
−
   
= = = − = + + = + + +
 
   
 
   
+
 
∫ ∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
2 2
2 2
2 2 2
2 2
4
4
4 4
2 2
4

x t
x t
t x t x
dx xdx tdt
xdx tdt
x
x t

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→
 
=
= =



−


Khi
đ
ó,
9
2 2
2 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.

4 ( 2)( 2) 4 2 2
4 4
4 4
dx dx tdt dt t t dt dt
I dt
x t t t t t
t t
x x x
+ − −
 
= = = = = = −
 
+ − − +
− −
 
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
2 2
9
2 2
1 1 2 1 4 2 1 4 2
ln 2 ln 2 ln ln ln .
4 4 2 4 4
4 2 4 2
t x x
t t C C C I C
t
x x

− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+
+ + + +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 19

d) Đặt
4 2
4 2
4 2 4
3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x
dx x dx tdt
x dx tdt
x
x t

= −


= −


= + ⇔ = + → ←→
 
= =
=



−


Khi
đ
ó,
10
2 2
4 4
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
. .
2 4 ( 1)( 1)
2( 1) 1
1 1
dx dx tdt dt t t
I dt
x t t t
t t
x x x

+ − −
= = = = =
+ −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
4
4
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln .
4 1 1 4 4 1 4
1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t
x
− + −
 
= − = − − + + = + = +
 
− + +
 
+ +
∫ ∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

11
1 2 5
dx
I
x
=
+ −
∫


b)

12
2
1 2
xdx
I
x
=
− +
∫


c)

3
13
3
2
4

x dx
I
x
=
+
∫
d)
2
14
1 4ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)

Đặ
t
2

2
2 5 2 5 2 5
5
= − ⇔ = − ⇔ = − → = −
tdt
t x t x tdt dx dx
Khi đó,
( )
11
2 2 1 1 2 1 2
1 ln 1
5 1 5 1 5 1 5
1 2 5
dx t dt t
I dt dt t t C
t t t
x
+ −
 
= = − = − = − − = − − + +
 
+ + +
+ −
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
11
2

2 5 ln 2 5 1 .
5
I x x C
→ = − − − − + +

b) Đặt
2 2 2
2 2 2 2
t x t x tdt xdx xdx tdt
= + ⇔ = + ⇔ = → =

Khi
đ
ó,
12
2
1 (1 ) 1 (1 )
1 ln 1
1 1 1 1
1 2
xdx t dt t d t
I dt dt dt t t C
t t t t
x
− − −
 
= = = = − = − − = − − − +
 
− − − −
 

− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
12
ln 1 2 2 .
I x x C
→ = − − + − + +

c) Đặt
( )
2 3
2 3
3
2 3 2 3 3 2
2
2
4
4
3
4 4 4
3
2
3 2
2
x t
x t
t x t x x dx t t dt
t dt
t dt xdx

xdx

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→ → = −
 
=
=





( )
( )
( ) ( )
5 2
2 2
3 2
3 3
3 5
4 2
13
3
2
3 4 3 4
4
3 3 3

4 2 .
2 2 2 5 10 4
4
x x
t t dt
x dx t
I t t dt t C C
t
x
+ +
−
 
→ = = = − = − + = − +
 
+
 
∫ ∫ ∫

d) Đặ
t
2 2 2
ln
1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .
4
dx xdx tdt
t x t x tdt x
x x
= + ⇔ = + ←→ = → =

( )

3
2
3
2 2
14
1 4ln
ln 1
1 4ln . .
4 4 12 12
x
xdx tdt t
I x t t dt C C
x
+
→ = + = = = + = +
∫ ∫ ∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
1 1 3
dx
I
x
=
+ +
∫


2)

3
2
3
2
1
x dx
I
x
=
+
∫


3)
3
1 3ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫


4)
3 2
4
1
I x x dx
= −

∫


5)
5
3
1
dx
I
x x
=
+
∫

6)
6
2 1
xdx
I
x
=
+
∫


7)
3
7
4
I x x dx

= +
∫

8)
8
1
x
I dx
x
+
=
∫


9)
9
1 1
xdx
I
x
=
+ −
∫

10)
2
10
3 2
I x x dx
= −

∫

11)
11
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+
∫


12)
2
12
1 1
x
x
e dx
I
e
=
+ −
∫

DẠNG 3: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 20

Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
( )
n
ax b
+ thì
đặ
t
dt adx
t ax b
t b
x
a
=


= + →
−

=



Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

( )

19
1
3 1
I x x dx
= +
∫


b)

2 99
2
(2 )
I x x dx
= −
∫


c)

2
3
2010
2
( 1)
x
I dx
x
+
=

+
∫


Hướng dẫn giải:

a) Đặt
( )
( )
21 20
19
19 20 19
1
3
1
3 1 3 1 . .3
1
3 21 20
3
dt dx
t t t
t x I x x dx t dt t t dt C
t
x
=

−

= + → → = + = = − = − +
−

=


∫ ∫ ∫

( ) ( )
21 20
1
3 1 3 1
.
21 20
x x
I C
+ +
→ = − +


b) Đặ
t
( ) ( )
( )
99 2
2 99 99 100 101
2
2 2 2 . 4 4
2
dt dx
t x I x x dx t t dt t t t dt
x t
= −


= − → → = − = − − = − − +

= −

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
100 101 102
100 101 102 100 101 102
2 4 2 2
4
4. 4. .
100 101 102 25 101 102 25 101 102
x x x
t t t t t t
C C C
  − − −
= − − + + = + − + = + − +
 
 

V
ậ
y
( ) ( ) ( )
100 101 102
2
2 4 2 2
.

25 101 102
x x x
I C
− − −
= + − +

c) Đặ
t
(
)
2
2
3
2010 2010 2008 2009 2010
1 2
2 3 1 2 3
1
1
tdt dx
t t
t x I dt dt dt
x t
t t t t t
− +=

− +
 
= + → → = = = − +

 

= −
 

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
2007 2008 2009 2007 2008 2009
1 1 3 1 1 3
.
2007 1004 2009
2007 1 1004 1 2009 1
C C
t t t
x x x
= − + − + = − + − +
+ + +

( ) ( ) ( )
3
2007 2008 2009
1 1 3
.
2007 1 1004 1 2009 1
I C
x x x
→ = − + − +
+ + +

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)

20
1
(1 )
I x x dx
= −
∫


2)
9
2
(3 1)
I x x dx
= +
∫


3)
4
3
(2 1)( 3)
I x x dx
= + +
∫


4)
( )
2
4

6
2 2
2 1
x x
I dx
x
+ +
=
−
∫


5)
(
)
( )
10
2
5
3 5 2 3 dx
I x x x= + − −
∫
6)
( ) ( )
2 21
6
1 2 dx
I x x= − +
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 21




CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:
Công thức nguyên hàm từng phần
( ). ( )
I P x Q x dx udv uv vdu
= = = −
∫ ∫ ∫

Độ

ư
u tiên khi l
ự
a ch
ọ
n
đặ
t u:
Hàm logarith, ln
x

→
hàm
đ

a th
ứ
c
→
hàm l
ượ
ng giác = hàm m
ũ
.

N
ế
u
I
có ch
ứ
a
[
]
ln ( )
n
g x
thì
đặ
t
[
]
[
]
(

)
ln ( ) ln ( ) '
n n
u g x du g x
= → =
 Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)
 Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng
lặp. Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau.



Chú ý:
Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc
cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng
udv
∫
) mà không cần đặt u, v. Tuy nhiên cách giải nhanh
chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
sin
I x xdx
=
∫


b)

3

2
x
I xe dx
=
∫

c)
2
3
cos
I x xdx
=
∫
d)
4
ln
I x xdx
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
1

sin
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặ
t
sin cos
u x du dx
xdx dv v x
= =
 
←→
 
= = −
 

1
sin cos cos cos sin .
I x xdx x x xdx x x x C
→ = = − + = − + +
∫ ∫



 Cách 2:
1
sin (cos ) cos cos cos sin

I x xdx xd x x x xdx x x x C
 
= = − = − − = − + +
 
∫ ∫ ∫


b)
3
2
x
I xe dx
=
∫



 Cách 1: Đặt
3
3
1
3
x
x
du dx
u x
v e
e dx dv
=


=

 
←→
 
=
=





3 3 3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1 1
(3 )
3 3 3 9 3 9
x x x x x x x
I xe dx xe e dx xe e d x xe e C
→ = = − = − = − +
∫ ∫ ∫



 Cách 2:
( )
3 3 3 3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1 1
(3 )

3 3 3 3 3 3
x x x x x x x x
I xe dx xd e xe e dx xe e d x xe e C
   
 
= = = − = − = − +
 
 
 
   
∫ ∫ ∫ ∫


c)
2
3
cos
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặt
2
2
sin
cos
du xdx
u x

v x
xdx dv

=

=

←→
 
=
=




Khi đó
2 2 2
3
cos sin 2 sin sin 2
I x xdx x x x xdx x x J
= = − = −
∫ ∫

Xét
sin .
J x xdx
=
∫
Đặt
cos cos cos sin

sin cos
u x du dx
J x x xdx x x x
xdx dv v x
= =
 
←→ → = − + = − +
 
= = −
 
∫

(
)
2
3
sin 2 cos sin .
I x x x x x C
→ = − − + +



 Cách 2:
2 2 2 2 2
3
cos (sin ) sin sin ( ) sin 2 sin
I x xdx x d x x x xd x x x x xdx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2
sin 2 (cos ) sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin .
x x xd x x x x x xdx x x x x x C
= + = + − = + − +
∫ ∫


04. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 22

d)
4
ln
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặt
2 2 2 2
4
2
ln
ln ln . ln .
2 2 2 4
2

dx
du
u x
x x dx x x
x
I x xdx x x C
xdx dv
x
x
v

=

=


←→ → = = − = − +
 
=


=


∫ ∫



 Cách 2:
( )

2 2 2 2 2 2 2
4
ln ln ln ln ln ln .
2 2 2 2 2 2 4
x x x x x dx x x
I x xdx xd x d x x x C
x
 
= = = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

2
5
ln
I x xdx
=
∫


b)

( )
2
6
ln 1

I x x dx
= +
∫

c)
(
)
2
7
ln 1
I x x dx
= + +
∫
d)
8
sin
x
I e xdx
=
∫

Hướng dẫn giải:

a)

2
5
ln
I x xdx
=

∫



 Cách 1: Đặ
t
3 3 3 3
2
5
2 3
ln
ln ln . ln .
3 3 3 9
3
dx
du
u x
x x dx x x
x
I x xdx x x C
x
x dx dv x
v

=

=

 
←→ → = = − = − +

 
=



=


∫ ∫



 Cách 2:
( )
3 3 3 3 3 3 3
2
5
ln ln ln ln ln ln .
3 3 3 3 3 3 9
x x x x x dx x x
I x xdx xd x d x x x C
x
 
= = = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫


b)

( )
2
6
ln 1
I x x dx
= +
∫

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
6
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
2 2 2
x x x
I x x dx x d x d x
 
= + = + = + − +
 
 
∫ ∫ ∫

( )
(
)
( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2
2 2 2
2ln 1
ln 1 . ln 1 ln 1 ln 1
2 2 1 2 1 2
x
x x x x x
x dx x x dx x J
x x
+
= + − = + − + = + −
+ +
∫ ∫

Xét
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1
ln 1 ln 1 1 ln 1
1 1 1
x x
J x dx x dx x x dx
x x x
− +
 
= + = + = − + + =
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
1 2
dx x
x x dx x x d x x d x
x
 
= − + + + = + − + + + =
 
+
 
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 2 2 2
ln 1 ln 1
1 2
ln 1 ln 1 ln 1
2 2 2 2 2 1 2
x x

x x x x x
x x x d x x x dx
x
    +   +
−
= − + − − + + = − + − +
     
+
     
∫ ∫

Xét
2 2
2 3
3 3 3ln 1
1 1 2
x x x
K dx x dx x x
x x
−
 
= = − + = − + +
 
+ +
 
∫ ∫

( )
(
)

2
2 2
ln 1
1
ln 1 3 3ln 1 .
2 2 2 2
x
x x
J x x x x C
    +
→ = − + − − + + + +
   
   

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 2
6
ln 1 ln 1

1
ln 1 3 3ln 1 .
2 2 2 2 2
x x x
x x
I x x x x C
+     +
= − − + + − + + − +
   
   


c)
(
)
2
7
ln 1
I x x dx
= + +
∫

Ta có
(
)
(
)
(
)
(

)
2
2 2 2 2
7
2
1
1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
1
x
x
I x x dx x x x xd x x x x x xdx
x x
+
+
 
= + + = + + − + + = + + −
 
 
+ +
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 23

(
)
(
)

(
)
(
)
2
2 2 2 2
2 2
1
1
ln 1 ln 1 ln 1 1 .
2
1 1
d x
xdx
x x x x x x x x x x C
x x
+
= + + − = + + − = + + − + +
+ +
∫ ∫

Vậy
(
)
2 2
7
ln 1 1 .
I x x x x C
= + + − + +

d)
8
sin
x
I e xdx
=
∫

Ta có
(
)
( )
(
)
8
sin sin sin sin sin cos sin cos
x x x x x x x x
I e xdx xd e e x e d x e x e xdx e x xd e
= = = − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(
)
( )
sin cos sin cos cos sin cos sin
x x x x x x x x
e x xd e e x e x e d x e x e x e xdx
   
= − = − − = − +

   
∫ ∫ ∫

8 8 8
sin cos
sin cos sin cos .
2
x x
x x x x
e x e x
e x e x I e x e x I I C
−
 
= − + = − − → = +
 

Nhận xét: Trong nguyên hàm I
8
chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng
ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
1
ln
I x xdx
x
 
= +
 

 
∫

2)
2
2
ln(3 )
I x x dx
= +
∫


3)
2
3
( 2 )sin
I x x xdx
= +
∫

4)
(
)
2
4
ln
I x x dx
= +
∫

5)
2
5
ln( 1)
I x x dx
= +
∫
6)
2
6
tan
I x xdx
=
∫















Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 24




Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
=
∫

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn
mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT
Khi đó Q(x) = ax + b.
 Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức,
 Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có
( ) (ax )
ln ax .
( ) ax ax
P x k k d b k
I dx dx b C
Q x b a b a
+
= = = = + +

+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
4
2 1
I dx
x
=
−
∫
b)
2
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
c)
3
2 1
3 4
x
I dx

x
+
=
−
∫
d)
2
4
4
3
x x
I
x
+ +
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
1
4 4 (2 1)
2ln 2 1 .

2 1 2 2 1
d x
I dx x C
x x
−
= = = − +
− −
∫ ∫

b)

2
1 1 2 2
1 2 2ln 1 .
1 1 1 1
x x dx
I dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +
 
= = = + = + = + − +
 
− − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c)

( )
( )

( )
3
1 5
3 4
3 4
2 1 1 5 1 5 1 5
2 2
3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4
x
d x
x dx
I dx dx dx x x
x x x x x
− − +
 
−
+
= = = − + = − + = − −
 
 
− − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3
1 5 1 5
ln 3 4 ln 3 4 .
2 8 2 8
x x C I x x C
= − − − + → = − − − +

d)
( )
(
)
2 2
4
3
4 10
2 2 10 2 10ln 3 .
3 3 3 2
d x
x x x
I x dx x dx x x C
x x x
+
+ +
 
= = − + = − + = − + + +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
5
7
2 5

x x
I dx
x
− +
=
+
∫
b)
3 2
6
3 3 2
1
x x x
I dx
x
+ + +
=
−
∫
c)
4 2
7
4 3 2
2 1
x x x
I dx
x
+ + +
=
+

∫

Hướng dẫn giải:
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
3
2
49
7 1 5 21
8
2 5 2 4 8 2 5
x x
x x
x x
− +
= − + −
+ +

Khi đó
3
2 2
5
49
7 1 5 21 1 5 21 49
8
2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5
x x dx
I dx x x dx x x dx
x x x
 
 

− +
 
= = − + − = − + −
 
 
+ + +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
3 2 3 2
2 5
1 5 21 49 5 21 49
. . ln 2 5 .
2 3 4 2 8 16 2 5 6 8 8 16
d x
x x x x x
x x C
x
+
= − + − = − + − + +
+
∫

b)
Ta có
3 2

2 3 2
6
3 3 2 9
3 6 7 3 7 9ln 1 .
1 1
x x x
I dx x x dx x x x x C
x x
+ + +
 
= = + + + = + + + − +
 
− −
 
∫ ∫

c)
Chia t
ử
s
ố
cho m
ẫ
u s
ố
ta
đượ
c
4 2
3 2

5
4 3 2 1
2
2 2
2 1 2 2 1
x x x
x x x
x x
+ + +
= − + − +
+ +

Khi
đ
ó
4 2
3 2 3 2
7
5
4 3 2 1 1 5
2
2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 1
x x x dx
I dx x x x dx x x x dx
x x x
 
 
+ + +
 

= = − + − + = − + − +
 
 
+ + +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

05. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 25

(
)
4 3 4 3
2 2
2 1
1 5 1 5
2. ln 2 1 .
4 3 2 4 2 1 2 3 2 4
d x
x x x x
x x x x x C
x
+
= − + − + = − + − + + +

+
∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
2 1
3
x
I dx
x
−
=
+
∫
2)
2
2
3 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
3)
3 2
3

3 3 2
1
x x x
I dx
x
+ + +
=
−
∫

4)
3
4
7
2 5
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
5)
5
1
4 3
x
I dx
x
+

=
−
∫
4)
4 2
6
5 3
3 1
x x x
I dx
x
− +
=
+
∫

II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Khi đó Q(x) = ax
2
+ bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số.
 Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích
( )( )
( )( )
1 2

1 2 1 2
( ) ( ) 1
( )
( )
P x P x A B
Q x a x x x x
Q x a x x x x a x x x x
 
= − − → = = +
 
− − − −
 

Đồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố

ở
hai v
ế
ta
đượ
c A, B. T
ừ

đ

ó, quy v
ề
bài toán nguyên hàm có m
ẫ
u s
ố
là hàm b
ậ
c nh
ấ
t
đ
ã xét
ở

trên.

N
ế
u P(x) có b
ậ
c l
ớ
n h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 2 thì ta chia

đ
a th
ứ
c, quy bài toán v
ề
hai tr
ườ
ng h
ợ
p có b
ậ
c c
ủ
a P(x) nh
ư

trên
để
gi
ả
i.
Chú ý:


Vi
ệ
c phân tích
đ
a th
ứ

c thành nhân t
ử
v
ớ
i các ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có h
ệ
s
ố
a khác 1 ph
ả
i theo quy t
ắ
c
(
)
(
)
2
1 2
ax
bx c a x x x x
+ + = − −
Ví d
ụ
:
2

( 1)(3 1): '.
3 4 1
1
( 1) : .
3
x x dung
x x
x x sai
− −
− + =
 
− −
 
 

 Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi
tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây).
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
2
2 3
dx
I dx
x x
=
− −
∫
b)
2

2
2
3 4 1
dx
I
x x
=
− + −
∫

c)

3
2
2 3
3 4
x
I dx
x x
+
=
− −
∫
d)
4
2
3 4
5 6 1
x
I dx

x x
+
=
+ +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
1
2
1 ( 1) ( 3) 1 1 3
ln .
( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 4 3 1 4 1
2 3
dx dx x x dx dx x
I dx dx C
x x x x x x x
x x
+ − − −
 
= = = = − = +
 
+ − + − − + +

− −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
2
2 2
2 2 (3 1) 3( 1)
2 2
3 4 1 3 4 1 ( 1)(3 1) 4 ( 1)(3 1)
dx dx dx x x
I dx
x x x x x x x x
− − − −
= = − = − =
− + − − + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 (3 1) 1 1 1 3 1
3 ln 1 ln 1 ln 3 1 ln .
2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 1
dx dx d x x
x x x C C
x x x x
− −
 
= − − = − − + = − − + − + = +
 
− − − −
 

∫ ∫ ∫

c)
3
2
2 3
3 4
x
I dx
x x
+
=
− −
∫

 Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó
( )( )
2
2 3 2 3
1 4 1 4
3 4
x x A B
x x x x
x x
+ +
= = +
+ − + −
− −

Đồng nhất ta được
( ) ( )
1
2
5
2 3 4 1
3 4 11
5
A
A B
x A x B x
A B
B

= −

= +


+ ≡ − + + → ←→
 
= − +


=

